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CIENCIAS

7

DAVIS MOODY

División Algebraica

PREVIO

División entre Polinomios

Si multiplicamos 6 y 4, su producto sería 24; entonces tendríamos:

Cuando aprendimos a dividir en el conjunto ‘‘N’’ vimos el siguiente esquema:

6 x 4 = 24 Pero, si se nos dieran como datos 4 y 24 para calcular el valor que multiplicado por 4 nos da 24, tendríamos:

27 3

8 3

Se cumple:

24 =6 4

27 = 8(3) + 3 PARA POLINOMIOS

Donde: 24 : es el dividendo 4 : es el divisor 6 : es el cociente

x2 + 1 2

Ahora veamos esta misma operación con los monomios y polinomios.

x+1 x-1

MÉTODO CLÁSICO

Se cumple: x2 + 1 = (x + 1)(x - 1) + 2

División de Monomios Para esto dividimos los coeficientes y luego la parte variable. Ejemplo: 30 6-2 4-2 30x6y4 x .y = 2 2 6 6x y = 5x4y2

Donde: x2 + 1 : x + 1 : x - 1 : 2 :

Dividendo (D) Divisor (d) Cociente (q) Residuo o Resto (R)

CLASES DE DIVISIÓN

División de Polinomio entre Monomio

1. División Exacta (R(x) = 0)

Para esto dividimos los términos del polinomio entre el monomio, para luego efectuar una división de monomios.

D(x) = d(x) . q(x)

Ejemplo:

Donde:

24x7y8 + 16x5y6 24x7y8 16x5y6 = + 4x2y4 4x2y4 4x2y4

D(x) es divisible por d(x). D(x) es múltiplo de d(x). d(x) es un factor o divisor de D(x).

= 6x5y4 + 4x3y2

3ro sec

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39 39

CAMPEONES POR EXCELENCIA

ÁLGEBRA

Ahora repetimos esta misma operación a partir de (1).

2. División Inexacta (R(x) ≠ 0) D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

1

1

-5 -6

PROPIEDAD 1. [q(x)]º = [D(x)]º - [d(x)]º

6

11

6

-5 ÷1

-6 -5

-6

0

0

1

Ejemplo:

[q(x)]º = 6 - 2 = 4

EJERCICIOS RESUELTOS

MÉTODO DE HORNER

1. Calcula (a - b) si la división:

Divide: 3

12x4 - 12x3 + 13x2 + ax - b 2x2 - 3x + 5

2

x + 6x + 11x + 6 x2 + 5x + 6

Colocamos los coeficientes del dividendo con su propio

signo y los coeficientes del divisor con signo cambiado, a excepción del primer coeficiente. Coef. del dividendo Coef. del divisor

1

q(x) = 1x + 1 R(x) = 0 (División Exacta)

x6 - 2x5 + 6 x2 - 7x + 1

1

Aritmética - 1ro Sec.

1

6

11

6

-5



deja como resto 4x + 5. Resolución: Por Horner: 2 3 -5

12

-6

6

-12 18 6

13 -30 9 -8

3

-4

a

-b

-15 -12 20 4

5

Dato Como el divisor es de grado 2, trazamos la línea divisoria 2 lugares hacia la izquierda, partiendo del último coeficiente del dividendo. 1

1

11

6

6

a - 27 = 4 -b + 20 = 5

⇒ ⇒

a = 31 b = 15 a - b = 16

2. Calcula (ab) si la división es exacta.

-5

2x4 + 3x2 - 3x2 - ax + b 2x2 + 2x + 3

-6 Resolución: Coeficientes del Coeficientes del Cociente Residuo Ahora efectuamos tres operaciones (÷, x, +) con los coeficientes del dividendo y el divisor.

División exacta (R ≡ 0) 2 2 0 -2 -2 -3 -2

3 -3 2 2

-a

b

3 -2

-3

-1

1

0

0

÷ 1 -5 x

1

-6 x 1

40 40

6 -5 1

11 -6

6

1

Exacta -a + 1 = 0 ⇒ b - 3 = 0 ⇒

a=1 b=3 ab = 3

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

3. Calcula m + n si: 2x5 + 3x4 + 3x3 + 2x2 + mx + n es divisible entre x2 - 2x + 3. Resolución:

Horner invertido: 3 -1 2

a

Si son divisibles entonces el resto es cero. 1 2 -3

2

3 3 2 m n 4 -6 7 14 -21 11 22 -33 3 6 -9

7 •

-8

-b

14

-8

-7 • -15 •

14 • 5 • 12 •

-10 -4

8

4

0

0

-5 •

-b + 19 = 12 ⇒ a/3 = 7 ⇒

b=7 a = 21 a/b = 3

2

7 11

3

⇒ ⇒

m - 27 = 0 n - 9 = 0

0

0

m = 27 n=9

Guillermo Horner

m + n = 36 4. Halla el valor de AB si la división es exacta. Ax4 + Bx3 + 7x2 + 4x + 3 3x2 + x + 3

Fue educado en la escuela Bristol de Kingswood. A la edad casi increíble de 14 años fue auxiliar en la escuela de Kingswood en 1800. Cuatro años más tarde, salió de Bristol y fundó su propia escuela en 1809.

Resolución: Cuando es exacta se puede dividir en forma creciente. 3 -1 -3

3

4 -1 3

7 -3 -1 3

B

A

-3 -1

-3

1

1

0

0

1

⇒ ⇒

B - 4 = 0 A - 3 = 0

La única contribución significativa de Horner a las matemáticas era el método para solucionar ecuaciones algebraicas. Fue sometida a la Sociedad Real el 1 de julio de 1819 y publicada en el mismo año en las transacciones filosóficas de la Sociedad Real.

Pedro Ruffini algunos años antes había descrito un método similar que ganó la medalla de oro ofrecida por la Sociedad Matemática Italiana para la Ciencia; debido al pedido de métodos mejorados para las soluciones numéricas a las ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni Horner eran los primeros en descubrir este método pues ZHU SHIJIE lo propuso 500 años antes.

B=4 A=3 AB = 34 = 81

5. Halla a/b si la división es exacta. ax4 - 8x3 - bx2 + 14x - 8 3x2 + x - 2 Resolución: 3 -1 2

a

• •

•

3ro sec

-8

•

-b • • • 4 •

14

-8

-10 • -4 •

8 •

0

Después de que Horner muriera en 1837; su hijo, también llamado Guillermo, quedó a cargo de la escuela.

0

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41 41

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1

Halla el residuo en:

ÁLGEBRA

3

Aritmética - 1ro Sec.

Halla “A + B” si al dividir:

10x3 + 9x2 - 33x - 22 5x + 2

2x4 + x3 + 3x2 + Ax + B x2 - 2x + 1

el resto resulta 2x + 3.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Indica el término independiente del resto en: 6x3 - x2 + 2x + 6 3x2 - 2x - 1

4

Halla A/B si la división:

2x4 + 3x3 + x2 + Ax + B x2 + 2x + 3

es exacta. Resolución: Resolución:

Rpta: 42 42

Rpta:

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3ro sec

CIENCIAS

5

Halla el valor de AB si la división es exacta: Ax4 + Bx3 + 7x2 + 4x + 3 3x2 + x + 3

DAVIS MOODY 6

Determina m - n si F es divisible por Q. F = 2x5 - 3x3 + 2x2 + mx + n Q = x2 - 2x + 1

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. Si la división:

10. Halla A x B si la división es exacta.

20x6 + x5 + x4 - x3 + ax2 + bx + c 5x3 - x2 - 2x - 3

deja como residuo R(x) = - x + 14, calcula “a + b + c”. 11. En la división exacta:

8. En la división: 9x5 - 6x4 - 5x3 + mx2 + nx + p 3x3 - x2 - x + 3

3x4 + 4x3 + 7x2 + Bx + A 3x2 + x + 3

x4 + 2x3 - 7x2 + ax + b x2 - 3x + 5

el residuo es un polinomio identicamente nulo. Halla m + n + p.

12. En la división exacta: 9. Halla A x B si al dividir el resto es 2x + 3. 2x4 + x3 + 3x2 + Ax + B x2 - 2x + 1

3ro sec

mx4 + nx3 + 52x2 + 59x + 56 3x2 + 5x + 8

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43 43

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1. Halla el cociente en:

ÁLGEBRA

7.

Halla “m + n” si la división: 6x4 + 13x2 + mx - n 2x2 - 4x + 5

x2 + 8x + 18 x+3 a) x + 5 b) x + 1 d) x - 2

c) x e) x + 3



8.

x3 + 3x2 + 5x + 7 x+1 a) x2 + x - 3 b) x2 - 2x - 3 c) x2 + 2x + 3 d) x2 - 2x - 8 e) x2 + 2x + 3

a) x + 5 b) x2 + 3 d) -10x + 14

4.



9. c) x + 3 e) 10x - 14

Halla el residuo en:

a) 9x + 6 b) 9x - 5 d) 9x + 5 5.

es exacta. c) 3 e) 5

Halla la suma de coeficientes del cociente: 6x3 - x2 + 2x + 6 3x2 - 2x - 1 a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

10. Halla el resto en:

x5 - 3x2 + x + 1 x2 + x - 1



Halla a/b si la división:

a) 1 b) 2 d) 4

x3 + 5x2 - 7x + 5 x2 + 2x - 3

c) -69 e) -28

ax4 - 8x3 - bx2 + 14x - 8 3x2 + x - 2

Indica el cociente:



es exacta. a) 23 b) 18 d) 38

2. Halla el cociente en:

3.

Aritmética - 1ro Sec.

x3 + 5x2 - 7x + 5 x2 + 2x - 3 c) 9x e) 10x - 5

a) 7x - 1 b) 10x - 14 d) -10x + 14

c -7x + 1 e) 6x

Halla el residuo en:



16x5 + 18x3 - 32x2 - 2x + 13 2x3 + 3x - 4 a) 4x2 + 6 d) 7x + 1

6.

b) 1

c) 3x - 1 e) 7x

Calcula el valor de (m + n) en la siguiente división exacta. x5 + x4 + mx3 - 1 x3 + x - n a) 1 b) 3 d) 5

44 44

c) 2 e) -1/3

11. Halla la suma de coeficientes del cociente: 16x5 + 18x3 - 32x2 - 2x + 13 2x3 + 3x - 4 a) 4 b) 5 d) 7

c) 6 e) 8

12. Halla m/n si P es divisible por Q: P = 2x5 - 3x3 + 2x2 + mx + n Q = x2 - 2x + 1 a) 2/3 b) -5/3 c) -5/4 d) 3/2 e) -3/5

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3ro sec

CIENCIAS

8

DAVIS MOODY

División Euclidiana

La División Euclidiana es aquella que se realiza con polinomios de una variable. Así tenemos los siguientes métodos de división:

Ejemplo: Divide: 2x5 - 15x3 - 20x + 8 x+3

1. MÉTODO DE HORNER Ejemplo: Divide:

12 ÷

3 -1

-17

17

9

-3

÷

-6

x = -3

-2 x

2 T.I

2 -9

2 6 -2 10 -11 x T.I

2. MÉTODO DE RUFFINI Se utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado. b≠0

Dividendo x+b=0

1 Lugar

x = -b Cociente

3ro sec

-6 18 -9

27

-21

3

-9

7

-13

x4 x3 x2

x

T.I

q(x) = 2x4 - 6x3 + 3x2 - 9x + 7 R(x) = -13 3. TEOREMA DE RENÉ DESCARTES (TEOREMA DEL RESTO) Este teorema tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar la división. Se siguen los siguientes pasos: i) Se iguala el divisor a cero. ii) Se despeja una variable. iii) Se reemplaza el valor o equivalente de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.

q(x) = 3x2 - 2x + 2 R(x) = 10x - 11

d(x) = x + b

8

2 -6

÷

3 x2

-20

x+3=0

12x4 - 17x3 + 17x2 + 2x - 9 4x2 - 3x + 1 4

2 0 -15 0

Resto

Ejemplo: 8x2003 + 13x2 + 1999 x+1 Solución: i) x + 1 = 0 ii) x = -1 iii) Se reemplaza: R = 8(-1)2003 + 13(-1)2 + 1999 R = -8 + 13 + 1999 R = 2004

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45 45

CAMPEONES POR EXCELENCIA

ÁLGEBRA

Aritmética - 1ro Sec.

3. Calcula “m” si la división es exacta.

Ejemplo: 2x5 + 3x3 + 3x - 6 x2 + 1

6x3 - 3x2 - mx - 15 2x - 3

Solución: i) x2 + 1 = 0 ii) x2 = -1 iii) Observa que: D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x - 6 Reemplazando: x2 = -1 R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x - 6 R(x) = 2x - 3x + 3x - 6 R(x) = 2x - 6

Resolución: Por Ruffini: 2x - 3 = 0 x = 3/2 6 x=3/2

EJERCICIOS RESUELTOS

6

-3 -m -15 9 9 3/2 (9 - m) 6 (9 - m) 0

1. Indica la suma de coeficientes del cociente al dividir: 3/2 (9 - m) = 15 9 - m = 10

6x4 + 7x3 - 3x2 - 4x + 6 3x2 + 2x - 1 Resolución:

4. Halla el resto de:

Por Horner: 3 6 7 -2 -4 1 3

2

m = -1

1

-3 2 -2 -3

-4

6

1 2

-1

-1

-1

5

x81 - 2x21 + 4x13 + 9 x+1 Resolución: Teorema del Resto: x +1 = 0

Cociente Suma de coeficientes =2 del cociente

x = -1

reemplazando en el dividendo: R = (-1)81 - 2(-1)21 + 4(-1)13 + 9 R = -1 + 2 - 4 + 9

2. Luego de dividir, indica el coeficiente del término independiente del cociente de: 2x5 - 7x4 + 8x3 - 13x2 - 4x + 7 x-3

R=6 5. Halla el resto en: 3x40 + 6x16 + 3x13 + x4 - 3 x2 + 1

Resolución: Por Ruffini: x - 3 = 0 x=3 2 3 2

-7 8 6 -3 -1 5

Resolución: -13 15 2

Cociente Coeficiente =2 del T.I. 46 46

⇒

-4 7 6 6 2 13

Teorema del Resto: x2 +1 = 0 ⇒

x2 = -1

3(x2)20 + 6(x2)8 + 3(x2)6 . x + (x2)2 - 3 R = 3(-1)20 +6(-1)8 +3(-1)6x +(-1)2 -3 R = 3 + 6 + 3x + 1 - 3 R = 3x + 7

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3ro sec

CIENCIAS

1

Al efectuar la siguiente división, indica su

DAVIS MOODY

3

cociente.

Luego de dividir, indica el coeficiente del término independiente del cociente.

4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 12 4x2 + 5x + 6

2x5 - 7x4 + 8x3 - 13x2 - 4x + 7 x-3 Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Calcula m + n si la división: 6x5 + x4 - 11x3 + mx + n 2x2 + 3x - 1

4

Halla la suma de coeficientes del cociente al efectuar: 8x5 - 2x4 - 19x3 - 15x + 6 4x - 3

es exacta. Resolución:

Rpta:

3ro sec

Resolución:

Rpta:

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47 47

CAMPEONES POR EXCELENCIA 5

Calcula ‘‘m’’ si la división es exacta:

ÁLGEBRA

6

Halla el resto en:

6x3 - 3x2 - mx - 15 2x - 3



Aritmética - 1ro Sec.

3x60 - 5x45 + 3x30 - 2x15 + x5 + 7 x5 + 1

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. Calcula el término independiente del cociente en: 3x5 + 5x4 + 3x3 - 9x + 2 3x3 + 2x2 - 5x + 1

8. Calcula la suma de coeficientes del cociente en: 6x4 - 11x3 + 15x2 - 19x + 5 3x - 1

9. En la siguiente división: ( 3 - 1)x3 + 2x2 - ( 3 - 2)x - 6 - 11 x- 2

48 48

10. En la siguiente división exacta: 6x3 - 3x2 - mx - 15 2x - 3

11. Halla el resto al dividir: (x2 + x)9 + (x2 + x)7 + 1 x2 + x - 1

12. Halla el resto al dividir: (x2+3x+5)20+(x2+3x+6)31+x2+3x x2 + 3x + 6

Halla el resto.

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3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

1. Indica la suma de coeficientes del cociente al dividir: 4

3

7.

8x5 + 18x4 - x3 - 20x2 - 2x + 4 2x3 + 3x2 - 2x - 2

2

6x + 7x - 3x - 4x + 6 3x2 + 2x - 1 a) 2 b) -4 d) 0

a) 4x2 + 3x - 1 b) 3x2 + 4x + 2 c) 2x2 + 3x + 1 d) x2 + 3x - 2 e) x2 + 3x + 2

c) 8 e) -2

2. Calcula A + B si al dividir (12x4 - 7x3 - 2x2 + Ax +B) entre (3x2 - x + 3) el residuo es 4x + 3. a) -4 b) 8 d) 4

8.

a) 1 b) -1 d) -2

mx4 + nx3 - 2x2 - 3x - 2 4x2 + x - 1

a) 18 b) 20 d) 25

c) 22 e) 26

4. Halla la suma de coeficientes del cociente al dividir: 4

3

2

2x + 3x - 4x - 5x + 3x + 7 x - 1/2 a) -2 b) 5 d) 1 5.

c) 2 e) 4

Si el resto de la división (3x6 - x2 + 3x - a) entre (x - 1) es 2, ¿cuál debe ser el valor de ‘‘a’’ ? a) 0 b) 2 d) -1

6.

c) 3 e) -2

21

a) 4 b) 5 d) 7

a) 8 b) 9 d) 12

c) 10 e) 14

10. Halla el resto en: 3x5 + x3 + x2 + 6 x+1 a) 7 b) 5 d) 4

c) 3 e) 2

11. Halla el resto en: (x2 + x)7 + (x2 + x)5 + 1 x2 + x - 1 a) 2 b) 4 d) 3

c) 5 e) 0

2x5 + 2x3 + 1 x3 + x + 1

13

x - 2x + 4x + 9 x+1

3ro sec

Calcula la suma de coeficientes del cociente en:

12. Indica verdadero (V) o falso (F) al dividir:

Halla el resto de: 81

9.

c) 2 e) 0

6x4 - x3 - 21x2 + 28x - 30 3x - 5

determina m - n.

5

Calcula el término independiente del cociente: 2x4 + x3 - 12x2 + 13x - 6 2x - 3

c) -6 e) 5

3. Si la división es exacta en:



Calcula el cociente en:

c) 6 e) 10

* El grado del dividendo es 3. * El grado del divisor es 5. * El grado del cociente es 1.

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( ( (

) ) )

49 49

CAMPEONES POR EXCELENCIA

9

Aritmética - 1ro Sec.

Cocientes Notables Por Ruffini: x+1=0 ⇒

1. FORMA x ±a = C.N. x±a n

n

x = -1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

-1 -1

1 1

-1 -1

1 1

-1 -1

1 1

-1 0

-1

Condiciones: * Bases Iguales * Exponentes Iguales

q(x) = x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1

2. CASOS

Ejemplo:

2.1. Primer Caso

x5 + 2 5 4 3 = x - (x )2 + x2(2)2 - x(2)3 + 24 x+2

x5 - 1 = C.N. x-1 Por Ruffini: x-1=0 ⇒

2.3. Tercer Caso Nº de términos = par

x=1

1

0

0

0

0

-1

1 1

1 1

1 1

1

1

1 1

1

0

q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 Ejemplo: x6 - 1 = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x-1 2.2. Segundo Caso Nº de términos = impar x7 + 1 = C.N. x+1 50 50

ÁLGEBRA

x6 - 1 = x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1 x+1 Ejemplo: x4 - 24 = x3 - x2(2)+ x(2)2 - 23 x+2 x4 - 24 = x3 - 2x2 + 4x - 8 x+2 2.4. Caso General Ejemplo: Halla el cociente de dividir: x10 + y20 x2 + y4

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

Observación

DAVIS MOODY Observación

(*) En el ejemplo: n = 6 El C.N. tiene 6 términos. (*) Los signos de los términos del C.N. son todos positivos. (*) Los exponentes de x disminuyen de 1 en 1 en el C.N.

x10 + y20 (x2)5 + (y4)5 = x2 + y4 x2 + y4 * Hacemos: x2 = a ; y 4 = b

(*) En el ejemplo: n = 5 El C.N. tiene 5 términos. (*) Los signos de los términos del C.N. son alternados. (*) Los exponentes de x disminuyen de 1 en 1 en el C.N. (*) Los exponentes de 2 aumentan de 1 en 1 en el C.N. Ejemplo: Halla el cociente que resulta de dividir:

* Entonces:

m70 - t42 m10 - t6

a5 + b5 = a4 - a3b + a2b2 - ab3 + a + b b4 * Llevamos a la variable original 2 4

2 3 4

2 2

4 2

(x ) - (x ) y + (x ) (y ) x2(y4)3 + (y4)4 = x8 - x6y4 + x4y8 - x2y12 + y16

Sabemos: 70 42 = = 7 términos 10 6 Entonces: C.N. = m60 + m50t6 + m40t12 +m30t18+m20t24+m10t30+t36 3. TÉRMINO DE LUGAR "K"

Observación Al dividir los exponentes de x, obtenemos la cantidad de términos del C.N. 10 : 2 = 5 También con los exponentes de y. 20 : 4 = 5 Entonces: En general:

Se puede calcular un término cualesquiera como: Tk = SIGNO xn-kyk-1 El signo del término es negativo sólo si k es par y el divisor es de la forma x + y.

# términos =

10 20 = 4 2

; da lugar

Ejemplo: El quinto término de:

xp ± yq xr ± ys

A un C.N.

si cumple: p q = = # términos r s

3ro sec

n n Si x ± y es C.N. x±y

x12 - y12 x-y es n = 12; k = 5 T5 = (+) x12-5y5-1 T5 = (+) x7y4

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51 51

CAMPEONES POR EXCELENCIA EJERCICIOS RESUELTOS

ÁLGEBRA

Aritmética - 1ro Sec.

4. Calcula a + b si el quinto término del desarrollo del siguiente C.N. es x9-a . y12+b

1. Halla el valor de “m” en el C.N. x14 - y35 x2 - y5

xm - y72 x2 - ym Resolución:

Resolución:

Se cumple:

n=7 ; k=5 Tk = signo xn-k yk-1 T5 = + (x2)7-5(y5)5-1 T5 = x4y20 = x9-ay12+b

m 72 = 2 m ⇒

m2 = 144

m = 12

2. Halla el número de términos del C.N.

9 - a = 4 ⇒ 12 + b = 20 ⇒

a=5 b=8

a + b = 13 m

12

x -y x3 - ym Resolución:

5. El grado del término de lugar 11 del desarrollo del C.N. es 3. Calcula m . n xm - 2n x3 - 4

Por ser C.N. se cumple: número de = m = 12 términos 3 m m2 = 36

⇒

m=6

número de = 6 = 2 términos 3 3. Calcula el décimo término en el C.N. x50 - y25 x2 - y

Resolución: m n # términos = = 3 2 k = 11 T11 = (x3)m/3-11(22)11-1 T11 = xm-33 . 220 Dato: m - 33 = 3 m = 36 Entonces: n = 24 m . n = 864

Resolución: n = 25 k = 10 T10 = (x2)25-10 (y)10-1 T10 = x30 y9

52 52

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

1

Desarrolla el C.N. e indica su penúltimo término:

DAVIS MOODY

3

Desarrolla el C.N. e indica su segundo término: x6 + b6 x2 + b2

x8 - b8 x-b Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Desarrolla el C.N. e indica su tercer término:

4

Desarrolla el C.N. e indica su penúltimo término: x12y18 - a24b36 x2y3 - a4b6

x12 - b12 x3 + b3 Resolución:

Rpta:

3ro sec

Resolución:

Rpta:

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53 53

CAMPEONES POR EXCELENCIA 5

Del desarrollo de:

ÁLGEBRA

6 14

x + 128y x2 + 2y

Aritmética - 1ro Sec.

Halla el valor de ‘‘m’’ en el C.N. xm - y72 x2 - ym

7

Resolución:

el tercer término a partir de la derecha será. Resolución:

Rpta:

7.

Rpta:

Si la siguiente división da lugar a un C.N., calcula el octavo término de: x20 - y30 xa - ya+1

8.



10. En el desarrollo del C.N. a que da lugar la división:



xn+1 . nn+1 - 1 xn - 1 si hay 256 términos. Calcula el valor de ‘‘n’’.

11. Halla el valor de ‘‘n’’, sabiendo que el quinto término del desarrollo de la división:

Si la expresión: x3(n+1) - yn+6 xn+1 - yn-2

xn+1 + yn+1 x-y

en C.N. el valor de “n” es:



xn - 1 da lugar a un C.N., cuyos términos xr-2 - 1 tienen grado de homogeneidad 7, halla la suma de los mínimos valores de n y r.

12. Halla el cuarto término partiendo de la derecha en el siguiente C.N.

Su grado absoluto resulta igual a 26.

9.

54 54

Si:

x14 + 128y7 x2 - 2y

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3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

7. Calcula a + b si el quinto término del desarrollo del siguiente C.N. es x9-a . y12+b.

1. Obten el cociente notable x6 - a 6 = x-a _______________________________________

x14 - y35 x2 - y5

_______________________________________

a) 11 b) -13 d) 8

2. Obten el cociente notable 8x3 - 27y3 = 2x - 3y _______________________________________

8. Si la expresión: x2(4m+1) - y5m es C.N. el valor de “m” es: xm-1 + ym-3

_______________________________________

a) 2 b) 4 d) 8

3. Obten el cociente notable x10y15 - a20b30 = x2y3 - a4b6 _______________________________________

c) 13 e) 5

c) 6 e) 7

9. El grado del término de lugar 11 del desarrollo del xm - 2n C.N. 3 es 3. Calcula m . n x -4 a) 864

_______________________________________

b) 810

d) 56

c) 132 e) 156

4. Desarrolla el C.N. e indica su último término: 10. Obten el cociente notable

27x3 - y3 3x - y



a) y2 b) xy c) y3 d) 3xy e) y 5. Encuentra el término de lugar 15 del cociente de la siguiente división: x72 - y54 x4 - y3

a30 - b18 = a5 - b3 _______________________________________

_______________________________________ 11. Obten el cociente notable



x5 + a 5 x+a = ______________________________________

42 12

12 42

a) -x y b) x y d) x38y12

42 12

c) x y e) x12y38

6. Halla el número de términos del C.N. xp - y507 x3 - yp a) 5 b) 9 d) 13

3ro sec

_______________________________________ 12. Desarrolla el cociente notable y halla el antepenúltimo término. x8 - b8 x-b

c) 39 e) 15

a) x3b2 b) xb6 4 d) x b

c) x2b5 e) x3b3

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55 55

CAMPEONES POR EXCELENCIA

10

Aritmética - 1ro Sec.

Factorización I

1. INTRODUCCIÓN Al expresar 24 = 3 x 8 se ha factorizado 24 en producto de enteros; siendo 3 y 8 factores enteros de 24. A su vez 24 = 3 x 23 ; 3 y 2 son también factores de 24 y se llaman factores primos. Al expresar un polinomio como el producto de otros polinomios pertenecientes a un conjunto dado, se ha efectuado una factorización de polinomios. No todos los polinomios se pueden factorizar. De acuerdo a las características que presentan los polinomios se puede aplicar tal o cual método, por ejemplo: ax2y2 + bxy3z + cx3my4 → Factor común Ax2n + Bxnym + Cy2m → Aspa simple Ax2n + Bxnym + Cy2m +Dxn+ Eym + F → Aspa doble Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + Ey → Aspa doble especial Ax3 + Bx2 + Cx + D → Divisores binómicos Entre otros casos particulares. Comienza factorizando cada uno de los polinomios: * x2y2 + xy3 + x2y * 24x2y2 + 16xy3z + 32x3my4 - 64zx3y5 * 9ab + 12bd - 45ac - 60cd * 121m2 - 169n2 * 256p8 - q8 * 4x2 - 20xy + 9y2 * 6a2 - 7ab - 5b2 * 3x2 - 10xy + 3y2 * x4 - 22x2 - 75 para saber cómo estamos comenzando en este maravilloso tema que es la factorización. 56 56

ÁLGEBRA

2. DEFINICIÓN Es un proceso mediante el cual, un polinomio se expresa como la multiplicación indicada de factores primos. Para llevar a cabo este proceso se usarán diversos criterios como: - El factor común - Agrupación de términos - Identidades - Aspas - Evaluación 3. FACTOR PRIMO Es aquel que no se puede factorizar más; es decir, son aquellos polinomios de grado positivo que no se pueden expresar como una multiplicación de factores de grado positivo. Así por ejemplo: * F(x) = x2 - 4 no es primo, porque se puede expresar como (x - 2) (x + 2) * F(x) = x - 2 sí es primo, porque no se puede factorizar. * G(x) = 3x - 6 sí es primo, porque al obtener 3(x - 2), 3 es de grado cero. Se dice que la factorización se realiza en Z cuando los factores primos obtenidos presentan únicamente coeficientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización sólo se realizará en Z. Ejemplos: 1. Factoriza: F(x) = x2 - 25 Reconociendo una diferencia de cuadrados obtenemos: F(x) = (x - 5) (x + 5)

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

2. Factoriza: G(x) = x2 - 3 Diremos: “no se puede factorizar, es primo”; en cambio si el enunciado fuera: Factoriza en R, entonces: G(x) = (x - 3) (x + 3)

Nótese que la variable no está bajo el signo radical; ambos factores son de primer grado y esto es correcto.

Observación 1. Todo polinomio de primer grado es primo, por ejemplo: 4x - 3 ; x + y + 1 2. Para reconocer si un polinomio es primo en Z, no es suficiente con agotar los recursos necesarios; a veces se encuentra en un artificio de “sumas y restas”. Por ejemplo: F(x) = x4 + 4 donde aparentemente no se puede factorizar; cambia si “sumamos y restamos 4x2”. Así:

F(x) = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - (2x)2



diferencia de cuadrados



T.C.P.

= (x2 + 2 + 2x) (x2 + 2 - 2x)

4. CRITERIOS DIVERSOS 4.1. Factor Común

La primera máquina de calcular mecánica, un precursor del ordenador digital, fue inventada en 1942 por el matemático francés Blaise Pascal. Aquel dispositivo utilizaba una serie de ruedas de diez dientes en las que cada uno de los dientes representaba un dígito del 0 al 9. Las ruedas estaban conectadas de tal manera que podían sumarse números, haciéndolas avanzar el número de dientes correcto. En 1670 el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz perfeccionó esta máquina e inventó una que también podía multiplicar. El inventor francés Joseph Marie Jacquard, al diseñar un telar automático, utilizó delgadas placas de madera perforadas para controlar el tejido utilizado en los diseños complejos. Durante la década de 1880 el estadounidense Herman Hollerith concibió la idea de utilizar tarjetas perforadas, similares a las placas de Jacquard, para procesar datos. Hollerith consiguió compilar la información estadística destinada al censo de población de 1890 de Estados Unidos mediante la utilización de un sistema que hacía pasar tarjetas perforadas sobre contactos eléctricos.

Se denomina así al factor repetido en varios términos; para lo cual se eligen las bases comunes afectadas al menor exponente. Así: 4x3y4 - 5x2y5 + 7x4y7 Se observa (x2y4) como factor común. Luego factorizando tenemos: x2y4(4x - 5y + 7x2y3) 4.2. Identidades Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como: A. Diferencia de Cuadrados A2 - B2 = (A + B) (A - B) Así, al factorizar: 9x2 - 16 reconocemos: (3x)2 - (4)2; luego: 9x2-16 = (3x-4) (3x+4)

3ro sec

B. Diferencia de Cubos A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2) Así, al factorizar: 27n3 - 8 reconocemos: (3n)3 - (2)3 luego: 27n3 - 8 = (3n - 2) (9n2 + 6n + 4)

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57 57

CAMPEONES POR EXCELENCIA C. Suma de Cubos A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2) Así, al factorizar: 8n6 + 1 reconocemos: (2n2)3 + (1)3 luego: 8n6 + 1 = (2n2 + 1) (4n4 - 2n2 + 1) D. Trinomio cuadrado perfecto A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (B - A)2 = (A - B)2

ÁLGEBRA

Aritmética - 1ro Sec.

2. Factoriza: (x - y)a + (x - y)b Resolución: * Sacando el término que se repite: (x - y) (a + b)  Factores: * x - y * a+b 3. Factoriza: ax + bx + x2 + ab Resolución:

Así, al factorizar: 9x4 + 6x2 + 1 Nótese: (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2 Luego: 9x4 + 6x2 + 1 = (3x2 + 1)2

* Agrupando: a(x + b) + x(b + x) * Extrayendo lo que se repite:

Factorizar: 25y4 - 20y2 + 4 Nótese: (5y2)2 - 2(5y2)(2) + (2)2 Luego: 25y4 - 20y2 + 4 = (5y2 - 2)2

 Factores: * x + b * a+x

4.3. Agrupación

(x + b) (a + x)

4. Factoriza: x2 - 36 Resolución:

Consiste en seleccionar convenientemente los términos, de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.

* Utilizando la diferencia de cuadrados:

Así, al factorizar: a10 - a2b8 + a8b2 - b10

 Factores: * x + 6 * x-6

Nos percatamos que no hay factor repetido en todos los términos; pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: a2(a8 - b8) + b2(a8 - b8) Factor repetido: a8 - b8 Luego: (a8 - b8) (a2 + b2) Continuamos: (a4 + b4) (a2 + b2) (a + b) (a - b) (a2 + b2) Se usó repetidas veces “diferencias de cuadrados”. (a4 + b4) (a2 + b2)2 (a + b) (a - b)

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Factoriza: a3 + a2 + a Resolución: * Sacando el término que se repite: a(a2 + a + 1)  Factores: * a * a2 + a + 1 58 58

x2 - 62 = (x + 6) (x - 6)

Paolo Ruffini Matemático y médico, nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano y murió en Módena el 9 de mayo de 1822. Estudió medicina (además de filosofía y literatura) y cuando acabó la carrera se dedicó a estudiar matemáticas. Sus estudios de matemática le valieron pronto para tener muy buena reputación en el campo matemático y en 1787 accedió al puesto de profesor en la Universidad de Módena (ocupando la plaza vacante de su profesor Cassiani), donde había estudiado. Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los años, dentro del mundo matemático, como el descubridor de la regla de Ruffini, que hace que se permita encontrar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio (x - a).

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

1

Señala el número de factores primos de cada

DAVIS MOODY

3

factorización:

Después de factorizar x4 - 1, señala el número de factores primos.

a) P(x) = (x - 3) (x - 2) (x - 1) (x - 5) 2

Resolución:

3

b) Q(x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) c) M(x) = x(x + 1) (x - 2)5

(x - 7)9 (x - 1)

d) F(x) = 2x3 (x + 1) (x2 - 1)4 Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

Responde de acuerdo a la pregunta: 4 4

4

¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar

4 4

Al factorizar ac x y - ab c y, ¿cuántos factores a4m + a4n - b4m - b4n?

primos se obtiene? Resolución:

Rpta:

3ro sec

Resolución:

Rpta:

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59 59

CAMPEONES POR EXCELENCIA 5

Factoriza: (4x + 3y)2 - (x - y)2 e indica un factor

ÁLGEBRA

6

Factoriza: a2 (b - c) + b2 (c - a) + c2 (a - b)

primo.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

7.

8.

9.

60 60

Aritmética - 1ro Sec.

Rpta:

Si P(x) = (x - 1)2 (x2 - 2) (x2 + x + 1)3, indica el número de factores primos.

Señala un factor primo de:

10. Factoriza y da un factor primo de: ax + bx + a2 + 2ab + b2

11. Halla el número de factores primos de:

ax + ay + bx + by

Halla un factor primo de: P(x, y) = x2 (x + y) + y2 (x + y)

a2x2 + b2y2 - b2x2 - a2y2

12. Dado el siguiente polinomio:

F = (x + y)z3 + x + y, halla un factor primo.

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3ro sec

CIENCIAS

1. Factoriza los siguientes polinomios: a) mx + nx b) ay + by c) cm - dm d) x2a + x2b e) m3y + m3t f) a3x - a2y g) a2x + ay h) a3 + a2 + a i) a2b + b j) x2y - y - zy

a) x + y b) x + b d) x + a

c) y + b e) x - a

7. Factoriza: x3y2 + y3z2 - x3z2 - y5, y señala un factor primo.

3. Factoriza: a) ax + bx + x2 + ab b) m2 - mn - mp + np c) ax + bx + cx + ay + by + cy d) x2y2 + x3y3 + x5 + y5 e) x7 - x4y4 - x3y3 + y7

3ro sec

c) 3 e) 2

6. Después de factorizar: a2x2 + b2y2 - b2x2 - a2y2 indica un factor primo.

a) (x - y)a + (x - y)b b) (a + b)m2 + (a + b)n c) (x + y)a3 + (x + y)b2 d) (a + 2b)x4 + (2b + a)y3 e) (m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y f) (a + b + c)x + (a + b + c)y g) (m3 + n4)a4 - (m3 + n4)b3 h) (x + y)3 - (x + y)4z i) (m2 + n) (x - y) - (m2 + n) (2x + 5y) j) (x4 - a)3y2 - (x4 - a) (y - 1)

a) 1 - x2 b) 16 - y2 c) a4 - y2 d) 4x2 - b2 e) -a2 + b2 f) 25x2 - 9y2 g) (x + 3)2 - 16 h) (2a + 1)2 - 25

5. Halla el número de factores primos de: ax2 + bx2 - ay2 - by2. a) 1 b) 5 d) 4

2. Factoriza los siguientes polinomios:

4. Factoriza:

DAVIS MOODY

a) x + y d) x2 - xz + y2

b) y + z

c) y + 1 e) x2 - xy + y2

8. Dado el siguiente polinomio: P(x) = (x + 3) (x - 2) (x2 + 1), ¿cuántos factores primos tiene? a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

9. Factoriza: P(x, y) = x3 (x+y) + 5xy (x+y), y da un factor primo. a) x - y b) x2 - 5y d) x + y

c) 2x + y e) x + 5y

10. Factoriza: R(x) = x3 + x2 - x - 1, y halla un factor primo. a) x + 1 b) x2 + 1 d) x2 - 1

c) 2x - 1 e) x2 +x+1

11. Da un factor primo de: x5y4 - x3y6 a) 2x - y b) x + y d) x2 + y2

c) x - y e) 2x + y

12. Halla un factor primo de: 2x3 + 2x2 - 2x - 2 a) x + 1 b) x2 + 2 d) x + 2

c) x2 - 1 e) x - 3

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61 61

CAMPEONES POR EXCELENCIA

11

ÁLGEBRA

Factorización II

ASPA SIMPLE

Ejemplo:

Se utiliza para factorizar particularmente polinomios de la forma: ax2n + bxn + c; o que se amolden a dicha forma.

x3 - x2 - 4; si evaluamos en x = 2, tenemos: 1

1. Descomponer los extremos. 2. Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central. Así, al factorizar: x2 - 7x + 12 Descomponemos: x2 - 7x + 12 x  -3 x -4 Verificando: -3x - 4x = -7x Luego, los factores se forman horizontalmente: (x - 3) (x - 4)

1 1 2 0 Luego, x3 - x2 - 4, se puede expresar como (x - 2) (x2 + x + 2). Nótese que está factorizado. Importante es saber en qué valores podemos usar el esquema; entonces veamos: 1. Si el primer coeficiente es la unidad (polinomio mónico), se trabaja con los divisores del término independiente.

1 3 -1 -6 -2 -2

x = -2

Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3. Proceso: Consiste en evaluar usando el esquema de Ruffini, así dado un polinomio F(x):

1 1 -3

x=a 0 → Cociente

Luego: F(x) = (x - a)q(x) Al valor “a” se le denomina cero del polinomio.

6 0→

división exacta

Luego: (x + 2) (x2 + x - 3)

2. Si no es mónico el polinomio, usaremos opcionalmente: ±

Coeficientes del polinomio F(x)

Cociente

Así, al factorizar: x3 + 3x2 - x - 6; notamos que es mónico, luego planteamos: ± (1; 2; 3; 6).

Probando:

CRITERIO DE EVALUACIÓN

62 62

-1 0 -4

x = 2 2 2 4

Proceso:



Aritmética - 1ro Sec.



divisores del término independiente divisores del coeficiente principal

Así, al factorizar: 2x3 + x2 + x - 1 Luego planteamos:

( 1;12 (

±

Al usar el esquema, una vez agotados los valores enteros: (1; -1) no

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

generan una división exacta, entonces probamos: 2 1 1 -1 x=1/2 1 1 1 2 2 2 0

3. Factoriza: P(x, y) = 16x2 + 13xy + 6y2 + 7x + 8y + 2 Resolución:

¡Importante! ← división exacta

* Aplicando aspas simples: 6x2 + 13xy + 6y2 + 7x + 8y + 2 3x 2x

Finalmente: (x - 1/2) (2x2 + 2x + 2)

2y 3y

4x + 3x 7x

[(2x - 1)/2] 2(x2 + x + 1) (2x - 1) (x2 + x + 1)

9xy + 4xy 13xy

2 1 6y + 2y 8y

(3x + 2y + 2) (2x + 3y + 1)

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Factoriza utilizando el criterio del aspa simple. P(x) = x2 + 7x + 12

4. Factoriza: P(x) = x3 - 7x + 6 * Posibles ceros: ± {1; 2; 3; 6} Resolución: * Probando: 1 0 -7

6

x = 1 1 1 -6 1 1 -6 0

Resolución:

DAVIS MOODY

* Factor: (x - 1)

x2 + 7x + 12 x

4 ⇒ 4x

x

3 ⇒ 3x 7x

* La suma nos da el término central (7x). P(x) = (x + 4) (x + 3)

P(x) = (x - 1) (x2 + x - 6) x 3 x -2 P(x) = (x - 1) (x + 3) (x - 2)

 Factores: * x + 4 * x+3 2. Factoriza: P(x) = x2 + 4x - 21, utilizando el criterio de aspa simple. Resolución: x2 + 4x - 21



x

7 ⇒ 7x

x

-3 ⇒ -3x +4x término central

* P(x) = (x + 7) (x - 3)  Factores: * x + 7 * x-3

3ro sec

La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar, en 1675, los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

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63 63

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1

Al factorizar: 72 + y2 - 17y, la suma de los tér-

ÁLGEBRA

3

Aritmética - 1ro Sec.

Señala un factor de:

minos independientes de los factores primos es: F(x; y) = 10x2 + 23xy + 12y2 + 26x + 25y + 12 Resolución: Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

¿Cuántos factores primos de segundo grado se

4

Factoriza:

obtiene al factorizar P(x)? P(x; y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18 P(x) = 25x6 - 10x4 + x2 Resolución:

Rpta: 64 64

e indica la suma de sus factores primos. Resolución:

Rpta:

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

5

¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al

DAVIS MOODY 6

factorizar

Al factorizar x4 + 2x3 - x - 12, la suma de los términos independientes de sus factores primos

4

2

4x y + 4y - 17x y?

resulta:

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. Factoriza y da un factor primo:

10. Halla el término que divide exactamente a “M”: M = (2x - 1)a4 - (2x - 1)b4

B(x) = 20x4 + 31x2 - 9

8. Factoriza: P(x) = 15x2 - 22xy + 24x + 8y2 - 16y



11. Halla el número de factores primos de: x4 + 5x2 + 4.

y da el término independiente de un factor.

9. Halla el número de factores primos de: 3

2

x (x + 10) + 3x (x + 10) + 3x(x + 10) + x +10

3ro sec

12. Factoriza:

(ax - 5b)2 - (bx - 5a)2 y da un factor primo.

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65 65

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1. Factoriza por aspa simple:

a) 1 b) -1 d) -3

a) 4 b) 5 d) 7

a) 3 b) 5 d) 9

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

10. Factoriza por aspa doble especial los siguientes polinomios: * 2x4 + x3 - 16x2 + 8x - 1 * 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6 * 6x4 - 31x3 + 25x2 - 13x + 6 * x4 + 2x3 + 5x + 12

3. ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar? P(a; b) = 2a3b - 5a2b - 3ab c) 3 e) 0

4. Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de P(y) = 4y2 + y4 - 5. c) 7 e) 2

5. ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtienen al factorizar 9m6 + 26m4 - 3m2?

66 66

c) 7 e) 11

9. ¿Cuántos factores primos de tercer grado se obtiene al factorizar 2a6b3 - 13a3b3 - 24b3?

* x + 2xy + y + 3x + 3y + 2 * a2 + ab - 2b2 + 11bc - 2ac - 15c2 * 7bc + 2a2 - 3ab - 3c2 - 2b2 - ac * x2 + 7xy - 4xz + 10y2 - 11yz + 3z2 * m2 - 2n2 + 6p2 - mn + 5mp - np * 2x2 + 4xy - 11x - 6y2 + 7y + 5 * 12x2 - xy + 11x - 6y2 + 13y - 5 * 2m2 - 5mn + 2n2 - 3n - 2 * 2x2 + 3xy + xz - 2y2 - 3yz - z2 * 6a2 - ab - b2 + 5b - 6

a) 1 b) 2 d) 4

c) 6 e) 9

8. Luego de factorizar: 6x2 - 7xy + 2y2 + 12x - 7y + 6, la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es:

2

a) 5 b) 6 d) 3

c) 3 e) 5

7. Al factorizar: 12x2 + 20xy + 8y2 - 12x - 10y + 3, la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es:

2. Factoriza por aspa doble:

a) 1 b) 2 d) 4

Aritmética - 1ro Sec.

6. Factoriza: 12x2 + 7xy - 12y2 + 2x + 11y - 2 e indica la suma de los términos independientes de sus factores primos.

* x2 + 7x + 12 * x2 - 9x + 8 * x2 - 14x - 32 * x2 + 4x - 21 * 21 + m2 - 10m * y2 - 27 - 6y * n4 + n2 - 6 * p6 - 6p3 + 5 * z10 - z5 - 20 * 6x2 - 7x + 2 * 14a2 + 29a - 15 * 3x7 + 10x14 - 1 * 3a2 + 5ab - 2b2 * 15x4 + x2y - 6y2 * 11x2y + 10x4 - 6y2 * 21m8 - 17m4n + 2n2 * 54a7b2 + 7a14 - 16b4 * 6x2y4 + 7xy2z - 5z2 * 15x2a + 9xa - 108 * 40x2a+2 - xa+1 - 15

2

ÁLGEBRA

c) 3 e) 0

11. Factoriza: P(x, y) = 6x2 + 19xy + 15y2 - 17y - 11x + 4 y señala un factor. a) 2x + y + 1 b) 3x + 5y + 4 c) 2x + 3y - 1 d) 2x + y - 1 e) 5x + 3y - 4 12. Factoriza: M(a) = a3 - a + 6 e indica el factor lineal que se obtiene. a) a + 2 b) a - 1 c) a - 3 d) a2 + 4a + 3 e) a2 + 2a + 3

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

12

DAVIS MOODY

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) De dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados. Para hallar el MCD de varios polinomios se procede de la forma siguiente: a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos. b) El MCD es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

2. Halla el MCD y MCM de los polinomios:

A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x-2)2 (x+7)6 B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x-2)4 (x+5)8 C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x-2)3 (x+3)3 Resolución: Como ya están factorizados el: MCD(A, B, C) = (x2 + 1)2(x - 2)2 MCM(A, B, C) = (x2 + 1)6 (x - 2)4 (x + 3)4 (x + 7)6 (x + 5)8 Propiedad: Sólo para dos polinomios A(x) y B(x) se cumple: MCD(A, B) MCM(A, B) = A(x) . B(x)

3. Halla el MCM de: A = 6x6y2 y B = 8x4y7.

Ejemplo: El MCD de: 2332(x - y)3 (x + 2y)2 ; 2233(x - y)2 (x + 2y)3 ; 32(x - y)2 (x + 2y) es: 32(x - y)2 (x + 2y) Dos o más polinomios son primos entre sí, si su MCD es la unidad ±1. EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) De dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados. Para hallar el MCM de varios polinomios se procede de la forma siguiente: a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos. b) El MCM es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. El MCM de: 2332(x - y)3 (x + 2y)2 ; 2233(x - y)2 (x + 2y)3 ; 32(x - y)2 (x + 2y) es: 3233(x - y)3 (x + 2y)3

3ro sec

Resolución: MCM(6, 8) = 24 MCM(A, B) = 24x6y7 4. Sea A = x2 - x - 6 y B = x2 - 4x + 3, halla: MCM(A, B) MCD(A, B) Resolución: A = (x - 3) (x + 2) B = (x - 3) (x - 1) \ MCM(A, B) = (x - 3)(x + 2)(x - 1) MCD(A, B) = (x - 3) \

MCM(A,B) (x-3)(x+2)(x-1) = MCD(A,B) x-3 = (x + 2) (x - 1)

5. Halla el MCD de A = x2 - 5x - 6, B = x2 - 36 y C=x3 -216. Resolución: A = (x - 6) (x + 1) B = (x + 6) (x - 6) C = (x - 6) (x2 + 6x + 36) \ MCD = x - 6

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67 67

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1

Halla el MCM de:

ÁLGEBRA

3

R(a, b, c) = 8a2c6

Halla el MCD de Q y R, y da como respuesta su término independiente.

S(a, b, c) = 6a5b7c4

Q(x) = x2 - 5x + 6 R(x) = x2 - 4x + 3

4 2 3

T(a, b, c) = 2a b c Resolución:

Rpta:

2

Aritmética - 1ro Sec.

Resolución:

Rpta:

Halla el MCD de: A(x, y, z) = 60x9y8z3 B(x, y, z) = 40x10y7z2 C(x, y, z) = 30x8y9z5

4

Halla el MCM de: D(x) = x2 - 4x + 4 E(x) = x2 + 4x + 4 Resolución:

Resolución:

Rpta: 68 68

Rpta:

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

5

DAVIS MOODY 6

Halla el MCD de: M(x) = x2 - 1 N(x) = x2 + 2x + 1

Determina el MCM de los polinomios: A(x) = x2 - 15x + 36 B(x) = x2 - 9

Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. Halla la suma de los coeficientes del MCD de los polinomios:

P(x) = x2 + 7x + 12 Q(x) = x2 + 5x + 4

8. Halla el MCD de:

P = 6x2 - x - 1 Q = 2x2 - 9x + 4 e indica la suma de coeficientes.

9. Halla la suma de coeficientes del MCM de: 9x2 + 13x + 4 18x2 - x - 4

3ro sec

10. Halla el MCD de los polinomios:

P(x) = 9x2 + 7x - 2 Q(x) = 9x2 + 25x - 6 y da como respuesta la suma de los coeficientes.

11.

Si: A(x, y) = 12xn-1ym+1 B(x, y) = 16xn+1ym-1 cumplen MCM = axay4, MCD = bx6yb, calcula:



R=

b+b-n a+a-m

12. Halla la suma de los términos del MCD de los polinomios:

P(x, y) = x3 - xy2 + x2y - y3 Q(x, y) = x3 - xy2 - x2y + y3 R(x, y) = x4 - 2x2y2 + y4

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69 69

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1. Halla el MCD de: A(x, y, z) = 2x4y2z3 B(x, y, z) = 8x2z6 C(x, y, z) = 6x5y7z4

c) x2y3z2 e) 2x2z3

2. Halla el MCM de: P(m, n) = 6mn2 Q(m, n) = 9m2n3 R(m, n) = 12m3n

4 2

a) 12x y z b) 12x y z d) 12x4y3z2

c) 36mn e) 36m3n3

c) x - 3 e) x + 3

P(x) = x2 - 3x - 70 Q(x) = x2 - 5x - 50 a) x + 2 b) x2 d) x - 10

c) x + 3 e) x + 5

9. Determina el número de factores del MCM de los polinomios: 2 2

c) x y z e) 6x3y4z2



P(x) = x2 - 3x - 10 Q(x) = x2 - 4 a) 1 b) 2 d) 4

4. Halla el MCM de: T(a) = a2 + a - 30 V(a) = a2 + 3a - 18

c) 3 e) 5

10. Calcula el MCM de los polinomios:

a) (a + 6)(a - 5)(a - 3) b) (a + 6)(a + 5)(a + 3) c) (a + 5)(a + 3)(a - 6) d) (a - 6)(a + 5)(a - 3) e) (a - 6)(a - 5)(a - 3) 5. Halla el MCD de: P = x2 - 2x - 15 Q = x2 - 25

A(x) = x2 + 4x - 5 B(x) = x2 - 25 a) x + 1 b) x + 5 d) x - 5

c) x - 3 e) x - 4

11. Si:

a) (x + 5)(x - 5) b) (x + 5)(x - 5)(x + 3) c) x - 3 d) x - 5 e) (x - 5)(x + 3) 6. Halla el MCM de: G(x) = 5x + 10 H(x) = 10x2 - 40

70 70

a) x + 1 b) x - 2 d) x + 2



Halla el MCM de: A = 3x2z B = 4x3y3z2 C = 6x4

a) 5(x - 2)(x + 2) c) (x + 2)(x - 2) d) 2(x - 2)(x + 2)

A = 2x + 6 B = x2 - 9

8. Halla el MCD de los polinomios:

a) 12m3n3 b) 36m2n2 3 3 d) 6m n

4 3

Aritmética - 1ro Sec.

7. Halla el MCD de:

a) 2xyz b) xy2z 2 3 d) x z

3.

ÁLGEBRA



A = x2 - 7x + 6 B = x2 - 5x + 4 , ¿cuál es su MCD? a) x + 1 b) x + 2 d) x - 1

c) x + 4 e) x - 6

12. Halla el MCD de los polinomios:

b) 10(x - 2)(x + 2) e) 10(x - 2)2



P(x) = 3x2 - 4x - 4 Q(x) = 6x2 + 7x + 2 a) 2x + 3 b) x + 1 d) 2x + 1

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

c) 3x + 2 e) x + 4

3ro sec