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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA Y ENERGÍA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERÍA DE ENERGIA

CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL Tema: VOLUMENES FINITOS Docente: COLLANTE HUANTO ANDRES Alumnos:     

Dueñas Salinas, Alonso Jesús Gamboa López, Waldir Jordan Medina Mauricio, Clinton Kennedy Quispe Layme Huber, Abraham Enríquez Ticlavilca, David

CALLAO - PERÚ 2019

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CONTENIDO

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4.EL COEFICIENTE DE CONDUCCION EN LA FRONTERA 5.SOLUCI´ON DE LAS ECUACIONES 6.LINEALIZACI´ON DEL TERMINO FUENTE 7.CONDICIONES DE BORDE 8. EL CASO IMPERMANENTE 9- EXTENSION A 2 Y 3 DIMENSIONES 10. LA SOLUCION DE ECUACIONES DISCRETIZADAS 11. SOBRE- Y BAJO-RELAJACION

INTRODUCCION 1. VOLUMENES FINITOS 1.1. ASPECTOS GENERALES 1.2. ¿POR QUÉ FVM Y NO FEM PARA CFD?

12. ADVECCION-DIFUSION 12.1. EL ESQUEMA LINEAL 12.2. EL ESQUEMA UPWIND 12.3. LA SOLUCION EXACTA 12.4. EL ESQUEMA EXPONENCIAL 12.5. EL ESQUEMA HIBRIDO 12.6. EL ESQUEMA DE LEY DE POTENCIA

2.EJEMPLO ILUSTRATIVO

13. ADVECCION-DIFUSION IMPERMANENTE EN 2 Y 3 DIMENSIONES

2.1. FORMA DISCRETA DE LAS ECUACIONES DE

14. CALCULO DE CAMPO DE FLUJO 14.1. LA MALLA ALTERNADA O STAGGERED 14.2. CORRECCION DE LA PRESION Y LAS VELOCIDADES 14.3. EL ALGORITMO SIMPLE 14.4. CONDICIONES DE BORDE 14.5. EL ALGORITMO SIMPLER

CONSERVACI´ON ESCALAR 2.2. SEGMENTOS 3.LAS CUATRO REGLAS BASICAS 3.1. CONSISTENCIA EN LOS FLUJOS ATRAVES DE

15. CONCLUSIONES

LOS VOLUMENES DE CONTROL 3.2. COFICIENTES POSITIVOS 3.3. LINEALIZACION DEL TERMINO FUENTE CON

16. BIBLIOGRAFÍA

PENDIENTE NEGATIVA 3.4. SUMA DE LOS COEFICIENTES VECINOS

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INTRODUCCION El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy complejas utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito básico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolución temporal del problema sean conocidas de antemano. El método de los volúmenes de control finitos permite discretizar y resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. Es un método alternativo a los de diferencias finitas y elementos finitos. Consideremos una malla de discretizacion del espacio fluido. En torno a cada punto de esta malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los volúmenes de control considerados. La ecuación diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual entrega como resultado una versión discretizada de dicha ecuación. Para realizar la integración se requiere especificar perfiles de variación de la variable dependiente entre los puntos de la malla, de modo de poder evaluar las integrales resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es que la solución obtenida satisface en forma exacta las ecuaciones de conservación consideradas, independientemente del tamaño de la malla.

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VOLUMENES FINITOS Soluciones analíticas de las ecuaciones de Navier-Stokes se han desarrollado sólo para flujos en geometrías simples y bajo condiciones ideales, debido a lo anterior la utilización de métodos numéricos para resolver flujos reales en geometrías complejas se ha hecho imprescindible. El método de volúmenes finitos (Finite Volume Method – FVM en su sigla en inglés) fue introducido en la década de 1970 por McDonald, MacCormack, y Paullay e históricamente ha sido método preferido por los científicos e ingenieros que trabajan con la mecánica de fluidos. Si bien en la última década el método de elementos finitos (FEM) ha tenido importantes avances para poder resolver con éxito los desafíos de la mecánica de fluidos, todavía para problemas complejos relacionados a flujos multifásicos, reactivos, o fuertemente turbulentos, el método de volúmenes finitos es en la práctica la única solución. ASPECTOS GENERALES Una importante propiedad de FVM es que los principios de conservación (masa, momentum y energía), los cuales son la base de la modelación matemática para la mecánica del continuo, por definición, son respetadas por las ecuaciones discretas deducidas por el método de volúmenes finitos. El método no se limita sólo a problemas de mecánica de fluidos, y de forma general envuelve los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4.

Descomponer el dominio en volúmenes de control; Formular las ecuaciones integrales de conservación para cada volumen de control; Aproximar numéricamente las integrales; Aproximar los valores de las variables en las caras y las derivadas con la información de las variables nodales; 5. Ensamblar y resolver el sistema algebraico obtenido.

Figura 1: Mallas superficial coloreada por la razón de aspecto de la celda. Tomada de https://blog.pointwise.com

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El punto de partida del método de volúmenes finitos es la descomposición del dominio en pequeños volúmenes de control (VCs) donde las variables son almacenadas en los nodos. Usualmente, los volúmenes de control y los nodos son definidos con una grilla numérica, la malla (Fig. 1). Los nodos, donde se guardan las variables a resolver, se ubican en los vértices de esta malla o en los centros de los volúmenes (Fig. 2), y es la referencia con la que se cuenta para aproximar la solución en el resto del dominio. Después de haber definido los VCs, las ecuaciones de conservación son descritas en su forma integral para cada volumen. En este proceso el teorema de la divergencia de Gauss es usado para convertir integrales de volumen sobre operadores de divergencia y gradiente a integrales de superficie. Por ejemplo, la ecuación de transporte general:

Donde, ϕ es la variable transportada a través de un medio de densidad ρ y constante de difusión Γ que se mueve a una velocidad V con un término fuente Sϕ. Para la obtención final del sistema algebraico de ecuaciones las integrales son aproximadas, las volumétricas haciendo un cálculo simple basado en las variables nodales, las superficiales aproximándolas por los balances a través de las caras de los VCs. En dicho proceso aproximaciones de las variables en las caras y de los gradientes son hechas en función de las variables nodales:

Finalmente, el sistema de ecuaciones es resuelto a través de métodos segregados o acoplados. Un aspecto fundamental en los algoritmos de solución es el proceso de inversión de matrices donde diversas técnicas han sido desarrolladas para aumentar la eficiencia del uso de los recursos computacionales y la velocidad de la obtención de la solución.

Figura 2: Nodos en los vértices de los VCs (izquierda) y nodos en los centros de los VCs (derecha) para una grilla cuadrilátera.

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¿POR QUÉ FVM Y NO FEM PARA CFD? Esta pregunta ha sido amplia y “apasionadamente” discutida, y en realidad no es una pregunta fácil de responder debido a que abarca varias dimensiones, desde aspectos puramente matemáticos y/o numéricos, pasando por aspectos de programación, hasta aspectos prácticos relacionados con los softwares comerciales. Sin embargo, es posible encontrar un consenso relativo en algunos puntos. Por ejemplo, es innegable que en la última década ha habido avances significativos en la implementación de códigos que utilizan FEM para la resolución de problemas CFD, y que han estado superando de a poco viejos paradigmas sobre la simulación de flujos turbulentos, donde la inclusión de elementos de 7 u 8 grados de libertad hacía tremendamente inestable e inviables las simulaciones FEM. Ahora bien, lo anterior no significa que a la fecha desde el punto de vista práctico y masificación de uso estén a la par de FVM, de hecho no, todavía queda un gran tramo que recorrer para ser utilizado con confianza por investigadores y en problemas industriales, donde los flujos son en general multifásicos y/o reactivos además de turbulentos. Se debe mencionar que los softwares comerciales de mayor prestigio y uso, entre los cuales está ANSYS Fluent, utilizan métodos numéricos basados en FVM por lo que existe una experiencia acumulada en el “detalle” de la implementación de FVM en problemas de mecánica de fluidos (ondas de choque, combustión, superficie libe, entre otros) muy superior a FEM. Finalmente quizás no sea uno u otro método mejor en absoluto, quizás es posible obtener soluciones más precisas, estables y rápidas combinando los dos… bueno en realidad eso no es nuevo ANSYS CFX y ANSYS Fluent ya lo hacen!

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15. Conclusiones Con la presente monografía hemos podido aprender más sobre el método de volúmenes finitos para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy complejas que son utilizadas en diferentes problemas de ingeniería y física así como la utilidad que tiene dicho método en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales además de la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos teniendo bien en cuenta el requisito básico es conocer de antemano las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evaluación temporal. Con este método hemos podido encontrar una manera más eficiente de hacer la resolución de problemas que en teoría son matemáticamente muy complejos y dando así un aporte a los métodos numéricos

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16. Bibliografía       

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