• Author / Uploaded
• Jhonny Gonzalo Mamani Quispe

Citation preview

OPERACIONES CON VECTORES 1

La figura ABCD es un rombo. Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores: JJJG JJJG JJJG JJJG a) AB y BC b) AQ y BC JJJG JJJG JJJG JJJG c) BM y PD d) OC y OD

Solución: JJJG a) AB y JJJG b) AQ y

JJJG BC tienen igual módulo y distinta dirección. JJJG JJJG BC tienen iguales dirección y sentido. El módulo de AQ es la mitad del JJJG módulo de BC . JJJG JJJG c) BM y PD tienen iguales módulo, dirección y sentido. Son equivalentes. JJJG JJJG d) OC y OD tienen distintos módulo y dirección. JJJG 2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores equivalentes a NC y otros tres JJJG equivalentes a MQ .

Solución:

JJJG Tres vectores equivalentes a NC : JJJG Tres vectores equivalentes a MQ : 3

Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igualdades sean verdaderas para el rombo del ejercicio 1 como la del apartado a): JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG J a) CD = 2CP b) MN = ... AC c) OC = ... OA d) NB = ... BC

Solución: JJJG 1 JJJG b) MN = AC 2 4

JJJG JJJG JJJG BN , MO y AQ . JJJG JJJG JJJG BO, OD y NP .

JJJG JJJG c) OC = −1⋅ OA

JJJG 1 JJJG d) NB = − BC 2

Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el rombo del ejercicio 1, sean verdaderas como la del apartado a): JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG a) AM + MN = AN b) MN + ...C = MC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG c) M... + OP = OD d) AM + A... = AO

Solución: JJJG JJJG JJJG b) MN + NC = MC

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG c) MA + OP = OQ + OP = OD

1/15

JJJG JJJG JJJG d) AM + AQ = AO

5

Observa el rombo de la figura y calcula: JJJG JJJG JJJG JJJG a) AB + BC b) OB + OC JJJG JJJG JJJG JJJG c) OA + OD d) AB + CD JJJG JJJG JJJG JJJG e) AB + AD f ) DB − CA

Expresa los resultados con vectores que tengan su origen y su extremo en los vértices del rombo. Solución: JJJG JJJG JJJG a) AB + BC = AC JJJG JJJG JJJG JJJG b) OB + OC = OG = AB JJJG JJJG JJJG JJJG c) OA + OD = OE = BA JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G d) AB + CD = AB + BA = AA = 0 JJJG JJJG JJJG e) AB + AD = AC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG f) DB − CA = HG − HE = EG = 2 AB JJG 6 Considera el vector w

G G Dibuja en cada uno de estos casos, un vector v que sumado con u dé como JJG JJG G JG resultado w . Indica las coordenadas de u , v y w en cada caso. a)

b)

c)

d)

Solución:

a)

G v = ( 4, − 3 )

2/15

b)

G v = ( 7, 4 )

c)

G v = (11, 2 )

d) G v = (15, 0 )

7

JJG G JG Con los vectores u , v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y mediante sus coordenadas: G JG JG J J G JG JG JG a) 2 u + 3 v b) − v + 5 w c) 2u + 3 v − 4 w

Solución: G G JJG u = ( 3, 1) , v = ( 2, − 2 ) , w = ( 3, − 1)

a)

G G 2u + 3 v = 2 ( 3, 1) + 3 ( 2, − 2 ) = ( 6, 2 ) + ( 6, − 6 ) = (12, − 4 )

3/15

b) G JJG −v + 5 w = − ( 2, − 2 ) + 5 ( 3, − 1) = ( −2, 2 ) + (15, − 5 ) = (13, − 3 )

G G G JJG c) 2u + 3 v − 4 w = 2 ( 3, 1) + 3 ( 2, − 2 ) − 4 ( 3, − 1) = ( 6, 2 ) + ( 6, − 6 ) − (12, − 4 ) = ( 0, 0 ) = 0

APLICACIONES DE LOS VECTORES Determina la distancia entre los puntos A ( −4 , 4 ) y B ( 2 , − 2 ) , el punto medio

8

del segmento AB y el punto simétrico de A con respecto a B. Solución:

A

A’ JJJG Distancia entre A y B: d ( A, B ) = AB JJJG 2 AB = ( 2 − ( −4 ) , − 2 − 4 ) = ( 6, − 6 ) ; d ( A , B ) = 62 + ( −6 ) = 72 = 6 2 u M

B

⎛ −4 + 2 4 + ( − 2 ) ⎞ Punto medio del segmento AB: M ⎜⎜ , ⎟⎟ = M ( −1, 1) 2 ⎝ 2 ⎠ El punto simétrico de A con respecto a B es un punto A ′ ( x, y ) tal que B es el punto

medio del segmento AA’: −4 + x = 2; 2 4+y = −2; 2

− 4 + x = 4; 4 + y = −4;

⎫ x=8 ⎪ ⎪ ⎬ → A ′ ( 8, − 8 ) y = −8 ⎪ ⎪⎭

4/15

9

Calcula el perímetro de un triángulo cuyos vértices están situados en los puntos A ( 1, 2 ) , B ( 3 , 2 ) y C ( −1, 3 ) .

Solución:

y C B

A

d ( A , B) =

( 3 − 1)

+ ( 2 − 2) = 4 = 2

d (B, C ) =

( −1 − 3 )

d ( C, A ) =

(1 + 1)

2

2

2

2

+ ( 3 − 2 ) = 17 2

+ ( 2 − 3) = 5 2

Perímetro: p = 2 + 17 + 5 u

x

10 Dados los puntos A ( −2 , 3 ) y B ( 1, − 2 ) halla el punto medio del segmento AB y el punto simétrico de B respecto de A. Solución:

⎛ 1 1⎞ Punto medio de AB: M ⎜ − , ⎟ . ⎝ 2 2⎠

Punto simétrico de B respecto de A: B′ ( −5, 8 )

JJJG JJJG 11 Calcula las coordenadas del punto D para que los vectores AB y CD sean equivalentes, sabiendo que A ( −1, 2 ) , B ( 0 , − 2 ) y C ( 1, 4 ) .

Solución:

JJJG JJJG AB = ( 0 − ( −1) , − 2 − 2 ) = (1, − 4 ) . Sea D ( x, y ) . CD = ( x − 1, y − 4 ) JJJG JJJG Para que AB y CD sean equivalentes sus coordenadas han de ser iguales:

( x − 1, y − 4 ) = (1, − 4 )

x − 1 = 1; y − 4 = −4;

x=2 y=0

→ D ( 2, 0 )

12 Divide el segmento de extremos A ( −2 , 3 ) y B ( 0 , − 1) en tres partes iguales. Solución:

A

P1

P2

B

El punto P1 se obtiene como el trasladado del punto A mediante el vector

JJJG AB = ( 0 − ( −2 ) , − 1 − 3 ) = ( 2, − 4 ) .

1 JJJG 1 ⎛ 2 −4 ⎞ AB = ( 2, − 4 ) = ⎜ , ⎟ 3 3 ⎝3 3 ⎠ 1 JJJG 2 −4 ⎞ ⎛ −4 5 ⎞ ⎛ 2 −4 ⎞ ⎛ = ⎜ −2 + , 3 + = P1 = A + AB; P1 = ( −2, 3 ) + ⎜ , , ⎟ 3 3 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ ⎝3 3 ⎠ ⎝ 1 JJJG El punto P2 es el trasladado de P1 mediante AB 3 1 JJJG ⎛ −4 5 ⎞ ⎛ 2 −4 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ P2 = P1 + AB; P2 = ⎜ , ⎟ + ⎜ , ⎟=⎜ , ⎟ 3 ⎝ 3 3⎠ ⎝3 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠

5/15

1 JJJG AB 3

13 Estudia si los puntos A ( −2 , 0 ) , B ( 1, 1) y C ( −5 , − 1) pertenecen a la misma línea recta, es decir, si están alineados. Solución:

Para que tres puntos A, JJJ B Gy C estén JJJG alineados, los vectores AB y AC deben tener la misma dirección (paralelos). JJJG AB = (1 − ( −2 ) , 1 − 0 ) = ( 3,1) ; JJJG AC = ( −5 − ( −2 ) , − 1 − 0 ) = ( −3, − 1) JJJG JJJG 3 1 = ↔ AB & AC −3 −1

B

C

A B

A

C

Son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Los puntos A, B y C están alineados. 14 Dados los puntos A ( 3 , 7 ) , B ( 4 , 9 ) , C ( −4 , 3 ) y D ( 4 , 9 ) ¿son paralelos los JJJG JJJG vectores AB y CD ? Solución:

No son paralelos porque sus coordenadas no son proporcionales. JG JJG 15 Calcula m para que los vectores v = ( 7 , − 2 ) y w = ( m , 6 ) : a) Sean paralelos.

b) Tengan el mismo módulo.

Solución:

a) Paralelos: coordenadas proporcionales b) Igual módulo:

7 −2 7⋅6 ; m= ; m = −21 = m 6 −2

m2 + 62 = 72 + ( −2 ) ; 2

m2 + 36 = 53

Se elevan al cuadrado los dos miembros: m2 + 36 = 53; m2 = 17; m = ± 17 JJG JJG Hay dos soluciones: w1 = 17 , 6 , w 2 = − 17 , 6

(

)

(

)

16 Si el punto medio del segmento AB es M ( 3 , 5 ) , dado A ( 9 , 7 ) , calcula B. Solución:

Sea B ( x , y ) ⎧9 + x ⎪⎪ 2 = 3; 9 + x = 6; x = −3 ⎨ ⎪ 7 + y = 5; 7 + y = 10; y = 3 ⎪⎩ 2

A ( 9 , 7)

M(3 , 5)

B ( x , y)

→ B ( −3, 3 )

17 Halla las coordenadas del punto simétrico de P ( −4 , 2 ) respecto del punto Q ( 5 , − 1) . Solución:

Sea P′ ( x , y ) el simétrico de P respecto de Q. P

Q

P’

Q debe ser el punto medio del segmento PP’

6/15

⎧ −4 + x ⎪⎪ 2 = 5; − 4 + x = 10; x = 14 ⎨ ⎪ 2 + y = −1; 2 + y = −2; y = −4 ⎪⎩ 2

→ P′ (14, − 4 )

18 Si A ( 3 , 1) , B ( 5 , 7 ) y C ( 6 , 4 ) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, ¿cuál es el cuarto vértice? Solución:

y

B JG v

G JJJG v = BC = ( 6 − 5, 4 − 7 ) = (1, − 3 )

El vértice D es el punto trasladado del punto A G mediante el vector v = (1, − 3 ) G D = A + v ; D = ( 3, 1) + (1, − 3 ) = ( 4, − 2 )

C A

x JG v

D

19 Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de extremos A ( 5 , − 1) y B ( 17 , 8 ) en tres partes iguales. Solución:

P1 P2 A JJJG AB = (17 − 5, 8 − ( −1) ) = (12, 9 ) ;

B

1 JJJG 1 AB = (12, 9 ) = ( 4, 3 ) 3 3

1 JJJG AB; P1 = ( 5, − 1) + ( 4, 3 ) = ( 9, 2 ) 3 1 JJJG P2 = P1 + AB; P2 = ( 9, 2 ) + ( 4, 3 ) = (13, 5 ) 3

P1 = A +

20 Determina el valor de a, sabiendo que la distancia entre Q ( −6 , 2 ) y P ( a , 7 ) JJJG es 13. Escribe también las coordenadas y el módulo del vector PQ . Solución: d (P, Q ) =

( a − ( −6 ) ) + ( 7 − 2 ) 2

2

=

(a + 6)

2

+ 25 ;

(a + 6)

2

+ 25 = 13

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

(a + 6) a=

2

+ 25 = 169; a2 + 12a + 36 + 25 = 169; a2 + 12a − 108 = 0;

−12 ± 144 + 432 −12 ± 24 a = 6 = 2 2 a = −1 8

Hay dos soluciones: P1 ( 6, 7 ) y P2 ( −18, 7 )

7/15

y

P2

P1

Q

P1Q =

( −6 − 6 )

2

+ ( 2 − 7 ) = 169 = 13 2

x

P2 Q =

( −6 − ( −18 ) ) + ( 2 − 7 ) 2

2

= 169 = 13

21 Determina si el triángulo de vértices A ( 12 , 10 ) , B ( 20 , 16 ) y C ( 8 , 32 ) es rectángulo. Solución:

y

C

B A

x

d ( A , B) =

( 20 − 12 )

2

d (B, C ) =

( 8 − 20 )

+ ( 32 − 16 ) = 400 = 20 u

d ( A , C) =

( 8 − 12 )

2

2

+ (16 − 10 ) = 100 = 10 u 2

2

+ ( 32 − 10 ) = 500 u 2

El triángulo es rectángulo porque cumple el teorema de Pitágoras:

102 + 202 =

(

)

2

500 ; 100 + 400 = 500

22 Halla la longitud de la mediana que parte de A en el triángulo de vértices A ( −1, 4 ) , B ( 6 , 5 ) y C ( 10 , − 3 ) . Solución:

La longitud de la mediana que parte de A es la distancia entre A y el punto medio M del lado BC. B

⎛ 10 + 6 −3 + 5 ⎞ = M ( 8 , 1) M⎜ , 2 ⎟⎠ ⎝ 2

A

d ( A , M) =

M

( 8 − ( −1) ) + (1 − 4 ) 2

C

8/15

2

= 90 = 3 10 u

23 Los vértices de un triángulo son A ( −7 , 3 ) , B ( 1, 1) y C ( −1, 5 ) . Halla los puntos medios de sus lados. Comprueba que el triángulo que determinan tiene los lados paralelos al primero y que la medida de sus lados es la mitad. Solución:

Puntos medios de los lados: P, Q y R:

⎛ −7 + 1 3 + 1 ⎞ = P ( −3, 2 ) P⎜ , 2 ⎟⎠ ⎝ 2

C R

⎛ 1 + ( −1) 1 + 5 ⎞ Q ⎜⎜ , ⎟ = Q (0 , 3) 2 ⎟⎠ ⎝ 2

Q A P B

JJJG AB = (1 − ( −7 ) , 1 − 3 ) = ( 8, − 2 ) ; JJJG JJJG 8 −2 = = 2 → AB = 2RQ 4 −1 JJJG JJJG BC = ( −2, 4 ) , PR = ( −1, 2 ) ; JJJG AC = ( 6, 2 ) ;

JJJG PQ = ( 3, 1) ;

⎛ −7 + ( −1) 3 + 5 ⎞ R ⎜⎜ , ⎟ = R ( −4, 4 ) 2 2 ⎟⎠ ⎝

JJJG RQ = ( 0 − ( −4 ) , 3 − 4 ) = ( 4, − 1) ;

JJJG JJJG −2 4 = = 2 → BC = 2PR −1 2 JJJG JJJG 6 2 = = 2 → AC = 2PQ 3 1

24 Dados los puntos A ( 3 , 0 ) y B ( −3 , 0 ) , obtén un punto C sobre el eje de ordenadas, de modo que el triángulo que determinan sea equilátero. ¿Hay una solución única? Halla el área de los triángulos que resultan. Solución:

Como el punto C debe estar en el eje de ordenadas debe ser de la forma C ( 0, b )

C(0, b)

d ( A , B) = 6 u

A

B

d (B, C ) =

( 0 − ( −3 ) ) + ( b − 0 )

d ( A , C) =

(0 − 3)

2

2

2

= 9 + b2

+ ( b − 0 ) = 9 + b2 2

9 + b2 = 6

Para que sea equilátero:

9 + b2 = 36; b2 = 27; b = ± 27 ; b = ±3 3

C1

(

)

(

Hay dos soluciones: C1 0, 3 3 y C2 0, − 3 3

B

A

El área de cada uno de los triángulos es: base ⋅ altura 6 ⋅ 3 3 A= = = 9 3 u2 2 2

C2

9/15

)

ECUACIONES DE LA RECTA 25 Calcula las ecuaciones vectorial, paramétricas y explícita de las rectas bisectrices de los cuadrantes. Solución: y = −x

y=x

Bisectriz del primer y tercer cuadrante: G Punto A ( 0, 0 ) . Vector director: v = (1, 1) Ecuación vectorial: ( x, y ) = ( 0, 0 ) + t (1, 1) . ⎧x = t Ecuaciones paramétricas: ⎨ ⎩y = t

1 Ecuación explícita: y = mx + n . Pendiente m = = 1 . Como 1 pasa por el punto ( 0, 0 ) la ordenada en el origen es n = 0 . Queda: y = x

G Bisectriz del segundo y cuarto cuadrante: Punto A ( 0, 0 ) . Vector director: v = ( −1, 1)

⎧x = −t Paramétricas: ⎨ ⎩y = t 1 = −1 y n = 0 , queda y = − x Ecuación explícita y = mx + n con m = −1

Vectorial:

( x, y ) = ( 0, 0 ) + t ( −1, 1) .

26 Escribe las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta que tiene de ecuación explícita y = −3x + 4 Solución: G −3 . Vector director: v = (1, − 3 ) 1 ⎧x = 0 + t Ecuación vectorial: ( x, y ) = ( 0, 4 ) + t (1, − 3 ) Paramétricas: ⎨ ⎩ y = 4 − 3t

Punto A ( 0 , 4 ) . Pendiente m = −3 =

27 Escribe la ecuación continua de la recta de ecuación general −2x + y + 7 = 0 Solución:

Punto: Si x = 0 , y = −7 Ecuación continua:

→ A ( 0, − 7 ) .

G Vector director: v = (B, − A ) = (1, 2 )

x−0 y+7 = 1 2

28 Escribe la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos A ( −3 , 5 ) y B ( 3 , − 1) Solución: Ecuación explícita: y = mx + n G JJJG −6 = −1 Vector director: v = AB = ( 3 − ( −3 ) , − 1 − 5 ) = ( 6, − 6 ) . Pendiente: m = 6 La ecuación explícita queda: y = − x + n

Como pasa por el punto A ( −3 , 5 ) :

5 = − ( −3 ) + n; 5 = 3 + n; n = 2

La ecuación queda: y = − x + 2

10/15

29 Expresa en forma continua la ecuación de la recta que es paralela a la recta 5x − 2y + 12 = 0 y pasa por el punto ( −2 , 5 ) Solución:

Punto A ( −2, 5 ) .

G Vector director: v = (B, − A ) = ( −2, − 5 ) & ( 2, 5 )

Ecuación continua:

x+2 y−5 = 2 5

30 Escribe la ecuación general de la recta que es paralela a la recta y = pasa por el punto ( 4 , 0 )

8x − 3 y 2

Solución:

y=

8x − 3 ; 2

y = 4x −

3 . 2

Pendiente: m = 4 =

4 . 1

G Vector director: v = (1, 4 )

La ecuación general es de forma Ax + By + C = 0 con (B, − A ) = (1, 4 ) → B = 1, A = −4 Como pasa por ( 4, 0 ) : −4 ⋅ 4 + 1 ⋅ 0 + C = 0; C = 16

Queda: −4x + 1⋅ y + C = 0 .

Ecuación general: −4x + y + 16 = 0 31 Discute la posición relativa de las siguientes pares de rectas. Si se cortan calcula el punto de corte: a) r : 3x − 5y + 9 = 0 s : x + 4y − 3 = 0 b) r : 6x − 4y + 11 = 0

s : − 9x + 6y − 1 = 0

c) r : 4x − y + 1 = 0

s : 2x − 3y + 13 = 0

Solución:

a)

3 −5 ≠ . Son secantes. 1 4 ⎧3x − 5y = −9 ⎨ ⎩ x + 4y = 3

y=

18 ; 17

x + 4⋅

3x − 5y = −9 ⎯⎯⎯⎯→ −3x − 12y = −9 1ª +2ª ( −3 )

− 17y = −18

18 = 3; 17

x=3−

72 −21 = 17 17

⎛ 21 18 ⎞ Punto de corte: P ⎜ − , ⎟ ⎝ 17 17 ⎠

6 −4 11 = ≠ . Son paralelas. −9 6 −1 4 −1 ≠ . Son secantes. c) 2 −3 −12x + 3y = 3 4x − y = −1 ⎫ 1ª⋅( −3 )+ 2ª ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ 2x − 3y = −13 2x − 3y = −13 ⎭ −10x = −10 b)

x = 1;

4 ⋅ 1 − y = −1;

y=5

Punto de corte: P (1, 5 )

11/15

32 Discute la posición relativa y calcula, si es posible, los puntos de corte de los siguientes pares de rectas: ⎧ x = 2 + 3t s: ⎨ ⎩y = 7 + t

a) r : 2x − y + 8 = 0 c) r :

x−1 y+3 = 2 −6

−2x + 7 3

s:

x−2 y−1 = 3 −2

⎧ x = −1 − 3t d) r : ⎨ ⎩ y = 5 + 8t

s:

x−3 y+7 = 1 −4

b) r : y =

s : 3x + y + 2 = 0 ⎧x = 1 + t ⎪ s: ⎨ 3 ⎪⎩ y = 2 + 3t

6x + 3 e) r : y = 2 Solución:

G a) Vector director de r: v = ( −1, − 2 )

G Vector director de s: v = ( 3, 1)

−1 −2 ≠ . Los vectores directores tienen distinta dirección. Rectas secantes. 3 1 Se sustituye x e y de la segunda ecuación en la primera: 2 ( 2 + 3t ) − ( 7 + t ) + 8 = 0; 5t + 5 = 0;

t = −1

Poniendo este valor de t en las ecuaciones de s: x = 2 + 3 ⋅ ( −1) = −1; b) r : y = −

2 7 x+ . 3 3

y = 7 + ( −1) = 6 .

Punto de corte: P ( −1, 6 )

Pendiente de r: m = −

2 3

JG 2 Vector director de s: v ′ = ( 3, − 2 ) . Pendiente de s: m′ = − . 3 Las pendientes son iguales. Las rectas pueden ser paralelas o coincidentes. −4 + 7 = 1; P ( 2, 1) . Un punto de r: Si x = 2; y = 3 Ponemos este punto en la ecuación de s: 2 − 2 1− 1 0 0 = = ; ; 0 = 0 . Cierto. El punto también pertenece a s. −2 3 3 −2

Las rectas sin coincidentes. G c) Vector director de r: v = ( 2, − 6 ) .

JG Vector director de s: v ′ = (1, − 3 )

2 −6 = . Los vectores directores tienen la misma dirección. Las rectas pueden ser 1 −3 paralelas o coincidentes. Un punto de s: Si x = 0; 3 ⋅ 0 + y + 2 = 0;

y = −2; P ( 0, − 2 )

Ponemos este punto en la ecuación de r:

0 − 1 −2 + 3 = ; −6 2

−1 1 = . Falso. El punto no está en r. Las rectas son paralelas. 2 −6 G JG d) Vector director de r: v = ( −3, 8 ) . Vector director de s: v ′ = (1, − 4 ) −3 8 ≠ . Las rectas son secantes. 1 −4 Poniendo x e y de r en la ecuación de s:

( −1 − 3t ) − 3 = ( 5 + 8t ) + 7 ; 1

−4

−3t − 4 8t + 12 ; 12t + 16 = 8t + 12; = 1 −4

12/15

4t = −4;

t = −1 .

Ponemos este valor de t en las ecuaciones de r: x = −1 − 3 ( −1) = 2; e) r : y = 3x +

3 . 2

y = 5 + 8 ( −1) = −3 .

Punto de corte: P ( 2, − 3 )

Pendiente de r: m = 3

JG 3 Vector director de s: v ′ = (1, 3 ) . Pendiente de s: m′ = = 3 1 Las rectas tienen la misma dirección. 3 ⎛ 3⎞ Un punto de s: Si t = 0; x = 1; y = ; P ⎜ 1, ⎟ 2 ⎝ 2⎠ Ponemos este punto en la ecuación de r:

3 6 ⋅1+ 3 = ; 2 2

3 9 = . Falso. El punto P no está en r. Las rectas son paralelas. 2 2 x+1 y−2 = 33 Halla el valor que debe tomar k para que la recta r : sea paralela k 3 ⎧x = 3 − t a s: ⎨ ⎩ y = 2 + 5t Solución: G 3 Vector director de r: v = ( k , 3 ) . Pendiente de r: m = k JG 5 = −5 Vector director de s: v ′ = ( −1, 5 ) . Pendiente de s: m′ = −1 3 3 3 = −5; k = =− Para que sean paralelas: k −5 5

34 Calcula la recta que pasa por el punto A ( 2 , 7 ) y forma con el eje de abscisas un ángulo de 60º. Solución:

Pendiente de la recta: m = tg60º = 3

Ecuación explícita: y = mx + n;

y = 3x+n

Como pasa por A ( 2, 7 ) : 7 = 3 ⋅ 2 + n; n = 7 − 2 ⋅ 3

(

Ecuación explícita: y = 3 x + 7 − 2 3

)

35 Comprueba si están alineados los puntos P ( −1, 4 ) , Q ( 3 , 1) y R ( 11, − 5 ) . En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta que los contiene. Solución: JJJG JJJG PQ = ( 3 − ( −1) , 1 − 4 ) = ( 4, − 3 ) PR = (11 − ( −1) , − 5 − 4 ) = (12, − 9 ) JJJG JJJG 4 −3 = . Los vectores PQ y PR tienen la misma dirección y los puntos están 12 −9 alineados. G JJJG −3 Punto: P ( −1, 4 ) . Vector director: v = PQ = ( 4, − 3 ) . Pendiente: m = 4 −3x 3 3 − ; 4y − 16 = −3x − 3 Ecuación punto-pendiente: y − 4 = − ( x − ( −1) ) ; y − 4 = 4 4 4 La ecuación general es: 3x + 4y − 13 = 0

13/15

36 La recta que pasa por el punto A ( 2 , 3 ) y es paralela a la recta

x−6 y+3 = 4 −6

forma un triángulo con los ejes cartesianos. Calcula su área. Solución:

G Punto A ( 2, 3 ) . Vector director: v = ( 4, − 6 ) & ( 2, − 3 )

x−2 y−3 = . Se quitan denominadores y se pasa todo a un −3 2 miembro para obtener la ecuación general: −3x + 6 = 2y − 6; 3x + 2y − 12 = 0

Ecuación continua:

Punto de corte con el eje Y:

P

x = 0; 3 ⋅ 0 + 2y − 12 = 0;

y = 6; P ( 0, 6 )

Punto de corte con el eje X: y = 0; 3x + 2 ⋅ 0 − 12 = 0; Área del triángulo:

Q

A=

x = 4; Q ( 4, 0 )

base ⋅ altura 4 ⋅ 6 = = 12 u2 2 2

37 Los puntos A ( 0 , − 2 ) , B ( 1, 1) , C ( 5 , 2 ) y D ( 4 , − 1) son los vértices de una cuadrilátero. Obtén las ecuaciones de sus diagonales y su longitud. Indica de qué tipo de cuadrilátero se trata. Solución:

Ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC: C B

Punto A ( 0, − 2 ) . JJJG Vector director: AC = ( 5 − 0, 2 − ( −2 ) ) = ( 5, 4 )

x−0 y+2 = 5 4 4x − 5y − 10 = 0 (Diagonal AC)

Ecuación continua: D A

4x = 5y + 10;

Recta que contiene a la diagonal BD:

Punto: B (1, 1) JJJG Vector director: BD = ( 4 − 1, − 1 − 1) = ( 3, − 2 )

x −1 y −1 = ; − 2x + 2 = 3y − 3; 2x + 3y − 5 = 0 (Diagonal BD) −2 3 JJJG JJJG 1 3 = AB = (1 − 0, 1 − ( −2 ) ) = (1, 3 ) . CD = ( 4 − 5, − 1 − 2 ) = ( −1, − 3 ) −1 −3 Los lados AB y CD son paralelos. JJJG JJJG 4 1 = AD = ( 4 − 0, − 1 − ( −2 ) ) = ( 4, 1) BC = ( 5 − 1, 2 − 1) = ( 4, 1) 4 1 Los lados AD y BC son paralelos. El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos. Es un paralelogramo.

Ecuación continua:

Las longitudes de sus diagonales son: JJJG JJJG 2 d (B, D ) = BD = 32 + ( −2 ) = 13 u d ( A , C ) = AC = 52 + 42 = 41 u .

14/15

38 Calcula el valor de k para que las tres rectas r : 2x + 5y − 1 = 0 , s : − x + 2y + k = 0 y t : 4x + 7y − 5 = 0 se corten en el mismo punto. Determina las coordenadas de dicho punto. Solución: Punto de corte de las rectas r y t: −4x − 10y = −2 2x + 5y = 1 ⎫ 1ª⋅( −2) + 2ª ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ 4x + 7y = 5 4x + 7y = 5 ⎭ −3y = 3 y = −1;

2x + 5 ⋅ ( −1) = 1;

2x = 6;

x = 3. P ( 3, − 1)

Las coordenadas del punto P deben verificar la ecuación de s: −3 + 2 ⋅ ( −1) + k = 0; − 5 + k = 0; k = 5 La recta s es − x + 2y + 5 = 0 .

El punto de corte de las tres rectas: P ( 3, − 1)

15/15