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• Ppferrer Okidoki

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Variables aleatorias 1. Sea x la variable aleatoria que expresa el número de reclusos que habitan en un centro de readaptación elegido al azar. La distribución de probabilidad de x es la siguiente: xi

1

2

3

4

5

6

7

8 o más

pi

0.225

0.321

0.188

0.145

0.062

0.023

0.016

0.020

a. Comprobar que los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad. b. Hallar la probabilidad de que el número de reclusos que habitan en un centro de readaptación sea menor o igual que 4. c. Calcular la probabilidad de que al menos dos reclusos habitan en un centro de readaptación. d. Obtener el número promedio de reclusos que habitan en un centro de readaptación. e. Determinar el número esperado de reclusos para un intervalo de 15 minutos. f.

Determinar la varianza de llegadas para un intervalo de 15 minutos.

Respuestas. a. Los datos de la tabla SI representan una distribución de probabilidad ya que la suma de las probabilidades es igual a 1 b. La probabilidad se encuentra sumando desde xi1 hasta xi4 quedando de la siguiente manera: 0.225 + 0.321 + 0.188 + 0.145 = pi 0.879 = 87.9% c. La probabilidad se encuentra sumando desde xi3 hasta xi8 quedando de la siguiente manera: 0.188 + 0.145 + 0.062 + 0.023 + 0.016 + 0.020 = pi 0.454 = 45.4% d. Para sacar el promedio de recluso se utiliza la formula µ = Np quedando de la siguiente manera: 1. µ = 1(0.225) = 0.225 2. µ = 2 (0.321) = 0.642 3. µ = 3 (0.188) = 0.564 4. µ = 4 (0.145) = 0.58 5. µ = 5 (0.062) = 0.31 6. µ = 6 (0.023) = 0.138 7. µ = 7 (0.016) = 0.112 8. µ = 8 (0.020) = 0.16 µ = 2.731 e. 1(0.225) + 2(0.321) + 3(0.188) + 4(0.145) + 5(0.062) + 6(0.023) + 7(0.016) + 8(0.020) = 0.225 + 0.642 + 0.564 + 0.58 + 0.31 + 0.138 + 0.112 + 0.16 = 2.731

f.

0.225(1-2)2 + 0.321(2-2)2 + 0.188(3-2)2 + 0.145(4-2)2 + 0.062(5-2)2 + 0.023(6-2)2 + 0.016(7-2)2 + 0.020(8-2)2 = .225 + 0 + 0.188 + 0.58 + 0.558 + 0.368 + 0.4 + 0.72 = 3.039

Desarrollo 2. Distribución binomial Un policía municipal tiene ocho sectores a su cargo, y en promedio la probabilidad de que ocurra un acto delictivo es: 0.38. Si x representa el número de actos delictivos que pueden presentarse al policía municipal, construir la distribución de probabilidad. Respuesta. Se representan los valores. P= 0.38 Q= 0.62 N= 8 X= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Fórmula para la distribución.

𝑛 ( ) 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑥 Cuando x = 0 0 0.628−0

8 0.38 ( ) 0

= (1)(1)(0.0218340105584896)= 0.02183401 = 2.18%

Cuando x = 1 1 0.628−1

8 0.38 ( ) 1

= (8)(0.38)(0.03521) = 0.1070384 = 10.70%

Cuando x = 2

8 0.38 ( ) 2

2 0.628−2

= (28)(0.1444)(0.056800235584) = 0.2296547125132288 =

22.96%

Cuando x = 3

8 0.38 ( ) 3

3 0.628−3

= (56)(0.054872)(0.0916132832)= 0.281512228 = 28.15%

Cuando x = 4

8 0.38 ( ) 4

4 0.628−4

=

(70)(0.02085136)(0.14776336)=

0.215674690991872

=

21.56%

Cuando x = 5

8 0.38 ( ) 5

5 0.628−5

=(56)(0.0079235168)(0.238328)=0.1057501710669824= 10.57%

Cuando x = 6

8 0.38 ( ) 6

6 0.628−6

=(28)(0.003010936384)(0.3844)=0.0324073104882688=3.24%

Cuando x = 7

8 0.38 ( ) 7

7 0.628−7

=(8)(0.00114415582592)(0.62)= 0.0056750128965632=0.56%

Cuando x = 8

8 0.38 ( ) 8

8 0.628−8

=(1)(0.0004347792138496)(0.62)=0.000269563112586752=0.02%

Desarrollo 3. Distribución Poisson Un proceso de aprehensión de delincuentes trabaja con un promedio de casos no exitosos del 4%. Cada hora se considera una muestra aleatoria de 15 asaltos y se analiza. Si la muestra contiene más de un caso de aprehensión no exitoso, el proceso deberá dejarse de realizar. a. Calcule la probabilidad de que el proceso deba dejarse de realizar debido al esquema de muestreo. b. De acuerdo con la respuesta en el inciso a), ¿el esquema de muestreo es adecuado o generará demasiados procesos de aprehensión sin realizar?

Respuestas. Se utiliza la siguiente formula: Se representan valores:  = 0.04 = 4% ⅇ = 2.71828 (0.04)0

a. 𝑝(𝑥 = 0|𝜆 = 0.04) = 01 ⋅ⅇ 0.04 = ⅇ 0.04 = 2.718280.04 = 0.9607=96.07% b. No es el adecuado ya que generará demasiados procesos sin realizar aprehensión

Desarrollo 4. Distribución normal Una investigación sobre los delincuentes juveniles que el juez Conners pone en libertad condicional reveló que el 38% de ellos cometió otro delito. a. ¿Cuál es la probabilidad de que los últimos 100 delincuentes juveniles nuevos, 30 o más cometerán otro delito? b. ¿Cuál es la probabilidad de que 40 o menos de los delincuentes cometerán otro delito? c. ¿Cuál es la probabilidad de que de 30 a 40 de los delincuentes cometerán otro delito? Respuestas. a. 𝑛 = 100 𝑝 = 0.38 𝑞 = 0.62 x = 30 o mas m = np = (100) (0.38) = 38 z = 1.65 s = √𝑛𝑝𝑞 = √(100)(0.38)(0.62)= 4.8538

b. P (Zy-1.64) = 0.4495 + 0.5 = 0.9495 Z = 40 -38 = 2 1.85

= 0.41

4.85

P (Z