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• Gian Juarez Rondo

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RESOLUCIÓN DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL ANÁLISIS MATEMÁTICO II INGENIERÍA DE MATERIALES 2019-1

2) Una empresa produce un objeto esférico de 25 centímetros de radio. Se hace una perforación de 4 centímetros de radio a través del centro del objeto (esfera hueca). A) Calcular el volumen del objeto y b) el área de la superficie exterior del objeto. Solución:

COMPETENCIA MATEMÁTICA DE PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES DEL PROBLEMA PROCESO MODELO MATEMÁTICO: FORMULACIÓN DEL PROBLEMA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA COMPETENCIA MATEMÁTICA DE ARGUMENTACIÓN:

a) Calcular el volumen del objeto IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES DEL PROBLEMA: -Para calcular el volumen de la superficie, se necesita un sistema de coordenadas tridimensional xyz, donde hacemos coincidir el origen con el centro de la esfera. -Nos piden hallar el volumen de una esfera hueca teniendo, para ello tengo dos ecuaciones. X2 +Y2+Z2=252 X2 +Y2

Ecuación de la esfera en coordenadas cartesianas. Ecuación de un cilindro en coordenadas cartesianas.

MODELO MATEMÁTICO: FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: -Para hallar el V(s) se necesitará de las integrales triples, en este caso usare coordenadas cilíndricas (r, θ, z).

𝑉(𝑠) ∭ 𝑑𝑣 𝑠

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: -COMPETENCIA MATEMÁTICA DE ARGUMENTACIÓN: -Para hallar la integral triple:

Hallamos S: { 

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝐷: { 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 }r 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜

Hallando D: Para ellos proyectamos en el eje xy. Usando coordenadas polares 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑍 = 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = (25)2 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 625 → 𝑟 = 25 → 𝑒𝑐. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑐𝑢𝑛𝑓. 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥 2 + 𝑦 2 = (4)2 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 → 𝑟 = 4 → 𝑒𝑐. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑐𝑢𝑛𝑓. 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝐷: { 4 ≤ 𝜃 ≤ 25



Hallando la variación en el espacio 𝑧 = ±√625 − (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑧 = ±√625 − 𝑟 2

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 4 ≤ 𝑟 ≤ 25 ∴ 𝑠: { −√625 − 𝑟 2 ≤ 𝑍 ≤ √625 − 𝑟 2 

Hallando la integral triple queda expresada 2𝜋

𝑣(𝑠) = ∫

25

√625− 𝑟 2

∫ ∫

0

4

2𝜋

𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟 𝑑𝜃

−√625− 𝑟 2

25

𝑣(𝑠) = ∫0 ∫4 2𝑟(√625 − 𝑟 2 )𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝟐𝝅

𝟐

𝟐𝟓

𝒗(𝒔) = (∫𝟎 𝒅𝜽) (− 𝟐 ∫𝟒 √625 − 𝑟 2 𝑑(625 − 𝑟 2 ) 𝟐 25 𝒗(𝒔) = 𝟐𝝅 (− (𝟔𝟐𝟓 − 𝒓𝟐 )| ) 𝟑 4 𝒗(𝒔) = −

𝟒𝝅 𝟑

(−𝟔𝟎𝟗√𝟔𝟎𝟗

𝒗(𝒔) = 𝟖𝟏𝟐√𝟔𝟎𝟗𝝅𝒄𝒎𝟑 INTERPRETACIÓN DE LA SOLUCIÓN: Usando un sistema tridimensional de una integral triple se puede hallar el volumen de la superficie ,que nos da como resultado 𝒗(𝒔) = 𝟖𝟏𝟐√𝟔𝟎𝟗𝝅𝒄𝒎𝟑 COMPETENCIA DE LA COMUNICACIÓN Es la forma como presento en forma escrita, detallada y coherente el desarrollo del problema, el proceso de la modelación y de su solución, usando el lenguaje formal de la matemática.