• Author / Uploaded
• S t

• Categories
• Campo (Matemáticas)
• Función (Matemáticas)
• Anillo (Matemáticas)
• Grupo (Matemáticas)
• Conjunto (Matemáticas)

Citation preview

MATEMÁTICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS A. K. Boiarthuk Variable compleja Funciones de variable compleja

1ATEMATI/IKA URSS

ISliK 22. Ih73, 22.161.6

BonpnyK Anwceü KjmMenmbeeuH

Cnpasoinoe noco6»e no Buciiieft

MAXEMATHKE. TOM 4.

Macrb 1.

i

Boiarchuk Alekséi Klimiéntievich Matemática superior. Problemas resueltos* Tomo 5Variable compleja: funciones de variable compleja. Traducido de la edición rusa (Editorial URSS, Moscú, 2001) La colección "AntiDemidóvich" que proponemos al lector abarca casi todas las ramas de las matemáticas. En "Variable compleja" se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas de dificultad media o alta. Este tomo incluye un repaso de las estructuras fundamentales del análisis matemático, números complejos, funciones de variable compleja y un estudio detallado de las funciones elementales en el plano complejo.

Reservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los países del mundo. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

ISBN 5-8360-0452-8 (Obra completa) ISBN 5-8360-0453-6 (Tomo 5) © Obra original: Editorial URSS, 1997, 2002 © Traducción y obra en español: Editorial URSS, 2002 © Diseño gráfico y diseño del texto; Editorial URSS, 2002

7 85836 "004538

Director Director financiero Director de sistemas Director de producción Vicedirector

Domingo Marín Ricoy Viktoria Ma lish ettko Víktor Románov ¡tina Makiéeva Natalia Finogtiiénova

MíiAaTe/ibCTBo «3,Qmüpwaji yPCC». 113208, r MocKsa, yn. MepiaHOBCKaw, A- 2/11. Dnnemm IAfX Ne 03216 OT 10.11.2000 r. FMTM©HMH©CKHW cepTW(J)MKaT Ha BbinycK KHM*HOM npoAYKUKM Ns 77. > 5 > < > - . :.;!

i

* : J w

< • • : * > ; ,y>í ^

:

.:> • ::

\ • •

: •

*

Si en el conjunto M\ hay elementos que no pertenecen al conjunto M 2 , entonces M\ no está contenido en M2 y se escribe Mi x g M i A x £ M2 x GC M i A x £ C M 2

x 6 C M i n C M 2 =>

=> C ( M i U M 2 ) C C M I n C M 2 .

Si y £ CMi n CM 2/ obtenemos y £ CMi n CM2 =>y e CMi A y e CM2 2/ e C ( M i ü M 2 ) C M i (1 C M 2 C C ( M i U M 2 ) .

De las dos últimas inclusiones se deduce la primera igualdad. La segunda igualdad de (1) se demuestra análogamente. Las leyes de Morgan se extienden fácilmente a cualquier número de subconjuntos del conjunto M :

De la fórmula (2) vemos que, al intercambiar el símbolo de complemento C con los símbolos U y.n, estos últimos se intercambian entre sí. «M/'V/n

1.5. Par ordenado y producto cartesiano de conj untos Con ayuda del concepto de par ordenado se introduce una operación más sobre conjuntos: el producto cartesiano. En las matemáticas es de gran importancia el concepto de par ordenado (x,y) compuesto de elementos de un mismo conjunto o de conjuntos distintos X e Y. La proM(x, y) piedad principal de los pares ordenados es la siguiente: dos pares ordenados (xíf yi) y (x2, y2) se consideran iguales si, X y sólo si, x\ = x2 e 2/i =yz> El elemento x Fig.6 se llama primera componente (coordenada) del par (x, y), mientras que el elemento y es la segunda componente (coordenada). Al igual que el concepto de conjunto, el concepto de par ordenado se considera primario. Definición. Se denomina producto cartesiano de los conjuntos X e Y" al conjunto ^ XxY = {(x,y): x € X , y e Y}. El producto cartesiano de dos rectas diferentes que se cortan se puede identificar con el plano que las contiene. La identificación se efectúa según la regla M = (x, y) (fig. 6). En esta propiedad se basa el método de coordenadas de resolución de problemas geométricos propuesto por el famoso matemático René Descartes (1596-1650), en cuyo honor el producto se denomina "cartesiano". Haciendo uso del método de inducción matemática podemos definir el conjunto ordenado de n + 1 elementos (xx, x2,..., xn+í) ~ ((xt, x2t..., xn), zn+1), n > 2, y el producto cartesiano de n + 1 conjuntos Xi x X2 x . . . x Xn+i ~ (Xr x X2 x . . . x Xn) x

Xn+l.

1.6. Relaciones binarias. Proyecciones y secciones de una relación binaria. Relación binaria inversa Definición. Un conjunto T se denomina relación binaria entre los elementos de los conjuntos X e ^ s i T C ^ x y . Con las relaciones binarias se pueden realizar no sólo las operaciones elementales definidas para los conjuntos (intersección y unión), sino también las operaciones especiales de proyección e inversión. Se denomina primera proyección de la relación binaria F C X x Y al conjunto V\ = prtr = {x £ X: 3 y £ Y: (x,y) G T}. Y

r¿x)

\

•^m-fffm^'

iL JrJ

\

j

!I i! x

x

Fig. 7 La primera proyección de la relación binaria T está compuesta de las primeras coordenadas de los pares ordenados pertenecientes al conjunto F (fig. 7). El conjunto Éi(x) — {y € Y: (x, y) € V} se denomina sección primera de T mediante x (fig. 7) y está compuesta de las segundas coordenadas de todos los elementos de F cuya primera mm •
_•.•

Fig. 8 coordenada es igual a o?. La sección primera de T mediante x es el conjunto vacío Va £ I V Se denomina segunda proyección de la relación binaria F el conjunto r 2 = pr 2 F = {y 6 Y: 3 x 6 X : (x,y) 6 r } . La segunda proyección de la relación binaria T es el conjunto de todas las segundas coordenadas de los pares ordenados pertenecientes al conjunto T (fig. 8). \

Fig. 9

«Sil

El conjunto r 2 {y) = {x e X: (x,y) € F} se denomina sección segunda de F mediante y (fig. 8). El conjunto IMy) está compuesto de las primeras coordenadas de todos los elementos de T cuya segunda coordenada es igual a y. La sección segunda de T mediante y es el conjunto vacío Vy Y, X dos aplicaciones. La composición de las aplicaciones y? y / se denota mediante f o