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• Andrés Suaréz Gil

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2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA E.A.P. INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Tema: Diseño de cuadrado latino y grecolatino Integrantes:     

Aguilar Joaquín Ana Claudia Carbajal Romero Guisela Huamancondor Borja Thalia Lopez Curi Joseline. Mendoza Arista Nadia

Profesor: Ing. Pedro Walter Leiva Nvo. Chimbote – Noviembre 2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

ING. Agroindustrial

INDICE I.

Introducción ........................................................................................................................ 3

II.

Objetivos .......................................................................................................................... 4

III.

Fundamentos teóricos ................................................................................................... 4

3.1.

Diseño cuadrado latino ................................................................................................. 4

3.2.

IV. V.

3.1.1.

Definición ................................................................................ 4

3.1.2.

Características ......................................................................... 5

3.1.3.

Formación de cuadrados latinos .............................................. 5

3.1.4.

Modelo estadístico ................................................................... 6

3.1.5.

Estimación de parámetros ....................................................... 7

3.1.6.

Sumas de cuadrados ................................................................ 8

3.1.7.

Tabla ANOVA ........................................................................... 9

3.1.8.

Ejemplos aplicativos usando statgraphics centurión XVI ....... 11

Diseño cuadrado grecolatino ...................................................................................... 21 3.2.1.

Definición ............................................................................... 21

3.2.2.

Planteamiento del modelo ..................................................... 22

3.2.3.

Descomposición de la variabilidad......................................... 24

3.2.4.

Análisis de variancia para un diseño de cuadrado greco-latino 24

3.2.5.

Ejemplos aplicativos usando statgraphics centurión XVI ...... 25

Conclusiones ................................................................................................................. 37 Referencias bibliográficas ............................................................................................... 37

Metodología de la investigación

2

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

ING. Agroindustrial

DISEÑO CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO I.

Introducción Estos diseños clásicos son una extensión lógica y natural del diseño en

bloques completos al azar y poseen una serie de características muy similares, por tanto, se explicará en conjunto.

Estos planes experimentales tienen como propósito el control de la variación experimental. A medida que ésta se hace más heterogénea es preciso controla la variación bloqueando por cada característica que varíe. Así, el diseño de cuadrado latino(o doble bloqueo) se trata, como su nombre lo indica, de controlar dos fuentes de variación existentes, reconocidas por el investigador, entre las unidades experimentales. El investigador al controlar estas dos fuentes logra reducir la varianza del error posibilitando la expresión de la diferencia entre los tratamientos

Es importante destacar que cada tratamiento aparece sólo una vez por columna y por fila, permitiendo que cada tratamiento sea probado por igual según las dos fuentes de variación consideradas. Por otro lado, al seguir aumentando la variación surge otro plan experimental llamado diseño de cuadrado greco-latino, en este se desean controlar tres fuentes de variación y probar los tratamientos.

Las estudiantes

Metodología de la investigación

3

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA II.

ING. Agroindustrial

Objetivos 

Estudiar los diseños cuadrado latino y grecolatino para el uso de un diseño de experimentos.



Demostrar la aplicación e interpretar las respuestas obtenidas de ejercicios con el Statgraphic Centurion XIV.

III.

Fundamentos teóricos

3.1. Diseño cuadrado latino 3.1.1. Definición El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones. En un diseño de experimentos completo de tres factores, todos ellos con K niveles, necesita K3 observaciones, número elevado si K es grande. Un diseño más eficaz que solo utiliza K2 observaciones para el mismo problema es el cuadrado latino. Este modelo se basa en aprovechar la simetría del experimento

factorial

seleccionando

un

conjunto

de

condiciones

experimentales con la condición de que cada nivel de un factor aparezca una vez con cada uno de los niveles de los otros factores. Por tanto, el diseño de cuadrado latino se puede utilizar si se verifican las siguientes condiciones: 1. Es un diseño de experimentos con tres factores. 2. Los tres factores tienen el mismo número de niveles: K. 3. No hay interacciones entre los tres factores. El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

Metodología de la investigación

4

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3.1.2. Características 1. Las u.e. se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. 2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos. 3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna. 4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos. 5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental.

3.1.3. Formación de cuadrados latinos Suponga 4 tratamientos A, B, C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.

Metodología de la investigación

5

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ING. Agroindustrial

La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.

3.1.4. Modelo estadístico Cada observación del experimento es expresado como una relación lineal de los efectos involucrados (tratamiento, fila y columna), así: Yij(k)= µ+Fi+C j+τ (k)+error ij(k) i,j,k=1,2,...,n µ = efecto medio (parámetro del modelo) Fi = efecto de la fila i C j = efecto de la columna j τ (k) = efecto del tratamiento k error ij(k) = error experimental de la u.e. i,j Yij(k) =Observación en la unidad experimental

El subíndice (k) indica que tratamiento k fue aplicado en la u.e. El modelo está compuesto por n 2 ecuaciones, una para cada observación.

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3.1.5. Estimación de parámetros El número de parámetros a estimar es igual a 3n+1 y la estimación puede resolverse por mínimos cuadrados del error, máxima verosimilitud u otro método, en nuestro caso se utilizara el método de mínimos cuadrados del error. La función a minimizar es:

La solución constituye el conjunto de estimadores de los parámetros del modelo, dado por:

El sistema de ecuaciones que darán solución constituyen las ecuaciones normales, para tener una única solución, se agregan al sistema las siguientes restricciones:

La solución son los estimadores mínimos cuadráticos:

Metodología de la investigación

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3.1.6. Sumas de cuadrados A partir del modelo estimado, la suma de cuadrados del total es descompuesto en suma de cuadrados de tratamientos, filas, columnas y error experimental:

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8

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3.1.7. Tabla ANOVA De la descomposición de la variabilidad se obtiene la tabla ANOVA de donde se deducen los siguientes contrastes: [1] Si la hipótesis nula H0

:

1

=

2

= ... =

K

= 0, (el factor F no influye,

el más importante porque es el factor-tratamiento en el que se está interesado) es cierta, se verifica que se rechaza H0 significación

si

al nivel de

= scmT scmR >

[2] Aunque de menor interés también se pueden hacer contrastes acerca de la influencia de los bloques fila y columna para saber si ha sido conveniente bloquear o no. Si la hipótesis nula H0

:

1

=

2

= ... =

K

fila no influye) es cierta, se verifica que se rechaza H0 significación

si

:

1

=

2

= ... =

K

= 0, (el factor columna no

influye) es cierta, se verifica que se rechaza H0 si

al nivel de

= scmB scmR >

[3] Si la hipótesis nula H0

significación

= 0, (el bloque

= scmB scmR >

Metodología de la investigación

al nivel de

,

9

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metodología de la investigación

10

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3.1.8. Ejemplos aplicativos usando statgraphics centurión XVI Ejemplo: 1) Se compara el rendimiento de tres procesos de fabricación (A,B,C)en tres condiciones experimentales , tres días distintos con tres procedimientos de medición .El diseño y los resultados se indican en el recuadro.

MÉTODO 1 A=10 C=8 B=9

1 2 3

DÍAS 2 B=13 A=8 C=11

3 C=11 B=10 A=12

FORMULACIONES Letra latina A B C

Tratamiento y1 y2 y3

Total 30 32 30

SStotal = (102 + 82 + 92 + 132 + 82 + 112 + 112 + 102 + 122 − (10+8+9+13+8+11+11+10+12)2 9

= 23.56

Metodología de la investigación

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial SSfilas = 1 (10 + 8 + 9 + 13 + 8 + 11 + 11 + 10 + 12)2 × (342 + 262 + 322 ) − = 11.56 3 9 SScolumnas = 1 (10 + 8 + 9 + 13 + 8 + 11 + 11 + 10 + 12)2 × (272 + 322 + 332 ) − = 6.89 3 9 SStratamientos = 1 (10 + 8 + 9 + 13 + 8 + 11 + 11 + 10 + 12)2 × (302 + 322 + 302 ) − = 0.89 3 9

Error = 23.56– 11.56 – 6.89 – 0.89 = 4.22 Promedio Cuadrado de tratamientos = Promedio Cuadrado de filas =

11.56

F0 =

4.22 2

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟

ANOVA Fuente de Variación Tratamientos Filas Columnas Error Total

Suma de Cuadrados 11.56 6.89 0.89 4.22 23.56

2

= 0.44

= 5.78

2

Promedio Cuadrado de columnas = Promedio Cuadrado de Error =

0.89

6.89 2

= 3.44

= 2.11

=

0.44 2.11

= 0.21

Grados de Libertad 2 2 2 2 8

Promedio de cuadrados 0.44 5.78 3.44 2.11

F0 0.21

F1 = F1 –0.95 ; (2;2) F1 = 0.20

PROCEDIMIENTO CON STATGRAPHICS Se sigue el mismo procedimiento que el ejercicio 2.

Metodología de la investigación

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial Analizar datos.

De los tres procesos solo uno de ellos no vendría a ser homogéneo con los demás, solo uno de ellos tiene un nivel significativo diferente. Por lo cual no se debería aceptar esta opción de tratamientos, ya que los tres tratamientos no mostraron el mismo rendimiento.

2) Un investigador quiere evaluar la productividad de cuatro variedades de aguacate y decide realizar el ensayo en un terreno que posee un gradiente de pendiente de oriente a occidente y además, diferencias en la

Metodología de la investigación

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial disponibilidad de nitrógeno, utilizó un diseño cuadrado latino, las variedades son: A, B, C, D, los datos corresponden a la producción en kg/parcela. DISPONIBILIDAD DE N2 1 2 3 4 Total

PENDIENTE 2 3 A=730 C=700 B=775 D=760 D=885 B=795 C=950 A=880 3340 3135

1 D=785 A=855 C=950 B=945 3535

Total 4 B=595 C=710 A=780 D=835 2920

2810 3100 3410 3610 12930

A= 3245 B= 3110 C= 3310 D= 3265 129302

Suma de Cuadrados Total = 10599800 −

16

= 150743,75

Suma de Cuadrados de Tratamiento = 10454162,5 − Suma de Cuadrados de Fila = 10541575 −

129302 16

Suma de Cuadrados de Columna = 10501612,5 −

129302 16

= 5556,25

= 92518,75 129302 16

= 52556,25

Error= 112,5 5556,25

Cuadrado medio Tratamiento = Cuadrado medio de Fila =

92518,75 3

Cuadrado medio de Columna = Cuadrado medio de Error = F0 =

1852,083 18,75

3

= 30839,853

52556,25

112,5 3∗2

= 1852,083

3

= 17518,75

= 18,75 F1 = F0,95; (3;6) = 4,76

= 98,78

ANOVA FUENTE DE VARIACIÓN

GRADO DE LIBERTAD

SC

CM

Metodología de la investigación

F0

F1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial Nº Tratamiento Nº Fila Columna Error Total

3 3 3 6

5556,25

1852,08

98,78 4,76

92518,75 30839,58 52556,25 17518,75 112,5 18,75 150743,75

PROCEDIMIENTO CON STATGRAPHIC

1) Abrir el programa statgraphic centurión.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 2) Ir a la opción DDE Procedimientos DOE heredados crear diseño nuevo opciones de creación de diseño un solo factor categórico aceptar.

3) Opción de definición de factores NOMBRE: tratamiento NÚMERO DE NIVELES: 4 Etiquetar niveles de factor (A.B,C,D)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 4) Aceptar opción de definición de respuesta productividad

NOMBRE:

5) Aceptar opciones de diseño de un solo factor categórico seleccionar cuadrado latino (dos factores de bloqueo) Replica diseño número: 1.ACEPTAR.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 6) Opciones de definición de factores de bloqueo. Disponibilidad de nitrógeno. ACEPTAR.

Metodología de la investigación

NOMBRE:

18

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 7) Ordenar los datos en el programa.

8) Poner analizar diseño.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 9) ANALIZAR LOS RESULTADOS:

Según el anova, nos dice que la productividad, y la prueba de rangos múltiples, nos dirán las diferencias entre las variedades, y cuál es el nivel de productividad que se dio.

Según la prueba de rangos múltiples, esto nos indica que no hay ningún factor de significancia y que los tratamientos obtuvieron una productividad casi homogénea en las cuatro variedades de paltas.

Metodología de la investigación

20

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 3.2.

Diseño cuadrado grecolatino

3.2.1. Definición El diseño cuadrado grecolatino se define como un:

Diseño con cuatro factores a k niveles.

Se asume que no hay interacciones.

El diseño factorial completo requiere k=4

Requiere k=2 observaciones

Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel de los otros factores

Superposición de dos cuadrados latinos

En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina componente griego, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama Diseño Cuadrado Grecolatino.

Metodología de la investigación

21

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial El modelo en cuadrado grecolatino se puede considerar como una extensión del cuadrado latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de bloque .En este modelo, como en el diseño en cuadrado latino, todos los factores deben tener el mismo número de niveles K y el número de observaciones necesarias sigue siendo K2. Este diseño es, por tanto, una fracción del diseño completo en bloques aleatorizados con un factor principal y 3 factores secundarios que requeriría K4 observaciones. Los cuadrados grecolatinos se obtienen por superposición de dos cuadrados latinos del mismo orden y ortogonales entre sí, uno de los cuadrados con letras latinas el otro con letras griegas. Dos cuadrados reciben el nombre de ortogonales si, al superponerlos, cada letra latina y griega aparecen juntas una sola vez en el cuadrado resultante.

3.2.2. Planteamiento del modelo Si se aumenta el número de factores-bloque, la extensión del cuadrado latino es el grecolatino, que permite con p2 observaciones estudiar cuatro factores de p niveles sin interacciones (un factor-tratamiento y tres factores bloque),

si

se

utilizase

el

diseño

completo

es

necesario

utilizar p4 observaciones. Consideremos un cuadrado latino p x p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos cuadrados son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina.

Metodología de la investigación

22

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial Diseño de cuadrado greco-latino 4 x 4 Columna Cuadro 1

2

3

4

1

Aα

Bβ

Cγ

Dδ

2

Bδ

Aγ

Dβ

Cα

3

Cβ

Dα

Aδ

Bγ

4

Dγ

Cδ

Bα

Aβ

En el diseño en cuadrado grecolatino se superponen dos cuadrados latinos, resultando el siguiente modelo matemático:

𝒚𝒊𝒋(𝒌𝒍) = 𝝁 + 𝜶𝒊 + 𝜷𝒋 + 𝜸𝒌 + 𝜹𝒍 + 𝜺𝒊𝒋(𝒌𝒍)

Dónde: • µ es un efecto constante, común a todas las unidades. • 𝛼𝑖 es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor fila. Dichos efectos están sujetos a la restricción ∑𝑖 𝛼𝑖 = 0. • 𝛽𝑗 es el efecto producido por el j-ésimo nivel del factor columna. Dichos efectos están sujetos a la restricción ∑𝑗 𝛽𝑗 = 0. • 𝛾𝑘 es el efecto producido por el h-ésimo nivel del factor letra latina. Dichos efectos están sujetos a la restricción ∑𝑘 𝛾𝑘 = 0. • 𝛿𝑙 es el efecto producido por el p-ésimo nivel del factor letra griega. Dichos efectos están sujetos a la restricción ∑𝑙 𝛿𝑙 = 0. • 𝜀𝑖𝑗(𝑘𝑙) son variables aleatorias independientes con distribución N (0, σ).

Metodología de la investigación

23

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial

La notación 𝒚𝒊𝒋(𝒌𝒍) indica que los niveles 𝑖 𝑦 𝑗 determinan los niveles 𝑘 𝑦 𝑙 para un cuadrado grecolatino especificado. Es decir, los subíndices 𝑘 𝑦 l toman valores que dependen de la celdilla (𝑖, 𝑗).

3.2.3. Descomposición de la variabilidad Simbólicamente se puede escribir: SCT = SCF + SCC + SCL + SCG + SCR, Denominando por esas siglas los términos en el orden en que figuran en la ecuación y que reciben los siguientes nombres: 1) SCT suma total de cuadrados. 2) SCF suma de cuadrados debida al efecto fila. 3) SCC suma de cuadrados debida al efecto columna. 4) SCL suma de cuadrados debida a las letras latinas. 5) SCG suma de cuadrados debida a las letras griegas. 6) SCR suma de cuadrados del error. 3.2.4. Análisis de variancia para un diseño de cuadrado grecolatino El análisis de variancia es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representando por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de las letras latinas porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada renglón, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto, la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. Las hipótesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error. La región de rechazo es el extremo superior de la distribución F p – 1, (p – 3) (p – 1).

Metodología de la investigación

24

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Tratamiento de Letra Latina

p–1

Tratamiento de Letra Griega

p–1

Renglones

p–1

Columnas

p–1

Error

SSE (por sustracción)

(p – 3)(p – 1) p2 – 1

Total

3.2.5. Ejemplos aplicativos usando statgraphics centurión XVI Ejemplo Un experimento opina que las líneas de ensamble son fuentes de variación al momento de reproducir la fórmula para la elaboración de dinamita. Para comprobarlo diseña un arreglo de cuadrado Grecolatino el cual se muestra a continuación: Supóngase que en el experimento para comparar las fórmulas para la dinamita, tiene importancia el factor adicional línea de montaje. Considérese que existen cinco líneas de montaje representadas por las letras

Metodología de la investigación

25

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial griegas α, β, γ, δ y ε. El diseño de cuadrado grecolatino 5 x 5 que resulta se muestra en la Tabla. N=25 n= 5

Operadores

Lotes Materia Prima

1

2

3

4

𝑦𝑖

5

𝑦𝑖2

1

Aα

24

By

20

Cε

19

Dβ

24

Eδ

24

111

12 321

2

Bβ

17

Cδ

24

Dα

30

Ey

27

Aε

36

134

17 956

3

Cy

18

Dε

38

Eβ

26

Aδ

27

Bα

21

130

16 900

4

Dδ

26

Eα

31

Ay

26

Bε

23

Cβ

22

128

16 384

5

Eε

22

Aβ

30

Bδ

20

Cα

29

Dy

31

132

17 424

𝑦𝑗

107

134

∑ 𝑦𝑖𝑗

∑ 𝑦𝑖2 = 80985

1795 6

∑ 𝑦𝑗2 = 81 395

𝑦𝑗2

11449

143 2044 9

121

130

1464 1

169 00

= 635

Para latino A= 24+30+26+27+36

143

20 449

B= 17+20+20+23+21

101

10 201

C=

18+24+19+29+22

112

122 544

D= 26+38+30+24+31

149

22 201

E= 22+31+26+27+24

130

16 900

Sumas:

635

Metodología de la investigación

82295

26

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial Diseño de cuadrado grecolatino para el problema de formulación de dinamita

Para Grecolatino α= 24+31+30+29+21

135

18225

β= 17+30+26+24+22

119

14161

y= 18+20+26+27+31

122

14884

δ= 26+24+20+27+24

121

14641

ε= 22+38+19+23+36

138

19044

635

Sumas:

80955

Datos al cuadrado:

1

Sumas:

2

3

4

5

Aα

576

By

400

Cε

361

Dβ

576

Eδ

576

2,489

Bβ

289

Cδ

556

Dα

900

Ey

729

Aε

1296

3,790

Cy

324

Dε

1444

Eβ

676

Aδ

729

Bα

441

3,614

Dδ

676

Eα

961

Ay

676

Bε

529

Cβ

484

3,326

Eε

484

Aβ

900

Bδ

400

Cα

841

Dy

961

3,86

2,349

4,281

3,013

𝑛

𝑆𝑆𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 = ∑ 𝑖=1

3,404

3,758

16,805

𝑦𝑖2 𝑦 2 80985 (635)2 − = − = 68 𝑛 𝑁 5 25

𝑛

𝑆𝑆𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

𝑦𝑗2 𝑦 2 81395 (635)2 =∑ − = − = 150 𝑛 𝑁 5 25 𝑗=1

Metodología de la investigación

27

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial

𝑛

𝑆𝑆𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑜 = ∑ 𝑘=1

𝑦𝑘2 𝑦 2 82295 (635)2 − = − = 330 𝑛 𝑁 5 25 𝑛

𝑆𝑆𝑔𝑟𝑒𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑜

𝑦𝑙2 𝑦 2 80955 (635)2 =∑ − = − = 62 𝑛 𝑁 5 25 𝑙=1

𝑛

𝑆𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑖𝑗𝑘𝑙 2 − 𝑘=1

(635)2 𝑦2 = 16805 − = 676 𝑁 25

𝐸𝑅𝑅𝑂𝑅 = 676 − 68 − 150 − 330 − 32 = 66

Coeficiente de variación Filas (lotes)

Tratamiento latino Tratamiento greco

TOTAL

Suma de cuadrados

Cuadrados medios

F Calculada

68

CMF=68/4=17

𝐶𝑀𝐹 17 = = 2.06 𝐶𝑀𝐸 8.25

150

CMC=150/4=37.5

𝐶𝑀𝐶 37.5 = 𝐶𝑀𝐸 8.25

n-1 5-1=4

330

CML=330/4=82.5

𝐶𝑀𝐿 82.5 = = 10 𝐶𝑀𝐸 8.25

n-1 5-1=4

62

CMG=62/4=15.5

𝐶𝑀𝐺 15.5 = = 1.87 𝐶𝑀𝐸 8.25

66

CME=66/8=8.25

676

160.75

n-1 5-1=4

Columnas (operador)

ERROR

Grados de libertad (Y) n-1 5-1=4

(n-3)(n-1) (5-3)(5-1) (2)(4)=8 n2-1 52-1 25-1=24

Metodología de la investigación

28

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Hipótesis a probar:

F de tablas 𝐹𝑇𝑎𝑏 𝐹𝑇𝑎𝑏 𝐹𝑇𝑎𝑏 𝐹𝑇𝑎𝑏

𝐻𝑂 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 = 𝜇𝐶 = 𝜇𝐷 = 𝜇𝐸

= (𝑛 − 1); (𝑛 − 3)(𝑛 − 1) = (5 − 1); (5 − 3)(5 − 1) = (4); (2)(4) = (4); (8) = 3.84

𝐻1 : 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 𝐻𝐴 : 𝜇𝛼 = 𝜇𝛽 = 𝜇𝛾 = 𝜇𝛿 = 𝜇𝜀 𝐻𝐼 : 𝜇𝛼 ≠ 𝜇𝛽 ≠ 𝜇𝛾 ≠ 𝜇𝛿 ≠ 𝜇𝜀

v1 ; v2 con ∝= 0.05

Para Lote (filas): 𝐹𝐶𝑎𝑙

𝐹𝑇𝑎𝑏

2.06 < 3.84 ∴ 𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝐻𝑂

Para Operador (columnas): 𝐹𝐶𝑎𝑙

𝐹𝑇𝑎𝑏

4.54 > 3.84 ∴ 𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 𝐻𝑂

Para tratamiento latino: 𝐹𝐶𝑎𝑙

𝐹𝑇𝑎𝑏

10 > 3.84 ∴ 𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 𝐻𝑂

Para tratamiento Greco: 𝐹𝐶𝑎𝑙

𝐹𝑇𝑎𝑏

1.87 > 3.84 ∴ 𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝐻𝑂

Metodología de la investigación

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El análisis completo se muestra en la Tabla. Las fórmulas son significativamente diferentes al 1%. Al comparar las Tablas se observa que el error

experimental

se

ha

reducido

al

eliminar

la

variabilidad

correspondiente a la línea de montaje. Sin embargo, al reducir el error experimental, también disminuyen los grados de libertad de 12 (en el diseño de cuadrado latino) a 8. Por lo tanto, la estimación del error tiene menos grados de libertad, ocasionando una prueba menos sensible. El concepto de pares ortogonales de cuadrados latinos que se combinan para formar cuadrados grecolatinos puede ser extendido. Un hipercuadro p x p es un diseño que consta de tres o más cuadrados latinos p x p ortogonales sobrepuestos. En general, es posible analizar hasta p + 1 factores si se dispone de un conjunto completo de p – 1 cuadrados latinos ortogonales. Tal diseño utilizaría totalmente los (p + 1)(p – 1) = p2 – 1 grados de libertad y, por esta razón, se necesita una estimación independiente para la variancia del error. Por supuesto, no deben existir interacciones entre los factores cuando se usan los hipercuadrados.

CONCLUSION:

Al parecer hay varianza en los Lotes de materia prima y a un más en los operadores lo que significa que hay una gran fuente de variación para los tratamientos.

Metodología de la investigación

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DISEÑO CUADRADO GREGO-LATINO

Creación del Diseño Para crear un experimento en el cual la meta principal es comparar q niveles de un solo factor categórico, seleccione Crear Diseño del menú de diseño de experimentos y complete las cajas de diálogos que se describen abajo. Caja de Dialogo #1 – Tipo de Diseño La primera caja de dialogo despliega durante la especificación de la creación del diseño el tipo de diseño a ser creado: • Clase de Diseño: Tipo de diseño a ser creado.

• No. Variables Respuestas: El número de variables respuestas Y que deberán medirse durante cada corrida experimental. Este número está en un rango de 1 a 16. • Comentario: Un comentario que aparecerá sobre las salidas de los procedimientos de los análisis.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial Caja de Dialogo #2 – Factor Experimental La segunda caja de dialogo requiere información acerca del factor experimental a ser estudiado:

• Nombre: Ingrese un nombre para el factor que contenga hasta 32. Una columna puede crearse en la base de datos con el nombre indicado. • No. de Niveles: Número de diferentes niveles del factor en el cuál los experimentos serán desarrollados. • Unidades o Comentario – Una etiqueta opcional o un comentario hasta 64 caracteres que se incluyen sobre la hoja de trabajo experimental. • Botón Etiquetas: Presione este botón para ingresar identificadores de cada nivel:

Si las etiquetas no son especificadas, los niveles del factor pueden numerarse del 1 hasta q.

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Dialogo #3 – Variables Respuesta La tercera caja de dialogo requiere información acerca de cada una de las variables respuestas:

Clic sobre los números 1, 2, 3,…, una vez en el tiempo e ingrese la siguiente información para cada variable respuesta en el experimento: • Nombre – Un nombre para cada respuesta conteniendo hasta 32 caracteres. • Unidades o Comentario – Una etiqueta opcional o comentario hasta 64 caracteres que se incluyen sobre la hoja de trabajo experimental. Dialogo #4 – Selección del Diseño La cuarta caja de dialogo es usada para especificar el tipo de diseño a ser creado:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial • Tipo de Diseño: Los siguientes tipos de diseños están disponibles, dependiendo sobre el número de niveles del factor experimental: 1.

Cuadrado Greco-Latino – Es un diseño en el cual los tratamientos están balanceados a través de tres factores de bloques.

• Replica del Diseño – El número de observaciones adicionales que son tomadas de cada nivel de tratamiento o combinación de bloque-tratamiento. • Aleatorización – Con o sin aleatoria el orden de las corridas en el experimento. • Número de Bloques – Para definir en el diseño uno o más factores de bloque, el número de bloque. • Tamaño de Bloque – Para diseño BIB, el número de tratamientos que serán estudiados en cada bloque. Basándose en el diseño seleccionado, la caja de dialogo calcula y despliega el número total de corridas (prueba) a ser desarrolladas, el número de bloques, y los grados de libertad que estarán disponibles para estimar el error experimental. Atributos del Diseño

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial Hoja de Trabajo Las corridas experimentales pueden ingresarse automáticamente en la base de datos. Esto también puede desplegarse en una Hoja de Trabajo de abajo:

Analizando los Datos Después de que son ingresados los resultados de las corridas experimentales, selecciona Analizando Datos del menú DDE. Una caja de dialogo puede presentarse requiriendo la columna que contiene la respuesta a ser analizada:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA ING. Agroindustrial 2. En la obtención de un determinado producto químico se está interesado en comparar 4 procedimientos. Se supone que en dicha obtención también puede influir la temperatura, presión y tipo de catalizador empleado, decidiéndose realizar un experimento en cuadrado grecolatino. Para ello, se consideran 4 niveles de cada uno de estos factores. La tabla adjunta muestra el cuadrado greco-latino que resulta elegido y las cantidades de producto obtenidas. En dicha tabla:  Las filas representan el factor principal, procedimientos.  Las columnas representan el factor temperatura.  Las letras latinas representan el factor presión.  Las letras griegas representan el factor tipo de catalizador. PROCEDIMIENTO P1 P2 P3 P4

TRATAMIENTOS T1 Cβ B D Aα

5 6 7 11

T2 Bα C A Dβ

12 10 5 10

T3 A Dα Bβ C

Metodología de la investigación

13 15 5 8

T4 D Aβ Cα B

13 11 7 9

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IV.

Conclusiones

 Conocimos el manejo y en que se fundamenta el uso de un diseño cuadrado latino y grecolatino para la aplicación en el diseño de experimento.

 Obtuvimos las respuestas del programa empleando este tipo de diseño la cual en base a nuestros datos analizados, pudimos dar una interpretación según las condiciones y bases de fundamentos teóricos haciendo una comparación con lo obtenido en el cálculo experimental.

V.

Referencias bibliográficas



García Leal, J. &. (1998). "Diseño Estadistico de Experimentos. Análisis de la Varianza.". Grupo Editorial Universitario.



Lara Porras, A. (2000). "Diseño Estadistico de Experimentos. Análisis de Varianza y Temas Relacionados:Tratamiento Informativo mediante SPSS.". Proyecto Sur de Ediciones.



(s.f.). Obtenido de http://www.uru.edu/fondoeditorial/libros/pdf/manualdestatistix/cap4. pdf



Académica, D. N. (s.f.). Obtenido de http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000352/html/un7/con t_702-99.html



Hicks, c. 4., Winer, c. 9., Letner, p. 2., & Kempthorne, p. 1. (s.f.). Obtenido de http://bellman.ciencias.uniovi.es/d_experimentos/d_experimentos_arc hivos/Tema4.pdf

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