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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Minas

Ventilación de Minas Circuitos y redes de ventilación Dr. Juan Pablo Hurtado Cruz

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Resistencia Leyes de Kirchhoff Circuitos en Serie Circuitos en Paralelo Circuitos Complejos o Redes de Ventilación • Definiciones

Resistencia Esta es una de las ecuaciones fundamentales en ventilación minera. Su representación gráfica queda definida por una parábola que pasa por el origen. En general, cuanto mayor es la resistencia R, más vertical será la parábola y, por consecuencia, para un mismo caudal Q, mayor será la caída de presión H.

Resistencia Sistema Inglés

Sistema Internacional

Leyes de Kirchhoff Son dos leyes fundamentales que controlan el comportamiento en los circuitos eléctricos, desarrollado por el físico alemán Gustav Kirchhoff (18241887). Por analogía, la primera ley establece que la cantidad de aire que sale desde una unión debe ser igual a la cantidad de aire que entra a la unión.

Leyes de Kirchhoff La segunda ley, conocida también como la ley de voltaje, establece que la caída de presión alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser igual a cero, lo cual se puede expresar como:

donde

es el valor absoluto del caudal

Ejemplo: En la figura se observa un circuito de dos vías, con un ventilador ubicado en la vía 1, el cual obliga al aire a seguir la dirección indicada. Determine Q1 y Q2, asumiendo que el ventilador trabaja con una caída de presión estática de 1” H2O, y las resistencias de las vías correspondientes son 10-10 y 15-10 pulg H2O*min2/ft4, respectivamente.

Solución. Se asume que Por lo tanto, se substituyen el uno por el otro y se despeja desde

Si se supone Q2 en dirección opuesta, entonces

Circuitos en Serie Existe dos tipos básicos de circuitos: en serie o paralelo. Los circuitos en serie se caracterizan por que la corriente de aire se mueve sin ramificaciones, vale decir, si no existen pérdidas, el caudal de aire permanece constante. La resistencia aerodinámica total del sistema es igual a la suma de las resistencias parciales y la caída de presión (depresión) total es igual a la suma de las parciales.

Circuitos en Serie Si las corrientes de todos los tramos siguen la misma dirección, entonces

Circuitos en Paralelo En este tipo de unión o separación las galerías se ramifican en un punto, en dos o más circuitos, que se unen en otro punto. Cuando dos o más galerías parten de un punto y en el otro extremo se comunican con la atmósfera, también están en paralelo, ya que los extremos que salen a la superficie se entiende que tienen igual presión, en este caso la unión en paralelo es abierta, siendo cerrada cuando los dos puntos de reunión se encuentran en el interior de la mina. La característica básica de las uniones en paralelo es que las depresiones de los ramales que la componen son iguales, independientemente del largo, resistencia y cantidad de aire. Las divisiones o separaciones pueden ser Naturales, en donde no hay regulación para controlar el caudal, o bien Controladas, en las cuales se coloca un regulador para controlar la cantidad de aire que pasa a través del ramal. A partir de la primera ley de Kirchhoff, se obtiene que

en donde se establece que las caídas de energía en cada ramal son iguales.

Circuitos en Paralelo Una resistencia equivalente en un circuito puede ser determinada a partir de la ecuación de Atkinson en cada ramal como una función de la caída de presión y la resistencia propia de cada ramal. De este modo, aplicando la primera ley de Kirchhoff, y de acuerdo con la figura (a), se obtiene

De esta manera, la ecuación anterior se puede expresar como:

es la resistencia equivalente del circuito.

Circuitos en Paralelo Si se considera el costo económico en ciertos circuitos para un cierto caudal Q, el flujo paralelo tiene ventajas de acuerdo con las ecuaciones que definen las caídas de presión, caudales y potencia del aire. Considere 3 ramales de caudal Q, todas con la misma caída Hl. En un circuito en serie la caída total de los tres ramales sería 3Hl. En paralelo con el mismo caudal Q la caída total es (1/3)2 o un1/9 de Hl. La potencia requerida, y por lo tanto el costo, en paralelo sería solo (1/3)3 o 1/27 de la que se requiere en serie. Por otra parte, la potencia requerida sería la misma si por cada ramal circulara Q paralelamente, como en el circuito en serie, pero el caudal total sería el triple pero la caída sería sólo 1/3.

El caudal de aire que circula a través de cada ramal puede ser determinado conociendo el caudal total y la resistencia de cada ramal, sin necesidad de haber calculado las pérdidas individuales. Ya que las pérdidas de cada ramal en paralelo son iguales, se pueden escribir los caudales individuales en función del caudal total y de las resistencias individuales y equivalentes:

Lo anterior significa que los ramales con mayor resistencia tendrán los caudales más bajos.

Circuitos en Paralelo Si en un circuito existen varios ramales en paralelo con las mismas características de resistencia y caudal Q, entonces se podrán expresar como

donde Na es el número de ramales paralelos, con resistencia individual R. Se puede emplear la ecuación de Atkinson para determinar las caídas totales de los ramales, substituyendo

Sistema inglés

Sistema internacional

Circuitos y redes de Ventilación Ejemplo1: En un circuito simple (ver figura a), y de acuerdo con los valores de las resistencias de cada ramal mostrados (*10-10 *pulg*min2/ft6, o N*s2/m8), determinar la resistencia y caída total del sistema desde 1 hasta 10, sabiendo que es un sistema aspirante y el caudal total debe ser de 100,000 cfm (47.29 m3/s).

Ejemplo2: Para el mismo circuito, determine los caudales parciales que circulan por cada uno de los ramales.

Solución Gráfica para determinar los caudales

Circuitos en Paralelo (Reguladores) Control del aire en ramales

Rara vez en un circuito en paralelo las separaciones naturales distribuyen el aire de un modo deseable, obteniendo caudales indeseados en los diferentes ramales. Entonces, para controlar la cantidad de aire que debe fluir a través de un determinado ramal se crea una resistencia artificial en todos los ramales menos en uno, en el cual el aire fluye libremente, llamado ramal libre. Las resistencias artificiales se crean para ocasionar Pérdidas por Choque (o secundarias), creando dispositivos llamados Reguladores. Estos generan una pérdida de energía que debe ser compensada con una mayor potencia aportada, por lo general, por ventiladores. Los reguladores no son más que un estrechamiento en el ducto o galería, similar a una placa de orificio en una tubería (placa plana con un orificio al centro), que generan una contracción y una expansión brusca del aire. La apertura de paso puede ser de tamaño fijo o variable, siendo habitual emplear una puerta de gran tamaño (para permitir el paso de vehículos), con una puerta deslizante más pequeña para el tránsito del personal. El cierre de estos reguladores puede ser total o parcial, para permitir variar las condiciones de ventilación según los requerimientos de trabajo. Para determinar el tamaño del regulador, primero debemos obtener las pérdidas por choque necesarias en cada uno de los ramales. Por lo tanto, se deben calcular las caídas en cada ramal basados en la cantidad de aire necesario.

Circuitos en Paralelo (Reguladores)

Ejemplos de Puertas y Reguladores en Mina El Teniente

Circuitos en Paralelo (Reguladores) Control del aire en ramales

El procedimiento de cálculo indica que se debe asignar como ramal libre (sin regulador) a aquel que tenga las mayores pérdidas. A partir de las segunda ley de Kirchhoff, para circuitos en paralelo las caídas en los distintos ramales deben ser iguales. De este modo, las pérdidas por choque deben ser creadas para alcanzar la cantidad de aire asignado, que son calculadas a partir de la resta de las caídas de presión de cada ramal de la caída de presión del ramal libre. Determinación del regulador

El tamaño aproximado de un regulador puede ser calculado a partir de la ecuación de McElroy (1935) para pérdidas por choque en una placa de orificio circular y simétrica.

donde X es el factor de Pérdidas por Choque, N es la razón entre el área Ar del orificio y el área A del ramal, y Cc es el coeficiente de contracción.

Circuitos en Paralelo (Reguladores) Determinación del regulador

El coeficiente de contracción está determinado por la relación donde Z es el factor de contracción. Habitualmente, a Ar se le denomina área del regulador. Ya que el área A es conocida, el regulador puede ser estimado de

Aunque la fórmula asume una apertura simétrica, el cálculo del área es lo suficientemente preciso para permitir que el área sea un rectángulo, en una apertura no simétrica. Pero para poder calcular N es necesario poder estimar X, de manera que de la ecuación de pérdidas por choque se obtiene

donde Hx es la pérdida necesaria de estimar para el regulador y Hv es la presión dada por la energía cinética en el ramal. El factor z varía con la configuración del regulador, estimándose un valor de 2.5 como el valor más utilizado en la práctica (orificio de bordes rectos).

Ejemplo1: de acuerdo a la tabla mostrada, determine el ramal libre y la cantidad de regulación necesaria en cada ramal para distribuir entre los ramales un total de 100,000 cfm (47.9 m3/s).

Ejemplo2: dado un caudal de 150,000 cfm (70.79 m3/s), Hx = 2.25 “H2O, y un área transversal de A=40 ft2, determine el área del regulador.

Circuitos en Paralelo (Reguladores) Existen gráficas y cartas que permiten obtener el tamaño del regulador más adecuado (Weeks, 1928). Por otra parte, la utilización de reguladores ojala no fuera necesaria. Idealmente, la ventilación de una mina debería estar diseñada e implementada completamente con reguladores, ya que el flujo natural crea sistemas ineficientes y con pérdidas innecesarias. Más que crear pérdidas por choque, es recomendable reducir al máximo las caídas de presión en el ramal libre, particularmente cuando la presión estática a ser disipada es grande. Las prácticas para ellos son:

- Cambiando las características que dan la alta resistencia al ramal (quitar obstrucciones, suavizar sinuosidades, limpieza de los ramales, alisar revestimientos, o incrementar el área). - Instalación de un Booster (ventilador de refuerzo) en el ramal de alta resistencia para reducir efectivamente las pérdidas en el sistema de ventilación principal.

Circuitos y redes de Ventilación Un sistema de ventilación principal consiste en una serie de ramales que van y vienen desde la superficie a las frentes de explotación o lugares de trabajo, ventiladores y dispositivos de control, todos interconectados para asegurar la cantidad y calidad de aire necesarios para cumplir con el trabajo y la legislación vigente. Los términos redes o circuitos complejos de ventilación son utilizados habitualmente para describir el sistema de ventilación principal de la mina. Sin embargo, es necesario definir ciertos conceptos: • Nodo (Node): es un punto donde dos o más segmentos (líneas) de ramales se reúnen o intersectan. • Ramal (Branch): es una línea entre dos nodos. • Diagrama (Graph): es un conjunto de nodos (en pares), conectados por ramales. • Diagrama de conexiones (Connecting Graph): es un diagrama en el cual todos los nodos están conectados por ramales.

Circuitos y redes de Ventilación • Red (Network): es un diagrama en el cual se indican flujos y sus direcciones en ramales. • Red conectada (Connected Network): es una red en la cual los ramales tienen sus nodos conectados con otros nodos. En la figura se muestra una red conectada con 7 ramales (indicados en círculos) y 6 nodos (indicados con números).

• Red direccionada (Directed Network): es una red en la cual cada ramal tiene asignado un signo o dirección asociada del flujo (flecha). • Grado de un nodo (Degree of a node): el número de ramales que se extiende desde un nodo hasta el extremo (donde cierra). Por ejemplo, en la figura el grado del nodo 2 es 3. • Malla (Mesh – cerrada): una trayectoria conectada a través de la red en la cual cada nodo es de grado 2 con respecto a la misma trayectoria. Por ejemplo, en la figura la trayectoria que conecta los nodos 2, 4, 5, 1, 6 y 2 es una malla (ramales 2-4, 4-5, 5-1, 1-6 y 6-2).

Circuitos y redes de Ventilación • Ramal o Ramificación (Tree or spanning tree): es un diagrama conectado con ramales que contienen todos los nodos pero que no crean malla (ramales que se ramifican desde los nodos). • Ramal de una ramificación (Branch in a tree): es un ramal contenido en una ramificación. • Cuerda o ramal básico (Chord – Basic branch): es un ramal contenido en una red pero no en una ramificación. • Malla básica (Basic mesh): una malla fundamental o básica es aquella que contiene sólo una cuerda y la única trayectoria formada por ramales en la ramificación entre los dos nodos de una cuerda.

• Conjunto de cuerdas (Chord set): el conjunto que contiene a todas las cuerdas de una red. Existe sólo un conjunto de cuerdas para una ramificación en particular. • Base de mallas (Mesh base): es un conjunto que contiene a todas las mallas base. Existe un único conjunto de mallas básicas para una ramificación en particular. • Grado de la red (Network degree): para una red conectada, es el número de cuerdas.

Circuitos y redes de Ventilación Las redes de ventilación simples o circuitos simples pueden ser resueltos para obtener la caída total aplicando las leyes de Kirchhoff, simplemente haciendo arreglos serie – paralelo para reducir todo a un circuito equivalente en serie. En la figura (a) se muestra un circuito simple. Sin embargo, la mayoría de los circuitos de ventilación son más complejas de resolver utilizando las resistencias serie paralelo. En la figura (b) se muestra un circuito complejo. En particular, su resolución se basa en la identificación de las cuerdas y de los ramales.

Circuitos y redes de Ventilación La unión en diagonal es aquella que se produce cuando dos o más labores en paralelo se unen ramales intermedios entre sí por una o varias labores complementarias, denominadas diagonales. Estas uniones son recurrentes en circuitos de ventilación, y se dividen en diagonales simples (con una diagonal), y complejas (con dos o más). Entre las propiedades básicas de la unión en diagonal es que existe igualdad de depresiones de las corrientes principales entre los puntos de bifurcación y de unión y reversibilidad de la corriente en la diagonal. Q

Q

El aire no pasa por la diagonal BD (Q2 = O, H2 = O) cuando las presiones de aire en "B" y "D" son iguales. En este caso, H1 = H4 y H5= H3 ; dividiendo ambas ecuaciones y reemplazando: 1 Q

B

5

C

A

2

4

D

3

Circuitos y redes de Ventilación Ya que Q1 = Q5 y Q4 = Q3

1

se tiene: Q

B

5 C

A 2

4

D

3

Ahora si admitimos que el aire en "2" es distinto de cero y se mueve desde "B" a "D", por propiedades de las desigualdades se demuestra que se debe cumplir que:

Y para que el aire suba desde "D" a "B" se debe cumplir que:

Circuitos y redes de Ventilación Existen varios métodos para resolver este tipo de unión, mostraremos dos de los más usados.

Método de las hipérbolas En el esquema analizado anteriormente, admitimos como dirección del aire en la diagonal la de "D" a "B". Los ramales "AB" y "ADB" constituyen una unión en paralelo; sus depresiones deben ser iguales.

De igual modo, son iguales las depresiones de las corrientes "DBC" y "DC": R3 * Q32 = R5 * (Q1+Q2)2 + R2 * Q22 1 Q

B

5 C

A 2 4

D

3

Circuitos y redes de Ventilación Dividiendo ambas ecuaciones por Q22 y designamos Q1/Q2 = X y Q3/Q2 = Y las ecuaciones se transforman

Este sistema de ecuaciones se puede resolver por aproximaciones sucesivas y, en forma más fácil, por medio de las curvas que representan (hipérbola). Resuelto X e Y tenemos que: siendo

Determinado el caudal que pasa por "2" se podrá determinar los otros caudales, por medio de "X" e "Y" como también con las relaciones de caudales. Conocida la distribución de los caudales, podremos determinar la caída de presión del circuito

Circuitos y redes de Ventilación Método de transformación del triángulo en estrella Para la resolución de sistemas más complejos, principalmente para uniones en diagonal se emplea, por analogía con el cálculo de las redes eléctricas, la transformación del triángulo en estrella de tres rayos. El triángulo "ABDA" puede ser reemplazado por una equivalente estrella con radios "AO", "BO", y "DO" 1 Q

B

5

1 C

A

Q

2 4

D

3

B

5 C

A O

4

2 D

3

Con ello desaparecen las ramas "1" - "2" - "4" de la unión en diagonal y se crean los brazos del triángulo AO = R1,4; AB = R1,2; OD = R2,4. Si suponemos que el aire entra en el punto A y sale en el punto B, entonces, para el triángulo la resistencia entre estos puntos se determinará como la resistencia común de las ramificaciones paralelas AB y ADB. Para la estrella esta resistencia será igual a la suma de resistencias de las secciones AO y OB. Al colocarnos en los otros vértices y generando el movimiento similar al anterior, se llega a determinar las formulas para el cálculo de las tres ramas creadas por el triangulo

Circuitos y redes de Ventilación Si para simplificar la escritura de las formulas, suponemos que

donde el valor de cada uno de los rayos de la estrella estará dado por

R1,2

=

½( a1 + a2 - a4)

R1,4

=

½( a1 + a4 - a2)

R2,4

=

½( a2 + a4 - a1)

Como se puede apreciar en la figura, reemplazado el triangulo por la estrella desaparece la diagonal y queda un esquema de dos ramas en paralelo lo cual es fácil de solucionar. De esta forma se conocerá la resistencia total del circuito y el caudal que pasa por las ramas "3" y "5". Al hacer la misma transformación de triangulo en estrella, desde el otro extremo, considerando el triangulo "BCD", podremos determinar el caudal de las ramas "1" y "4". Por diferencia entre "1" y "5" ó "4" y "3" se determina el caudal y la dirección de la rama "2".

Circuitos y redes de Ventilación Para la unión diagonal compuesta, representada en la figura que se muestra a continuación F 2 E 1

4

5

3

Q A

6

8 B

7

D

C

Para la cual están dados el caudal total y las resistencias de los elementos, la resolución se reduce a la simplificación progresiva del sistema, mediante la transformación de triángulo en estrella. A continuación se colocan los pasos necesarios para su completa resolución a) El triángulo "ABF" se transforma en estrella con centro en "G" y rayos "GA", "GB", "GF", con lo que se elimina la diagonal "4". F

1

Q

2

E

4

5

3

G A 6

8 B

7

C

D

b) El nuevo triángulo "GEC" formado se recalcula en estrella con centro en "H" y los rayos "HG", "HE", "HC", con ello se obtiene la eliminación de la diagonal "5". F

2

E

5

G

Q

3

H

A

8

B

7

D

C

c) Para la unión en paralelo obtenida, se determina la distribución del aire, para las ramificaciones "HED" y "HCD". Con ello se determina el flujo de aire que pasará por las ramas "3" y "8".

d) Ahora, en la figura resultante de la primera transformación ejecutada (a), el triángulo "CDE" se reemplaza por estrella con centro en "I". Se determinan los caudales de las ramificaciones "IEFG" e "ICBG". Con ello el caudal de las ramas "2" y "7". Por diferencia entre las ramas que conforman la diagonal "5" se determina su dirección y magnitud.

F

2

E

5 Q

3 I

G A

8 B

7

D

C

e) Con la unión original y considerando la fase con centro en "I", se reemplaza por estrella con centro en "K". En la unión en paralelo "KFAB" se determinan los caudales de las ramas "1" y "6" y, con ello, en base a los otros datos ya determinados, la diagonal "4". F

1

2

E

4

I

Q

K A

6

D B

7

C

Es importante anotar que la dirección de la corriente en las diagonales se determina automáticamente en este sistema de cálculo.

Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross En un circuito cualquiera con más de tres ramales, por ejemplo: HA

Q1

QA

HB

QB

HC

QC

Q2

Se cumple que no existen soluciones directas a la determinación de la solución para el caudal, aunque la caída de presión es constante. Para el ejemplo, existen b ramales (3) en la red (branches), entonces hay b corrientes de aire por determinar (3) y, por lo tanto, tenemos que b (3) ecuaciones independientes. Ahora bien, si la red contiene j uniones (2), entonces podemos escribir la primera ley de Kirchhoff para cada uno de ellos a su vez. Sin embargo, como cada ramal se supone como continua sin uniones que intervienen, el flujo de aire en un ramal se denota como Qi al entrar en una ramificación, implica automáticamente que Qi sale de la unión en el otro extremo de esa misma rama. De ello se deduce que cuando alcanzamos la salida de la última ramificación, todas las corrientes de aire han sido marcadas o simbolizadas. El número de ecuaciones independientes derivadas de la primera ley de Kirchhoff es (j-1) ó (2-1).

Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross Lo anterior deja b - (j - 1) o (b - j + 1) ecuaciones más que son establecidas a partir de la segunda ley de Kirchhoff. Tenemos que elegir (b - j + 1) mallas cerradas independientes en torno a las cuales se completan las caídas de presión por fricción, es decir (3 – 2 + 1 = 2) ecuaciones. Para el ejemplo, son conocidos: Q1 = Q2 = QA + QB + QC PL1-2 = HL1-2 = HA = HB = HC En este caso se requiere de una tercera ecuación independiente para resolver en forma explícita las tres velocidades/caudales. Para ello se aplica un sistema iterativo directo desarrollado por el profesor Hardy Cross, que converge a una solución de las velocidades (caudales) rápidamente. Esto requiere utilizar la ecuación: P = H = R Qn Esta técnica requiere estimar valores iniciales para la velocidad o el caudal en cada ramal del sistema. Además, se debe recordar que por continuidad y primera ley de Kirchhoff, todo lo que entra en un nodo debe salir. Por otro lado, el flujo tiende a seguir el camino de menor resistencia, por lo que los ramales que tienen menor resistencia tenderán a transportar mayor caudal que aquellas de resistencia mayor.

Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross La segunda ley de Kirchhoff establece que la caída de presión alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser igual a cero. A esto se le debe agregar que si el flujo tiende a ser positivo al seguir el sentido de las manecillas del reloj, por lo que si un tramo sigue el sentido contrario este será negativo. A continuación, se presente un procedimiento para la aplicación de la técnica de Hardy Cross: 1. Expresar la pérdida de carga de cada tramo de la forma Hi=Ri*Qi2 2. Suponer valores iniciales para cada caudal 3. Dividir la red en series de circuitos cerrados 4. Para cada tramo determinar Hi con los valores de Qi supuestos inicialmente 5. Proceder en cada circuito cerrado la suma algebraica de todos lo valores de H, de manera que si el flujo va en el sentido de las manecillas del reloj Hi y Qi son positivos, de lo contrario son negativos. La suma resultante se denota ∑Hi 6. Para cada tramo determinar 2RiQi 7. Sumar todos los valores de 2RiQi para cada circuito, con la suposición de que todos son positivos, lo que se denota como ∑(2RiQi) 8. Para cada circuito calcular el valor de ΔQi con ΔQi = ∑Hi / ∑(2RiQi) 9. Para cada tramo estimar un valor nuevo de Q, mediante Q’i = Qi - ΔQi 10. Repetir los pasos 4 al 8 hasta que ΔQi sea insignificante.

Circuitos y redes de Ventilación – Hardy Cross La aplicación directa de las leyes de Kirchhoff a los circuitos completos de ventilación en minas puede dar lugar a varios cientos de ecuaciones a resolver simultáneamente. Esto requiere de ayuda computacional. Las soluciones manuales se limitan a redes muy pequeñas o secciones de las redes. Sin embargo, un ejemplo de resolución manual es útil tanto para ilustrar la técnica y ayudar en la comprensión de los procedimientos numéricos posteriores.

Ejemplo: en la figura se muestra una red de ventilación simplificada alimentada por piques con aire descendente y ascendente, cada uno con 100 m3/s. Se muestra además la resistencia de cada ramal del sistema. Un ventilador impulsa el flujo de aire en la rama central a 40 m3/s. Determinar la distribución del flujo de aire del sistema y la presión total, pb desarrollado por el ventilador de refuerzo.

Solución Al inspeccionar red muestra que no se puede resolver en una configuración serie/paralelo y, por tanto, el método de resistencia equivalente no es aplicable. Debemos, por tanto, tratar de encontrar una solución mediante la aplicación directa de las leyes de Kirchhoff. Las corrientes de aire dada también se muestran en la figura con el flujo de A a B denota como Q1. Mediante la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a cada salida de cada ramal, los caudales de aire en otras ramas se pueden expresar en términos de la Q1 (ver la figura). El sistema tiene 5 ramales y 4 ramificaciones, lo que nos entrega 2 mallas independientes.

Elegimos las trayectorias a través de ABCA y de BDCB, y considerando los signos según el mismo sentido de circulación

Si hacemos lo mismo en los tramos CB, BD y DC tenemos,

Juntando las dos soluciones anteriores, obtenemos

Entonces, la caída total del sistema queda como:

Bibliografía Hartman, H.; Mine Ventilation and Air Conditioning; Third Edition; Wiley – Intercience, 1997. McPherson, M.; Subsurface Mine Ventilation; MVS 2th Edition, 2009. Mishra, R.; Mine Environment Ventilation; Oxford University Press, Calcutta, India, 1986. Yanes, E.; VENTILACION DE MINAS. Servicio Nacional de Geología y Minería. 2001. Hardy Cross; Analysis of flow in networks of conduits or conductors, Universidad de Illinois Engineering Experiment Stantion Bulletin, num. 86 (Urbana: Universidad de Illinois, noviembre de 1936).