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• Mushing Rodríguez

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Resolver la siguiente E.D. por trasformada de Laplace. 𝑦 ´´ + 2𝑦 ´ + 5𝑦 = 𝑠𝑒𝑛3𝑡

𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑌(0) = 2 ; 𝑌 ´ = 0

ℒ{𝑦 ´´ + 2𝑦 ´ + 5𝑦} = ℒ{𝑠𝑒𝑛3𝑡} Se reemplazan las transformadas de acuerdo a la propiedad de la derivada de orden: n. al mismo tiempo que: ´ [𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑌(0) − 𝑌(0) ] + 2[𝑠𝑦(𝑠) − 𝑌(0) ] + 5[𝑦(𝑠) ] =

[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠2 − 0] + 2[𝑠𝑦(𝑠) − 2] + 5[𝑦(𝑠) ] =

𝑠2

𝑠2

3 + 32

3 + 32

Acomodando la ecuación y por la propiedad distributiva: 𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠2 + 2𝑠𝑦(𝑠) − 4 + 5𝑦(𝑠) =

𝑠2

3 + 32

Factorizando 𝑦(𝑠): 𝑠 2 𝑦(𝑠) + 2𝑠𝑦(𝑠) + 5𝑦(𝑠) = 𝑦(𝑠)(𝑠 2 + 2𝑠 + 5) = 𝑦(𝑠) (𝑠 2 + 2𝑠 + 1 + 4) =

3 + 2𝑠 + 4 + 32

2𝑠 + 7 2𝑠 + 7 2 ( ) ⟹ 𝑦 𝑠 + 2𝑠 + 5 = (𝑠) 𝑠 2 + 32 (𝑠 2 + 32 )

2𝑠 + 7 2𝑠 + 7 ⟹ 𝑦(𝑠) [ (𝑠 2 + 2𝑠 + 1) + 4] = 2 2 2 (𝑠 + 3 ) (𝑠 + 32 )

𝑦(𝑠) [(𝑠 + 1)(𝑠 + 1) + 4] = 𝑦(𝑠) [(𝑠 2 + 12 ) + 22 ] =

𝑠2

2𝑠 + 7 2𝑠 + 7 ⟹ 𝑦(𝑠)[(𝑠 + 1)2 + 22 ] = 2 2 2 (𝑠 + 3 ) (𝑠 + 32 )

2𝑠 + 7 2𝑠 + 7 ⟹ 𝑦 = (𝑠) (𝑠 2 + 32 ) (𝑠 2 + 32 )[(𝑠 2 + 12 ) + 22 ]

Aplicando el método de fracciones parciales se tiene: 𝑦(𝑠) = 𝑦(𝑠) = 2𝑠 + 7 =

(𝑠 2

+

2𝑠 + 7 𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶𝑠 + 𝐷 = 2 + 2 2 2 + 1 ) + 2 ] (𝑠 + 9) [(𝑠 + 1) + 4]

32 )[(𝑠 2

(𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 2 + 32 )[(𝑠 2 + 12 ) + 22 ] (𝐶𝑠 + 𝐷)(𝑠 2 + 32 )[(𝑠 2 + 12 ) + 22 ] + [(𝑠 2 + 1) + 4] (𝑠 2 + 9)

𝑦(𝑠) = 2𝑠 + 7 = (𝐴𝑠 + 𝐵)[(𝑠 2 + 1) + 4] + (𝐶𝑠 + 𝐷)(𝑠 2 + 9) = ⋯ = 𝐴𝑠 3 + 𝐴𝑠 + 4𝐴𝑠 + 𝐵𝑠 2 + 𝐵 + 4𝐵 + 𝐶𝑠 3 + 9𝐶𝑠 + 𝐷𝑠 2 + 9𝐷 𝑦(𝑠) = 2𝑠 + 7 = 𝐴𝑠 3 + 5𝐴𝑠 + 𝐵𝑠 2 + 5𝐵 + 𝐶𝑠 3 + 9𝐶𝑠 + 𝐷𝑠 2 + 9𝐷 Con lo anterior se forma un sistema de ecuaciones 4x4:

𝑦(𝑠) = 0𝑠 3 + 0𝑠 2 + 2𝑠 + 7 = 𝐴𝑠 3 + 5𝐴𝑠 + 𝐵𝑠 2 + 5𝐵 + 𝐶𝑠 3 + 9𝐶𝑠 + 𝐷𝑠 2 + 9𝐷 𝐴+0+𝐶+0= 0 0+𝐵+0+𝐷 = 0 5𝐴 + 0 + 9𝐶 + 0 = 2 0 + 5𝐵 + 0 + 9𝐷 = 7

𝐸𝑐. (1) 𝐸𝑐. (2) 𝐸𝑐. (3) 𝐸𝑐. (4)

Combinando la Ec. (1) y (3). Ec. (1) por 5 y se resta la Ec. (3), para obtener la Ec. (5); luego combinamos la Ec. (2) y (4). Ec. (2) por 5 y se resta la Ec. (4), para obtener la Ec. (6): 5A +5C =0 -5A -9C =-2 -4C =-2 Ec. (5) 𝐶=

5B +5D =0 -5B -9D =-7 -4D =-7 Ec. (6)

2 1 7 1 7 = ; 𝐷 = ; 𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝑐. (1) 𝐴 = −𝐶 = − ; 𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝐸𝑐. (2) 𝐵 = −𝐷 = − 4 2 4 2 4 A=-1/2 ; B=-7/4 ; C=1/2 ; D=7/4

Después de haber hallado los valores de A, B, C y D; se procede a volver a la ecuación para reemplazar los valores. 𝑦(𝑠) =

𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶𝑠 + 𝐷 1 𝑠 7 1 1 𝑠 ( ) ( ) + = − ( ) − + (𝑠 2 + 9) [(𝑠 2 + 1) + 4] 2 𝑠 2 + 32 4 𝑠 2 + 32 2 𝑠 2 + (√5)2

Aplicando la antitransformada: 1 𝑠 7 −1 1 1 −1 𝑠 } { } { 𝑌(𝑡) = ℒ −1 { 𝑦(𝑠) } = − ℒ −1 { 2 − ℒ + ℒ 2} 2 𝑠 + 32 4 𝑠 2 + 32 2 2 𝑠 + (√5) 1 𝑠 7 −1 3 1 −1 𝑠 } { } { = − ℒ −1 { 2 − ℒ + ℒ 2} 2 𝑠 + 32 4∙3 𝑠 2 + 32 2 𝑠 2 + (√5) Efectuando la antitransformada por tablas tenemos la solución: 1 7 1 𝑌(𝑡) = − cos 3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + cos √5 𝑡 2 12 2