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• alexis huamani

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1.

Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata? 2. En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y C que emiten durante todo el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres emisoras. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música. b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcula de forma razonada cuál es la probabilidad de que esté sintonizada en la emisora B. 3. El 60 % de los alumnos de bachillerato de un Instituto son chicas y el 40 % chicos. La mitad de los chicos lee asiduamente la revista COMIC, mientras que sólo el 30 % de las chicas la lee. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta revista, b) Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma razonada probabilidad de que sea chica. 4. El 75 % de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60 % de los que utilizan el transporte y el 90 % de los que acude andando. Calcular de forma razonada: a) si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando, y b) b) si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual.

Variable Aleatorias • Una variable aleatoria es cualquier función que tiene como dominio a los elementos que constituyen el espacio muestral de un experimento aleatorio y como rango a un subconjunto de los reales. • Clases de variables aleatoria • Las variables pueden ser: • Variables aleatorias discretas • Variables aleatorias continuas

• Variable aleatoria discreta, si su rango es finito o infinito numerable. • Si se van a registrar los sexos de los próximos tres niños que van a nacer, el espacio muestral asociado será Ω = 𝑀𝑀𝑀, 𝑀𝑀𝐹, 𝑀𝐹𝑀, 𝐹𝑀𝑀, 𝑀𝐹𝐹, 𝐹𝑀𝐹, 𝐹𝐹𝑀, 𝐹𝐹𝐹 se define la variable aleatoria discreta. Y como el número de niños de sexo femenino que nacerán, halle el dominio y el rango Y.

•

M

•

F

• M

M F M F F

M F

MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFM

0 1 2 3

FFF

𝐷𝑋 = Ω = 𝑀𝑀𝑀, 𝑀𝑀𝐹, 𝑀𝐹𝑀, 𝐹𝑀𝑀, 𝑀𝐹𝐹, 𝐹𝑀𝐹, 𝐹𝐹𝑀, 𝐹𝐹𝐹 𝐷𝑋 = 0,1,2,3

VARIABLES ALEATORIAS

EJEMPLO Halle la función de probabilidad de la v.a.d y definida como el número de niños de sexo femenino que nacerán, asumiendo que los eventos simples son igualmente probables ( o que P(M)=P(F)=1/2 y que M y F son eventos independientes) Solución. 𝑓 0 = 𝑃 𝑌 = 0 = 𝑃 𝑀𝑀𝑀 = 1/8 𝑓 1 = 𝑃 𝑌 = 1 = 𝑃 𝑀𝑀𝐹, 𝑀𝐹𝑀, 𝐹𝑀𝑀 = 3/8 𝑓 2 = 𝑃 𝑌 = 2 = 𝑃 𝑀𝐹𝐹, 𝐹𝑀𝐹, 𝐹𝐹𝑀 = 3/8 𝑓 3 = 𝑃 𝑌 = 3 = 𝑃 𝐹𝐹𝐹 = 1/8 la función de probabilidad también se puede representar de la siguiente manera Y

0

1

2

3

𝑓 𝑦 =𝑃 𝑌=𝑦

1/8

3/8

3/8

1/8

1

• El número de unidades vendidas por día del articulo Z, tienen la siguiente función de probabilidad:

𝑓 𝑥 =𝑃 𝑋=𝑥 =

𝑐 1 8 2𝑐 0

𝑥 = 1,2 𝑥 = 3,4 𝑥 = 5,6 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥

• Determine el valor de C. • Solución • Por propiedad.

෍𝑓 𝑥 = 1 = 𝑓 1 +𝑓 2 + 𝑓 3 + 𝑓 4 + 𝑓 5 + 𝑓 6 1 1 = 𝑐 + 𝑐 + + + 2𝑐 + 2𝑐 = 1 8 8 Resolviendo la ecuación resulta c=1/8

Suponga que el tiempo, que necesita un técnico para reparar cierta avería de un artefacto eléctrico es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de probabilidad:

𝑓 𝑥 =

𝑘 6 − 𝑥 ,1 ≤ 𝑥 ≤ 3 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥

Halle el valor de k para que f(X) sea una función de probabilidad. −∞

න ∞

=

3 𝑘 ‫׬‬1

6 − 𝑥 𝑑𝑥=1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1, 𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

K=1/8

• Valor esperado, esperanza matemática o media de una variable aleatoria X. • 𝑢𝑥 = 𝐸 𝑋 = σ𝑥∈𝑅 𝑥𝑓 𝑥 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 • 𝑢𝑥 = 𝐸 𝑋 =

∞ ‫׬‬−∞ 𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎

Suponga que una librería compra 6 ejemplares de un libro y el número de ejemplares vendidos en tres meses, tiene la siguiente función de probabilidad: X

1

2

3

4

5

6

f(X)

1/8

1/8

1/8

1/8

2/8

2/8

Halle el número de ejemplares que se espera vender en tres meses 1 1 1 1 2 2 𝑢𝑥 = 𝐸 𝑋 = ෍ 𝑥𝑓 𝑋 = 1 ∗ + 2 ∗ + 3 ∗ + 4 ∗ + 5 ∗ + 6 ∗ = 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 8 8 8 8 8 8

Halle la varianza del número de ejemplares vendidos en tres meses. 𝑣𝑎𝑟 𝑥 = 𝐸 𝑋 2 − 𝑢𝑥2 = 19 − 42 = 3𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 1 1 2 2 2 2 2 2 𝑢𝑥 2 = 𝐸 𝑥 = ෍ 𝑥 𝑓 𝑥 = 1 ∗ + 2 ∗ + ⋯ . . +6 ∗ = 19 8 8 8

• La v.a continua X definida como la proporción de accidentes fatales por mes que ocurre en determinada ciudad tienen como función de probabilidad 2𝑥 𝑓 𝑥 = 0

0≤𝑥≤1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥

Calcule la probabilidad de que la proporción de accidentes por mes sea menor que 0.4 Encuentre la proporción media de accidentes fatales por mes en esa ciudad Halle la varianza de X

• Un empresario está analizando la posibilidad de invertir $35000. el sector agro industrial con la producción de espárrago en la ciudad de Trujillo es el mas atractivo, pero se concretará la inversión solo si la ganancia esperada es mayor de 50% de la cantidad invertida. • Luego de un análisis sea determinado que: la probabilidad de que la economía permanezca estable es 0.65, en cuyo caso la ganancia será igual a $15000. La probabilidad crezca es 0.25 en cuyo caso la ganancia será igual a $25000. la probabilidad de que la economía decrezca es 0.10 en cuyo caso se perderá todo lo invertido. a) Si el empresario invierte $35000, obtenga la distribución de probabilidades de la ganancia. b) Calcule e interprete la ganancia esperada y diga cuál será la decisión del empresario x

-35000

15000

25000

P(x)

0.10

0.65

0.25

• • • •

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA f(x): función de función densidad de probabilidad (fddp) EJERCICIO DE APLICACIÓN Considere la función de densidad, el área bajo la curva que describe es igual a 1 y generalmente es asintótica al eje x.

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 → 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑥 ≥ 0 → 𝑘 ≥ 0 1

0

1

∞

2. ‫׬‬0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ‫׬‬−∞ 𝑑𝑥 + ‫׬‬0 𝑘 𝑥𝑑𝑥 + ‫׬‬1 0𝑑𝑥 = 1 1 =‫׬‬0 𝑘 2 =𝑘 3

𝑘=

𝑥𝑑𝑥 = 1 → 𝑘 1 =1 3 2

1 𝑥 3/2 =1 3/2 0

3 ( 𝑓 𝑥 = ቐ 2) 𝑥 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0 𝑏

3. 𝑝 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∈ 0,1 𝑎

b) Determinación de la función de distribución F(x), usemos la definición 𝑥

3 𝑥 3 𝑥 3/2 𝐹 𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑥𝑑𝑥 = 2 2 3/2 −∞ −∞

𝑥

= 𝑥 3/2 0

0 ;𝑥 ≤ 0 𝐹 𝑥 = ቐ𝑥 3/2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 1 ;𝑥 ≥ 1

Observemos que es creciente y se puede graficar fácilmente 𝒙𝒊

𝑭(𝒙𝒊 ) = 𝒙𝟑/𝟐

0.2

F(0.2)=0.0894

0.4

F(0.4)=0.2530

0.8

F(0.8)=0.7155

• Usemos la definición 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 𝑃 0.3 < 𝑥 < 0.6 0.6

0.6

3/2 3 𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න = 3ൗ2 3/2 0.3 0.3 2 𝑥𝑑𝑥 Calculo de la media y varianza Calculo de la media µ

0.6

3 3 (0.6)2 −(0.3)2 =

=

𝐹 0.6 − 𝐹 0.3 = 0.4647 − 0.1643 = 0.3004

0.3

∞

0

1

∞

𝜇 = 𝐸 𝑋 = න 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න (0)𝑑𝑥 + න 𝑥 ∗ 3/2 𝑥𝑑𝑥 + න 𝑥0𝑑𝑥 −∞

1

−∞

0 1

𝜇 = 3/2 න 𝑥 𝑥𝑑𝑥 = 3/2 න 𝑥 3/2 𝑑𝑥 0

= 3/2

3 5/2 𝜇=𝐸 𝑋 = 𝑥 5

1 0

5 1 𝑥2

5 2

0

0

3 5/2 3 5/2 = 1 −0 = 5 5

1

• Calculo de la varianza 𝜎 2

𝜎2 = 𝐸 𝑋2

1

1 3 3 − 𝜇2 = න 𝑥 2 3/2𝑥 3/2 𝑑𝑥 − ( )2 = න 𝑥 5/2 𝑑𝑥 − (3ൗ5)2 5 2 0 0 1 2 7/2 2 3 𝑥 3 3 = − = + 3ൗ5 = 12/175 2 7/2 0 5 7