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Producto Vectorial Universidad T´ecnica Particula de Loja N. Parra October 10, 2020 Abstract Geom´etricamente, el producto vectorial es u ´til como m´etodo de construcci´on de un vector perpendicular al plano y a los vectores que pertenecen al mismo plano, si se tiene dos vectores en ese plano. F´ısicamente, aparece en el c´alculo de par de fuerza y en el c´ alculo de la fuerza magn´etica de una carga en movimiento.

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Introducci´ on

El ejercicio propuesto se trata de vectores en diferentes planos, la aplicaci´on siguiente se trata de trabajar con el volumen de un tetraedro.

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Desarrollo

Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas −−−−→ −−−−→ −−−−→ A + B, B + C y C + A es el doble del volumen del tetrae→ − → − → − dro de aristas A , B y C . −−−−→ A + B = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) −−−−→ B + C = (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 ) −−−−→ C + A = (c1 + a1 , c2 + a2 , c3 + a3 ) → − − −−−−→ −−−−→ −−−−→ − |A + B · B + C · C + A| |(→ a · b ·→ c )| = V = 6 3 VOLUMEN DEL TETRAEDRO a1 + b 1 a2 + b 2 a3 + b 3 V = b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3 c 1 + a1 c 2 + a2 c 3 + a3

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Figure 1: Tetraedro es un cuerpo geom´etrico de base triangular formado por 6 aristas cuyo volumen es igual al producto mixto de tres de sus vectores

V= (a1 + b1 )(b2 + c2 )(c3 + a3 ) + (a2 + b2 )(b3 + c3 )(c1 + a1 ) + (a3 + b3 )(b1 + c1 )(c2 + a2 ) − [(a3 + b3 )(b2 + c2 )(c1 + a1 ) + (a2 + b2 )(b1 + c1 )(c3 + a3 ) + (a1 + b1 )(c2 + a2 )(b3 + c3 )]

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continua...

=(a1 b2 + a1 c2 + b1 b2 + b1 c2 )(c3 + a3 ) + (a2 b3 + a2 c3 + b2 b3 + b2 c3 )(c1 + a1 ) + (a3 b1 + a3 c1 + b3 b1 + b3 c1 )(c2 + a2 ) − [(a3 b2 + a3 c2 +b2 b3 +b3 c2 )(c1 +a1 )+(a2 b1 +a2 c1 +b1 b2 +b2 c1 )(c3 +a3 )+(a1 c2 +a1 a2 +b1 c2 +a2 b1 )(b3 +c3 ) =a1 b2 c3 + a1 c2 c3 + b1 b2 c3 + b1 c2 c3 + a1 a3 b2 + a1 a3 c2 + a3 b1 b2 + a3 b1 c2 + a2 b3 c1 + a2 c1 c3 + b 2 b 3 c 1 + b 2 c 1 c 3 + a1 a2 b 3 + a1 a2 c 3 + a1 b 2 b 3 + a1 b 2 c 3 + a3 b 1 c 2 + a3 c 1 c 2 + b 3 b 1 c 2 + b 3 c 1 c 2 + a2 a3 b 1 + a2 a3 c1 + a2 b1 b3 + a2 b3 c1 − (a3 b2 c1 + a3 c1 c2 + b2 b3 c1 + b3 c1 c2 + a1 a3 b2 + a1 a3 c2 + a1 b2 b3 + a1 b3 c2 + a2 b 1 c 3 + a2 c 1 c 3 + b 1 b 2 c 3 + b 2 c 1 c 3 + a2 a3 b 1 + a2 a3 c 1 + a3 b 1 b 2 + a3 b 2 c 1 + a1 b 3 c 2 + a1 a2 b 3 + b 1 b 3 c 2 + a2 b1 b3 + a1 c2 c3 + a1 a2 c3 + b1 c2 c3 + a2 b1 c3 ) Eliminamos t´erminos semejantes y obtenemos la siguiente expresi´on =2[a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − (a3 b2 c1 + a2 b1 c3 + a1 b3 c2 )] Luego la expresi´on dentro de los signos de agrupaci´on corresponde a la soluci´on de un determinante del producto mixto de tres vectores que se encuentran en diferente plano, a continuaci´on se detalla la explicaci´on: a1 a2 a3 V = b1 b2 b3 c1 c2 c3 =a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − (a3 b2 c1 + a2 b1 c3 + a1 b3 c2 ) Con lo que queda demostrado el problema 11 del volumen de un tetraedro, planteado por Mois´es Villena.

References https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2015/03/1-vectores-en-r3.pdf.

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