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(xi − x ¯)2 · ni n

P (Aj ) · P (B/Aj ) n X

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« Editorial chamaj Autor: Juan Chapi Mamani [email protected] [email protected] whatsapp: 77561916

Nota: el autor certif´ıca (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude cient´ıfico, plagio o vicios de autor´ıa; en caso contrario eximir´a de toda responsabilidad a la Instituci´on, y se declar´a como el u´nico responsable.

[email protected]

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´Indice general

1. Conceptos B´ asicos

5

2. Representaciones Univariantes

19

3. Estad´ıgrafos Univariantes

29

4. An´ alisis Bivariante

39

5. Introducci´ on a la Probabilidad

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A. Formulario A.1. Conceptos B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Representaciones Univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Distribuci´on de frecuencias de variable cualitativa . A.2.2. Distribuci´on de frecuencias de variable cuantitativa A.2.3. Gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Estad´ıgrafos Univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Promedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.3. Variaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4. Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. An´alisis Bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Distribuci´on de frecuencia conjunta . . . . . . . . . A.4.2. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.3. Coeficiente de Correlaci´on de Pearson . . . . . . . . A.4.4. Modelo de Regresi´on Lineal Simple . . . . . . . . . A.5. Introducci´on a la Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1. Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.2. Espacio muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.3. Evento o Suceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.4. Definici´on de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . A.5.5. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . A.5.6. Teorema de la probabilidad total . . . . . . . . . . A.5.7. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 60 60 61 66 67 68 72 72 73 75 75 76 76 77 78 78 78 79 81 82 83 83

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B. Sumatoria B.1. Propiedades de la Sumatoria B.2. Sumatorias Notables . . . . B.3. Sumatorias Infinitas . . . . B.4. Dobles Sumatorias . . . . . B.4.1. Propiedades . . . . .

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Bibliograf´ıa

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Unidad

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Conceptos B´ asicos 1 Cuestiones de elecci´on m´ ultiple a) La rama de la Estad´ıstica que trata de la recogida, organizaci´on, resumen y presentaci´on de los datos relativos a una muestra es 1) 2) 3) 4)

inferencia estad´ıstica estad´ıstica descriptiva un ejemplo de distribuci´on de frecuencias el estudio de estad´ısticos

b) Un subconjunto de la poblaci´on seleccionado para ayudar a hacer inferencias sobre una poblaci´on se llama 1) 2) 3) 4)

una poblaci´on estad´ıstica inferencial un censo una muestra

c) El conjunto de todos los elementos objeto de estudio para una caracter´ıstica determinada se denomina 1) 2) 3) 4)

estad´ıstica descriptiva muestra poblaci´on estad´ıstico

d) Un cuestionario sobre la satisfacci´on de la Oficina Financiera del campusde la USB se envi´o a 50 estudiantes del campus. Los 50 estudiantes de esta encuesta son un ejemplo de 1) 2) 3) 4)

estad´ıstico par´ametro poblaci´on muestra 5

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e) Todos los miembros del campus, usuarios de la Oficina Financiera anterior, son un ejemplo de 1) 2) 3) 4)

estad´ıstico par´ametro poblaci´on muestra

2 Cuestiones a completar a) Un (par´ametro, estad´ıstico)............................. es una caracter´ıstica de una poblaci´on. b) Un (par´ametro, estad´ıstico)............................. es una caracter´ıstica de una muestra. c) Un conjunto extra´ıdo de la poblaci´on se llama (muestra, poblaci´on, censo)................. d) Las variables que toman valores num´ericos que se pueden contar se llaman (cualitativas, discretas, continuas) ........................... e) Las variables que toman valores sobre un intervalo se llaman (cuantitativas, discretas, continuas) ........................... f ) Sacar conclusiones sobre una poblaci´on a partir de una muestra, es cuesti´on de la estad´ıstica ........................... (descriptiva, inferencial). g) La estad´ıstica (descriptiva, inferencial) ........................... trata de hacer predicciones sobre una poblaci´on, bas´andose en la informaci´on de una muestra de la poblaci´on elegida apropiadamente. h) La estad´ıstica (descriptiva, inferencial) ........................... supone la recogida, organizaci´on, resumen y presentaci´on de los datos. i) El conjunto de todos los elementos bajo consideraci´on se llama (muestra, poblaci´on) ........................... na) j) Un subconjunto de una poblaci´on se llama (censo, muestra, poblaci´on peque˜ ........................... k) Variables tales como sexo, color de ojos, raza, etc. se clasifican como variables (cuantitativas, cualitativas) ........................... 3 Cuestiones de Verdadero/Falso a) Un estad´ıstico es una caracter´ıstica de una poblaci´on. b) Un par´ametro es una caracter´ıstica de una poblaci´on. c) Las variables discretas pueden adoptar cualquiera de los valores de un cierto intervalo. d) Las variables continuas pueden adoptar cualquiera de los valores de un cierto intervalo. e) La variable X: “cantidad de lluvia que cae en Cochabamba en el mes de febrero”, es un ejemplo de variable aleatoria discreta. f ) La variable X: “n´ umero de d´ıas de lluvia en Cochabamba en el mes de febrero”, es un ejemplo de variable aleatoria discreta. g) La Estad´ıstica es la ciencia que en l´ıneas generales, recoge, organiza e interpreta los datos num´ericos. [email protected]

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h) La Estad´ıstica s´olo comprende el muestreo y la estad´ıstica descriptiva. i) Una muestra es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar la variable considerada. j) La estad´ıstica descriptiva incluye la recogida, organizaci´on y an´alisis descriptivo de los datos. k) La Estad´ıstica se interesa s´olo de la recogida, organizaci´on y visualizaci´on de los datos. l) La inferencia estad´ıstica supone la extracci´on de conclusiones o toma de decisiones sobre una muestra, a partir de los valores de una poblaci´on. m) La inferencia estad´ıstica supone la extracci´on de conclusiones o toma de decisiones sobre una poblaci´on, a partir de los valores de una muestra. n) Una poblaci´on es parte de una muestra. n ˜) Una poblaci´on se refiere al conjunto de todos los individuos u objetos que son motivo de estudio, mientras que una muestra es un subconjunto de la poblaci´on. o) Un censo es una muestra de la poblaci´on. 4 Determinar, en cada caso el tipo de variable, de acuerdo a su naturaleza: a) Tiempo que demora un paciente para ser atendido en un Centro M´edico. b) Carreras que quieren seguir las alumnas y los alumnos de un centro educativo al terminar la Educaci´on Secundaria. c) Intenci´on de voto para las elecciones presidenciales. d) Horas que dedican a ver televisi´on los estudiantes de Primaria en La Paz. e) N´ umero de aparatos de radio que hay en los hogares de El Alto. f ) Grado de instrucci´on de los trabajadores de una Empresa. g) N´ umero de televisores LCD vendidos durante el mes de diciembre del a˜ no pasado. h) Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. i) N´ umero de pacientes atendidos por emergencia durante el mes pasado. 5 Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes ya sea como inferencias o m´etodos descriptivos. a) El a˜ no pasado en la USB el puntaje promedio del examen de admisi´on fue 85. b) El Dr. Garc´ıa, un ec´ologo, inform´o que en cierto r´ıo del oriente boliviano, la carne de los peces contienen un promedio de 300 unidades de mercurio. c) La compa˜ n´ıa “RM” predijo qui´en ser´ıa el ganador en una elecci´on presidencial despu´es de conocer los resultados de las votaciones de 25 mesas de sufragio de las 2800 mesas que hubo en total. 6 De los siguientes enunciados ¿cu´al probablemente usa la estad´ıstica descriptiva y cu´al, la estad´ıstica inferencial? [email protected]

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a) Un m´edico general estudia la relaci´on entre el consumo de cigarrillo y las enfermedades del coraz´on. b) Un economista registra el crecimiento de la poblaci´on en un a´rea determinada. c) Se desea establecer el promedio de bateo de un equipo determinado. d) Un profesor de expresi´on oral emplea diferentes m´etodos con cada uno de sus 2 cursos. Al final del curso compara las calificaciones con el fin de establecer cual m´etodo es m´as efectivo. 7 Clasificar las siguientes variables en: continua, discreta, nominal, ordinal: a) n´ umero de alumnos por carrera b) comuna en que viven los alumnos del curso de estad´ıstica c) color de ojos de un grupo de ni˜ nos d) monto de pagos por concepto de aranceles en la universidad e) sumas posibles de los n´ umeros obtenidos al lanzar dos dados f ) clasificaci´on de los pernos en un local seg´ un sus di´ametros g) peso del contenido de un paquete de cereal h) monto de la venta de un art´ıculo en $us i) valor de venta de las acciones j) n´ umero de acciones vendidas k) nivel de atenci´on en el Banco l) nivel de educacional m) AFP a que pertenece un individuo n) edad n ˜) clasificaci´on de la edad en: ni˜ no, joven, adulto y adulto mayor 8 De cada una de las siguientes situaciones responda las preguntas que se plantean: Un fabricante de medicamentos desea conocer la producci´on de personas cuya hipertensi´on (presi´on alta) puede ser controlada con un nuevo producto fabricado por la compa˜ n´ıa. En un estudio a un grupo de 13000 individuos hipertensos, se encontr´o que el 80 % de ellos control´o su presi´on con el nuevo medicamento. Seg´ un una encuesta realizada a 500 adultos mayores de la comuna de Santiago, revel´o que en promedio realizan 6 visitas anuales al consultorio. Envista de los resultados el ministerio de salud deber´a aumentar los recursos en un 10 %. a) ¿Cu´al es la poblaci´on? b) ¿Cu´al es la muestra? c) Identifique el par´ametro de inter´es d) Identifique el estad´ıgrafo y su valor e) ¿Se conoce el valor del par´ametro? [email protected]

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9 Conteste verdad V o´ falso F a) ( ) La estad´ıstica descriptiva es el estudio de una muestra que permite hacer proyecciones o estimaciones acerca de la poblaci´on de la cual procede. b) ( o´n.

) Un par´ametro es una medida calculada de alguna caracter´ıstica de una poblaci-

c) ( ) Abrir una caja de manzanas y contar los que est´an en mal estado es un ejemplo de dato num´erico continuo. d) ( ) En una muestra aleatoria simple todos tienen la misma posibilidad de ser seleccionados. e) ( ) No tiene mayor importancia el criterio que se tome para determinar a cual intervalo pertenece un elemento cuyo valor coincida con el l´ımite de una clase. f) ( ) Mientras mayor es el n´ umero de intervalos elegidos para la formaci´on de una distribuci´on de frecuencias, menor es la exactitud de los estad´ıgrafos que se calculan. g) (

) La marca de clase debe ser siempre un n´ umero entero y positivo.

10 Completa las siguientes frases. a) La estad´ıstica que analiza los datos y los describe es b) Por medio de una investigaci´on se recolectan los c) Por razones de costo y del tiempo que se gastar´ıa en encuestar a todos los elementos de una , se recurre al d) Para obtener una tener

aleatoria de la poblaci´on, cada elemento debe oportunidad de ser

11 Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas: a) El cargo de un pol´ıtico en el gobierno (l´ıder, ministro, diputado normal). b) El n´ umero de veces que ha votado en la u ´ltima legislatura. c) La cantidad de dinero estafado por el pol´ıtico. d) El n´ umero de tel´efono de su despacho. e) Su orientaci´on pol´ıtico (izquierda, centro, derecha). f ) La titulaci´on o grado que estudi´o. g) El peri´odico que lee con m´as frecuencia. h) El n´ umero de veces que ha hablado en el congreso. i) El tiempo que ha estado en el congreso. 12 De las variables cualitativas en la lista anterior, indica que variables son nominales y que son ordinales. 13 De las variables cuantitativas en la lista anterior, indica que variables son discretas y cuales contin´ uas. [email protected]

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14 Se quiere estudiar las opiniones de los cruce˜ nos sobre la posible independencia de Santa Cruz (muy a favor, a favor, da igual, en contra o muy en contra). Con este objetivo se decide encuestar a 20 estudiantes de la Universidad. Definir: a) La poblaci´on de inter´es. b) La variable. c) Qu´e tipo de variable es. d) La muestra. e) El dato correspondiente a tu opini´on. 15 En la pregunta anterior, ¿la manera de seleccionar la muestra os parece razonable? Comentar. 16 Se encuest´o a una muestra de 140 expendedores de fruta que venden sus productos en las plazas de mercado de la ciudad preguntando lo siguiente: Kilos de fruta que venden en la semana Calidad de la fruta que venden a) Defina la poblaci´on b) Cu´al es la muestra 17 Indica el tipo de variable estad´ıstica que estamos estudiando y di, en cada caso, qu´e ser´ıa mejor, si estudiar una muestra o la poblaci´on. a) El programa favorito de los miembros de tu familia. b) La talla de calzado de los estudiantes de la USB. c) La temperatura media diaria de tu ciudad. d) La edad de los habitantes de un pa´ıs. e) El sexo de los habitantes de un pueblo. f ) El dinero gastado a la semana por tus amigos. g) Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano. h) El color del pelo de tus compa˜ neros de clase. 18 De las siguientes variables, ¿cu´ales son discretas? a) N´ umero de mascotas. b) Talla del calzado. c) Per´ımetro craneal. d) Ingresos diarios en una fruter´ıa. e) Kilogramos de carne consumidos en el comedor de la USB durante una semana. [email protected]

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19 Seg´ un un estudio realizado en 800 hogares de una ciudad, elegidos al azar, en el 28 % de las viviendas hay, al menos, un perro o un gato. Identifica en este estudio: a) La poblaci´on y la muestra. b) El car´acter estad´ıstico y si es cuantitativo o cualitativo. 20 Clasifica, en cualitativos y cuantitativos, estos caracteres estad´ısticos de un grupo de alumnos. a) Grupo sangu´ıneo. b) Profesi´on del padre. c) Llamadas telef´onicas semanales. d) Gasto semanal que realizan. e) Color de los ojos. f ) Ciudad en la que han nacido. 21 Clasifica las siguientes variables estad´ısticas en discretas y continuas. a) Edad de la madre de los estudiantes de una clase de estad´ıstica. b) N´ umero de calzado de los estudiantes de una clase de estad´ıstica. c) Cotizaci´on diaria de las acciones de una empresa en el mercado de valores. d) N´ umero de viviendas en los edificios de una ciudad. e) Salto de longitud de los atletas en unos juegos ol´ımpicos. 22 En el peaje de la autopista, se est´a realizando un estudio sobre el color de los coches que pasan, marca del auto, categor´ıa de la licencia de conducir, el sexo del conductor, su n´ umero de ocupantes y la velocidad m´axima a la que circulan. Indica, en cada caso, el car´acter estudiado, si el car´acter estudiado es cuantitativo o cualitativo y, si procede, si las variables son continuas, discretas, nominales u ordinales. 23 Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) El color del pelo es un car´acter cualitativo. b) Una muestra tiene que estar formada por, al menos, la mitad de la poblaci´on. 24 Clasifica, en cualitativos y cuantitativos, los siguientes caracteres estad´ısticos y, en su caso, indica si la variable es discreta, continua, nominal u ordinal. a) Viajeros que suben a un autob´ us en una determinada parada a lo largo del d´ıa. b) Marca de los coches que pasan en un d´ıa por un t´ unel de lavado. c) Peso de un grupo de personas. d) N´ umero de nacimientos semanales que se producen en una ciudad. [email protected]

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25 En una web sobre sacos de dormir se recoge informaci´on sobre las siguientes variables. Clasif´ıca cada una como nominal, ordinal, cuantitativa discreta o cuantitativa continua. a) Disponibilidad (inmediata, tardan menos de dos d´ıas en traerlo, tardan dos o m´as d´ıas en traerlo). b) Temperatura exterior que aguanta. c) Posici´on de la cremallera (derecha, izquierda, ambas, sin cremallera, frontal). d) Tipo (hombre, mujer, dobles, ni˜ nos). e) Color. f ) N´ umero de personas que han comprado ese saco la u ´ltima semana. g) Posici´on que ocupa en el ranking de los m´as vendidos. h) Tipo de aislamiento (sint´etico o mezcla). i) Fabricante. j) Uso (camping, monta˜ nismo, albergues, ciclismo). 26 Clasificar las siguientes variables: a) Preferencias pol´ıticas (izquierda, derecha o centro). b) Velocidad en Km/h. c) El peso en Kg. d) Nivel educativo (primario secundario, superior). e) A˜ nos de estudios completados. f ) Tipo de ense˜ nanza (privada, mixta o p´ ublica). g) N´ umero de empleados de una empresa. h) La temperatura de un enfermo en grados Celsius. i) La clase social (baja, media o alta). 27 ¿Cu´al es la diferencia entre un par´ametro y un estad´ıstico? 28 ¿Cu´al es la diferencia entre los datos cualitativos y los datos cuantitativos? 29 ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta respecto a las variables cuantitativas continuas? a) Toman como valores un conjunto de cualidades o atributos. b) Sus medidas dan valores discretos enteros. c) Siempre se registran tabuladas en intervalos de clase. d) Sus medidas nunca son valores exactos. 30 Las variables categ´oricas nominales [email protected]

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a) Siempre se graban en el ordenador con formato num´erico. b) Toman como valores un conjunto de cualidades o atributos. c) S´olo pueden tener valores 0 y 1. d) Todas las respuestas anteriores son ciertas. 31 ¿Cu´al es la diferencia entre los datos discretos y los datos continuos? 32 Se ha determinado en un grupo de sujetos la presencia (x = 1) o ausencia (x = 0) de bacteriuria. ¿Con qu´e escala de medida ha sido registrada la variable? a) Nominal. b) Cuantitativa discreta. c) Ordinal. d) Num´erica. 33 ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones respecto a las variables categ´oricas ordinales es cierta? a) Toman un conjunto infinito de valores. b) S´olo permiten establecer relaciones de orden entre sus categor´ıas. c) El incremento de pasar de una categor´ıa a otra es siempre igual. d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta. 34 Las variables cuantitativas discretas: a) Toman como valores un conjunto de cualidades o atributos. b) Toman un conjunto de valores exactos. c) Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores. d) Toman un conjunto infinito de valores 35 Las variables estad´ısticas pueden ser cualitativa y cuantitativa. a) Verdadero b) Falso 36 En cada caso, indique cu´al es la poblaci´on, la muestra, unidad elemental, cu´al es la variable que se quiere estudiar y especifique la clase de variable: a) Tiempo (en minutos) que demoran 30 estudiantes de la Facultad de Ingenier´ıa Financiera en el semestre 2019-I, en terminar el examen final de Estad´ıstica. b) Estado Civil de 80 personas de la Zona Sur de San Miguel. c) N´ umero de bioqu´ımicos en cada uno de los laboratorios de la facultad de Medicina. d) Control de calidad de 50 productos fabricados en un d´ıa. [email protected]

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37 En agosto del 2018, una empresa de gaseosas decidi´o hacer una encuesta para conocer el grado de aceptaci´on que hab´ıa tenido su producto “agua de manzana” (un nuevo producto que ha lanzado al mercado), entre los habitantes de La Paz Metropolitana. Para ello se entrevistaron a 50 amas de casa, utilizando un cuestionario que inclu´ıa preguntas para determinar: si en la casa han probado el producto, qui´enes han consumido el producto, la edad de los que consumen el producto, si el producto qu´e tanto les ha gustado o aceptado (poco, regular, mucho), si seguir´an consumiendo el producto, etc. De acuerdo a lo anterior: a) ¿Cu´al es la poblaci´on de estudio? ¿Es finita o infinita? b) ¿Cu´al es la muestra? c) ¿Cu´al es la unidad estad´ıstica elemental? d) ¿Cu´ales son las variables que se presentan en esta entrevista? y ¿Qu´e tipo de variable es cada una de las se˜ naladas en este caso? 38 Los estudiantes del curso de Estad´ıstica I de la USB realizaron una investigaci´on con el objetivo de establecer el perfil de los estudiantes de Postgrado de la USB. Como el total de estudiantes que estudian posgrado es de 300, despu´es de debatir arduamente, los estudiantes de Estad´ıstica seleccionaron a 10 estudiantes del curso para tomar datos a 40 estudiantes del posgrado. A tales estudiantes se les aplic´o un cuestionario de donde se obtuvieron datos como: Nota promedio ponderado, nivel econ´omico, sexo, estado civil, n´ umero de hijos, n´ umero de horas de clase por semana, ciclo de estudios, ingresos mensuales, minutos de viaje a casa. a) Identifique la poblaci´on. b) Identifique la muestra. c) Seg´ un el p´arrafo, indique las variables y sus tipos. 39 En un programa de mejoramiento que se ha implementado en una empresa, se ha dise˜ nado un plan para mejorar el proceso de fabricaci´on de un horno de microondas de alta fidelidad. Desde la l´ınea de despacho, donde los productos egresan uno a uno, se seleccionan 10 equipos los cuales son enviados a distintas a´reas donde son clasificados entre otras caracter´ısticas, el estado de las bisagras de las puertas, las dimensiones del di´ametro del plato interior del horno, el voltaje de salida, la temperatura interior del equipo despu´es de dos minutos de trabajo, la radiaci´on emitida y el color del horno. a) Identifique la poblaci´on, la muestra y la unidad elemental. b) Indique y clasifique las variables involucradas. 40 ¿Las variables cualitativas las podemos medir? a) Verdadero b) Falso 41 ¿La cantidad de butacas en un sal´on de clase es un ejemplo de variables continua? [email protected]

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a) Verdadero b) Falso 42 ¿Los granos que tiene la mazorca de ma´ız es una variable discreta? a) Verdadero b) Falso 43 En estad´ıstica una poblaci´on es el conjunto de cosas, personas, animales o situaciones que tiene una o varias caracter´ısticas o atributos comunes a) Verdadero b) Falso 44 La muestra es una parte, generalmente grande igual al conjunto total de datos y sirve para analizar y hacer estudios que le permitan al investigador inferir o estimar las caracter´ısticas de un problema. a) Verdadero b) Falso 45 Elija la afirmaci´on que pueda considerarse admisible al leer un estudio estad´ıstico: a) Se estudi´o a una muestra en vez de a la poblaci´on, para mayor precisi´on. b) Se estudi´o a la poblaci´on para obtener informaci´on sobre la muestra. c) Se estudi´o a una muestra representativa de la poblaci´on. d) Se estudiaron todas las variables de la poblaci´on. e) Se observ´o a un individuo de cada variable. 46 Elija la opci´on correcta. a) Un par´ametro es algo calculado sobre cada individuo. b) Un par´ametro es calculado sobre la muestra. c) Una variable se calcula sobre los par´ametros de una poblaci´on. d) Un estad´ıstico se calcula sobre la poblaci´on. e) Nada de lo anterior es correcto. 47 Se llama par´ametro a: a) Una funci´on de valor num´erico definida sobre alguna caracter´ıstica observable en los individuos de una poblaci´on. b) Una funci´on definida sobre los valores num´ericos de una muestra. c) Cualquier variable observable de una poblaci´on. [email protected]

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d) Las variables num´ericas de la muestra. e) Cualquier funci´on sobre las variables observadas. 48 Clasifique las variables que aparecen en los ejemplos siguientes: a) El color del cabello de los ni˜ nos que se presentan a una audici´on para una revista musical. b) El n´ umero de se˜ nales de alto que hay en poblaciones con menos de 500 habitantes. c) Si un grifo es o no defectuoso. d) El tiempo necesario para contestar una llamada telef´onica en una oficina. e) En una encuesta se le pregunt´o a los electores a qu´e candidato apoyan. f ) El n´ umero de mensajes que llegan a un tel´efono celular en un d´ıa. g) El n´ umero de p´aginas por trabajo que salen de la impresora de una computadora. 49 En cada caso indique la poblaci´on, la unidad elemental y cu´al la variable que se quiere estudiar. Especifique el tipo de variable: a) Temperatura m´axima diaria (en grados cent´ıgrados) de las ciudades, capitales del Departamento de La Paz. b) Deportes que practican los estudiantes matriculados en la USB en el semestre 2019-I. c) N´ umero de celulares que hay en cada aula de la USB en un d´ıa en particular. 50 En los siguientes casos indicar: la poblaci´on, unidad elemental, la variable y el tipo de variable. a) C´odigo Postal de los distritos de La Paz. b) Categor´ıa de los profesores de Estad´ıstica de la USB. c) N´ umero de ni˜ nos por escuela fiscal en el distrito de la La Paz. d) Tiempo que demoran los estudiantes en terminar el examen de Estad´ıstica. 51 Una f´abrica industrial actualmente cuenta con 400 empleados y desea ofrecer a los mismos un servicio de salud, el cual posiblemente se instale a 1 kil´ometro de distancia de la f´abrica. Suponga que usted lo encargan de realizar un estudio de las necesidades de salud que los empleados tienen al respecto. a) Defina la unidad elemental y la poblaci´on delimit´andolas claramente. b) Defina tres objetivos espec´ıficos de la investigaci´on. c) Trabajar´ıa usted con una muestra o la poblaci´on total. d) Cite cuatro variables pertinentes de investigar y la clasificaci´on de cada una de ellas. 52 En una comunidad se construyeron 500 casas, se desea saber cu´antas de ellas tienen acceso al agua potable, por lo cual se decide hacer una encuesta a un representante de cada casa por lo que se aplica dicha encuesta al 25 % de ellos. [email protected]

16

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a) ¿Cu´al es la poblaci´on? b) ¿Cu´al es la muestra? c) ¿Qu´e variable se desea investigar? 53 Determine las modalidades en que se divide cada uno de las siguientes variables. a) Estado civil. b) Sexo. c) Escolarizaci´on. d) Tipo de libro. e) Tipo de pel´ıcula. f ) Profesi´on. 54 Dadas las siguientes variables determine qu´e tipo de datos generan: a) Velocidad de un autom´ovil. b) Estatura de un estudiante de media. c) N´ umero de escuelas en Bolivia. d) N´ umero de libros en una biblioteca. e) Preferencia pol´ıtica. f ) Color preferido. g) Fruta preferida. h) Grado que cursa en la escuela. 55 Escriba dentro del par´entesis bajo la columna clasificaci´on, 1 si es variable discreta, 2 si es variable continua, 3 si es variable cualitativa ordina o 4 variable cualitativa ordinal. Variable

´n Clasificacio

Nro. de ni˜ nos en un k´ınder. Nro. de computadoras en una empresa. Peso de ni˜ nos reci´en nacidos en el hospital materno infantil. El precio de un art´ıculo. Taza de mortalidad de un pa´ıs. Nro. de reservas naturales de Bolivia El periodo de duraci´ on de una bombilla el´ectrica. La raza de un individuo. El lenguaje de una regi´ on. El lugar que ocupa un ciclista en una carrera. El n´ umero que identifica un competidor en nataci´on.

[email protected]

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56 Una cadena de supermercados, trabajan 150 personas en el departamento de personal,400 en el departamento de ventas, 180 en el departamento de contabilidad y 120 en el departamento de atenci´on al cliente. Se quiere seleccionar una muestra de 160 trabajadores para aplicar una encuesta de control de calidad. a) ¿Qu´e tipo de muestra podr´ıa ser m´as apropiada para utilizar en este estudio si se desea que incluya trabajadores de todos los departamentos? b) ¿Cu´antos trabajadores se tendr´ıa que seleccionar de cada departamento?

[email protected]

18

Unidad

2

Representaciones Univariantes 1 En cierto hospital, en el servicio de pediatr´ıa se tom´o una muestra de peso de 45 pacientes que se muestran a continuaci´on (en kilogramos): 18.4 19.1 19.1 18.1 19.5

18.3 19.9 19.0 19.2 19.5

18.4 17.8 18.5 17.6 18.8

17.3 18.2 18.6 20.1 18.3

18.1 18.8 17.9 18.6 18.9

19.7 18.1 18.3 17.2 20.2

18.2 17.6 18.3 18.3 18.4

17.4 19.2 20.1 17.9 19.8

19.5 18.6 20.0 18.4 18.3

a) Construir una tabla de distribuci´on de frecuencias con k = 5 clases. b) Los lineamientos de Sturges para la construcci´on de una distribuci´on de frecuencias sugieren que el n´ umero ideal de clases puede aproximarse por medio la siguiente f´ormula k = 1 + 3.322 log(n), donde n es el tama˜ no de la muestra. √ Otra forma conocida para obtener el n´ umero adecuado de clases es utilizar k = n. Utilizando estas opciones encontrar el n´ umero ideal de clases para los datos y construir nuevamente la tabla de distribuci´on de frecuencias. Comparar y comentar los resultados. c) Si se considera peso normal para esta muestra entre 17.7 y 18.1 kilos. ¿Qu´e porcentaje de los pacientes cumple con esta condici´on? 2 Un corrector de textos contabiliza el n´ umero de erratas que encuentra en cada p´agina. Despu´es de pasar este corrector por un texto de 50 p´aginas, se obtiene el siguiente n´ umero de erratas por p´agina: 2 2

3 5

5 4

0 1

1 3

4 2

0 6

6 8

2 2

1 0

1 1

0 0

2 2

4 3

5 1

3 5

1 0

2 2

3 1

2 3

3 6

1 2

2 0

4 1

4 3

a) A partir del enunciado del problema, introducir una variable estad´ıstica y decidir de qu´e tipo es. b) Construir la tabla de frecuencias correspondiente. c) ¿C´omo ser´ıa el diagrama de barras de las frecuencias absolutas? 19

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d) ¿Qu´e porcentaje de p´aginas, respecto del total de las que se han corregido, tienen 2 erratas? e) ¿Qu´e porcentaje de p´aginas respecto del total tienen menos de 6 erratas? ¿Y 6 erratas o m´as? f ) ¿Qu´e porcentaje de p´aginas respecto del total tienen como m´ınimo 5 erratas? 3 Un Ingeniero Civil visita 25 villas en una ciudad y en cada una registr´o el n´ umero de casas que han sufrido da˜ nos ocasionados por un terremoto, de lo cual resultaron los datos: 15 18 19

20 18 18

25 19 19

15 16 18

18 17 15

16 19

17 16

18 17

20 17

18 17

a) ¿Qu´e tipo de datos son estos? b) Construir una tabla de distribuci´on de frecuencias adecuadas a este conjunto de datos. c) ¿Cu´antas villas tienen a lo m´as 20 casas que han sufrido da˜ nos? d) ¿Qu´e proporci´on de villas tienen por lo menos 17 casas que han sufrido da˜ nos? e) ¿Qu´e proporci´on de villas tienen 18 casas que han sufrido da˜ nos? f ) ¿Qu´e proporci´on y que porcentaje de villas tienen 18 o menos casas que han sufrido da˜ nos? g) Construir un gr´afico adecuado y comentar. 4 La siguiente tabla muestra los di´ametros en pulgadas de nuestra muestra de 60 cojines de bolas fabricados por una compa˜ n´ıa. 0.738 0.728 0.745 0.733 0.735 0.732

0.729 0.737 0.736 0.730 0.732 0.737

0.743 0.736 0.742 0.732 0.735 0.731

0.740 0.735 0.740 0.730 0.727 0.746

0.736 0.724 0.728 0.739 0.734 0.735

0.741 0.733 0.738 0.734 0.732 0.735

0.735 0.742 0.725 0.738 0.736 0.729

0.731 0.736 0.733 0.739 0.741 0.734

0.726 0.739 0.734 0.727 0.736 0.730

0.737 0.735 0.732 0.735 0.744 0.740

Construir una tabla de distribuci´on de frecuencias de los di´ametros y grafique: a) Un histograma. b) Una ojiva y una ojiva porcentual. Determinar: a) El porcentaje de cojinetes de bolas que tienen di´ametros superiores a 0.732 pulgadas. b) El porcentaje de cojinetes de bolas que tienen di´ametros no superiores a 0.736 pulgadas. c) El porcentaje de cojinetes de bolas que tienen di´ametros entre 0.730 y 0.738 pulgadas. 5 Los 200 estudiantes de un grupo de Estad´ısticas eval´ uan su profesor desde 1 (aburrid´ısimo) a 5 (fant´astico). La tabla muestra los resultados parciales. [email protected]

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Frecuencia absoluta (ni )

1 2 3 4 5

9

Frecuencia relativa (fi ) 0.05

5 50

Total

Completar la tabla. 6 La siguiente tabla resume las respuestas sobre los n´ umeros de novios/novias en la encuesta de clase de este curso. N´ umero

ni

0 1 2 3 4

2 6 7 2 1

Total

18

En este caso, la proporci´on de la clase que ha tenido m´as de 2 novios/novias es aproximadamente: a) 0.389. b) 0.500. c) 0.167. d) 0.833. 7 La tabla muestra una distribuci´on de frecuencias de la duraci´on (en segundos) de las u ´ltimas 400 intervenciones en los debates en el congreso: Duraci´on (segundos)

N´ umero de intervenciones

300 — 400 400 — 500 500 — 600 600 — 700 700 — 800 800 — 900 900 — 1000 1000 — 1100 1100 — 1200

14 46 58 76 68 62 48 22 6

Total

400

a) L´ımite superior de la quinta clase. [email protected]

21

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b) L´ımite inferior de la octava clase. c) Marca de clase de la s´eptima clase. d) Tama˜ no del intervalo de clase. e) Frecuencia de la cuarta clase. f ) Frecuencia relativa de la sexta clase. g) Porcentaje de intervenciones cuya duraci´on es menor a los 620 segundos. h) Porcentaje de intervenciones cuya duraci´on es mayor o igual a 980 segundos. i) Porcentaje de intervenciones cuya duraci´on es al menos de 525 segundos pero menor de 1025 segundos. j) Construir un histograma de frecuencias. k) Construir un histograma de frecuencias relativas. 8 La distribuci´on del n´ umero de trabajadores que forman el departamento de personal de una muestra de empresas viene dada en la siguiente tabla de frecuencias. Representa gr´aficamente la tabla y calcula: Empleados

ni

Ni

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5 12 20 23 23 12 2 2

1 6 18 38 61 84 96 98 100

Total

a) N´ umero de empresas en la encuesta. b) Porcentaje de empresas con 5 trabajadores. c) N´ umero de empresas con un m´aximo de 3 trabajadores. d) N´ umero m´aximo y m´ınimo de trabajadores. e) N´ umero m´as frecuente de trabajadores. f ) N´ umero m´aximo de trabajadores que presentan las 30 empresas m´as peque˜ nas. ´ nicamente est´a interesada en enviar propaganda a las g) Si una empresa de software u empresas con m´as de 6 empleados en el departamento de personal, ¿a qu´e porcentaje de empresas muestreadas abarcar´a? h) Si el Ministerio de Hacienda quiere aplicar una desgravaci´on en el Impuesto de Sociedades que abarque al 25 % de las empresas con mayor empleo en el departamento de personal, ¿qu´e m´ınimo de empleados deber´an tener las empresas para poderse beneficiar de dicha medida? [email protected]

22

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i) Si el Ministerio de Trabajo se propone ayudar al 25 % de las empresas con menor empleo en el departamento de personal enviando un trabajador en pr´acticas, ¿cu´antos empleados como m´aximo deber´an tener para poderse beneficiar de dicha ayuda? 9 Un investigador observa el n´ umero de fotograf´ıas en la primera plana de un peri´odico de tirada nacional durante n d´ıas tomados al azar. La informaci´on obtenida aparece resumida en la siguiente tabla: Nro. de fotograf´ıas

ni

Fi

0 1 2 3 4

25 15

0.25 0.40

15

0.95

Total

a) Completa la tabla. b) Haz una representaci´on gr´afica. 10 Una muestra de la distancia en kil´ometros, que recorre por d´ıa un veh´ıculo de servicio p´ ublico, se presenta en la siguiente tabla: Distancia/d´ıa (Kil´ometros)

No.de d´ıas

65 — 130 130 — 195 195 — 260 260 — 325 325 — 390 390 — 455 455 — 520 520 — 585

3 9 25 28 28 24 13 5

Total

135

a) Represente esta situaci´on con un pol´ıgono de frecuencias. b) Construya la tabla MENOR QUE con la frecuencia relativa acumulada. c) S´ı por lo menos el 40 % de los d´ıas de la muestra el veh´ıculo recorre m´as de 390 kil´ometros por d´ıa, el propietario del veh´ıculo debe aumentar la frecuencia de los mantenimientos. ¿Qu´e recomendar´ıa usted a este propietario? ¿Por qu´e? 11 Se registr´o el n´ umero de estudiantes por d´ıa que utilizaron los servicios de la sala multiprop´osito, en una muestra de 90 d´ıas, encontrando que el n´ umero m´aximo de estudiantes fue de 63 y el n´ umero m´ınimo de estudiantes fue de 12. Dise˜ ne un conjunto de clases estad´ısticas para agrupar estos datos. [email protected]

23

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12 Se preguntan a 100 trabajadores de una empresa sobre el sindicato al que pertenecen. Los resultados son los siguientes: UGT CCOO Ning´ un UGT UGT CNT Otro Otro Ning´ un CCOO

CCOO CCOO Otro Ning´ un Ning´ un CNT CNT Ning´ un CCOO UGT

Otro Otro Ning´ un Ning´ un Ning´ un CCOO CCOO UGT UGT Ning´ un

CNT CNT Ning´ un CCOO UGT UGT UGT Ning´ un CNT CCOO

UGT CCOO CNT Otro UGT CNT Otro Ning´ un Ning´ un UGT

CCOO CNT Otro Ning´ un Ning´ un Ning´ un CNT Ning´ un Otro CNT

Ning´ un CNT Ning´ un CCOO Otro UGT Ning´ un Ning´ un CNT UGT

CNT Otro Ning´ un CCOO Otro UGT UGT Ning´ un Ning´ un CCOO

UGT Otro Otro Ning´ un CNT Ning´ un CNT Ning´ un CCOO CNT

Ning´ un CNT CCOO CNT Otro UGT Otro Ning´ un UGT UGT

a) Para cada una de los trabajadores, la caracter´ıstica com´ un —Sindicato al que pertenece, la designaremos como variable estad´ıstica. ¿Por qu´e variable? ¿Por qu´e estad´ıstica? b) La variable estad´ıstica Sindicato ¿es cualitativa o cuantitativa? c) Construir la distribuci´on de frecuencias correspondiente. d) Construir la gr´afica circular adecuada. e) ¿Qu´e valor toma la frecuencia total? f ) En otra empresa diferente se ha determinado que el n´ umero de afiliados de CCOO es de 48. ¿Qu´e concepto estad´ıstico corresponde a ese valor num´erico? g) ¿Se puede decir con la informaci´on que dispone hasta este momento en cu´al de las dos empresas es mayor la proporci´on de afiliados de CCOO? h) ¿Qu´e informaci´on necesita conocer para poder determinar en qu´e empresa es mayor la presencia de afiliados de CCOO? i) ¿Qu´e valor tendr´ıa que tomar para que la presencia de CCOO fuera la misma en las dos empresas? 13 Cuando se afirma que “el 40 % de las exportaciones se env´ıa a destinos que se encuentran a m´as de 5000 km”, este 40 % es: a) Una frecuencia absoluta de la distribuci´on de la variable “valor de las exportaciones”. b) Una frecuencia relativa de la distribuci´on de la variable “distancia del destino de las exportaciones”. c) Un intervalo de clase de la distribuci´on de la variable “distancia del destino de las exportaciones”. d) Una frecuencia relativa de la distribuci´on de la variable “valor de las exportaciones”. 14 La suma de frecuencias absolutas es igual a: a) 1. b) El n´ umero de intervalos de clase. c) El tama˜ no muestral. [email protected]

24

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d) El tama˜ no poblacional. 15 En una encuesta realizada a 100 familias se ha obtenido la siguiente distribuci´on de frecuencias absolutas acumuladas de X: n´ umero de miembros que componen la unidad familiar: Xi Fi

1 15

2 32

3 57

4 74

5 87

6 96

7 100

Una familia con m´as de 4 miembros estar´a entre: a) Las 13 familias m´as numerosas. b) Las 32 familias menos numerosas. c) Las 26 familias m´as numerosas. d) Las 57 familias menos numerosas. 16 La siguiente distribuci´on de frecuencias relativas acumuladas de la variable X: n´ umero de contratos conseguidos en el mes de enero, corresponde a la observaci´on de la actividad de 150 teleoperadores de una compa˜ n´ıa de telefon´ıa movial: Xi Fi

58 0.06

60 0.20

62 0.40

65 0.64

68 0.80

70 0.92

71 1

Indique cu´al de las siguientes afirmaciones es falsa: a) El 8 % de los teleoperadores ha conseguido exactamente 71 contratos. b) 90 teleoperadores han conseguido como m´ınimo 62 y como m´aximo 68 contratos. c) El 60 % de los teleoperadores han conseguido m´as de 62 contratos. d) 40 teleoperadores han conseguido como m´aximo 62 contratos. 17 Una variable X toma u´nicamente 4 valores distintos: x1 , x2 , x3 , x4 (en orden creciente). En una muestra de tama˜ no 500 se observa que: el 45 % de las observaciones toma el valor x2 ; la proporci´on de observaciones en las que el valor de X es como m´aximo x3 es 0.9 y 150 observaciones toman el valor x1 . Es cierto que: a) La frecuencia relativa de x1 es 0.70. b) La frecuencia absoluta de x2 es 375. c) La frecuencia absoluta de x4 es 50. d) La frecuencia relativa de x3 es 0.20. 18 Los siguientes datos corresponden a las edades de 50 estudiantes: 20 20 18 22 24

22 19 23 18 23

21 23 20 19 20

19 19 21 20 21

18 18 19 21 19

18 20 22 24 20

20 21 23 21 22

[email protected]

22 22 20 20 21

20 19 21 21 21

19 20 19 20 22 25

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a) Presentar dichos datos en una tabla de frecuencias. b) Presentar los datos gr´aficamente. 19 Las notas de la primera pr´actica calificada de los 120 alumnos que llevan el curso de Estad´ıstica I fueron las siguientes: xi

Nota 11 06 11 11 11

— — — — —

11 11 11 11 11

ni

Ni

pi %

Pi %

15 45 70 13.5 10

20 La tabla siguiente presenta la poblaci´on estimada (en millones de habitantes) de 9 pa´ıses de Am´erica del Sur para el a˜ no 2020. Obt´en el porcentaje que corresponde al n´ umero de habitantes por pa´ıs, con respecto al n´ umero total de habitantes y construye el diagrama circular y de barras correspondiente. Pa´ıs

Millones de habitantes

Argentina Bolivia Colombia Chile Ecuador Paraguay Per´ u Uruguay Venezuela

32.5 19.2 59.3 20.9 19.2 7.70 43.2 4.7 28.5

21 Los siguientes son conteos del n´ umero de ventas diarias que una tienda realiz´o durante un periodo de 20 d´ıas. 26

29

30

20

17

26

29

22

25

20

30

24

31

17

18

27

20

26

31

19

a) A˜ nade una columna en donde calcules la frecuencia de cada conteo. b) A˜ nade una columna en donde calcules la frecuencia acumulada. 22 Las puntuaciones de un test aplicado a un grupo de estudiantes, se tabularon en una distribuci´on de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud de manera que la marca de clase del segundo intervalo es 25 y el l´ımite superior del quinto intervalo es 60. Si las frecuencias en porcentajes del primer al cuarto intervalo son respectivamente 15, 20, 35, 14 y el 94 % de las puntuaciones son menores que 60: [email protected]

26

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a) Determinar la distribuci´on de frecuencias de las puntuaciones y graficar el pol´ıgono de frecuencias e histograma. b) ¿Qu´e porcentajes de estudiantes tienen entre 38 y 53 puntos? 23 Complete la siguiente distribuci´on de frecuencias. Clases

ni

fi

10–19 20–29 30–39 40–49 50–59

10

Ni

Fi

0.28 0.82 0.10 50

24 Completar la siguiente tabla de distribuci´on de frecuencias y construir el histograma y pol´ıgono de frecuencia y la ojiva porcentual correspondientes. L´ımites

ni

7.95 — 8.75

4

fi

Fi

0.3 21

0.1333 9.05 — 9.75

2

0.9666

0.0333

25 De acuerdo a lo aprendido en el curso se le pide completar los datos faltantes en la siguiente tabla de distribuci´on de frecuencia: Intervalo 08 14 20 26

— — — —

ni

fi

14 20 26 32

Ni

Fi 0.2

0.4

204 240

26 Completar la siguiente tabla de frecuencias: Li−1 –Li

ni

Ni

20 — 50 50 — 60 60 — 70 — — 100 —

10

10 14

fi

Fi

xi

ci

hi

35 0.112 0.240 0.208

10 75

44 125

[email protected]

50

2.2 0.5 27

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27 De una distribuci´on de frecuencias sim´etrica de 6 intervalos se tienen los siguientes datos: L´ımite inferior del sexto intervalo igual a 60. Frecuencias: n3 = 30, n2 = n1 + 5, N6 = 150. Completar la distribuci´on de frecuencias si se sabe que el 75 % de los datos son mayores de 43.5. 28 En una compa˜ n´ıa el sueldo m´ınimo de 200 empleados es de $us. 60. Si se sabe que 20 empleados ganan por lo menos 60 $us., pero menos de 70 $us., 60 ganan menos de 80 $us., 110 ganan menos de 90 $us. , 180 ganan menos de 100 $us y el 10 % restante de empleados gana a lo m´as 110 $us. Reconstruir la distribuci´on de frecuencias y graficar el histograma y pol´ıgono de frecuencias. 29 Una distribuci´on de frecuencias consiste de 5 intervalos de igual amplitud cuyas frecuencias relativas acumuladas son: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00. Determinar la distribuci´on de frecuencias absolutas si la tercera frecuencia absoluta acumulada es igual a 11 y si la marca de clase segunda y cuarta con respectivamente 6 y 14. 30 Ochenta datos se tabularon en una distribuci´on de frecuencias sim´etrica de 7 intervalos de igual amplitud, siendo las marcas de clase del primer y cuarto intervalo iguales respectivamente a 10 y 19. Si las frecuencias en porcentajes del primer y tercer intervalo son iguales al 5 % y 15 % del total y si la quinta frecuencia porcentual acumulada es 85 % del total: a) Reconstruir la distribuci´on. b) ¿Cu´antos datos son menores o iguales a 18.25? 31 La siguiente distribuci´on muestra el peso en gramos de 30 paquetes de un determinado producto. Peso (gr)

10 — 14

15 — 19

20 — 24

25 — 29

30 — 35

fi

d/2

0.17

2d

d

0.13

a) Trace una ojiva menor que. b) ¿Cu´antos paquetes tienen pesos comprendidos entre 12 y 26 gramos? c) ¿Cu´antos paquetes tienen 21.5 gramos o m´as? d) ¿Cu´antos paquetes tienen 27.8 gramos o menos? 32 Se tiene una distribuci´on de frecuencias con cuatro intervalos de clase de igual amplitud y los siguientes datos: x1 = 10

x4 = 22

f1 = 0.30

p4 % = 17.5 %

F2 = 0.45

n = 120

Reconstruir la tabla de frecuencias.

[email protected]

28

Unidad

3

Estad´ıgrafos Univariantes 1 Suponga que usted es Ingeniero industrial encargado de una secci´on de mantenimiento de una empresa manufacturera y debe verificar si los datos entregados por el departamento de personal son correctos. El estudio sobre los salarios de una muestra de 120 funcionarios de su secci´on es el siguiente: Salario (UF) 0 2 4 6

— — — —

Frecuencia relativa

2 4 6 8

0.25 0.40 0.20 0.15

Total

1

a) Calcule la media la varianza y la desviaci´on est´andar. b) Calcule el primer cuartil y la mediana. c) Sup´ongase que usted propone un reajuste de los sueldos de 3.2 % m´as un 0.5 UF de todos los sueldos debido a los ´exitos alcanzado por su secci´on. ¿Qu´e ocurre con la media la varianza y el coeficiente de variaci´on despu´es del reajuste. Justifique e interprete. 2 El gerente de una industria envasadora de alimentos debe decidir desechar una de dos m´aquinas que se utilizan para el envasado de productos de contenido neto “200 gramos”. Para la m´aquina UNO se tiene la siguiente informaci´on de una muestra de 100 productos Peso (gramos) 176 186 196 206 216

— — — — —

186 196 206 216 226

No. de productos 5 20 50 20 5

29

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Para la m´aquina II se poseen los siguientes antecedentes de una muestra de 80 productos X

xi = 16120 gr.

x2i = 3248300 gr

X

2

donde xi representa el peso del i-´esimo producto. a) El gerente ha decidido rechazar aquella m´aquina cuyo envasado sea m´as heterog´eneo. ¿Cu´al debe rechazar? b) El gerente considera anormales aquellos productos con un peso mayor a 215 gr. o menor a 190 gr. Para la m´aquina UNO.Calcule el porcentaje de productos con peso normal. 3 En siete momentos del d´ıa se observa los siguientes datos correspondientes al n´ umero de clientes que hab´ıa en un supermercado: 2

5

2

7

3

4

9

Calcular la media aritm´etica, mediana y moda. 4 Los datos siguientes expresan el n´ umero de d´ıas transcurridos hasta la primera falla en cierto tipo de electrodom´estico: 534 765

875 564

435 982

654 873

432 567

984 871

321 658

765 564

453 399

a) Calcular la media, desviaci´on est´andar, mediana y rango intercuartil de las observaciones. b) Encontrar la transformaci´on lineal de la variable que representa el tiempo de duraci´on en semanas. c) Obtener la media, desviaci´on est´andar, mediana y rango intercuartil de los datos transformados. ¿Qu´e relaci´on tienen con los valores obtenidos usando los datos originales? 5 La siguiente tabla indica la distribuci´on del Coeficiente Intelectual (CI) de 120 alumnos de cierta Universidad: C.I.

No.de alumnos

60—70 70—80 80—90 90—100 100—110 110—120 120—130 130—140

2 3 25 46 35 5 3 1

a) Completar la tabla de distribuci´on de frecuencias. [email protected]

30

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b) Calcular la media, moda, mediana, desviaci´on est´andar y rango intercuartil. Interpretar los valores. c) Si se consideran bien dotados a los alumnos cuyo CI est´a sobre el percentil 95, ¿Qu´e CI m´ınimo habr´a que tener para ser considerado bien dotado? d) ¿En qu´e percentil estar´ıa un alumno con 109 de CI? e) Determinar la proporci´on de alumnos cuyo CI se encuentra en el intervalo (¯ x −s, x¯ +s). ¿Deber´ıas esperar aproximadamente un 68 %?. Justificar tu respuesta. 6 La siguiente tabla muestra una distribuci´on de frecuencia de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P & R. Salarios

N´ umero de empleados

255.00 265.00 275.00 285.00 295.00 305.00 315.00

3 8 17 20 15 9 2

a) Calcula el salario semanal promedio de los 65 empleados. b) Hallar los cuartiles Q1 , Q2 y Q3 , y los deciles D1 , D2 ,..., D9 para los salarios de los 65 empleados de la empresa P & R. 7 En seguida se presentan datos de ingesti´on cal´orica por habitante en 12 pa´ıses de Am´erica Latina y 12 de Europa. Calor´ıas diarias por habitante Am´erica Latina Argentina Bolivia Colombia Costa Rica Chile Rep´ ublica Dominicana Ecuador M´exico Panam´ a Per´ u Uruguay Venezuela

Europa 2977 2565 2998 2428 2701 2902 2055 2805 2056 2543 3050 2014

Alemania Occidental Alemania Oriental Dinamarca Espa˜ na Francia Inglaterra Italia Polonia Portugal Suecia Suiza Yugoslavia

2448 3005 2076 2965 2912 2441 2959 2918 2612 2922 2421 3001

a) Construye una gr´afica de columnas para cada una de las muestras (Am´erica Latina y Europa). [email protected]

31

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b) Para cada grupo calcula media, mediana, varianza, desviaci´on est´andar y coeficiente de variaci´on. 8 El gerente de una tienda de autoservicio que permanece abierta de las 6 de la ma˜ nana a las 12 de la noche, cuenta un d´ıa el n´ umero de clientes que pasan por las cajas registradoras durante cada una de las 18 horas. 99

62

64

52

77

78

60

96

51

92

35

46

26

77

50

38

70

23

a) Calcula la moda (si es que existe), la media y la mediana del n´ umero de clientes por hora. umero de b) Calcula la varianza, desviaci´on est´andar y coeficiente de variaci´on para el n´ clientes por hora. 9 Una muestra del tama˜ no de las fincas, escogidas al azar, de la regi´on cafetera se presenta en la siguiente tabla:

Hect´areas/finca 2.03 2.73 3.43 4.13 4.83 5.53 6.23

— — — — — — —

No. de fincas

2.73 3.43 4.13 4.83 5.53 6.23 6.93

12 36 30 19 13 11 9

Total

130

a) Calcule el tama˜ no promedio por finca de la muestra. b) Calcule la desviaci´on est´andar de la muestra. c) Cu´al fue el valor m´ınimo del 70 % de las fincas de la muestra. d) Cu´al fue el tama˜ no m´as frecuente de las fincas de la muestra. no de las fincas de la regi´on algodonera dio como resultado e) Una muestra del tama˜ un tama˜ no promedio de 4.6470 hect´areas por finca, con una desviaci´on est´andar de 1.2344 hect´areas ¿cu´al de los dos conjuntos de datos es menos disperso? Por qu´e? 10 Los datos representan las edades de fumadores que se encuentran en una unidad acad´emica entre las 18:00 y 20:00 horas un viernes del mes de enero 2019. 29 35 30 37 37 36 29 26

44 27 35 33 55 25 28 33

27 34 28 31 31 46 28 57

27 28 31 30 24 32 28 28

26 28 47 28 32 35 27 61

25 32 29 39 29 38 26 30

[email protected]

27 28 33 31 33 40 29 46 32

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Con base a los datos obtenidos determine y escriba la interpretaci´on adecuada para: a) Media Aritm´etica b) Moda c) Mediana d) Percentil 9 e) Cuartil 1 f ) Decil 4 Tambi´en elabore: a) Un gr´afico histograma e indique a que rango de edad corresponde el procentaje m´as alto. b) Un pol´ıgono de frecuencias c) Dos objetivos para lo cual podr´ıa proponerse este estudio. 11 En la siguiente tabla se presentan remuneraciones pagadas en la sucursal norte de una empresa. Remunerci´on

Cantidad de Empleados

400—430 430—460 460—490 490—520 520—550 550—580 580—610 610—640

8 12 18 26 37 41 35 23 200

a) ¿Cu´al es la remuneraci´on no superada por el 23 % de los empleados? b) ¿Qu´e tipo de asimetr´ıa tiene esta distribuci´on? c) ¿Es homog´enea la distribuci´on?. 12 Un corredor entrena, de lunes a viernes, recorriendo las siguientes distancias: 3, 5, 5, 6 y 4 km. respectivamente. Si el s´abado tambi´en entrena: a) ¿Cu´antos kil´ometros debe recorrer para que la media de km. recorridos sea 5? b) ¿Y para que la mediana no var´ıe? c) ¿Y para que la moda no var´ıe? 13 Los 40 empleados de una empresa de transportes tienen los siguientes salarios hora seg´ un sus respectivas categor´ıas. [email protected]

33

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Universidad Salesiana de Bolivia Categor´ıa A B C D E

Salario–Hora 6—8 8 — 10 10 — 15 15 — 20 20 — 30

Nro. Empleados 10 12 10 5 3

a) ¿Cu´al es el Salario–hora medio de esta empresa? b) Analiza la dispersi´on de la variable en t´erminos absolutos y relativos. c) ¿Dir´ıas que los salarios–hora est´an distribuidos de forma bastante igualitaria en la empresa? 14 De la variable X se sabe que es sim´etrica y campaniforme. Adem´as, se tiene la siguiente informaci´on sobre la variable: C.V.(X) = 0.4

n = 10

n X

(xi − x¯)2 = 40

i=1

Elija la afirmaci´on correcta: a) La moda vale 5. b) La media vale 3. c) La mediana vale 2. d) Las tres afirmaciones anteriores son falsas. 15 Consid´erese una variable estad´ıstica de la que se han tomado diez observaciones (n = 10) y cuyos valores xi y frecuencias relativas acumuladas Fi son los siguientes: Xi 2 4 7 8

Fi 0.3 0.6 0.7 1

Elija la afirmaci´on correcta sobre el valor de la mediana: a) Vale 3. b) Vale 4. c) Vale 5.5. d) Las tres afirmaciones anteriores son falsas. 16 En una multinacional se han producido frecuentes cortes del suministro el´ectrico. Para comprobar c´omo ha afectado a sus equipos inform´aticos se ha contabilizado el n´ umero de aver´ıas de la fuente de alimentaci´on, de la forma siguiente: [email protected]

34

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Universidad Salesiana de Bolivia Nro. de aver´ıas

Nro. de equipos

1—2 2—4 4—6 6—8 8 — 10

11 20 9 7 2

Determinar: a) ¿Cu´al es el n´ umero medio de aver´ıas por equipo? b) ¿Cu´al es el n´ umero de aver´ıas m´as frecuente? umero m´ınimo c) Si s´olo se remplazaran la mitad de los equipos con m´as aver´ıas, ¿qu´e n´ de aver´ıas tendr´ıa que haber sufrido un equipo para ser reemplazado por uno nuevo? d) Si el coeficiente de variaci´on de Pearson de otra multinacional del ramo es 1.8, ¿cu´al de las dos puede ajustar mejor sus previsiones en base al n´ umero de aver´ıas producidas en sus equipos? 17 En una empresa se realizan unas pruebas de selecci´on para un puesto de responsabilidad. Sumando los resultados de los distintos tests que se hacen a cada persona se han obtenido los siguientes resultados: 174 156 162 169 173

185 187 147 162 179

186 162 178 172 188

176 172 176 181 179

145 197 141 187 167

166 181 170 177 178

191 151 171 164 180

175 161 158 171 168

158 183 184 193 148

156 172 173 183 173

a) Agrupar los datos en intervalos de amplitud 5 (desde 140) y construir una tabla de frecuencias. b) Representarlos gr´aficamente. c) Obtener todas las medidas de posici´on, dispersi´on y forma. 18 Se consideran las puntuaciones obtenidas por los estudiantes de una clase: 1 4

5 7

4 10

3 3

8 6

7 6

5 3

3 9

2 7

0 3

9 1

8 4

1 5

2 7

0 10

1 5

3 10

2 8

8 6

6 2

4 5

7 0

2 2

4 9

5 5

a) Construir una tabla de frecuencias con estos datos. b) Representarlos gr´aficamente. c) Obtener todas las medidas de posici´on, dispersi´on y forma. d) Calcular los percentiles 5, 23, 46, 69, 86. 19 Aplicada una prueba de C´alculo Mental (CM) y una prueba de Psicomotricidad (P) a los 28 estudiantes de una clase, los resultados fueron: [email protected]

35

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Universidad Salesiana de Bolivia Puntuaci´on 10 20 30 40 50 60

— — — — — —

20 30 40 50 60 70

CM

P

2 8 11 4 2 1

1 7 9 5 4 2

a) ¿En qu´e prueba se obtuvieron mejores resultados? b) ¿D´onde fue mayor la dispersi´on? 20 Dado el conjunto de datos: 14

12

26

16

x

calcula x para que la mediana y la media de los datos sean iguales. 21 Considera el conjunto de datos: 23

17

19

x

16

y

Sabiendo que la media es 20 y la moda es 23, ¿cu´ales son los valores de x e y? 22 Los siguientes datos: 10

17

a

19

21

25

b

tienen como media, mediana y moda 19. ¿Cu´anto valen a y b? 23 De los 50 estudiantes que respondieron a una prueba de 12 preguntas, el 10 % contest´o correctamente a 3, el 50 % a 7, el 30 % a 10 y el resto al total de la prueba. Calcular la media, mediana y moda de los datos. Hallar tambi´en su desviaci´on t´ıpica. 24 Una cadena de grandes almacenes tiene diez establecimientos. Se analiza el volumen de ventas durante el per´ıodo de navidad y se comparan con las obtenidas en el mismo per´ıodo del a˜ no anterior. Los porcentajes de incrementos de ventas en d´olares de los diez establecimientos fueron: 10.2

3.1

5.9

7.0

3.7

2.9

6.8

7.3

8.2

4.3

Halle la media, la mediana, moda, la varianza muestral, el rango intercuartil del porcentaje el coeficiente de asimetr´ıa y curtosis de incremento de ventas en d´olares. Interprete sus respuestas. 25 De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 a˜ nos, la mediana es 23 a˜ nos y la moda es 22. Encuentre las edades de las cuatro personas. [email protected]

36

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26 Una peque˜ na empresa consiste de 5 empleados y un jefe. Los empleados ganan cada uno $ 200 y el jefe gana $ 2000. Si se indica como sueldo promedio $ 500, ¿qu´e sueldo promedio es?, ¿es el promedio adecuado?, ¿cu´anto es el promedio adecuado? 27 Cuatro f´abricas A, B, C y D, producen un mismo objeto. La f´abrica B produce el doble de C, la D 10 % menos que la C y la A el 60 % menos que la B. Los costos de producci´on (en d´olares) por unidad de estas f´abricas son respectivamente: 0.2, 0.4, 0.3 y 0.5. Calcular el precio medio de venta si se quiere ganar el 20 % por unidad? 28 En un curso de dos horarios, la media de las notas es 15. El primer horario de 50 estudiantes tiene una media de 17.4. El segundo horario tiene una media de 12, ¿Cu´antos estudiantes tiene el curso? 29 Una empresa dispone de diez objetos para su venta en Kilogramos, cuyos pesos son los siguientes: 9.35

9.46

9.20

9.80

9.77

9.00

9.99

9.36

9.50

9.60

si cada objeto es vendido a $ 9 el kilogramo y si por manejose gasta $ 0.5 por objeto, calcular la utilidad media por objeto. 30 El ingreso promedio de los obreros de una f´abrica es de $ 150. Si el 60 % de los obreros tiene menos de 30 a˜ nos y percibe el 20 % del ingreso total, calcular el ingreso promedio por obrero de menos de 30 a˜ nos. 31 Una prueba de conocimientos, A, se calific´o sobre 20 puntos dando una media de 12 y una desviaci´on est´andar de 2 puntos. Mientras que una prueba de aptitud, B, se calific´o sobre 100 puntos, dando una media de 70 y una desviaci´on est´andar de 5. ¿Cu´al de las dos pruebas tiene mayor dispersi´on despu´es de adicionar a los datos un 10 % de su valor? 32 En una industria el jornal diario de sus obreros tiene una media de $ 10 y una desviaci´on est´andar de $ 2. Si se hace un incremento de 20 % en cada jornal y una bonificaci´on adicional de $ 3, ¿En qu´e porcentaje cambi´o la variabilidad de los jornales? 33 Los sueldos de 120 trabajadores de una empresa tienen un coeficiente de variaci´on del 4 % en el mes de agosto. Para el mes de septiembre se hace un aumento general de $ 50 y el coeficiente de variaci´on baja a 3.2 %. a) Calcular la media y la desviaci´on est´andar de los sueldos del mes de agosto. b) ¿Cu´anto de dinero necesita la empresa para pagar todos los sueldos del mes de septiembre? 34 Se tiene la siguiente informaci´on sobre una distribuci´on de frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba de rotura (en kg/cm2 ). La longitud de los intervalos de clase es constante e igual a 20. [email protected]

37

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Marca de clase xi

ni

fi

Ni

xi · ni

23

300 400 350

10

17 110

1100

a) Determina la media, mediana y moda. b) Calcular los cuantile Q3 , D4 y P87 c) Calcular la desviaci´on mediana, el rango intercuartil, el coeficiente de variaci´on. d) Calcular y graficar el coeficiente de asimetr´ıa y curtosis. 35 En una clase de la asignatura de Estad´ıstica I, hay 40 estudiantes varones con una edad media de 20 a˜ nos y las mujeres en promedio son 10 % m´as j´ovenes. ¿Cu´antas mujeres hay si la edad media de la clase es de 19 a˜ nos? 36 La variable X toma los valores 1,2,3,4 y 5 con frecuencias relativa 0.2 para todos ellos. La variable Y es una variable sim´etrica con valores 3−a, 2.9, 3, 3.1, 3+a y frecuencias relativas respectivas 0.05, 0.2, 0.5, 0.2, 0.05. Se pide: a) Encontrar el valor de a, para que ambas distribuciones tengan la misma varianza. b) Calcular el coeficiente de asimetr´ıa y apuntamiento para X e Y , suponiendo el valor anterior de a. 37 La siguiente tabla ha sido obtenida agrupando 30 datos en 6 intervalos de amplitud constante e igual a 0.6 Intervalos

ni 4 5 5

51 Si se sabe que x¯ = 8.2, que M o − M e = 280 y que ambas M o y M e est´an en el cuarto intervalo, obtener, el coeficiente de variaci´on y el coeficiente de apuntamiento e interpretar.

4

[email protected]

38

Unidad

4

An´ alisis Bivariante 1 Se han obtenido las siguientes edades de los padres de los nacidos en una maternidad: Edad del padre

37

31

26

27

32

17

25

23

24

33

Edad de la madre

36

26

26

29

30

16

17

18

27

37

Frecuencia

2

7

8

2

4

1

4

6

3

1

Edad del padre

17

22

33

26

36

23

39

38

24

35

Edad de la madre

28

17

31

27

22

27

23

21

30

17

Frecuencia

2

9

10

2

12

2

10

12

1

2

a) Clasifique estos datos formando la correspondiente tabla bidimensional de frecuencias, con los siguientes intervalos de edades [15 − 20i [20 − 25i [25 − 30i [30 − 35i [35 − 40i b) Confeccione una lista de las marcas de clase de cada variable. c) Calcule las frecuencias absolutas marginales. d) Calcule la frecuencia condicional de la edad del padre dado que la madre tiene entre 20-25 a˜ nos de edad. e) Calcule la frecuencia condicional de la edad de la madre dado que el padre tiene entre 35-40 a˜ nos de edad. f ) Calcule x¯, y¯, s2x , s2y g) La covarianza entre X e Y . h) El coeficiente de correlaci´on de Pearson entre X e Y . i) Obtenga ambas rectas de regresi´on m´ınimos cuadr´aticas. j) Calcule V (X + Y ), V (X − Y ). 39

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k) Si W = 3 + 2 · X y U = 4 + 5. Calcule el coeficiente de correlaci´on de Pearson entre W y U. 2 Las siguientes son las calificaciones obtenidas por los 25 alumnos en un curso de C´alculo en los dos primeros controles virtuales de la asignatura: C1

4

5

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

9

9

9

9

9

10

C2

3

5

5

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

7

7

8

8

8

8

8

8

8

10

10

10

a) Construya la tabla de frecuenicas conjunta. b) ¿Qu´e proporci´on de alumnos obtienen m´as de un cinco en: ambos controles, el primer control y el segundo control? c) Hallar la distribuci´on de frecuencias condicionales de la calificaci´on en del primer control de los estudiantes que obtuvieron un 7 el segundo control. ¿Qu´e proporci´on de estos estudiantes obtuvieron calficaci´on 9 en el primer control? d) Determine el coeficiente de correlaci´on y comente el resultado. 3 Se midi´o el tiempo en segundos que tardaron en grabarse 18 carpetas en dos tipos de discos (A y B). Los tiempos observados fueron: A

1.2

1.0

1.1

0.5

1.1

1.5

1.0

1.4

1.4

1.3

0.4

1.2

0.4

0.3

0.3

1.5

1.4

1.1

B

1.3

1.1

1.2

0.4

1.2

1.4

1.1

1.6

1.6

1.5

0.4

1.5

0.4

0.3

0.3

1.6

1.3

1.1

a) Construye la tabla de frecuencias conjuntas. b) Cu´al es el porcentaje de ficheros que tardan menos de 1.5 segundos en el primer tipo de disco y m´as de 1.4 en el segundo? c) Cu´antos ficheros tardan en grabarse entre 0.6 y 1.2 segundos en el primer tipo de disco? d) Cu´anto tiempo tarda como mucho en grabarse al menos el 90 % de los ficheros en el segundo tipo de disco? e) Hallar la tabla de frecuencias condicionales de los tiempos en el disco B de aquellos programas que tardaron 1.2 en el disco A. f ) Cu´al es la proporci´on de estos programas que tardan en grabarse m´as de 1.5 segundos en el de B? g) Representar gr´aficamente los datos y comentar el gr´afico obtenido. h) Si un fichero tarda 0.8 segundos en grabarse en el primer tipo de disco, cuantos segundos tardar´a en grabarse en el segundo tipo? i) Da una medida de fiabilidad. 4 Los siguientes datos representan las calificaciones de Administraci´on y Econom´ıa para una muestra aleatoria de alumnos de primer a˜ no de cierta universidad, junto con el n´ umero de clases perdidas durante el semestre por cada alumno. El rector de la Universidad insiste en que hay una estrecha relaci´on entre las clases perdidas y el promedio de las calificaciones [email protected]

40

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obtenidas por el alumno entre Administraci´on y Econom´ıa, por lo que motiva a los alumnos a disminuir su ausentismo para as´ı mejorar sus calificaciones. Por otro lado, el centro de alumnos opina que tal relaci´on no es cierta, y que las calificaciones dependen de otros factores no considerados en este estudio. Utilizando coeficientes de correlaci´on, a quien Ud le encuentra la raz´on? Estudiante

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Clases perdidas

1

7

5

2

6

3

2

5

4

3

1

4

Calificaci´ on Administraci´ on

85

74

76

90

85

87

94

98

81

91

76

74

Calificaci´ on Econom´ıa

65

50

55

65

55

70

65

70

55

70

50

55

5 La siguiente informaci´on corresponde al peso de cerdos (Y ) en Kg. en t´erminos de la edad (X) en d´ıas: X

x = 571

X

x2 = 48269 n = 9

X

y = 545

X

y 2 = 51181

X

xy = 49204

a) Determine la regresi´on lineal que explique el peso (X) en termino de la edad (Y ). b) Si un cerdo, tiene 15 d´ıas ¿Cual ser´a su peso?. c) El modelo determinado, ¿Es apropiado para predecir? 6 La talla media de una muestra de padres es de 1.68 m. con una desviaci´on t´ıpica de 5 cm. y la talla media de una muestra de sus hijos es de 1.70 m. con una desviaci´on t´ıpica de 7.5 cm. El coeficiente de correlaci´on entre las tallas de hijos y padres es 0.7. Estimar la talla de dos hijos si la talla de sus padres fuera de 1.80 y 1.60 respectivamente. 7 Un conjunto de datos bidimensionales (Xi , Yi ) tiene coeficiente de correlaci´on r = −0.9 siendo las medias marginales 1 y 2, respectivamente. Se sabe que una de las cuatro ecuaciones siguientes corresponde a la recta de regresi´on de Y sobre X. Selecciona razonadamente dicha recta: a) Y = −X + 2 b) Y = X + 1 c) 3X − Y = 1 d) 2X + Y = 4 8 Halla las rectas de regresi´on de esta distribuci´on bidimensional: Y X 3 5

8

9

10

4 6

13 7

3 7

9 Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos informaci´on sobre el n´ umero de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisi´on. La clasificaci´on de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla: [email protected]

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Universidad Salesiana de Bolivia X

Y

ni

6 7 8 9 10

4 3 3 2 1

3 16 20 10 1

Se pide: a) Calcular el coeficiente de correlaci´on. b) Determinar la ecuaci´on de la recta de regresi´on de Y sobre X. c) Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cu´anto cabe esperar que vea la televisi´on? 10 La tabla siguiente representa la distribuci´on bidimensional de un grupo de 11137 trabajadores clasificados seg´ un la EDAD y el SALARIO que perciben: SALARIO

EDAD

(Miles)

18—25

25—35

35–65

20—50 50—100 100—150

335 402 38

1022 1429 841

2132 2427 2511

Calcular: a) Las distribuciones marginales. b) Las distribuciones condicionales. c) Las medias y varianzas de cada variable. 11 Interprete cada uno de los siguientes coeficientes de correlaci´on y use gr´aficos de dispersi´on para representar como se ver´ıa cada una de las relaciones entre dos variables (X, Y ) cualesquiera: a) r = −1.0 b) r = 0.05 c) r = 0.85 12 Si el coeficiente de correlaci´on para los datos de la tabla es 0.97, responda a las preguntas siguientes, primero sin realizar ning´ un c´alculo y despu´es, comprobar las respuestas haciendo los c´alculos necesarios con su calculadora X:

2

3

4

5

6

Y:

5

7

8

13

14

Revise los gr´aficos de dispersi´on correspondientes y responda c´omo cambiar´ıa este coeficiente si: [email protected]

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a) Sumamos 3 a la variable X. b) Sumamos 3 en ambas variables. c) Multiplicamos la variable X por 2. d) Intercambiamos todos los valores de X por los de Y . e) Cambiamos el u ´ltimo valor de X por el de Y . f ) Sumamos 10 a ambas variables pero s´olo en el primer punto observado. 13 La correlaci´on lineal de X con Y es r = 0.60; a correlaci´on de X con W es de r = −0.80. ¿Con cual de las variables Y o W , es mayor el grado de asociaci´on lineal? 14 La correlaci´on entre la estatura del padre y la de su hijo hombre adulto es de 0.52. Esto nos dice que: a) padres m´as altos que la media de estatura tienden a tener hijos que son m´as altos que la media de estatura. b) padres m´as altos que la media de estatura tienden a tener hijos que son m´as bajos que la media de estatura. c) los hijos son, en promedio, m´as altos que sus padres. d) 52 % de todos los hijos son m´as altos que sus padres. e) casi no hay relaci´on entre la estatura de padres e hijos. 15 En un curso de introducci´on a la sociolog´ıa, un profesor hace dos ex´amenes. El profesor quiere determinar si las calificaciones de los estudiantes en el segundo examen est´an correlacionadas con las calificaciones del primero. Para facilitar los c´alculos, se elige una muestra de ocho estudiantes. Sus calificaciones aparecen en la siguiente tabla. Estudiante

Examen 1

Examen 2

1 2 3 4 5 6 7 8

60 75 70 72 54 83 80 65

60 100 80 68 73 97 85 90

a) Construya una gr´afica de dispersi´on para estos datos, utilizando la calificaci´on del primer examen como la variable X. ¿Parece lineal la relaci´on? b) Suponga que existe una relaci´on lineal entre las calificaciones de los dos ex´amenes, calcule el valor r de Pearson. 16 Las ciento treinta agencias de una entidad bancaria presentaban, en el ejercicio 2002, los siguientes datos correspondientes a las variables: X: Saldo medio de las cuentas a 31/12 (en euros). Y : Cuentas a plazo/Total cuentas. [email protected]

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Universidad Salesiana de Bolivia Y X Menos de 120 De 120 a 300 De 300 a 600 De 600 a 1500 M´ as de 1500

Menos de 0.1

De 0.1 a 0.3

M´as de 0.3

48 21 7 7 6

— 11 8 5 k

— — 2 1 1

Calcule: a) El valor de k. b) Las distribuciones marginales de X e Y . c) La mediana de X y el tercer cuartil de Y . d) La distribuci´on de las agencias, en t´erminos relativos, seg´ un X, cuando la ratio Y se encuentra comprendida entre 0.1 y 0.3. e) Distribuci´on, en t´erminos relativos, de Y para agencias con saldo medio por encima de las 100.000 ptas. 17 Una compa˜ n´ıa de seguros considera que el n´ umero de veh´ıculos (Y ) que circulan por una determinada autopista a m´as de 120 km/h , puede ponerse en funci´on del n´ umero de accidentes (X) que ocurren en ella. Durante 5 d´ıas obtuvo los siguientes resultados:

N´ umero de accidentes

N´ umero de veh´ıculos

5 7 2 1 9

15 18 10 8 20

a) Calcula el coeficiente de correlaci´on lineal. b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cu´antos veh´ıculos podemos suponer que circulaban por la autopista a m´as de 120 km/h? c) ¿Es buena la predicci´on? Razona la respuesta.

18 La evoluci´on del IPC, y la tasa de inflaci´on en los primeros nueve meses del a˜ no 2018, viene reflejada en la siguiente tabla: [email protected]

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Universidad Salesiana de Bolivia Meses

IPC

Tasa de inflaci´on

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre

0.7 1.1 1.7 2.0 1.9 1.9 2.9 2.9 3.8

6.0 6.0 6.3 6.2 5.8 4.9 4.9 4.5 4.4

Calcular: a) La media de IPC y de la tasa de inflaci´on. b) Las desviaciones t´ıpicas. c) La covarianza. d) El diagrama de dispersi´on. e) El grafico de tendencia de las dos variables en funci´on de los meses. f ) Predecir el IPC para el mes de enero y febrero del 2019. g) Predecir la tasa de inflaci´on para el mes de abril y mayo del 2019.

19 Sabiendo que x¯ = 3, s2x = 6, s2y = 8 y que la recta de regresi´on de Y sobre X es: Y = 4 − 0.667 · X obtener la recta de regresi´on de X sobre Y .

20 Hallar la recta de regresi´on de Y sobre X sabiendo que x¯ = 4.1, y¯ = 2.3 y la recta pasa por el punto (5.9, 3.5).

21 Disponemos de un conjunto de personas adultas de las que sabemos la edad a la que cada una se cas´o (o uni´o) por primera vez y los a˜ nos de escolarizaci´on, y nos interesamos por la relaci´on entre estas dos variables, el fragmento de la matriz de datos para estas dos variables en 30 casos es: [email protected]

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Universidad Salesiana de Bolivia Sujeto

A˜ nos escuela

Edad

Sujeto

A˜ nos escuela

Edad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 11 11

18 20 17 18 21 22 24 32 16 18 19 25 27 18 25

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

11 11 11 12 12 12 12 12 12 13 15 16 16 16 17

26 27 29 25 26 27 29 30 30 29 28 30 31 33 30

a) Construir una tabla de distribuci´on conjunta adecuada. b) Hallar la madias y varianzas marginales de cada variable. c) Hallar la covarianza e interpretar. d) Hallar el coeficiente de correralci´on entre ambas variables e interpretar. 22 En el mismo grupo de personas se plantea la relaci´on entre la cantidad de horas al d´ıa que se dedican a la lectura y el n´ umero de errores cometidos en una prueba de ortograf´ıa. a) Indique en un sistema de ejes coordenados la ubicaci´on de las variables (a cu´al llamar´ıa X y a cu´al Y ) y la forma que podr´ıa tener la nube de puntos si se supone una relaci´on lineal. La funci´on lineal que mejor ajusta los puntos tiene la siguiente forma: Y = 5 − 0.3 · X b) ¿C´omo se llaman los n´ umeros 5 y -0.3? c) ¿Qu´e significa el signo menos? d) ¿Cu´al ser´ıa el coeficiente m´as adecuado para evaluar la intensidad de la relaci´on? e) Si para ese coeficiente se obtiene el valor -0.12, ¿C´omo se lee? Al elevar al cuadrado ese coeficiente se obtiene 0.014 f ) ¿C´omo se llama ese n´ umero? g) ¿Cu´al es su interpretaci´on en referencia a las variables cuya relaci´on se analiza? 23 En la siguiente tabla se encuentran los datos de las ventas de los u ´ ltimos cinco a˜ nos de una empresa del ramo de alimentos: [email protected]

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Universidad Salesiana de Bolivia A˜ no

Ventas (millones de pesos)

2013 2014 2015 2016 2017 2018

7 10 9 11 13 14

a) Graficar los datos. b) Determinar la ecuaci´on de tendencia e interpretarla. c) Trazar la recta de tendencia. d) Pronosticar las ventas para los siguientes dos a˜ nos e interpretar el resultado. 24 Asumiendo que los siguientes datos son las unidades vendidas por a˜ no de la agencia de Honda Motors autos que tiene 5 a˜ nos de iniciado: A˜ no Unidades vendidas

2014

2015

2016

2017

2018

79

120

138

184

200

a) Graficar los datos. b) Determinar la ecuaci´on de tendencia e interpretarla. c) Trazar la recta de tendencia. d) Pronosticar las unidades a vender para el primer semestre de los siguientes dos a˜ nos e interpretar el resultado 25 Los siguientes son los precios de venta de las acciones de Oracle, Inc., al cierre de a˜ no. A˜ no

Precio

A˜ no

Precio

A˜ no

Precio

2000 2001 2002 2003 2004

0.1944 0.3580 0.7006 1.4197 2.1790

2005 2006 2007 2008 2009

3.1389 4.6388 3.7188 7.1875 28.0156

2010 2011 2012 2013 2014 2015

29.0625 13.8100 10.8000 13.2300 13.7200 12.2100

a) Trace los datos. b) Determine la ecuaci´on de la tendencia de m´ınimos cuadrados. Utilice el precio accionario actual y el logaritmo del precio. ¿Cu´al parece producir una proyecci´on m´as precisa? c) Calcule los puntos para los a˜ nos de 2003 a 2008. d) Estime el precio de venta en 2017 y 2018. ¿Parece un estimado razonable con base en los datos hist´oricos? [email protected]

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e) ¿Cu´anto aument´o o disminuy´o el precio accionario (por a˜ no), en promedio, durante el periodo? 26 Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables: V (X + Y ) = 8.3

V (X − Y ) = 10.1

Hallar la covarianza de ambas variables. 27 El coeficiente de correlaci´on entre la velocidad al escribir a m´aquina y los errores cometidos fue de 0.4. La variaci´on en los errores cometidos al escribir a m´aquina debido a la falta de atenci´on es 4 veces m´as alta que la variaci´on debida a la rapidez. Hallar el coeficiente de correlaci´on entre los errores al escribir a m´aquina y la falta de atenci´on. 28 Se conocen los siguientes datos: Y = 2 + 0.8 · X, y¯ = 10, s2x = 50, s2y = 64. Hallar la ecuaci´on de la recta de regresi´on de X en Y . 29 Con los siguientes datos, calcule ambas rectas de regresi´on: x¯ = 6

y¯ = 5

s2x = 18

s2y = 25

sxy = 15

30 En una distribuci´on bidimensional de frecuencias se ha obtenido los siguientes resultados: V (X − Y ) = 2560

s2x = 3600

x¯ = 50

y¯ = 15

Y = 5 + 0.2 · X

Hallar los coeficientes de la recta: X = c + d · Y . 31 Sean dos variables X e Y de las que se conoce sx = 15, r = 38 , C.V.(Y ) = 0.15, x¯ = 150 e y¯ = 200. Halle la varianza de X + Y . 32 Con objeto de estudiar la relaci´on entre las variables consumo de energ´ıa el´ectrica X y el volumen de producci´on en las empresas industriales Y , se tom´o una muestra de 40 empresas, para las cuales se calcularon los siguientes valores: X

Xi = 21.34

X

Yi = 30.72

X

Xi2 = 22.16

X

Yi2 = 94.96

X

Xi Yi = 32.13

a) Determine las rectas de regresi´on Y en X y de X en Y . b) Determine el coeficiente de correlaci´on rectilineal. 33 Al estudiar la regresi´on lineal entre los ingresos medios (Y en $us.) y el n´ umero de hijos por familia (X), se obtuvo la siguiente informaci´on: √ x¯ = 3, y¯ = 700, sx = 0.5 sxy , estimar los ingresos de las familias con 4 hijos, ¿A cu´antos hijos por familia corresponder´ıa un ingreso estimado en $us. 712?

[email protected]

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Unidad

5

Introducci´ on a la Probabilidad 1 Con 6 letras distintas, ¿Cu´antas palabras de 6 letras no repetidas se puede formar?. Ay´ udate de un diagrama de ´arbol. 2 Se extraen 3 cartas sin reemplazamiento de una baraja de espa˜ nola (40 cartas) a) ¿Cu´al es la probabilidad de que sean 3 sotas? b) ¿Y de que en las 3 cartas sean 3 oros? 3 Se lanza un dado 3 veces, calcular la probabilidad de que sacar al menos un 3 en los seis lanzamientos . 4 Si una moneda est´a trucada, tal que P (cara) = 0.6. ¿Cu´al es la probabilidad de que salga al menos una cruz en tres lanzamiento de la moneda? 5 En la case de Estad´ıstica A de 17 alumnos se cumple que 6 son chicos y 11 chicas. De los chicos 4 viven en la ciudad de La Paz y el resto fuera, y de las chicas s´olo 3 viven en La Paz. Haz una tabla para ayudarte a calcular las siguientes probabilidades. Elegida una persona al azar calcular la probabilidad de: a) Que sea chico. b) Que viva en La Paz. c) Sabiendo que vive en La Paz sea chico. d) Que sabiendo que es Chico vive en La Paz. 6 Se lanza un dado c´ ubico, escribir los siguientes sucesos y calcular sus probabilidades: a) A:“salir impar”, B:“salir n´ umero primo”, C:“salir mayor que 5” b) A∩B, A∩C, B∩C c) A∪ Bc 7 En una bolsa hay 100 bolas numeradas del 1 al 100. Calcular las probabilidades de al extraer una u ´nica bola cumpla 49

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a) Sea m´ ultiplo de 3. b) Sea m´ ultiplo de 5. c) Sea m´ ultiplo de 3 o de 5. 8 En una urna hay 4 bolas iguales con las letras O, H, A y L. Se extraen sucesivamente las cuatro bolas. Calcula la probabilidad de que formen la palabra HOLA en los siguientes casos: a) Devolviendo las bolas a la urna. b) Sin devolverlas. 9 Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 10 negras y 12 azules. Se extraen 2 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color. 10 En el experimento que consiste en extraer una carta de la baraja espa˜ nola se consideran los siguientes sicesos: A: “Obtener un basto”, B: “ Obtener un cinco” Explica razonadamente cu´al de las siguientes probabilidades es mayor, P (A/B) o P (B/A). 11 Un profesor tiene dos estuches. Uno contiene 5 bol´ıgrafos azules y 3 negros, y el otro, 2 azules y 6 negros. Si abre un estuche al azar y extrae un bol´ıgrafo, ¿cu´al es la probabilidad de que sea negro? 12 Para tratar de curar una enfermedad, se ha aplicado un nuevo tratamiento a una serie de individuos. La siguiente tabla refleja los resultados obtenidos. Curados

No curados

Tratamiento nuevo

60

21

Tratamiento anterior

43

36

Calcula la probabilidad de que, elegido un individuo al azar: a) Se haya curado. b) Haya recibido el nuevo tratamiento. c) Se haya curado con el tratamiento nuevo. d) Se haya curado sabiendo que ha recibido el tratamiento nuevo. e) Haya recibido el tratamiento nuevo sabiendo que se ha curado. 13 Si lanzo una moneda 9 veces y aparece cara en todos los lanzamientos, ¿es m´as probable que a la d´ecima vez salga cruz en lugar de cara? Razona tu respuesta. [email protected]

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14 Javier tiene en su monedero 4 monedas de cinco bs., 3 de veinte centavos y dos de un boliviano. Saca dos monedas al azar uno tras otro. ¿Cu´al es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Que las dos sean de cinco bolivianos. b) Que ninguna sea de un boliviano. c) Que saque 1.20 bolivianos. umero del 1 al 12 y se consideran los siguientes sucesos: 15 Si se elige aleatoriamente un n´ A: “obtener n´ umero par” B: “obtener n´ umero impar” C: “obtener m´ ultiplo de 3” D: “obtener m´ ultiplo de 5” E: “obtener n´ umero primo” a) Escribe entre llaves los elementos de que consta cada uno de los sucesos dados. Calcula: A∪B (A ∩ B) ∪ C B∩E A∩B (C ∪ D) ∩ E C ∪D b) Estudia la compatibilidad de A y B, de A y D, de B y E. c) Indica los sucesos contrarios de A, C, y D. 16 Escribimos las letras del nombre AURELIO en papeles que introducimos en una caja. Sacamos una papeleta al azar. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que sea vocal? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que sea consonante? 17 Se extraen dos cartas de forma sucesiva de una baraja de 40 cartas, sin devoluci´on. Calcula la probabilidad de: a) Extraer dos ases b) No extraer ning´ un as. 18 Un dado trucado tiene las siguientes probabilidades P (1) = P (3) = P (5) = 0.1; P (6) = 0.3 y P (2) = 0.2. Calcula P (4) explicando la respuesta. 19 Seg´ un los registros de una compa˜ n´ıa de seguros el 6.2 % de sus clientes de seguro automotriz sufrir´a alg´ un siniestro durante el actual a˜ n, adem´as se sabe que de los clientes que contratan este tipo de seguros el 60 % son hombres. De las mujeres que ha contratado este tipo de seguros los registros estad´ısticos indican que el 8 % sufrir´a alg´ un siniestro este a˜ no. a) Dado que un cliente observado al azar es hombre, ¿Qu´e probabilidad hay que sufra alg´ un tipo de siniestro este a˜ no? b) Si observamos aleatoria e independientemente 100 clientes de esta compa˜ n´ıa, ¿cu´al es la probabilidad que a lo m´as 2 sean hombres que sufrieron alg´ un tipo de siniestro este a˜ no? [email protected]

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20 Poseemos una cadena de tres tiendas de venta de comida (ratolines, sapos y otros animales salvajes) para iguanas. La primera est´a situada en la calle Albacete y realiza el 30 % de nuestras ventas, la segunda situada en la calle Bonifacio III, el coixo realiza el 40 % de las ventas y la que est´a situada en la calle Calamares Peludos n´ umero 3 vende el resto. Entre nuestras tres tiendas se cometen errores en los pedidos el 5 % de las veces. As´ı en la de la calle Bonifacio esos errores ascienden al 2 %, mientras que en la de la calle Calamares este porcentaje tambi´en es el mismo. Si un cliente nos llama a la central dici´endonos que ha recibido un pedido equivocado. Calcular la probabilidad de que este pedido se realizara en la tienda de la calle Albacete. 21 Conociendo que el 8 % de la gente que transita por la calle donde se ubica nuestra tienda son mujeres acaudaladas y que por esa misma calle, de las mujeres que transitan el 40 % llevan los bolsos repletos de euros (acaudaladas). Calcular la probabilidad de que si tropezamos (en la calle de nuestra tienda) aleatoriamente con una persona, ´esta sea un hombre. 22 El 30 % del caf´e que vende un determinado supermercado es descafeinado. De ´este, el 20 % es de marca blanca, mientras que del caf´e vendido que no es descafeinado, s´olo un 10 % es de marca blanca. a) ¿Qu´e porcentaje del caf´e vendido es de marca blanca y descafeinado? b) ¿Qu´e porcentaje del caf´e vendido es de marca blanca? 23 Construya el Espacio Muestral para cada uno de los siguientes experimentos: a) Se pregunta a una persona la primera letra de su apellido. b) Se pregunta a cuatro personas el mes que nacieron. c) Se examinan ocho plantas y se registra el n´ umero de ellas atacadas por cierta enfermedad. d) Se escucha una estaci´on de radio y se cuenta el n´ umero de segundos transcurridos hasta que escucha la palabra: sincatexpmatic. e) Se determina el porcentaje de humedad relativa de un invernadero. 24 Se le pide a un catador de t´e que pruebe y clasifique tres variedades de t´e A, B y C de acuerdo con su preferencia. a) Defina el experimento. b) Describa el espacio muestral. c) Si el catador no tuviera habilidad para distinguir la diferencia entre los tres tipos de t´e ¿cu´al es la probabilidad de que concluya que el tipo A es el mejor?, ¿de que concluya que es el peor? 25 Una encuesta a 50 estudiantes de una escuela de Ciencias Administrativas, revel´o la siguiente informaci´on acerca de la selecci´on de carreras: 12 de Contabilidad, 3 de Finanzas, 13 de Sistemas de Informaci´on, 12 de Empresas y 10 de Mercadotecnia; suponga que selecciona a un (o una) estudiante y observa su opci´on profesional. [email protected]

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a) ¿Cu´al es el experimento? b) ¿Cu´ales son los posibles resultados del experimento aleatorio? c) ¿Son mutuamente excluyentes e igualmente probables los eventos? d) ¿Cu´al es la Probabilidad de que ´el o ella estudie la carrera de Sistemas de Informaci´on? 26 De una baraja de 20 cartas numeradas del 1 al 20, se extrae una carta al azar. ¿Cu´al es la probabilidad de seleccionar una carta con un n´ umero divisible por 3? 27 Los registros del servicio de salas de emergencia de un hospital indican lo siguiente en lo referente a un per´ıodo de dos a˜ nos: Ataque al coraz´on Enfermedades respiratorias V´ıctimas de accidentes Envenenamiento Otros

12 % 20 % 32 % 16 % 20 %

Suponiendo razonable el hecho de utilizar estos datos como constantes, como tambi´en que son eventos mutuamente excluyentes determinar: a) La probabilidad de atender a un paciente que ha sufrido un accidente o un ataque al coraz´on. b) La probabilidad de que los pacientes no sufran una enfermedad respiratoria. 28 Se numeran diez fichas del 0 al 9, y se colocan en una urna. Si mezcladas una vez se saca una ficha, determine la probabilidad de que sea: a) El n´ umero 3. b) Un n´ umero menor que 4. c) Un n´ umero impar. d) El n´ umero 10. 29 Hay 50 canicas en una urna: 20 azules, 15 rojas, 10 naranjas y 5 verdes; las canicas se mezclan y se selecciona una. Obtenga la probabilidad de que la que se saque sea: a) verde, b) azul, c) roja o verde, d) diferente a roja, e) azul o verde, f ) amarilla, g) diferente de amarilla, h) naranja o azul. [email protected]

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30 Con el objeto de probar la afirmaci´on de un adivino que asegura que posee una varilla capaz de detectar la presencia de agua y minerales en el subsuelo, se entierran cinco recipientes, tres vac´ıos y dos llenos de agua. El adivino usar´a su varilla para examinar cada uno de los cinco recipientes y decidir cu´ales son los dos que contienen agua. a) Defina el experimento. b) Cu´al es el espacio muestral del experimento. c) Si la varilla es completamente inservible para localizar agua, ¿cu´al es la probabilidad de que el adivino identifique correctamente (al azar) los dos recipientes que contienen agua? 31 En una caja hay 24 bolas del mismo tama˜ no pero de 3 colores diferentes. Si al sacar una bola cualquiera las probabilidades de que salgan: una bola roja es 0.5, una verde 0.375 y una azul es 0.125, ¿en cu´anto excede el n´ umero de bolas rojas al de azules? 32 Suponga que: P (A) = 0.3, P (B) = 0.8 y P (A y B) = 0.15 a) ¿Son mutuamente excluyentes y ? justifique la respuesta. b) Encuentre P (B c ). c) Obtenga P (A o B). 33 Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio con P (A) = 0.70, P (B) = 0.60 y P (A y B) = 0.58. ¿Son independientes A y B? Razone su respuesta. 34 Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo de Northwest Airlines llegue m´as tarde de la hora programada es de 0.90. Seleccione cuatro vuelos de ayer para estudiarlos. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que los cuatro vuelos seleccionados lleguen m´as tarde de la hora programada? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguno de los vuelos seleccionados lleguen m´as tarde de la hora programada? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que por lo menos uno de los vuelos seleccionados no llegue m´as tarde de la hora programada? 35 La probabilidad de que una mujer viva dentro de 30 a˜ nos es 0.25 y la probabilidad de que su hijo viva dentro de 30 a˜ nos es 0.9. Cu´al es la probabilidad de que: a) Vivan los dos dentro de 30 a˜ nos. ´ b) Unicamente viva la madre. ´ c) Unicamente viva el hijo. d) Al menos viva uno de los dos. 36 Un estudio realizado por una empresa que renta veh´ıculos revel´o que en los u ´ ltimos 12 meses el 45 % de los clientes hab´ıan rentado un autom´ovil por asuntos de negocios, 54 % por motivos personales y 30 % por motivos personales y negocios a la vez. [email protected]

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a) ¿Cu´al es la probabilidad que el pr´oximo cliente rente un autom´ovil por motivos de negocios o personales? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el pr´oximo cliente no rente un autom´ovil por negocios o asuntos personales? 37 Luis compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente de valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es 1/10. Determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten de valor. b) Ninguna aumente de valor. c) Una aumente de valor. d) Dos aumenten de valor. e) Por lo menos una aumente de valor. 38 Un ordenador personal tiene cargados dos programas antivirus A y B que act´ uan simult´anea e independientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A lo detecta con una probabilidad de 0.9 y el programa B lo detecta con una probabilidad de 0.8. a) La probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado. b) La probabilidad de que un virus sea detectado por el programa A1 y no por A2 . 39 Suponga que se sabe que en una compa˜ n´ıa particular, la probabilidad de permanecer en la compa˜ n´ıa 10 a˜ nos o m´as es 1/6. Un hombre y una mujer empiezan a trabajar en esta compa˜ n´ıa el mismo d´ıa. a) Cu´al es la probabilidad de que el hombre trabaje menos de 10 a˜ nos en la compa˜ n´ıa. b) Cu´al es la probabilidad de que ambos, el hombre y la mujer, trabajen en la compa˜ n´ıa menos de 10 a˜ nos. Se supone que ellos no est´an relacionados y que, por lo tanto, sus a˜ nos de servicio en la compa˜ n´ıa son independientes entre s´ı. c) Cu´al es la probabilidad de que uno, el otro, o ambos trabajen m´as de 10 a˜ nos. 40 El gerente de unos grandes almacenes ha comprobado que un 38 % de las familias que residen en determinada ciudad no son clientes habituales y que un 85 % de sus clientes pagan de contado el importe de las compras. Seleccione una familia al azar y determine la probabilidad: a) Sea cliente y pague de contado. b) Sea cliente o pague de contado. c) No sea cliente y pague de contado. d) Sea cliente y pague con tarjeta de cr´edito. e) Sea cliente o pague con tarjeta de cr´edito. f ) No sea cliente y pague con tarjeta de cr´edito. [email protected]

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41 En una clase el 45 % de los estudiantes reprueba Matem´aticas, el 60 % reprueba Contabilidad y el 30 % reprueba ambas. Se selecciona al azar un alumno: a) Si reprob´o Contabilidad, ¿cu´al es la probabilidad que reprobara Matem´atica? b) Si reprob´o Matem´atica, ¿cu´al es la probabilidad que reprobara Contabilidad? 42 Un libro tiene tres cap´ıtulos. El 85 % de las p´aginas del primer cap´ıtulo no tiene ning´ un error, el 90 % del segundo y el 95 % del tercero tampoco tienen ning´ un error. El primer cap´ıtulo tiene 125 p´aginas, el segundo 150 y el tercero 175. a) Cu´al es la probabilidad de que al elegir una p´agina al azar no tenga ning´ un error. b) Supongamos que elegimos una p´agina al azar y observamos que no tiene ning´ un error, cu´al es la probabilidad de que sea del segundo cap´ıtulo. 43 A & R, una empresa de inversiones, se anuncia ampliamente en el peri´odico que ofrece sus servicios en la regi´on. El personal de A & R calcula que 60 % del mercado potencial de la empresa de inversiones ley´o el peri´odico; calcula, adem´as, que 85 % de quienes lo leyeron recuerdan la publicidad de A & R. n´ıa inversionista ve y recuerda el a) ¿Qu´e porcentaje del mercado potencial de la compa˜ anuncio? b) ¿Qu´e porcentaje del mercado potencial de la compa˜ n´ıa inversionista que lee el peri´odico pero no recuerda el anuncio? 44 Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de su uni´on P (A o B) es doble que la de su intersecci´on P (A y B) ; y que la probabilidad de su intersecci´on es de 0.1. Se pide: a) Calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B. b) ¿Qu´e suceso es m´as probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro? 45 Una urna contiene dos monedas de oro y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de oro y tres de cobre; si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que la moneda extra´ıda sea de oro? 46 Un juego consiste en lanzar un dado. Si sale un n´ umero primo, lanzamos una moneda, y si sale un n´ umero no primo, lanzamos dos monedas. Cu´al es la probabilidad de ganar si se gana el juego cuando no aparecen sellos al lanzar las monedas. 47 Un banco local informa que 80 % de sus clientes tiene cuenta corriente; 60 % tiene cuenta de ahorros y 50 % cuenta con ambas. Si se elige un cliente al azar, a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta corriente dado que posee una cuenta de ahorros? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta de ahorros dado que posee una cuenta corriente? [email protected]

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48 Tres operadores (A, B y C) se turnan en el manejo de cierta m´aquina. El n´ umero de partes producidas por A, B, y C est´an en relaci´on 3:4:3 y el 5 % de A, el 2 % de B y el 5 % de C es defectuoso. Si una parte es tomada al azar de la salida de la m´aquina, ¿cu´al es la probabilidad de que sea defectuosa? 49 El 35 % de los cr´editos de un banco son para vivienda, el 50 % para industria y el 15 % para consumo diverso. Resultan fallidos el 20 % de los cr´editos para vivienda, el 15 % de los cr´editos para industrias y el 70 % de los cr´editos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un cr´edito elegido al azar. 50 El 60 % de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran extranjeros. De estos, el 40 % eran menores de 20 a˜ nos. En cambio, de los que no eran extranjeros, ten´ıan menos de 20 a˜ nos el 30 %. Calcular la probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 a˜ nos. 51 El despertador de Javier no funciona muy bien y el 20 % de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0.20; pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0.90. a) Determine la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador. b) Halle la probabilidad de que llegue temprano. c) Javier ha llegado tarde a clase, ¿cu´al es la probabilidad de que haya sonado el despertador? 52 En una peque˜ na ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50 % de los libros son novelas mientras que en la segunda lo son el 70 %. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un m´etodo que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no. a) Calcular la probabilidad de que elija una novela. b) Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de que haya acudido a la primera biblioteca. 53 El 75 % de los alumnos acude a clase en alg´ un tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60 % de los que utilizan el transporte y el 90 % de los que acude andando. Calcular: a) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando, y b) si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual. 54 Una imprenta tiene en almac´en 1000 libros de una edici´on E1, 1200 de la edici´on E2 y 800 de E3. Se sabe que el 3 % de los libros E1, el 1.5 % de E2 y el 2 % de E3 tienen defectos. Se elige un libro al azar: [email protected]

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a) Hallar la probabilidad de que tenga defectos. b) Sabiendo que el libro presenta defectos, ¿cu´al es la probabilidad de que sea de la edici´on E2? 55 El departamento de cr´edito de un gran almac´en, inform´o que 30 % de las ventas se paga con efectivo; 30 % con tarjeta de cr´edito, y 40 % con dinero electr´onico; adem´as el 20 % de las compras con efectivo, 90 % de las compras con tarjeta de cr´edito y el 60 % de las compras con dinero electr´onico son por m´as de $us. 50. Una se˜ nora acaba de comprar un vestido nuevo que le cost´o $us. 120. ¿Cu´al es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? 56 Un men´ u del restaurante El T´ıpico ofrece una selecci´on de 2 bebidas, 3 ensaladas, 5 entradas y 3 postres. De cu´antas maneras puede una persona elegir la comida a base de cada una de las cosas del men´ u. 57 De los 15 miembros de la junta directiva de una gran empresa, ¿cu´antos comit´es de 5 miembros pueden seleccionarse si el orden no importa? 58 ¿De cu´antas maneras se pueden elegir un presidente, un secretario y un tesorero en un club formado por 12 personas? 59 Hallar el n´ umero de se˜ nales distintas que se pueden hacer con cuatro banderas de colores desplegando dos banderas una encima de la otra. 60 Un comit´e de ocho personas debe elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario. ¿De cu´antas maneras se puede hacer esta selecci´on? 61 Una compa˜ n´ıa ha contratado a 15 nuevos empleados y debe asignar seis al turno matutino, cinco al vespertino y cuatro al nocturno. ¿De cu´antas maneras se puede hacer la asignaci´on? 62 De los 12 empleados de Worldwide Travel Services, 7 han tenido capacitaci´on especial. Si 5 empleados van a ser enviados a Europa, ¿cu´al es la probabilidad de que 3 est´en dentro de los que han tenido entrenamiento especial? 63 El presidente debe seleccionar 5 miembros de una lista de 12 senadores, de los cuales 7 lo apoyan y 5 le hacen oposici´on. Si ´el selecciona al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que la mayor´ıa del comit´e apoye al presidente? 64 Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen. ¿De cu´antas maneras diferentes puede escoger las preguntas? a) Sin ninguna restricci´on. b) Si las dos primeras son obligatorias. c) Si debe contestar 3 de las 4 primeras.

[email protected]

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´ndice Ape

A

Formulario

A.1.

Conceptos B´ asicos

ESTAD´ISTICA

    etodos    M´     Descriptiva M´etodos         M´etodos

de tabulaci´on gr´aficos num´ericos

       Estimaci´  on   Inferencial   Pruebas de

ESTUDIO

        ´n Poblacio                   Muestra     

de par´ametros hip´otesis

  x1 , x2 , x3 , ..., xN 

o Universo (N ) Finita N o Infinita   Par´ametro: µ, σ 2 y P    x1 , x2 , x3 , ..., xn

(n)

  

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Muestreo Estad´ıstico o Estad´ıgrafo: x¯, s2 y pb

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  1.     2.

Planteamiento del problema ´ n de la informacio ´n Recoleccio ´ EL METODO ESTAD´ISTICO  ´ n y clasificacio ´ n de los datos  3. Organizacio     ´ lisis e interpretacio ´ n de los resultados 4. Ana       Cualitativa–Atributo     

 Nominal

      ´trica Cuantitativa-Me   

 Discreta

VARIABLE 

Ordinal

Cont´ınua

X, Y, Z, V, W, T, U, ......, X1 , X2 , ......

FUENTE DE LOS DATOS

  Censos     Encuestas

por muestreo

  Registros    

˜ o de experimentos Disen

Si X es la variable, entonces {x1 , x2 , ..., xn } son los datos observados o las mediciones realizadas a una muestra de elementos de tama˜ no n. Los cuales en una primera instancia, se deben representar (resumir) en cuadros y gr´aficas.

A.2.

Representaciones Univariantes

A.2.1.

Distribuci´ on de frecuencias de variable cualitativa

En el caso de datos {x1 , x2 , ..., xn } de variable X cualitativa, la tabla de distribuci´on de frecuencias adoptar´a la siguiente forma:

Variable

Frecuencias absoluta ni

Frecuencias relativa fi

Frecuencias porcentual pi %

Caracter´ıstica A Caracter´ıstica B Caracter´ıstica C .. .

n1 n2 n3 .. .

f1 f2 f3 .. .

p1 % p2 % p3 % .. .

Caracter´ıstica K

nk

fk

pk %

Totales

n

1

100 %

[email protected]

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donde: frecuencias absolutas (ni ), cantidad de veces o el n´ umero de veces que entre los datos aparece la Caracter´ıstica A, B, C, ... , K. • ni es positivo y entero • 0 < ni < n • n1 + n2 + · · · + nk =

n P i=1

ni = n

frecuencias relativas (fi ), proporci´on de veces o el tanto por uno de veces que entre los datos aparece la Caracter´ıstica A, B, C, ... , K. • fi es positivo y decimal • 0 < fi < 1 • f1 + f2 + · · · + fk =

n P i=1

fi = 1

frecuencias porcentuales (pi %), porcentaje de veces o tanto por cien de veces que entre los datos aparece la Caracter´ıstica A, B, C, ... , K. • pi % es positivo • 0 < pi % < 100 • p1 % + p2 % + · · · + pk % =

A.2.2.

n P i=1

pi % = 100 %

Distribuci´ on de frecuencias de variable cuantitativa

Sea X una variable cuantitativa con {x1 , x2 , ..., xn } los datos observados o medidos de los elementos de la muestra de tama˜ no n. Para poder resumir y respresentar estos datos en Cuadros o Tablas de distribuci´on de frecuencias se debe tomar en cuanta: Si la variable X es dicreta o cont´ınua. Si la cantidad de datos (n) es peque˜ na (pocos) o grande (muchos). Si los datos {x1 , x2 , ..., xn } se repiten en k distintos valores (k < n) o casi todos en su mayor´ıa son distintos. Seg´ un c´omo se expresen los datos, se tiene tres alternativas para representar los datos. Distribuci´ on Tipo I Si los datos {x1 , x2 , ..., xn }: Son de variable X cuantitativa. Son en cantidad de datos (n) peque˜ na (pocos). [email protected]

61

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Son los datos {x1 , x2 , ..., xn } casi todos en su mayor´ıa distintos. Entonces, estos datos se pueden presentar en forma ordenada ascendente o descendentemente, es decir: x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ · · · ≤ x(n) tambi´en llamados “datos no agrupados” o “datos simples”.

Distribuci´ on Tipo II Si los datos {x1 , x2 , ..., xn }: Son de variable X “discreta”. Son en cantidad de datos (n) grande (muchos). Son los datos {x1 , x2 , ..., xn } repetidos entre k distintos posibles (k < n). Entonces, estos datos se pueden presentar en forma de una tabla de distribuci´on de frecuencias: xi

ni

fi

pi %

Ni

Fi

Pi %

x1 x2 x3 .. .

n1 n2 n3 .. .

f1 f2 f3 .. .

p1 % p2 % p3 % .. .

N1 N2 N3 .. .

F1 F2 F3 .. .

P1 % P2 % P3 % .. .

xk

nk

fk

pk %

Nk

Fk

Pk %

Total

n

1

100 %

tambi´en llamados distribuci´on de frecuencias de “datos discretos agrupados” o “datos agrupados discretos”. Donde: xi : conjunto de valores diferentes que toman los datos originales de la variable X. ni : frecuencia absoluta, es el n´ umero de veces que aparece este valor en el conjunto de observaciones. 0 < ni < n ∀i = 1, 2, ..., k.

k X

ni = n

i=1

fi : frecuencia relativa, es el tanto por uno o proporci´on de observaciones que representa al valor xi . k X ni fi = ∀i = 1, 2, ..., k. 0 < fi < 1 fi = 1 n i=1 [email protected]

62

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pi %: porcentaje, de observaciones del valor xi . pi % = fi · 100 =

ni · 100 ∀i = 1, 2, ..., k. n

k X

0 < pi % < 100 %

pi % = 100 %

i=1

Ni : frecuencia absoluta acumulada “Menor que”, correspondiente al valor xi , al n´ umero de observaciones menores o iguales a xi Ni = n1 + n2 + n3 + · · · + ni

Ni =

i X

nj

Ni = Ni−1 + ni

∀i = 1, 2, ..., k.

j=1

N1 = n1

Nk = n

Fi : frecuencia relativa acumulada “Menor que” del valor xi a la frecuencia relativa total de las observaciones menores o iguales a xi F i = f1 + f2 + f3 + · · · + fi

Fi =

i X

fj

Fi = Fi−1 + fi

∀i = 1, 2, ..., k.

j=1

F 1 = f1

Fk = 1

Pi %: frecuencia porcentual acumulada “Menor que” del valor xi a la frecuencia porcentaje total de las observaciones menores o iguales a xi Pi % = p 1 % + p 2 % + p 3 % + · · · + p i %

Pi % =

i X

pj %

Pi % = Pi−1 % + pi %

j=1

∀i = 1, 2, ..., k.

P 1 % = p1 %

Pk = 100 %

Distribuci´ on Tipo III Si los datos {x1 , x2 , ..., xn }: Son de variable X “cont´ınua”. Son en cantidad de datos (n) grande (muchos). Son los datos {x1 , x2 , ..., xn } muy distintos en su mayor´ıa entre ellos. entonces, corresponde realizar una tabla de distribuci´on de frecuencias agrupados en intervalos de clase. Para tal prop´osito, se plantea las siguientes regla de construir de una distribuci´on de frecuencias en intervalos de clase: 1. entre los datos {x1 , x2 , x3 , ..., xn } de la variable X, buscar xm´ax = m´ax{x1 , x2 , x3 , ..., xn } y xm´ın = m´ın{x1 , x2 , x3 , ..., xn } 2. obtener el rango o recorrido de los datos observados de la variable X R = xm´ax − xm´ın [email protected]

63

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3. alternativas para tomar el n´ umero de clases o n´ umero de intervalos de clase    5

si n ≤ 25 K= n si n > 25    1 + 3.22 log(n) F´ormula de Sturges √

4. calcular la amplitud o ancho de clase constante para cada clase C=

R ≈ redondear al inmediato superior relacionados con los datos K

5. determinar los l´ımites de cada clase de cada intervalo L0 = xm´ın ······

L1 = L0 + C

L2 = L1 + C = L0 + 2C

Lk−1 = Lk−2 + C = L0 + (k − 1)C

L3 = L2 + C = L0 + 3C

Lk = Lk−1 + C = L0 + kC

y as´ı, obtenemos los l´ımites inferior Li−1 y l´ımites superior Li de la tabla de distribuci´on de frecuencias en intervalos de clase constante siguiente: Li−1 —Li

conteo

ni

fi

pi %

Ni

Fi

Pi %

xi

L0 —L1 L1 —L2 L2 —L3 .. .

/// //// // .. .

n1 n2 n3 .. .

f1 f2 f3 .. .

p1 % p2 % p3 % .. .

N1 N2 N3 .. .

F1 F2 F3 .. .

P1 % P2 % P3 % .. .

x1 x2 x3 .. .

Lk−1 —Lk

/////

nk

fk

pk %

Nk

Fk

Pk %

xk

n

1

100 %

Total

tambi´en llamado distribuci´on de frecuencias de datos agrupados en intervalos o distribuci´on de datos agrupados de variable cont´ınua. Donde: Li−1 y Li l´ımites inferior y superior de cada intervalo de clase respectivamente. ni : frecuencia absoluta, es el n´ umero de observaciones que pertenecen la la clase i–´esima. k X

0 < ni < n ∀i = 1, 2, ..., k.

ni = n

i=1

fi : frecuencia relativa, es el tanto por uno o proporci´on de observaciones que representa al intervalo de la clase i–´esima. ni fi = n

∀i = 1, 2, ..., k.

0 < fi < 1

k X

fi = 1

i=1

pi %: porcentaje, de observaciones que pertenecen a la clase i–´esima. ni pi % = fi · 100 = · 100 ∀i = 1, 2, ..., k. n

0 < pi % < 100 %

[email protected]

k X

pi % = 100 %

i=1

64

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Ni : frecuencia absoluta acumulada “Menor que”, correspondiente a la clase i–´esima, al n´ umero de observaciones menores o iguales a Li Ni = n1 + n2 + n3 + · · · + ni

Ni =

i X

Ni = Ni−1 + ni

nj

∀i = 1, 2, ..., k.

j=1

N1 = n1

Nk = n

Fi : frecuencia relativa acumulada “Menor que” de la clase i–´esima a la frecuencia relativa total de las observaciones menores o iguales a Li F i = f1 + f2 + f3 + · · · + fi

Fi =

i X

Fi = Fi−1 + fi

fj

∀i = 1, 2, ..., k.

j=1

F 1 = f1

Fk = 1

Pi %: frecuencia porcentual acumulada “Menor que” del valor xi al porcentaje total de las observaciones menores o iguales a Li Pi % = p 1 % + p 2 % + p 3 % + · · · + p i %

Pi % =

i X

pj %

Pi % = Pi−1 % + pi %

j=1

∀i = 1, 2, ..., k.

P 1 % = p1 %

Pk = 100 %

xi : marca o representante de clase, conjunto de valores representantes de cada clase i–´esima o intevalo de clase. Li−1 + Li xi = ∀i = 1, 2, 3, ..., k. 2 Estructura de un Cuadro o Tabla de frecuencias En toda tabla o cuadro estad´ıstico debe tomarse en cuenta:

CUADROS:

    Preciso, claro y conciso:             Cuadro o Tabla            on correlativa    Numeraci´     T´ıtulo ¿Qu´e? Universo de estudio           ¿C´omo? variable de an´alisis (“por”, “seg´ un”)             ¿D´onde? local o lugar       ¿Cu´ ando? la ´epoca tiempo        Cuerpo de la tabla       Cuadro propiamente dicho Encabezamiento        Columna matriz         Fuente       Indicaciones complementarias Notas       

Comentarios

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A.2.3.

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Gr´ aficas

Deben conseguir que un simple an´alisis visual ofrezca la mayor informaci´on posible. Cuyas dimensiones son proporcionales a la magnitud de los datos representados en figuras geom´etricas (puntos, l´ıneas, rect´angulos, paralelep´ıpedos, etc.). No es sustituto, es complementario al cuadro.

´ GRAFICAS

        Variables                   Variables           

  afica  Gr´

cualitativas

de sectores Diagrama de barras    Pictogramas      Discretas     

cuantitativas      Cont´ınuas    

Diagrama

de barras

Ojiva    Histograma   

Pol´ıgono de frecuencias Ojiva

Gr´ aficas de variable cualitativa Caracter´ıstica i: ai = fi · 360 ⇒ Ai

Caracter´ıstica i: ni o pi %

Caracter´ıstica i: ni

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Gr´ aficas de variable cuantitativa discreta Variable: xi ; ni , fi o pi %

Variable: xi ; Ni , Fi o Pi %

Gr´ aficas de variable cuantitativa cont´ınua Variable: Li−1 –Li (xi ); ni , fi o pi %

A.3.

Variable: Li ; Ni , Fi o Pi %

Estad´ıgrafos Univariantes

En esta secci´on se describen los diferentes estad´ıgrafos, llamados tambi´en n´ umeros ´ındices, estad´ısticas, estad´ısticos, etc. Se trata de valores que aportan mucha m´as informaci´on que la propia, como datos en s´ı mismos. As´ı como un histograma puede ser considerado como una manera clara y pr´actica de resumir la informaci´on contenida en la “nube” de datos, los estad´ıgrafos la condensan a´ un m´as, reduci´endola a unos pocos valores que toma el lector para darse una idea de todo el conjunto. El trabajo de analizar un gran n´ umero de datos siempre es engorroso; en la actualidad, con las computadoras la tarea est´a mucho m´as aliviada, pero en los inicios era una tarea muy pesada. Por eso, desde siempre se busc´o la manera de unificar criterios y t´ecnicas para homogeneizar la manera de presentar datos en los informes cient´ıficos. [email protected]

67

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   Media

aritm´etica Tendencia Central Mediana    Moda    Cuartil Tendencia no Central Decil   Percentil   Rango o recorrido       Rango intercuartil ESTAD´IGRAFOS:           on Mediana    Desviaci´     ´ n o Dispersio ´ n Varianza De Variacio           on est´andar   Desviaci´          Coeficiente de apertura           Coeficiente de variaci´on           De                  De              

        De

A.3.1.

Asimetr´ıa Forma  Curtosis

Promedios

Media aritm´ etica Sea X una variable cuantitativa con {x1 , x2 , ..., xn } un conjunto de datos observados o mediciones de una muestra de tama˜ no n. Para distribuciones de Tipo II y Tipo III¨, la media o media aritm´etica es: k P

M (X) = x¯ =

xi · n i

i=1

n

=

k X

k P

xi · f i =

i=1

i=1

xi · p i % 100

Para distribuciones de Tipo I, la media o media aritm´etica es: k P

M (X) = x¯ =

xi

i=1

n

Propiedades de la Media aritm´ etica Sea X una variable con {x1 , x2 , x3 , ..., xn } los datos observados, y a y b constantes, se verifica que: [email protected]

68

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Propiedad 1. Si todos los valores observados {x1 , x2 , x3 , ..., xn } son iguales a b, entonces x¯ = M (X) = M (b) = b Propiedad 2. Si a cada valor de las observaciones {x1 , x2 , x3 , ..., xn } se le suma (o resta) una constante, la media aritm´etica del nuevo conjunto transformado yi = xi ± b es y¯ = M (Y ) = M (X ± b) = M (X) ± b = x¯ ± b Propiedad 3. Si a cada valor de las observaciones {x1 , x2 , x3 , ..., xn } se multiplica por una constante, la media aritm´etica del nuevo conjunto transformado yi = axi es y¯ = M (Y ) = M (a · X) = a · M (X) = a · x¯ Propiedad 4. Si a cada valor de las observaciones {x1 , x2 , x3 , ..., xn } se le aplica una transformaci´on lineal, yi = axi ± b, la nueva media es y¯ = M (Y ) = M (a · X ± b) = a · M (X) ± b = a · x¯ ± b Propiedad 5. La suma algebraica de las desviaciones de cada valor observado {x1 , x2 , x3 , ..., xn } con respecto a su media es cero, es decir n X

(xi − x¯) = 0

i=1

Propiedad 6. La suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor observado {x1 , x2 , x3 , ..., xn } con respecto a su media es m´ınima, es decir n X

(xi − x¯) ≤

i=1

2

n X

(xi − a)2

i=1

M´ etodos abreviados del c´ alculo de la Media aritm´ etica Primer m´ etodo. Se trata de reducir la magnitud de la variable, transformado las marcas de clase x1 , x2 , ..., xk en desviaciones di respecto de un origen de trabajo arbitrariamente elegido, es decir di = xi − Ot

∀ i = 1, 2, ..., k.

entonces x¯ = M (X) = M (d) + Ot = d¯ + Ot

con

M (d) = d¯ =

k X di ni i=1

[email protected]

n

69

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Segundo m´ etodo. Si la amplitud de clase es constante (c=constante), se realiza la siguiente transformaci´on xi − Ot ui = ∀ i = 1, 2, ..., k. c entonces x¯ = M (X) = c · M (u) + Ot = c · u¯ + Ot

con

M (u) = u¯ =

k X ui ni i=1

n

Media ponderada A veces se asocia a los datos x1 , x2 , x3 , ..., xk ciertos factores de peso (o pesos) w1 , w2 , w3 , ..., wk , dependiendo de la influencia asignada a cada dato. En tal caso: k P

x¯p =

xi · w i

i=1 k P

wi

i=1

Media global L P

x¯G =

x¯h · nh

h=1 L P

nh

h=1

Mediana Para distribuciones de Tipo III¨, la mediana es: n

M e = Lj−1 + cj  2 

− Nj−1 nj

   1 100 − F − P % j−1  j−1 2     = Lj−1 + cj  2   = Lj−1 + cj      fj pj % 



donde: j: es el intervalo o clase correspondiente al valor de la mediana, tal que: Nj−1 ≤

n ≤ Nj 2

Lj−1 : l´ımite inferior correspondiente al intervalo o clase mediano. cj : amplitud de clase o ancho de clase del intervalo o de la clase mediano. [email protected]

70

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nj : frecuencia absoluta correspondiente a la clase mediano. Nj−1 : frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase o intervalo de la mediana. Para distribuciones de Tipo I (ordenados) y Tipo II¨, la mediana es: ; si n es impar

  x   ( n+1 2 )  

Me = 

x n     (2)

+ x( n +1)

; si n es par

2

2

Moda Para distribuciones de Tipo III¨, la moda es: M o = Lj−1 + cj

∆1 ∆1 + ∆2

!

donde: j: intervalo de clase correspondiente a la frecuencia absoluta de mayor valor (m´as alto). Lj−1 : l´ımite inferior correspondiente a la clase modal. cj : amplitud de clase o ancho de clase correspondiente a la clase modal. ni para todo i = 1, 2, ..., k. ci ni con hi = para todo i = 1, 2, ..., k. ci

∆1 = nj − nj−1 si ci = c, y ∆1 = hj − hj−1 con hi = ∆2 = nj − nj+1 si ci = c, y ∆2 = hj − hj+1

nj : la frecuencia o la hj altura de mayor valor. Para distribuciones de Tipo I y Tipo II¨, la moda es: M o = x0 correspondiente a la frecuencia i–´esima (absoluta (ni ), relativa (fi ) o porcentaje (pi %)) de mayor valor. Relaci´ on emp´ırica entre x¯, M e y M o Para distribuciones (curvas) de frecuencia unimodales que sean poco asim´etricas se tiene la siguiente relaci´on emp´ırica: x¯ − M o = 3 · (¯ x − M e)

[email protected]

71

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A.3.2.

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Cuantiles

Cuartiles      100 n 1 r r − Nj−1 − F − P % j−1  j−1   4    = Lj−1 + cj  4  Qr = Lj−1 + cj   4  = Lj−1 + cj      nj fj pj % 

r

Deciles      n 1 100 − Nj−1 r − F − P % r j−1 j−1  10       = Lj−1 + cj  10 Dr = Lj−1 + cj   10  = Lj−1 + cj      nj fj pj % 

r

Percentiles    n 1 r − Nj−1 − F j−1   100   = Lj−1 + cj Pr = Lj−1 + cj   100  = Lj−1 + cj    nj fj 

r

r − Pj−1 % pj %

!

Relaci´ on entre Qr , Dr y Pr 0 0

1 1

A.3.3.

2

2 3

4

5

3 6

7

4 8

9

10

5 11

12

6 13

14

15

Variaci´ on

Rango R = m´ax{x1 , x2 , ..., xn } − m´ın{x1 , x2 , ..., xn } = x(n) − x(1)

Rango intercualtil R.I. = Q3 − Q1

[email protected]

72

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Desviaci´ on mediana k P

DM e =

|xi − M e| · ni

i=1

n

=

k X

k P

|xi − M e| · fi =

i=1

|xi − M e| · pi % 100

i=1

Varianza k P

V (X) = s = 2

(xi − x¯)2 · ni

i=1

n

=

k X

k P

(xi − x¯) · fi = 2

(xi − x¯)2 · pi %

i=1

i=1

100

Desviaci´ on t´ıpica q

s = + V (X)

Desiguadad de Schevyshev Coeficiente de apertura C.A.(X) =

x(n) m´ax{x1 , x2 , ..., xn } = m´ın{x1 , x2 , ..., xn } x(1)

Coeficiente de variaci´ on 

≤ 30 % homog´ eneo s C.V.(X) = · 100 =  |¯ x| > 30 % heterog´eneo

A.3.4.

Forma

Momentos k P 0

Mr =

i=1

xri · ni n

=

k X

k P

xri · fi =

i=1

i=1

[email protected]

xri · pi % 100 73

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Universidad Salesiana de Bolivia k P

Mr =

(xi − x¯)r · ni

i=1

n

=

k X

k P

(xi − x¯)r · fi =

(xi − x¯)r · pi %

i=1

i=1

100

Asimetr´ıa

0 Asimetr´ıa positiva (sesgado a la derecha) x¯ − M o 3(¯ x − M e) As1 = = = 0 Sim´etrica (sin sesgo)  s s   < 0 Asimetr´ıa negativa (sesgado a la izquierda)    >

0 Asimetr´ıa positiva (sesgado a la derecha) M3 As2 = 3 = 0 Sim´etrica (sin sesgo) s   < 0 Asimetr´ıa negativa (sesgado a la izquierda)   > 

0 Asimetr´ıa positiva (sesgado a la derecha) Q3 − 2Q2 + Q1 As3 = = 0 Sim´etrica (sin sesgo)  Q3 − Q1   < 0 Asimetr´ıa negativa (sesgado a la izquierda)   > 

0 Asimetr´ıa positiva (sesgado a la derecha) P90 − 2P50 + P10 As4 = = 0 Sim´etrica (sin sesgo)  P90 − P10   < 0 Asimetr´ıa negativa (sesgado a la izquierda)    >

Curtosis 0 Leptoc´ urtica M4 K1 = 4 − 3 = 0 Mesoc´ urtica  s   < 0 Platic´ urtica    >

0.263 Leptoc´ urtica Q3 − Q1 K2 = = 0.263 Mesoc´ urtica 2(P90 − P10 )    < 0.263 Platic´ urtica    >

[email protected]

74

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A.4.

An´ alisis Bivariante

A.4.1.

Distribuci´ on de frecuencia conjunta

Datos conjunta {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ), ..., (xn , yn )}

Distribuci´ on conjunta Tipo I xi x1 x2 x3 .. .

yi y1 y2 y3 .. .

xn

yn

Distribuci´ on conjunta Tipo II xi x1 x2 x3 .. .

yi y1 y2 y3 .. .

ni n1 n2 n3 .. .

xk

yk

nk

Distribuci´ on conjunta Tipo III yj

y1

y2

y3

x1

n11

n12

n13

x2

n21

n22

n23

x3 .. .

n31 .. .

n32 .. .

n33 .. .

xr

nr1

nr2

nr3

xi

··· . · · · .. . · · · .. . · · · .. ... . · · · ..

[email protected]

ys n1s n2s n3s .. . nrs

75

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A.4.2.

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Covarianza r P s P

Cov(X, Y ) = sxy =

A.4.3.

r P s P

(xi − x¯)(yj − y¯) · nij

i=1 j=1

=

n

xi · yj · nij

i=1 j=1

− x¯ · y¯

n

Coeficiente de Correlaci´ on de Pearson r P s P

rxy = Corr(X, Y ) =

i=1

n

(xi − x¯)(yj − y¯) · nij

i=1 j=1

v u r u P t (x

r P s P

i

− x¯)2 · ni•

xi · yj · nij −

i=1 j=1

" s P

r P

#

(yj − y¯)2 · n•j

j=1

xi · ni• ·

s P

!

yj · n•j

j=1

i=1

=v  u"  r 2 # u s r P P P u n t n yj2 · n•j − x2i · ni• − xi · ni• i=1

r P s P

=

i=1 j=1

v u r u P t i=1

j=1

i=1

xi · yj · nij − n · x¯ · y¯

x2i · ni• − n · x¯

" s P 2 j=1

#

yj2 · n•j − n · y¯2

=

s P

!2 

yj · n•j



j=1

sx Cov(X, Y ) =b sx · sy sy

−1 ≤ rxy ≤ +1 Interpretaci´on: Valor de rxy -1 -0.90 a -0.99 -0.70 a -0.89 -0.40 a -0.69 -0.20 a -0.39 -0.01 a -0.19 0 0.01 a 0.19 0.20 a 0.39 0.40 a 0.69 0.70 a 0.89 0.90 a 0.99 +1

Calificaci´ on–Significado Correlaci´on negativa grande y perfecta Correlaci´on negativa muy alta Correlaci´on negativa alta Correlaci´on negativa moderada Correlaci´on negativa baja Correlaci´on negativa muy baja Correlaci´on nula Correlaci´on positiva muy baja Correlaci´on positiva baja Correlaci´on positiva moderada Correlaci´on positiva alta Correlaci´on positiva muy alta Correlaci´on positiva grande y perfecta

[email protected]

76

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Propiedades Si (X, Y ) variables cuantitativas bivariantes, entonces V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ) ± 2 · Cov(X, Y )

A.4.4.

Modelo de Regresi´ on Lineal Simple

Regresi´ on de “Y en X” Yi = a + b · Xi

i = 1, 2, 3, ..., n.

Sistema de ecuaciones normales n P

= n·a

yi

i=1 n P

xi yi

i=1

= a·

+

n P

n P

b·

n P

+ b·

xi

i=1

xi

i=1

i=1

x2i

Soluci´ on M´ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

 n P

a=

 n P

yi

i=1

i=1

n·

x2i

n P i=1

n P

b=

x2i

−

i=1

n P

(xi − x¯)2

 n P

−

(xi − x¯)(yi − y¯) i=1

=



xi

i=1  n P

 n P

n P



xi yi

=

i=1

2

yi − b ·

i=1

n P

xi

i=1

n

xi

= y¯ − b · x¯

i=1

n· =

n P i=1

n·

n P

xi y i − n P

i=1

i=1

x2i

−

n P

xi ·

 n P

i=1 2

xi

yi

n P

=

xi yi − n · x¯ · y¯

i=1 n P

i=1

i=1

x2i − n · x¯2

Cov(X, Y ) sy sxy = 2 = rxy V (X) sx sx

Regresi´ on de “X en Y ” Xi = c + d · Yi

i = 1, 2, 3, ..., n.

[email protected]

77

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Sistema de ecuaciones normales n P

= n·c

xi

i=1 n P

= c·

x i yi

i=1

+ d·

n P

+ d·

yi

i=1

n P

yi

i=1 n P y2 i

i=1

Soluci´ on M´ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

 n P

c=

xi

 n   n P 2 P y −

i=1

i=1

n·

i

n P y2 i=1

n P

d=

i

−

(yi − y¯)(xi − x¯)

i=1

n P

(yi − y¯)2

i=1  n P

 n P

n P



xi y i

=

i=1

2

xi − d ·

i=1

i=1

n

yi

n· =

n P

n P

yi xi −

i=1

i=1 n P y2 i=1

i

−

n P

yi ·

 n P

xi

i=1 2

yi

= x¯ − d · y¯

n P

=

yi

i=1

yi xi − n · y¯ · i=1 n P yi2 − n · y¯2 i=1

x¯

Cov(X, Y ) sxy sx = 2 = rxy V (Y ) sy sy

A.5.

Introducci´ on a la Probabilidad

A.5.1.

Experimento Experimento Fen´omeno o Hecho

A.5.2.

n P

i=1

n·

i=1

=

yi

 Determin´ıstico No

Determin´ıstico o aleatorio

Espacio muestral S = Ω = {w1 , w2 , w3 , ..., wk , ...}

[email protected]

78

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Universidad Salesiana de Bolivia       Finito     

S : Espacio Muestral  

 Numerable No

     Infinito   

A.5.3.

Numerable

 Numerable No

Numerable

Evento o Suceso

Sea A un evento o suceso, tal que A = {w1 , w2 , w3 , ..., wk , ...} ⊆ S   Simple o Unitario     Compuesto

o Elemental

Evento   Seguro o Cierto     Imposible o nulo

Se dice que un conjunto de sucesos o eventos A1 , A2 , A3 , ..., Ak , constituyen un sistema completo de sucesos cuando se verifica que: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ Ak = S Ai ∩ Aj = ∅, son incompatibles 2 a 2, ∀i 6= j, i, j = 1, 2, 3, ..., k.

Operaciones con Sucesos Uni´ on de sucesos A ∪ B. Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B (suceso que se verifica cuando se realiza A o´ B).

A

B A∪B

Intersecci´ on de sucesos A ∩ B. Es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez de A y de B (suceso que se verifica cuando se realizan simult´aneamente los sucesos A y B). [email protected]

79

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A

B A∩B

Diferencia A ∩ B c . Es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B (suceso que se verifica cuando se verifica A y no se verifica B).

A

B A∩B

c

Suceso complementario Ac = S ∩A. Dado un suceso A, denotaremos mediante Ac = A¯ = A0 al suceso que se verifica cuando no se verifica A; por ende, se verifica que A∪Ac = S y A∩Ac = ∅). Ac A

Sucesos incompatibles A ∩ B = ∅. Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ning´ un elemento en com´ un.

A

B

Diferencia sim´ etrica A 4 B = (Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B c ). Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A 4 B al suceso que se verifica cuando o bien se verifica A y no se verifica B, o bien se verifica B y no se verifica A. [email protected]

80

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A

B A4B

Propiedades de los Sucesos Propiedad

Uni´ on

Intersecci´ on

Conmutativa Asociativa Idempotente Simplificaci´ on Distributiva Elemento neutro Absorci´ on Leyes de Morgan

A∪B =B∪A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A∪A=A A ∪ (B ∩ A) = A A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A∪∅=A A∪S =S ¯ A ∪ B = A¯ ∩ B

A∩B =B∩A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A∩A=A A ∩ (B ∪ A) = A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∩S =A A∩∅=∅ ¯ A ∩ B = A¯ ∪ B

T´ ecnicas de conteo

  ´  Adicion:

PRINCIPIOS   

A.5.4.

No sucede en simult´aneo: m = n1 + n2 + · · · + nk

´ n: Sucede uno a continuaci´on de otro: m = n1 · n2 · · · nk Multiplicacio

Definici´ on de Probabilidad

Probabilidad frecuencialista P (A) = n7− l´ım →∞

nA n

Probabilidad cl´ asica

P (A) =

N´ umero de casos favorables al evento A #A n(A) kAk = = = N´ umero de casos posibles al espacio muestral S #S n(S) kSk

[email protected]

81

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Probabilidad axiom´ atica Axioma 1. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ S. Axioma 2. P (S) = 1 Axioma 3. Si A y B son mutuamente excluyentes–disjuntos–incompatibles (A ∩ B = ∅), entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) En general, si A1 , A2 , A3 , ..., es una sucesi´on de sucesos mutuamente excluyentes de S, la probabilidad asociada a la uni´on de todos ellos, es igual a P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ) =

∞ X

P (Ai )

i=1

Teoremas Teorema 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1 Teorema 2. P (A) + P (Ac ) = 1 Teorema 3. P (∅) = 0 Teorema 4. A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B) Teorema 5. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

P (A) P (Ac )

A.5.5.

P (B c ) P (A ∩ B c ) P (Ac ∩ B c )

P (B) P (A ∩ B) P (Ac ∩ B)

Probabilidad condicional P (A/B) =

P (A ∩ B) P (B)

;

P (B) > 0

[email protected]

82

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Sucesos dependientes e independientes Dos sucesos A y B se dice que son: Independientes si P (A) = P (A/B). Dependientes si P (A) 6= P (A/B).

Probabilidad de la intersecci´ on o probabilidad compuesta Si los sucesos son dependientes P (A ∩ B) = P (A) · P (B/A) = P (B) · P (A/B). Si los sucesos son independientes P (A ∩ B) = P (A) · P (B).

A.5.6.

Teorema de la probabilidad total

P (B) = P (A1 )·P (B/A1 )+P (A2 )·P (B/A2 )+· · ·+P (Ak )·P (B/Ak ) =

k X

P (Ai )·P (B/Ai )

i=1

A.5.7.

Teorema de Bayes P (Aj /B) =

P (Aj ) · P (B/Aj ) k P i=1

P (Ai ) · P (B/Ai )

;

∀ j = 1, 2, 3, ....., k.

[email protected]

83

´ndice Ape

B

Sumatoria Nos encontramos frecuentemente en estad´ıstica con la suma de un gran n´ umero de t´erminos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un s´ımbolo dicha suma. El uso del s´ımbolo:

P

que corresponde a la letra griega “sigma” en may´ uscula, y que se lee como “sumatoria”, es muy frecuente en la escritura de muchas f´ormulas estad´ısticas; y por lo tanto, es muy importante al iniciar un curso de “Estad´ıstica”, que el lector se familiarice con su significado, y con sus propiedades. Si se tiene un conjunto de valores num´ericos {x1 , x2 , x3 , ..., xn }, se designa por:

n P

xi

i=1 a la suma de todos ellos, es decir:

n P i=1

xi = x1 + x2 + x3 + · · · + x n

y se lee “sumatoria desde i = 1 hasta i = n, de los xi ”. P El ´ındice que se coloca abajo y el que se coloca encima del s´ımbolo “ ” se utilizan para indicar el l´ımite inferior y superior respectivamente, de la sumatoria. El ´ındice de la sumatoria representa un valor variable, que solamente puede tomar los valores enteros comprendidos entre el l´ımite inferior y el l´ımite superior, ambos inclusive. 84

Contadur´ıa P´ublica As´ı por ejemplo

i=8 P i=3

Universidad Salesiana de Bolivia xi representa la suma de los valores que ocupan desde la tercera hasta la

octava posici´on en el conjunto de datos, es decir: i=8 X

xi = x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8

i=3

Como ´ındices generalmente se utilizan las letras intermedias del alfabeto i, j, l, k, ..., etc., y resulta indiferente utilizar cualquiera de ellas. En otras oportunidades, los t´erminos xi est´an dados mediante una f´ormula, o sucesi´on de n´ umeros naturales, y en ese caso, la sumatoria representa la suma de cirtos t´erminos de esa sucesi´on. Por ejemplo,

i=5 P

(i2 − 3i); representa que deben ser sumados desde el tercero hasta el quinto, los

i=3

t´erminos de la sucesi´on {xi = i2 − 3i; i ∈ N}. Por lo tanto: i=5 X

(i2 − 3i) = (32 − 3 · 3) + (42 − 3 · 4) + (52 − 3 · 5) = 0 + 4 + 10 = 14

i=3

B.1.

Propiedades de la Sumatoria

Adem´as de ser el signo de la sumatoria el m´as utilizado en las operaciones de estad´ıstica, las propiedades de la sumatoria tienen su importancia al ser casi las mismas que presenta la media aritm´etica y como tal se ver´a en las medidas de posici´on. P1. La sumatoria de una sucesi´on constante es igual al n´ umero de t´erminos de la sumatoria multiplicada por la constante. Si c es una constante: i=n X i=1

c = |c + c + c{z+ · · · + c} = nc n-veces

P2. La sumatoria de una constante multiplicada por una sucesi´on, es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de la sucesi´on (Propiedad homog´enea): i=n X

c · xi = cx1 + cx2 + cx3 + · · · + cxn = c{x1 + x2 + x3 + · · · + xn } = c

i=1

i=n X

xi

i=1

P3. La sumatoria de una suma de dos sucesiones, es igual a la suma de las dos sumatorias (Propiedad aditiva): i=n X

i=n X

i=1

i=1

(xi + yi ) =

xi +

i=n X

yi

i=1

P4. De las tres propiedades anteriores, siendo a y b constantes, se deduce i=n X

(a · xi + b) = a

i=1

P5. De la misma forma

i=n X

xi + nb

i=1

i=n X

i=n X

i=1

i=1

(a · xi + b · yi ) = a

xi + b

i=n X

yi

i=1

P6. Propiedad telesc´opica k=n−1 X

(ak+1 − ak ) = an − a1

k=1

[email protected]

85

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B.2.

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Sumatorias Notables

En algunas oportunidades, es posible conocer el valor de una sumatoria, sin necesidad de tener que sumar los diferentes t´erminos indicados en ella. Muchas de estas sumatorias pueden ser demostradas por el “principio de inducci´ on matem´atica”, y su conocimiento es u ´til, pues permite simplificar ciertas expresiones. Algunas de estas sumatorias notables son las siguientes. 1. Suma de los primeros n n´ umeros naturales. n X

i = 1 + 2 + 3 + ··· + n =

i=1

n · (n + 1) 2

2. Suma de los cuadrados de los primeros n n´ umeros naturales. n X

i2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

i=1

n · (n + 1) · (2n + 1) 6

3. Suma de los cubos de los primeros n n´ umeros naturales. n X

i3 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

i=1

n2 · (n + 1)2 4

4. Suma de las cuartas potencias de los primeros n n´ umeros naturales. n X

i4 = 14 + 24 + 34 + · · · + n4 =

i=1

n · (n + 1) · (2n + 1) · (3n2 + 3n − 1) 30

5. Suma de los primeros n t´erminos de una progresi´on geom´etrica. n X

a·r

i−1

= a + ar + ar + ar + · · · + ar 2

3

i=1

B.3.

n−1

a − arn = 1−r

r 6= 1

Sumatorias Infinitas

Cuando una sumatoria se extiende sobre todo el conjunto de los n´ umeros naturales, se convierte en infinita y recibe el nombre de “serie”. Existen muchas “series” que tienden hacia un valor finito, y se denominan “convergentes”; caso contrario se dice que la serie es “divergente”. Entre las muchas series convergentes que existen, hay algunas de especial inter´es en Estad´ıstica, y que conviene conocer, tales como: 1. La serie geom´etrica ∞ X

a · rn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + · · ·

n=1

esta serie converges s´olo cuando: −1 < r < 1, y su l´ımite de convergencia es: ∞ X

a · rn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + · · · =

n=1

[email protected]

a 1−r

|r| < 1 86

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2. El desarrollo en serie de la funci´on exponencial: f (x) = ex ex =

∞ X

x x2 x3 x4 xn =1+ + + + + ··· 1 2! 3! 4! n=0 n!

esta serie permite calcular el valor exactodel n´ umero e, base de los logaritmos naturales o neperianos, el cual se obtiene para x = 1, y resulta: e=

B.4.

1 1 1 1 1 = 1 + + + + + ··· ∼ = 2.71828 1 2! 3! 4! n=0 n! ∞ X

Dobles Sumatorias

En Estad´ıstica es frecuente que un conjunto de datos tenga que ser dispuesto en una tabla con filas y columnas. En esos casos, se utiliza la notaci´on nij , para referirse al t´ermino que ocupa la posici´on fila i, columna j. La notaci´on con doble sumatoria aparece cuando sobre los t´erminos contenidos en una tabla de este tipo , hay que efectuar alg´ un tipo de suma. As´ı por ejemplo, una expresi´on del tipo i=4 j=6 X X

nij

i=2 j=3

indica que deben ser sumados todos los t´erminos comprendidos entre la segunda y cuarta fila, y entre la tercera y la sexta columna i=4 j=6 X X

nij = n23 + n24 + n25 + n26 + n33 + n34 + n35 + n36 + n43 + n44 + n45 + n46

i=2 j=3

Una doble sumatoria se efect´ ua en orden inverso al que aparece escrita, es decir, que la segunda sumatoria es la primera en ser calculada i=4 j=6 X X



nij = 

i=2 j=3

i=4 X i=2







nij 

j=6 X j=3

Tambi´en es posible invertir los o´rdenes, sumado primero los elementos de una misma fila, y luego, los totales de cada fila, o sumado primero los elementos de una misma columna, y luego sumado los totales de cada columna i=4 j=6 X X i=2 j=3

nij =

j=6 i=4 XX

nij

j=3 i=2

Cuando al efectuar, la primera sumatoria, aparece alg´ un t´ermino que no sepende del ´ındice respecto del cual se esta efectuando, ese t´ermino puede ser tratado como una constante, y aplicarle las propiedades de una sumatoria simple. [email protected]

87

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B.4.1.

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Propiedades

P1. Si a es una constante, entonces

i=n X j=m X

a = nma

i=1 j=1

P2. Si a es una constante, entonces n X m X

axij = a

i=1 j=1

P3.

n X m X

(xij + yij ) =

i=1 j=1

P4.

n X m X i=1 j=1

n X m X

n X m X

xij +

i=1 j=1

xi y j =

xij

i=1 j=1

n X i=1

n X m X

yij

i=1 j=1

 ! m X xi  y j  j=1

[email protected]

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Bibliograf´ıa [1] Aruta, C., 200 Problemas de Estad´ıstica Descriptiva 3ª ed. Barcelona–Espa˜ na: Vicens Vives., 1973 [2] Barrera, D., Estad´ıstica Informatizada. Eviews Stata 2ª ed. La Paz–Bolivia: Stigma, 2019 [3] Berenson, L., Estad´ıstica para Admistraci´on y Econom´ıa 6ª ed. Madrid–Espa˜ na: Prentice Hall Hispanoamericana S. A., 2002 [4] Castillo, I., Estad´ıstica Descriptiva y C´alculo de Probabilidades 1ª ed. Madrid–Espa˜ na: PEARSON Prentice Hall., 2006 [5] De Castro, R., El Universo. LATEX 2ª ed. Bogot´a–Colombia: UNIBIBLOS, 2012 [6] Espejo, I., Estad´ıstica Descriptiva y Probabilidad 3ª ed. Madrid–Espa˜ na: UCA Universidad de C´adiz., 2006 [7] Mendenhall, W., Estad´ıstica para Administraci´on y Econom´ıa 1ª ed. California–Estados Unidos: Iberoamericana, 1987 [8] Meyer, P., Probabilidad y Aplicaciones Estad´ısticas 2ª ed. Delaware–Estados Unidos: PEARSON, 1999 [9] Mitacc, M., T´opicos de Estad´ıstica Descriptiva y Probabilidad 2ª ed. Lima–Per´ u: THALES S. R. L., 2010 [10] Monroy, S., Estad´ıstica Descriptiva 1ª ed. Zacatenco–M´exico D.F.: INSTITUTO PO´ LITECNICO NACIONAL., 2008 [11] Moya, R., Estad´ıstica Descriptiva. Conceptos y Aplicaciones. 2ª ed. Lima–Per´ u: Ediciones San Marcos S. A., 2007 [12] Murray, R., Probabilidad y Estad´ıstica 3ª ed. Madrid–Espa˜ na: McGraw–Hill., 2014 [13] Zamora, M., Estad´ıstica Descriptiva e Inferencial 1ª ed. Lima–Per´ u: MOSHERA S. R. L., 1995 [14] Zapata, L., Curso de Estad´ıstica Descriptiva 1ª ed. La Paz–Bolivia: UMSA, 2005

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