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CÁLCULO DEL VOLUMEN DE LAS FRUTAS ESFÉRICAS INTRODUCCIÓN El presente trabajo de investigación, se ha realizado con el ánimo de conocer acerca del volumen que contienen las frutas esféricas, es necesario mencionar el concepto de volumen en general y luego, el concepto de volumen de una esfera y por último, proceder a los ejercicios de cálculo; para esto, es necesario mencionar las diferentes fuentes bibliográficas consultadas, el planteamiento del tema, el objetivo y las diferentes razones por la cuales se realiza el trabajo. El tema en mención se fundamenta en la consulta de los siguientes escritos: Geometría euclídea II y El volumen de la esfera. ¿Qué es el volumen? Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El volumen es una magnitud física derivada. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). ¿Cómo se calcula el volumen de una esfera? Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:

Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. El presente trabajo tiene por objetivo indagar acerca de los conceptos y aplicaciones que puede dársele a las esferas, en este caso, a las frutas esféricas, ya que todo lo que hacemos y utilizamos diariamente, tiene una explicación, matemática, física, científica y sobre todo, lógica, además de ser importante e interesante conocer sobre el tema. Las razones para realizar el presente trabajo de investigación son las siguientes:  En lo académico, es muy importante aprender acerca del funcionamiento de ciertos recursos que la naturaleza, la ciencia, en éste caso las matemáticas, nos brindan para complementarse con nuestras diversas actividades.  En lo personal, porque es muy interesante observar, experimentar y aprender los múltiples temas de las matemáticas que podemos averiguar, ya que, cada cosa

que nos rodea, por muy pequeña o grande que sea, nos llena de interrogantes que siempre queremos resolver. MARCO TEÓRICO EL VOLUMEN Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El volumen es una magnitud física derivada. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Sus equivalencias con el metro cúbico son: 1 m3 = 1 000 dm3 1 m3 = 1 000 000 cm3 VOLUMEN DE UNA ESFERA Las esferas son cuerpos geométricos con los que estamos bastante familiarizados desde nuestros juegos infantiles. Se define a la esfera como el conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto llamado centro de la esfera. Se considera a la esfera como el sólido que se obtiene por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro. Las dos definiciones son equivalentes.

En una esfera se tiene

Diámetro

adio Centro

1

Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:

Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió. Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:

Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:  Cilindro: circunferencia de radio R.  Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura

1

Tsijli, Teodora (1996). Geometría euclídea II. 1ª edición. Pp. 140 – 141.

Y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.  Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí

El radio es d. Por tanto tenemos: Sección cilindro=πR2=π (r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera + Sección cono Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:

Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parece bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir: Volumen cilindro=Volumen semiesfera + Volumen cono Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:

Por tanto:

De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:

Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:

2

Teniendo en cuenta las definiciones dadas anteriormente y consiguiendo una fórmula simple para el volumen de las esferas, se procede a hacer el cálculo de 4 diferentes frutas esféricas y se obtuvo lo siguiente:  VOLUMEN DE LA MANZANA El volumen de la manzana se medirá de la siguiente manera: Primero, se mide el diámetro de la manzana:

3

Datos:

Ecuación de la circunferencia

D= 6cms

x 2+ y 2=r 2

R= 3cms

y 2=r 2−x 2 y 2=3 2−x 2

2 3

Diamond (diciembre 2006). El volumen de la esfera. Imagen de ejemplo y ejercicio: elaboración propia.

y 2= √9−x 2

MÉTODO GEOMÉTRICO

APLICACIÓN DE LA

INTEGRAL b

4 3 Fórmula: V = π r 3

2 Fórmula: V =∫ π y dx −a r

4 V = π ( 3 )3 3

V =∫ π ( r 2−x 2 ) dx −r 3

4 V = ( 3,14 )( 27 ) 3 V=

V =∫ π ( 32−x 2 ) dx −3 3

339,12 3

V =π ∫ ( 9−x 2 ) dx −3

V =113,04 cm3

V =π

[

3

3

∫ 9 dx−∫ x 2 dx −3

[

−3 3

3

V =π 9 ∫ dx− −3

x 3

]

]

1 V =π 9 x− x 3 3 3 −3

[

[

V =π 9 ( 3 )−

(

V =π 27− V =π

[

1 3 1 3 − 9 −3 )− (−3 )3 3 3 27 27 − −27+ 3 3

54 54 + 3 3

)(

]

108 π cm3 3

V=

V=

339,12 3

V =113,04 cm3

El volumen del melón se medirá de la siguiente manera:

]

)

V=

 VOLUMEN DEL MELÓN Primero, se mide el diámetro del melón:

] ( )] [ (

108 (3,14 ) cm3 3

4

Datos: D= 14cms R= 7cms MÉTODO GEOMÉTRICO

APLICACIÓN DE LA

INTEGRAL b

4 3 Fórmula: V = π r 3

2 Fórmula: V¿ ∫ π y dx −a r

4 V = π ( 7 )3 3

V =∫ π ( r 2−x 2 ) dx Ecuación de la circunferencia −r x 2+ y 2=r 27 ( 2 2) ∫ 2 V =π 2 2 7 −x dx y =r −x−7

4 V = ( 3,14 )( 7 )3 3

y 2=7 2−x 72 V =π ∫ ( 49−x2 ) dx 2 2 −7 y = √ 49−x

4 V = ( 3,14 )( 343 ) 3 V=

4.308,08 3

V =1.436,03 cm

V =π

7

−7

−7

7

(

3

(

7

∫ 49 dx−∫ x 2 dx

V =π 49 ∫ dx− −7

x3 1

)

)

1 V =π 49 x − x3 7 3 −7

[

]

1 1 V =π 49 (7 )− ( 7 )3 − 49 (−7 )− (−7 )3 3 3

[

][

[

V =π 343−

4

Imagen de ejemplo y ejercicio: elaboración propia.

]

343 343 − −343+ 3 3

][

]

V =π

[

686 686 + 3 3

] V=

V=

1.372 π cm3 3

1.372 ( 3,14 ) cm3 3 4.308,08 3

V=

V =1.436,03 cm3

 VOLUMEN DE LA NARANJA El volumen de la naranja se medirá de la siguiente manera: Primero, se mide el diámetro de la naranja:

5

Ecuación de la circunferencia

Datos:

x 2+ y 2=r 2

D= 7,5cms

y 2=r 2−x 2

R= 3,75cms

y 2=3,752 −x2 y 2= √14,06−x2

MÉTODO GEOMÉTRICO

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

4 3 Fórmula: V = π r 3

2 Fórmula: V =∫ π y dx

b

−a r

4 V = π ( 3,75 )3 3 4 V = ( 3,14 )( 3,75 )3 3

5

V =∫ π ( r 2−x 2 ) dx −r 3,75

V=

Imagen de ejemplo y ejercicio: elaboración propia.

∫ −3,75

π ( 3,75 2−x 2) dx

3,75

4 V = ( 3,14 )( 52,73 ) 3

V =π

( 14,06−x 2 ) dx

∫ −3,75

[

3,75

662,29 3

V =π

V =220,76 cm3

V =π 14,06

V=

3,75

14,06 dx−

∫ −3,75

2

x dx

−3,75

3,75

[

∫

∫

dx−

−3,75

x3 3

]

]

1 V =π 14,06 x− x 3 3,75 3 −3,75

[

]

1 1 V =π 14,06 ( 3,75 )− ( 3,75 )3 − 14,06 (−3,75 )− (−3,75 )3 3 3

[

][ [

V =π 52,73− V =π

52,73 52,73 − −52,73+ 3 3

][

210,92 π cm3 3

210,92 ( 3,14 ) cm3 3 V=

662,29 3

V =220,76 cm3

 VOLUMEN DE LA TORONJA El volumen de la toronja se medirá de la siguiente manera: Primero, se mide el diámetro de la toronja:

6

Datos:

Ecuación de la circunferencia

D= 8,5cms

x 2+ y 2=r 2

R= 4,25cms

y 2=r 2−x 2

6

y 2=4,252−x 2 Imagen de ejemplo y ejercicio: elaboración propia.

]

105,46 + ( 105,46 3 3 ) V=

V=

]

y 2= √18,06−x2

MÉTODO GEOMÉTRICO

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL b

4 3 Fórmula: V = π r 3

2 Fórmula: V =∫ π y dx −a r

4 V = π ( 4,25 )3 3

V =∫ π ( r 2−x 2 ) dx −r 4,25

4 V = ( 3,14 )( 4,25 )3 3

V=

π ( 4,252−x 2 ) dx

−4,25 4,25

4 V = ( 3,14 )( 76,77 ) 3

V =π

( 18,06−x 2 ) dx

∫ −4,25

4,25

964,23 V= 3 V =321,41cm

∫

V =π

∫

4,25

18,06 dx−

−4,25

[

3

V =π 18,06

∫

x 2 dx

−4,25 4,25

∫

− 4,25

dx−

x3 3

]

1 V =π 18,06 x− x 3 4,25 3 −4,25

[ )] [ [

]

1 1 V =π 18,06 ( 4,25 )− ( 4,25 3 − 18,06 (−4,25 )− (−4,25 )3 3 3

[

V =π 76,77− V =π

76,77 76,77 − −76,77+ 3 3

][

]

153,54 + ( 153,54 3 3 ) V=

V=

]

307,08 π cm3 3

307,08 ( 3,14 ) cm3 3

V=

964,23 3

V =321,41cm3

CONCLUSIÓN Al terminar el presente trabajo, expreso las siguientes conclusiones:  En todo lo que se ha investigado y elaborado acerca del tema, nos damos cuenta que en realidad, todo lo que nos rodea, utilizamos y hasta comemos y bebemos

tiene volumen, incluso nosotros mismos, pero pocas veces, nos preocupamos o nos da curiosidad averiguar, sobre el volumen de las cosas.  A primera vista, nos damos cuenta, en el caso de las frutas, que todo su contenido en sí, es el volumen, mientras no se manipula, está intacto, pero cuando utilizamos aquello que tiene volumen; eso, va disminuyendo y a veces, ni cuenta nos damos, pero nos parece muy interesante cuando indagamos y aprendemos.  Otro dato, también curioso, en el tema del volumen, es que al calcularlo, las fórmulas de los diferentes métodos integrales que se podrían utilizar para sacar su resultado, termina siendo la misma fórmula que se utiliza en el método geométrico y que, lógicamente, ambos métodos tienen el mismo resultado. BIBLIOGRAFÍA  Tsijli, Teodora (1996). Geometría euclídea II. 1ª edición. Editorial Universidad Estatal a Distancia. San José – Costa Rica. Pp. 140 – 141.  www.gaussianos.com Diamond (diciembre 2006). El volumen de la esfera.