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MARCO TEÓRICO 1. Objeto de los vertederos. Tipos El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contorno abierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal o río, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el río o canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, o cuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular. En la Figura 1. se aprecia una escotadura rectangular de longitud L.

Figura 1. Descarga sobre un vertedero rectangular de pared delgada En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudales y b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal. Estas funciones no son excluyentes. Los

vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivo de medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños. También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un cierto nivel. A esta estructura se le denomina aliviadero. En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras de ingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan la función de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que miden caudales. Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por los niveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación con respecto a la corriente y por otras circunstancias. Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederos es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por orificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos. Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en la Figura 1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado (M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencial en energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmente variado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección se encuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que esta distancia es igual a 4 H, siendo

H

la carga sobre el vertedero. Obsérvese que

inmediatamente aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas. Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal que pasa por la cresta, medida en la sección AB. En la Figura 1 se muestra también la altura del umbral

P

del vertedero

(paramento), que es la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero. Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea. En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre

el

paramento

del

vertedero

(umbral),

las

paredes

del

canal

inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napa vertiente es

igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presión es igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa, representado en la Figura 1. En la Figura 2 se observa la red de corriente correspondiente a esas condiciones (chorro libre).

Figura 2. Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( P >>> H ) En la Tabla 1 se aprecia las coordenadas típicas correspondientes a un chorro libre, según Franke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero (P >>> H). Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacio antes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas de aire que garantiza la comunicación con la atmósfera. Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante constantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Este es el caso deseable en un vertedero.

TABLA 1

Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presión menor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del vertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro se vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales. Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor que la atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, tal como se aprecia en la Figura 3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente y adquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se

produce con caudales pequeños. Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen a error en la medición del caudal.

Figura3. Se aprecia tres casos de napa deprimida Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederos en pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento. En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, es decir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable que la cresta sea delgadísima como la de la Figura 1. La pared puede tener un cierto espesor. Si éste es menor que 2H / 3 se considera que el vertedero es en pared delgada, como se deduce de la observación de la Figura 4 que corresponde a una napa vertiente en cresta delgada.

Figura 4. Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a la cresta. En la Figura 5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c se considera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de pared intermedia.

Figura5. Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet En la Figura 1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertedero en pared delgada. Se aprecia cómo se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativas aproximadas se dan en la Figura 4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado) y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza porque en todo su

contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable para la correcta medición de caudales. Velocidad de aproximación Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad media que corresponde a la sección AB en la que el escurrimiento se produce en toda la sección. Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación Vo es:

1

siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H entonces Vo tendería a cero. Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética hv cuya expresión es:

2

Siendo α el coeficiente de Coriolis. Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguas abajo es inferior al de la cresta. En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 19. Esto no significa necesariamente, como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en el escurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro, aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues, definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no es sinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’. Clasificación por las condiciones laterales de descarga

Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas. Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertedero es menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contracciones laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pared del canal sea por lo menos de 3H. Es recomendable también que la altura P del umbral sea por lo menos igual a 3H, tal como se ve en la Figura 1. Naturalmente que si B = L, es un vertedero sin contracciones laterales. Clasificación de los vertederos según su forma Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales, circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como se observa en la Figura 6. Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 7. El vertedero inclinado hacia aguas abajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumenta con la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría lo contrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

Figura 6. Diferentes formas de vertederos

Figura 7. Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente Los vertederos

suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin

embargo, eventualmente, forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 8.

Figura 8. Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente Otros tipos de vertederos Existen otros tipos de vertederos como - Desarrollados - Abatibles - Inflables - Laterales - Morning Glory, etc.

Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.

Figura 9. Otros tipos de vertederos

2. Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertedero rectangular. En la Figura 10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredes hay un orificio rectangular de ancho L. Los otros elementos característicos se muestran en la figura.

Figura 10. Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de área elemental de ancho L y espesor dy a través de la cual pasa el siguiente caudal:

siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema de Bernoulli y se obtiene:

Por lo tanto,

Integrando se obtiene el caudal a través del orificio

Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que h2 = 0. Si, además, llamamos H a h1, que es la carga, se tiene:

3

que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta la fricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, para obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es:

4

El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente. Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña que pudiese despreciarse, entonces, para Vo = 0 se obtiene la descarga teórica:

5

La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a:

6

que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidad de despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la que estemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal de aproximación es mayor que 8LH entonces se puede despreciar la velocidad de aproximación. Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longitud del vertedero y a la potencia 3/2 de la carga. La determinación del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos estudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero depende de varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades del fluido, etc. Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga se han desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, un campo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados. La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro de los límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 1 y 4 se aprecia las características generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular. Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 3 y han seguido diversos caminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras se introduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados en fenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica. En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sin contracciones y con contracciones laterales. De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock (1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924), Kindsvater-Carter (1959). Obsérvese que si en la fórmula 3 consideramos:

y tomamos factor común H , entonces se obtiene:

7

si comparamos esta fórmula con la 6 se obtiene una interpretación de un coeficiente de descarga que toma en cuenta

el efecto de la velocidad de

llegada y cuyo valor es:

8

3. Fórmula de Francis James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederos rectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficiente de descarga. Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadas

condiciones, las que

constituyen los limites de aplicación del coeficiente de descarga que obtuvo. La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sin embargo, experimentó también con otras longitudes. En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyen los límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral P esté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación L / H sea mayor que 3. La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación Vo

y la posibilidad de

contracciones laterales. La fórmula de Francis es:

9

En el sistema métrico se considera:

10

Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 es dimensional. En el sistema de unidades inglesas se tendría: 11

En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así:

12

en la que el caudal Q está en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H en metros, la velocidad de aproximación Vo en m/s. Se designa como n el número de contracciones (0, 1, 2). Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del vertedero. Aparece así una longitud efectiva:

en función del número n

de contracciones. Obsérvese que si

L ≤ 0,2H

aparecería cero o un valor negativo para el caudal. Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse, entonces Vo = 0 y la fórmula de Francis queda así:

13

Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces n = 0 y la fórmula de Francis quedaría reducida a:

14 Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9) es necesario recurrir a un método de tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular V0 se requiere conocer la carga H .Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (14), asumiendo que la velocidad Vo

de

aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidos y se prosigue hasta lograr la aproximación deseada. Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr aproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a cargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendría resultados menores que los reales. 4. Otras fórmulas para vertederos rectangulares a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableció una fórmula para calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones. En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para el cálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin ellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmula de Bazin-Hégly. La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas están comprendidas entre 0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes están entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura del umbral se encuentra entre 0,20 m y 2,00 m. La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 6, de descarga de un vertedero

en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es:

15

en la que B es el ancho del canal. Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces B = L y el coeficiente de descarga sería:

16

b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en 1924. La fórmula parte de la ecuación 6 de descarga de un vertedero:

En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no. El coeficiente c para un vertedero con contracciones es:

17

B es el ancho del canal. Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares con contracciones son:

El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es:

18

La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son:

c) Fórmula de Kindsvater - Carter Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares, con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de 1959. La fórmula es: 19

Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, que es la suma de la longitud L del vertedero más un valor KL que se encuentra a partir de una expresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 11. KH es un valor igual a 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ce es el coeficiente de descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 12.

Figura 11. Gráfico para la determinación de KL Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes: La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga. El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm de espesor. El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la cresta del vertedero. La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm. La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm. La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5. Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( L = B ), entonces no hay contracciones, pero debe cumplirse que B − L ≥ 0,2 m

Figura 12. Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

d) Fórmula de Rehbock Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica de Karlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechas y trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación. La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pared delgada sin contracciones es:

20

H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 6. Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m. 5. Vertederos triangulares Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura:

Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación se obtiene el caudal:

Integrando entre x = 0 y x = H se obtiene:

Pero, b = 2H tanα , de donde:

21

22

La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente c constante puede expresarse así

Siendo:

La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deducción de la fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si están presentes en el flujo real. Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétrico es considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es:

de donde, el caudal es:

que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular. De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas. La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga. Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto a la vertical fuesen α1 y α2 se puede considerar el promedio respectivo. Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descarga depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición de caudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influencia de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho del canal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero. A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: Vnotch, que liberalmente significa escotadura en V.

Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a la exactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la capilaridad. El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y la carga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales. En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C. Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo en vertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 13, tomada de la Hidráulica de Dominguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de la carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto:

El gasto se calcula con la fórmula 22. Se determinó, como parte del estudio, que los errores no son superiores al 5 %.

Figura 13. Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

Es interesante analizar la Figura 13. Se observa claramente que para cada ángulo el coeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de un cierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminución del coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeño sea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamente constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son para cada ángulo los que aparecen en la Tabla 2. TABLA 2

Aplicando la Tabla 2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un cierto ángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así, se tendría:

Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que 2α = 90º (α =45º) y el gasto teórico es:

24 James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida su fórmula para vertederos triangulares de

2α = 90º . Sus

experimentos abarcaron cargas entre 5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula de Thomson podía extenderse hasta H = 30 cm. La fórmula es:

o bien,

que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y el caudal Q en m3/s. A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula

que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de 1 %. Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de un cierto valor de la carga H obtenido experimentalmente. 6. Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia, casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga. Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformada por tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales,

que son triangulares. Se obtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es:

Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga para este caso. Balloffet señala que es frecuente considerar

c1 = c2 = 0,6, a pesar de la falta de justificación teórica o

experimental. En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial

de

vertedero

trapecial,

cuyas

características

se

señalan

continuación. Vertedero de Cipolletti:

Es un vertedero trapecial de determinadas características geométricas. El gasto se considera formado de dos partes: - Una parte a través de la abertura rectangular.

a

- Otra parte a través de los triángulos. Por consideraciones geométricas se cumple que

Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea precisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertedero rectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es:

La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene a partir de una fórmula tipo Francis:

Igualando:

se obtiene:

Es decir, tanα =1/4 que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica α =14º 2' .Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletti es 0,63. El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitud L, sin contracciones es

L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico:

Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones. La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a L/3 .La altura P del umbral debe ser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia b señalada en la Figura 14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal de aproximación debe estar comprendido entre 30H

y

60H .La carga debe

medirse a una distancia de 4 H del vertedero.

Figura 14. Vertedero tipo Cipolletti La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizo con la fórmula Francis. El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otros sistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso en laboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el error puede ser ± 5 %. 7. Condiciones para la instalación y operación de vertederos Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condiciones indispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes:

1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudales con un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, un vertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que en ellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medir caudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría ser el más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en el cálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga. 2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existen numerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango de aplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una alta aproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos de experimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa. 3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendaciones de carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las que aparecen en la Figura 15, debida a G. E. Russell, y que es producto de la recomendación de varios investigadores. Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredes del canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero. En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable.

Figura 15. Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones.

4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. El vertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente. Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce. El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debe mantenerse lisa. El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero. 5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima carga sobre el vertedero. 6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal del canal de aproximación

[B×(H + P)] debe ser por lo

menos igual a 6, o mejor 8 veces, la sección de la napa vertiente LH . 7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamente aireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuese necesario, debe instalarse dispositivos de aireación. 8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarse elementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrillos huecos, mallas, etc. 9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, mediante una toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia de aproximadamente cuatro veces la carga ( 4H ) de modo que no haya influencia del movimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampoco se debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecería la influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal. 10. Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan en la napa 11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antes señaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.

8. Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) En la Figura 16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta, plana y horizontal, es b. El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las condiciones de aguas abajo. Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b de la cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga

25 puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (ver Figura 4) o de pared intermedia.

Figura 16. Perfil característico de un vertedero en pared gruesa Se considera que la longitud máxima de b debe estar alrededor de 15H En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 16 se aprecia el perfil característico de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es:

la que debe ser igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que el coeficiente α de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,

siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta y ∆H la diferencia de energía correspondiente. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es:

Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( F < 1). En la sección correspondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico

F > 1. En algún lugar intermedio, como el mostrado se

produce un flujo crítico. El flujo sobre el vertedero es crítico (y =yc). Es decir, que el flujo resuelve el cruce del vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía. Si se tratase de una sección rectangular de ancho L entonces

26

Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es

De donde, 27

Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba

Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente, entonces el gasto teórico es:

28

En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es: 29 En el sistema ingles sería

30 Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 29 un coeficiente de descarga c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores:

31 George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores, para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones del borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 3. Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, las condiciones de cálculo serían diferentes.

TABLA 3

9. Vertederos laterales Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes (taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, son aliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos. En la Figura 17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud L practicado en un canal con flujo subcrítico (F < 1) Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 17 se observa la longitud L del vertedero y el umbral P . El caudal inicial en el canal es Q0 . El caudal que pasa por el vertedero es Q y el caudal remanente es Q1. Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiere eliminar del canal.

Figura 17. Vertedero lateral V es la velocidad correspondiente al caudal Q0 y V1 lo es del caudal Q1, H0 es la carga en el punto inicial del vertedero y H1, es la carga en el punto final. H es la carga (variable) en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de un régimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde H0 hasta H1 en el punto final del vertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energía es constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguiente deducción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga a la distancia x del punto inicial es:

32 El gasto es:

33

Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio de Francis es:

Si el vertedero es muy largo, más de 10H, puede despreciarse el efecto de las contracciones. 10. Vaciamiento de un depósito por un vertedero El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier forma y características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre sea descendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudal va disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviadero de presas.

Figura 18. Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero

En la Figura 18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento de un estanque, entre los niveles H1 (nivel inicial) y H2 (nivel final). H es una carga variable comprendida entre H1 y H2.

Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga H se puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser:

Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego,

Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es que esta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, por ejemplo, de paredes inclinadas 45º un otro ángulo. En los embalses naturales no existe esa función matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo que el coeficiente de descarga es constante. Por lo tanto integrando la expresión 9-37 se obtiene el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de H2 a H1:

Obsérvese que si H2 tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerda con la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estarían aproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta carga mínima. Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicando las fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este

método se emplea también cuando el depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función del tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las características de la información disponible. 11. Vertedero sumergido Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de la cresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de las condiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que se presente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar que un vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma. En la Figura 19 se observa un vertedero sumergido en el cual

H

es la

diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivel entre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia a la relación que existe entre h y H.

Figura 19. Esquema típico de un vertedero sumergido Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas el vertedero actúa como un aliviadero más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para el cálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientes a un vertedero libre, razón por la cual no se les usa como estructuras para determinar caudales.

Si la relación h/H , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muy pequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura 20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para:

Figura 20. Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de un vertedero sumergido

Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es el Du Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos parciales. Q1 que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se supone que coincide con el nivel de aguas abajo y Q2 que es el que escurre por un orificio virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. En consecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es:

La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los coeficientes c1 y c2 para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar dichos coeficientes, pero los resultados no

fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele considerar que c1 = c2 = 0,62 , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil para los cálculos prácticos. Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertedero sumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis: 41 en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficiente de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Los valores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 5. TABLA 5

Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica para vertederos sumergidos de diferente forma:

n

depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para

vertedero triangular, etc.), Q1 es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.