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• Gary Jonathan Morales Alvarado

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Vibraciones Mecánicas

Los sistemas mecánicos simples proporcionan un buen ejemplo de la aplicación de las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

1.1

Preliminares

Consideremos el sistema mecánico Amortiguador-Masa-Resorte

Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actue sobre él e inversamente proporcional a la masa del curpo, es decir F = ma Haciendo el diagrama de cuerpo libre del la masa en el modelo

nos damos cuenta de que sobre dicha masa actuan tres fuerzas: la fuerza del resorte ( FR ), la fuerza del amortiguador ( FR ) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, fricción, etc). Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las furezas tanto del resorte como del amortiguador Elemento

Modelo

FR = k (y2 − y1 ) Resorte

FA = b (y20 − y10 ) Amortiguador

1

donde k es la constane del resorte y b es la constante de amortiguamiento. Atendiendo a lo anterior y apoyados en la segunda ley de Newton del movimiento, tendremos pues que si queremos analizar el desplazamiento vertical de la masa el modelo matemático que lo describe se obtiene como sigue X ma = F ma = FE − FR − FA

como FR = ky FB = by0 a = y 00 entonces ma = FE − FR − FA my 00 = FE − ky − by0 my 00 + by0 + ky = FE donde m, k y b son constantes y FE es una fuerza externa (exitación del sistema). La anterior es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes no homogenera en general. En caso de que FE = 0 se dice que es un movimiento libre mientras que si FE 6= 0 se habla de un movimiento forzado. Comenzaremos a analizar este sistema desde su forma más simple hacia lo más coplejo: primero movimientos libres y después forzados.

1.2

Movimiento Libre

Si el modelo matemático para un sistema mecánico simple es my 00 + by0 + ky = 0 se habla de movimiento libre, además si se tiene que el sistema carece de amortiguamiento (b = 0) - la fricción se puede ver como un tipo de fuerza de amortiguamiento - entonces se habla de un sistema no amortiguado o de movimiento libre no amortiguado; en caso contrario (b 6= 0) se habla de movimiento libre amortiguado. 1.2.1

Movimiento Libre No Amortiguado

Consideraremos un sistema mecánico el cual experimenta un movimiento libre no amortiguado como el que se describe a continuación Situación

Modelo

my00 + ky = 0 y (0) = y0 2

Un problema de valor inicial asociado considera el estiramiento del resorete por debajo o por encima de la línea de equilibrio estático (ver gráfico). Para hacer análisis de este sistema definieremos ω 0 =

q

my00 + ky k y 00 + m y00 + ω 20 y

k m

por lo que el modelo del sistema toma la forma

= 0 = 0 = 0

resolviendo esta ecuación y00 + ω 20 y m2 + ω 20

= 0 = 0

(1)

α=0 β = ω0 = A cos (ω 0 t) + B sin (ω0 t)

m = ±ω 0 i y

½

→

(2)

Aunque esta es la solución general de la ecuación, hay una forma alternativa de presentarla que proporciona más infomación respecto del comportamiento del sistema que la que ésta nos da. Al tener una suma de funciones seno y coseno con la misma frecuencia y amplitudes distintas, la suma de ella es una función sinusoidal con la misma frecuencia pero con un desfasamiento y con amplitud diferente. Para lograr nuestro objetivo consideraremos las siguientes relaciones

√ C = A2 + B 2 cos α = A C A sin α = C ¡ ¢ para calcular el valor del ángulo α es necesario calcular tan−1 B A . La forma natural del la tangente, considera valores angulares solo entre − π2 < x < π2 , mientras que α tiene valores desde 0 hasta 2π. Para ver cual es el comportamiento del ángulo respecto de los valores de A y B tenemos que  ¡ ¢ (A > 0, B > 0) primer cuadrante  tan−1 B A ¡ ¢ α= π + tan−1 ¡B (A < 0) segundo y tercer cuadrante A ¢  2π + tan−1 B (A > 0, B < 0) cuarto cuadrante A Si multiplicamos el lado derecho de la ecuación (2) por C C tendremos que ¶ µ B A cos (ω 0 t) + sin (ω 0 t) y (t) = C C C y aprobechando las identidades cos α =

A C

y sin α =

B C

, reescribimos la función anterior

y (t) = C (cos (α) cos (ω 0 t) + sin (α) sin (ω 0 t)) Ahora como cos (A ± B) = cos (A) cos (B) ∓ sin (A) sin (B) es entonces posible escribirla como y (t) = C cos (ω0 t − α) 3

donde C ω0 α

Amplitud de la onda Frecuencia angular (natural) Angulo de fase (desfasamiento)

lo que nos representa la oscilación del resorte al rededor de la posición de equilibrio. A este tipo de movimiento se le conoce como movimiento armónico simple. Un par de conceptos importanes de este fenómeno son los siguientes: • Periodo ( T =

2π ω0 ):

• Frecuencia ( f =

es el tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilación completa.

1 T ):

mide el número de ciclos completos por segundo (Hertz-Hz)

Ejemplos Resueltos Example 1 Determine el periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple de una masa de 4 kg en el extremo de un resorte con constante k = 16 N m . Determine también la función que describe la posición de la masa si el resorte se aplasta 20 cm por encima de la posición de equilibrio y parte del reposo. Solution 2 De los datos 4y 00 + 16y = 0

y (0) = −0.2 m, y0 (0) = 0

Resolviendo y 00 + 4y

= 0

½

α=0 β=2 y (t) = A cos (2t) + B sin (2t) m = ±i2 →

De aquí que ω0

=

T

=

f

=

r

16 =2 4 2π =π ω0 1 π

Para la ecuación del movimiento y (0) A 0 y (0) B

= = = = 4

−0.2 −0.2 0 0

m s

C

q (−0.2)2 = 0.2

=

α = tan−1 (0) = 0 por lo que

y (t) = −0.2 cos (2t) 0.2

0.1

0

-1

1

2t

3

4

-0.1

-0.2

Example 3 Un cuerpo con masa m = 12 kg se sujeta al extemo de un resorte que está estirado 2m por debajo de su línea de estabilidad mediante una fuerza de 100 Newtons. Se pone en movimiento con una posición inicial y (0) = 0.5m y y 0 (0) = 10 m s . Encuentre la función de posición (y (t)), su amplitud (C), frecuencia (f ), periodo de oscilación (T ) y ángulo de fase (α) Solution 4 Utilizando el modelo my00 + ky = 0 y de acuerdo con el problema m = FR

1 2

= ky →

½

s

50

de aquí que la frecuecia circular sea ω0 =

1 2

k= k=

FR y 100 2

= 10

= 50 N m

rad s

Para determinar el periodo T =

10 = 1.591 5Hz 2π

f=

2π = 0.628 32s 10

y la frecuencia

Resolvemos 1 00 y + 50y = 0 2 y 00 + 100 = 0 m2 + 100 = 0

½

α=0 β = 10 y (t) = A cos (10t) + B sin (10t) m = ±i10 →

5

que es la solución general. La ecuación del movimiento se obtiene al apicar las condiciones iniciales y (0) = 0.5m y y0 (0) = 10 m s y (0) A 0 y (0) B

= = = =

0.5 0.5 10 1

Para presentar la ecuación del movimiento se calculan amplitud y fase sµ ¶ √ 2 1 5 C= + 12 = 2 2 como A > 0 y B > 0 (primer cuadrane) α = tan−1 (2) = 1.1071 finalmente la ecuación del movimiento está dada por √ 5 cos (10t − 1.1071) y (t) = 2

1 0.8 0.6 0.4 0.2 -1

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

1

2t

6

3

4

1.2.2

Movimiento Libre Amortiguado

Un sistema libre amortiguado tiene los tres elementos Amortiguador-Masa-Resorte para el cual se considera que ninguna fuerza externa FE actúa sobre él. El siguiente gráfico hace una descripción de este tipo de sistemas

La ecuación diferencial que modela este tipo de sistemas es una EDOLHcC como la siguiente my 00 + by0 + ky = 0 Resolviendo ésta ecuación en forma general, y considerando ω0 = p=

b 2m

>0 my 00 + by 0 + ky b k y 00 + y 0 + y m m y 00 + 2py 0 + ω20 y

q

k m

(frecuencia circular no amortiguada) y

= 0 = 0 = 0

su ecuación característica será r2 + 2pr + ω 20 = 0 para la cual tenemos tres posibilidades de raíces de acuerdo con el valor del discriminante D =

q (2p)2 − 4w02 :

• Cuando las raíces son reales y diferentes (D > 0) al sistema se le dice Sobreamortiguado, ya que el amortiguador ofrece una resistencia mayor al movimiento que la del resorte o se tiene una masa muy pequeña. La solución de la ecuación o función de posición en éste caso estará dada por y (t) = C1 er1 t + C2 er2 t donde r1 y r2 son valores reales y negativos. Lo anterior nos permite ver que y (t) → 0 cuando t → ∞, es decir que el cuerpo tiende a la posción de equilibrio. Algunas gráficas para este tipo de funciones se ven como se

7

muestra a continuación

y (t) = C1 er1 t + C2 er2 t

                     

y(t)

                    

t

• Cuando las raíces son reales y repetidas (D = 0) al sistema se le dice Críticamenete amortiguado, en este caso la resistencia del amortiguador es apenas lo suficientemente grande absorber cualquier oscilación . La solución de la ecuación o función de posición en éste caso estará dada por y (t) = (C1 + C2 t) ert donde r = −p es un valor reales y negativos. El resultado anterior como e−pt > 0 y C1 + C2 t tiene cuando mucho una raíz positiva, entonces la masa pasa a lo más una sola vez por el punto de equilibrio, además de que y (t) → 0 cuando t → ∞, es decir que el cuerpo tiende también a la posción de equilibrio. Podemos ver el comportamiento de este tipo de funciones en la siguiente gráfica                    y(t)    rt y (t) = (C1 + C2 t) e        t              

• Cuando las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas (D < 0) al sistema se dice Subamortiguado, ya que el amortiguador no ofrece una resistencia tal que evite que la masa oscile. La solución de la ecuación o función de posición en éste caso estará dada por y (t) = Ae−p cos (ω 1 t) + Be−p sin (ω1 t)

p ω 20 − p2 . Es posible representar lo anterior, siguiendo un razonamiento similar al caso de donde ω 1 = movimiento libre no amortiguado, representar esta solución de una manera más sencilla y que nos permite tener a la mano más información acerca del comportamiento del sistema: y (t) = Ae−p cos (ω1 t) + Be−p sin (ω 1 t) = e−p (A cos (ω 1 t) + B sin (ω1 t)) ¶ µ B A = Ce−p cos (ω 1 t) + sin (ω 1 t) C C −p = Ce (cos α cos (ω 1 t) + sin α sin (ω 1 t)) y (t) = Ce−p cos (ω1 t − α) 8

donde p A2 + B 2 A cos α = C B sin α = C C

=

De la forma alternativa para la solución es posible ver que el sistema presenta oscilaciones exponencialmente amortiguadas, acotadas por las funciones ϕ1 (t) = Ce−pt ϕ2 (t) = −Ce−pt y que y (t) → 0 cuando t → ∞, es decir que el cuerpo tiende nuevamente a la posción de equilibrio pero oscilando como lo podemos ver en la siguiente gráfica                  y(t)      y (t) = Ce−pt cos (ω 1 t − α)    t                   de donde podemos extraer la siguiente información:

• La gráfica de y (t) toca a las funciones ϕ1 (t) = Ce−pt ϕ2 (t) = −Ce−pt cuando ω1 t − α es multiplo entero π. • y (t) no es periódica. ω 1 es la frecuencia circular y es menor que ω 0 . • T1 = ω2π1 es el pseudoperiodo de oscilación y es el tiempo que tarda la masa en hacer una oscilación completa. El pseudoperiodo es mayor que el periodo normal de oscilación T . • Ce−pt amplitud de tiempo variable. •

α ω1

es el tiempo que tarda y (t) en llegar a su primera cresta.

Ejemplos En los siguientes ejemplos de sistemas libres amortiguados

encuentre: • Función de posición. • Frecuencia circular ω 1 . 9

• Pseudoperiodo • El tiempo que tarda en alcanzar su primer máximo. con los valores para m, b y k y y (0) , y0 (0) dados a continuación 1. m = 3, b = 30, k = 63, y (0) = 2, y0 (0) = 2 Solution 5 Formemos la ED 3y 00 + 30y 0 + 63y = 0 q para la cual es un sistema sobreamortiguado ya que D = (30)2 − 4 (3) (63) = 12

Resolviendo

3r2 + 30r + 63 = 0 3 (r + 7) (r + 3) = 0 r1 = −7 y1 (t) = e−7t → y2 (t) = e−3t r2 = −3 y (t)

=

C1 e−7t + C2 e−3t

Aplicando condiciones iniciales y (0) = 2 y 0 (0) = 2 C1 + C2 −7C1 − 3C2

= 2 = 2

de donde C1 = −2, C2 = 4 entonces la función de posición será y (t) = −2e−7t + 42 e−3t 2

1 0.5 0

1

t

2

3

-0.5

2. m = 1, b = 10, k = 125, y (0) = 6, y 0 (0) = 50 Solution 6 Formemos la ED y00 + 10y 0 + 125y = 0 q 2 para la cual es un sistema subamortiguado ya que D = (10) − 4 (1) (125) = −20 Resolviendo

r2 + 10r + 125 = 0 3 (r + 7) (r + 3) = 0 r

= −5 ± i10 →

p = −5 y (t) = e−5t cos (10t) → 1 y2 (t) = e−5t sin (10t) ω 1 = 10

y (t) = e−5t (A cos (10t) + B sin (10t)) 10

Aplicando condiciones iniciales y (0) = 6 y 0 (0) = 50 A = 6 −5A + 10B = 50 7 B = 2 entonces la función de posición en la forma alternativa se será ¶ µ 7 y (t) = e−5t 6 cos (10t) + sin (10t) 2 Para encontrar la forma alternativa s

µ ¶2 7 1√ 62 + = 193 2 2 Ã ! 6 −1 √ = 0.528 07 α = cos 1 2 193

C

=

de aquí que la función de posición en forma alternativá esta dada por y (t) =

1√ 193e−5t cos (10t − 0.528 07) 2

6 4 2 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2 -4 -6

11

1t

1.2

1.4

1.6

1.8

2