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1. Cinemática de la vibración

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1.2

Movimiento armónico y su representación

Lectura obligatoria: Movimiento armónico, Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecánicas, Pearson México, 2012, 5th ed. sección 1.10, pg. 51.

1.2.1.

Uso de fasores para la suma resta, multiplicación y división

Representación vectorial del movimento armónico El movimiento armónico se puede representar de una manera más práctica por medio de un vector de magnitud A que gira a una velocidad angular constante ω. La proyección de la punta del vector sobre el eje vertical está dada por y = A sin ωt y su proyección sobre el eje horizontal por x = A cos ωt Representación por medio de números complejos del movimento armónico Es más práctico representar el movimiento armónico por medio de números ⇀ complejos. Cualquier vector X en el plano xy se puede representar como un número complejo: ⇀ X = a + ib ⇀

Si A indica el módulo o valor absoluto del vector X, y θ representa el argumento ⇀ o ángulo entre el vector y el eje x, entonces X también puede expresarse como: ⇀

X = A cos θ + iA sin θ con:

  b y θ = arctan A = a2 + b2 a Utilizando expansiones en series se puede demostrar que √

⇀

X = A cos θ + iA sin θ = Aeiθ

(1.1)

Tomado de: Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecánicas, Pearson México, 2012, 5th ed. Pg. 52-54. ITESCAM

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1. Cinemática de la vibración

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Álgebra compleja A veces los números complejos se representan sin utilizar alguna notación vectorial como: z = a + ib donde a y b simbolizan las partes real e imaginaria de z. La suma, resta, multiplicación y división de números complejos se realizan siguiendo las reglas usuales del álgebra. Sean: z1 = a1 + ib1 = A1 eiθ1 z2 = a2 + ib2 = A2 eiθ2 donde: Aj =

q

a2j

+

b2j

y

θj = arctan



bj aj



j = 1, 2

la suma y diferencia de z1 y z2 se pueden encontrar como: z1 + z2 = A1 eiθ1 + A2 eiθ2 = (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) z1 − z2 = A1 eiθ1 − A2 eiθ2 = (a1 + ib1 ) − (a2 + ib2 ) = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 ) la multiplicación y división de z1 y z2 se pueden encontrar como: z1 · z2 = A1 eiθ1 · A2 eiθ2 = A1 A2 ei(θ1 +θ2 )

= (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 )   z1 A1 eiθ1 A1 i(θ1 −θ2 ) e = = iθ 2 z2 A2 e A2     a2 b1 − a1 b2 a1 a2 + b1 b2 (a1 + ib1 ) (a2 − ib2 ) +i · = = (a2 + ib2 ) (a2 − ib2 ) a22 + b22 a22 + b22

Tomado de: Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecánicas, Pearson México, 2012, 5th ed. Pg. 55. ITESCAM

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1. Cinemática de la vibración

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⇀

Utilizando la representación de número complejo, el vector rotatorio X se escribe como: ⇀ X = Aeiωt ⇀

donde ω indica la frecuencia circular (rad/s) de rotación del vector X en sentido contrario de las manecillas del reloj. La diferenciación del movimiento armónico con respecto al tiempo resulta en: ⇀

⇀ d dX = (Aeiωt ) = iωAeiωt = iω X dt dt ⇀ 2 ⇀ d X d iωt 2 iωt 2 = (iωAe ) = −ω Ae = −ω X dt2 dt

por lo tanto, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración se expresan como: desplazamiento = Re[Aeiωt ] = A cos ωt velocidad = Re[iωAeiωt ] = −ωA sin ωt = ωA cos (ωt + 90◦ )

aceleración = Re[−ω 2 Aeiωt ] = −ω 2 A cos ωt = ω 2 A cos (ωt + 180◦ )

Tomado de: Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecánicas, Pearson México, 2012, 5th ed. Pg. 55. Lectura obligatoria: Definiciones y terminología, Singiresu S. Rao, Vibraciones Mecánicas, Pearson México, 2012, 5th ed. sección 1.10.5, pg. 58. ITESCAM

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