• Author / Uploaded
• Rodolfo Garcia Mora

Citation preview

universidad de colima

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS INGENIERO QUIMICO METALURGICO

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS GARCIA MORA RODOLFO PROFESORA: SOFIA MARTINEZ GARCIA

15/06/2019

Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas Objetivos: El estudiante: 1) Responde una guía de estudio sobre los fundamentos teórico-matemáticos de las distribuciones de probabilidad discretas y continuas. 2) Aplica los fundamentos teórico-matemáticos de las distribuciones de probabilidad discretas y continuas en la resolución de problemas con ayuda de tablas, de calculadora científica y/o hoja de cálculo de Microsoft Excel.

Instrucciones: 1. Los estudiantes resolverán la guía y los problemas de distribuciones de probabilidad continua y discreta. 2. Entregar en documento Word con el formato ya establecido, según asignación en classroom. anexar las páginas de este documento.

I. Cuestionario. 1. ¿Qué es Probabilidad? R= Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar. 2. ¿Qué es una Distribución de probabilidad? R= Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. 3. ¿Qué es una Función de densidad de probabilidad?

R= Es el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.

4. ¿Qué es una Función de distribución acumulada? R= Es una función matemática de la variable real: x; que describe la probabilidad de que X tenga un valor menor o igual que x. Formula; 5. En distribución de probabilidad ¿Qué significa esperanza matemática? R= Es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo (cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al tirar el dado):

6. En que consiste el ensayo de Bernoulli. R= En un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso). Se denomina así en honor a Jakob Bernoulli. 7. ¿Cuáles son las distribuciones de probabilidad que se derivan de la distribución normal? R= ji-cuadrado, t de student y F de Snedecor. 8. Describa la relación entre la distribución binomial, poisson y normal. R= esta relación se presenta cuando n es muy grande; En tales casos, y bajo ciertas condiciones, es posible aproximar la distribución binomial por la normal o la Poisson. Ejemplo: En la distribución binomial (1), si N es grande y la probabilidad p

de ocurrencia de un suceso es muy pequeña, de modo que q = 1 – p es casi 1, el suceso se llama un suceso raro. En la práctica, un suceso se considera raro si el número de ensayos es al menos 50 (N> 50) mientras Np es menor que 5. En tal caso, la distribución binomial queda aproximada muy estrechamente por la distribución de Poisson (5) con λ = Np.

9. Describa la diferencia entre los siguientes términos: a. Variable aleatoria discreta y Variable aleatoria continua. R= una variable continua, a diferencia de una variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de medición. b. Muestreo probabilístico y no probabilístico. R= El muestro no probabilístico, a diferencia del muestro probabilístico, la muestra no probabilística no es un producto de un proceso de selección aleatoria. Los sujetos en una muestra no probabilística generalmente son seleccionados en función de su accesibilidad o a criterio personal e intencional del investigador. c. Esperanza matemática, media y valor esperado. R= no existe tal diferencia ya que es el mismo concepto que se le conoce de esas 3 diferentes formas. *d. Ley normal de error, Ley empírica, Ley de los grandes números y Ley del límite central. e. Población, muestra y elemento (individuo). R= la población es el conjunto a diferencia de la muestra que es el subconjunto tomado de la población y el individuo a diferencia de la población que es el conjunto la muestra que es el subconjunto, es el que forma cada uno de los elementos de la población por lo tanto los elementos que se encuentran también en la muestra. f. Población finita y población infinita. R= la población finita tiene un tamaño conocido y la infinita no tiene un tamaño conocido. 10. En la toma de muestras ¿Qué significa aleatorización? R= Comparabilidad de poblaciones.

*11. Complete la siguiente tabla: Resumen de las distribuciones de probabilidad más frecuentes para describir experimentos aleatorios. Distribució n

Notac ión

Binomial

Bin(n, p)

Px(1p)1-x

Exponenci al

Exp(θ)

1/θexp{ −x θ }

Fisher Hipergeom étrica Ji cuadrada Normal Normal estándar Poisson student

N(µ, σ2 )

Po(λ)

Tipo de varia ble

For ma grafi ca

Función de probabili dad

espera nza

varia nza

me dia

mo da

Tama ño de mues tra

aplicac ión

II. Problemas:

P1. Dado una variable aleatoria continua con distribución normal estándar, encuentre las siguientes probabilidades, expresando sus respuestas con precisión de cuatro dígitos decimales redondeando correctamente. Use la tabla correspondiente y describa la forma en que encontró la respuesta. a) P(Z ≤ -2): Se realiza la ubicación del valor de la variable Z en las tablas de distribución normal estándar acumuladas (Z = -2 parte vertical) y después se intercepta con 0.00 (de la parte horizontal de la tabla) obteniendo una probabilidad de 0.0228 b) P(Z ≤ -1.17): Ubicamos el valor de Z (Z = -1.17) posicionado en la parte vertical de la tabla, ubicamos -1.1 y después lo interceptamos con 0.07 en la parte horizontal de la tabla, obteniendo una probabilidad de 0.1210 c) P(Z ≥ -2.81): Ubicamos a Z negativa (-2.8 en la parte vertical de la tabla) y después lo interceptamos con 0.01 (ubicada en la parte horizontal de la tabla). Obteneos una probabilidad de 0.0025 pero como es P (Z ≥ -2.81) entonces se resta P (Z ≥ -2.81) = (1 – 0.0025) = entonces la probabilidad es 0.9975. d) P(-1.91≤ Z ≤ 1.62): Encontramos la probabilidad de Z de los dos rangos, p (Z = -1.91) = 0.0281 Y p (Z = 1.62) = 0.9474, ya con los datos de las probabilidades acumuladas realizamos la resta de la probabilidad de p (Z = 1.62) – p (Z = -1.91) = (0.9474 – 0.0281) = entonces la probabilidad es 0.9193.

P2. La empresa “La Central” fabrica cajetillas de cerillos llamados “Clásicos”. Las cuales traen en promedio 56 unidades. La compañía tiene por norma realizar un ajuste de sus maquinas empacadoras cada vez que la desviación estándar del numero de cerillos por cajetilla excede de 3.5. tras un estudio de inventario, se hallo que solo el 4% de las cajetillas contiene menos del 50cerillos. Suponiendo una distribución normal, determine si es procedente realizar un ajuste en las maquinas empacadoras. Distribución Normal v.a.c. Datos: µ= 56, σ= 3.5 p (x≤52.5) = z = -1 p (x≤52.5) = 0.1587 p (x≤50) = z= -1.71 p (x≤50) = 0.0436 p (50 ≤ x ≤ 52.5) = (0.1587 – 0.0436) = 0.1151 se encuentra dentro de la ley débil por lo que al igual que la regla empírica nos dice que no existe un motivo tan grande para modificar, aunque se tiene presencia de error, el error es muy despreciable.

P3. En un examen final de probabilidad y estadística, la calificación reportada fue en números enteros en una escala de 0 a 100, pero la calificación media fue de 63.8, con una desviación típica de 10.23. La academia de matemáticas decidido aprobar aquellos estudiantes que obtuvieran una calificación superior a 50. Suponiendo una distribución normal de esta variable aleatoria y se sabe que nueve estudiantes reprobaron. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen? Distribución Normal. v.a.c p (z ≤ 50) = z = buscando en las tablas de valores de Z tenemos una probabilidad de 0.0885. p (z > 50) = 1- p (z ≤ 50) = 1 – 0.0885 = 0.9115. Utilizando la fórmula: 66.4980N – 66.4980 + 1.9643 = 0.2182 N 66.4980N – 0.2182N = 66.4980 – 1.9643 66.2798N = 64.5337 P4. Un director de personal quiere comparar la efectividad de dos métodos de entrenamiento para trabajadores industriales a fin de efectuar cierta operación de montaje. Se divide un número de operarios en dos grupos iguales: el primero recibe el método de entrenamiento 1, y el segundo, el método 2. Cada uno realizará la operación de montaje y se registrará el tiempo de trabajo. Se espera que las mediciones para ambos grupos tengan una desviación estándar aproximadamente de 2 minutos. Si se desea que la estimación de la diferencia en tiempo medio de montaje sea correcta hasta por un minuto, con una probabilidad igual a 0.95,

¿cuántos trabajadores se tienen que incluir en cada grupo de entrenamiento? IC= 0.5- (0.95/2) = 0.025 Z=1.96 de acuerdo a las tablas de probabilidad Formula a desarrollar: n= ()2 (22+22) = 30.7328 De acuerdo a que el resultado tiene más aproximación a 31 concluimos que cada grupo debe de contar con 31 empleados.

P5. El proceso de trituración en la industria minera se caracteriza por los siguientes requisitos: el reparto del grano, la fracción fina del grano, el calentamiento minino, fácil de inertizar, producción especifica con bajo consumo de energía, desgaste mínimo, entre otros. Lo que demanda molinos con procesos de trituración precisos y eficientes, de aquí la importancia de determinar su tiempo de vida activa. Se tiene un molino con una vida media de 22000 horas y una desviación de 1200 horas. ¿cuál es la probabilidad de que el molino falle a las 19000 horas de uso? Distribución normal. X= Tiempo de vida del molino. Variable aleatoria continua. Datos: µ=22000 desviación: 1200 pregunta: P(x=19000)=¿? a) Tipificación: x=> z= b) f(x) P(X=x)==1.4606x10-5 c) procesado f(x)  estadística Distribución normal

P6. De un lote de 12 piezas se escoge una muestra aleatoria de 4 piezas, en el lote hay 3 piezas defectuosas. Calcule las siguientes probabilidades: a) Se encuentre exactamente 0 pizas defectuosas en la muestra. Datos: N = 12, A = 3, n = 4, X = 0 Procesadof(x)EstadísticaDistribución Hipergeométrica

b) Se encuentre exactamente 1 pieza defectuosa en la muestra. Datos: N = 12, A = 3, n = 4, X = 1 Procesadof(x)EstadísticaDistribución Hipergeométrica

c) Se encuentre entre 3 y 4 piezas defectuosas en la muestraObtenemos un error improbable ya que hay una condición, es necesario tener en cuenta que x no puede exceder a “A” ni a “n”.

P7. Se sabe que el porcentaje defectuoso de un modelo de refractómetro de rayos X es del 6 %, calcule la probabilidad de encontrar 2 o más unidades defectuosas de un muestreo de 5 refractómetros. Distribución Binomial v.a.d Datos: p = 0.06, q = 0.94, x = 2, n = 5, x = B(5,0.06) P(x) = p(2≤ x ≤ 5) = p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) p( x = 2 ) = p( x = 3 ) = p( x = 4 ) = p( x = 5 ) = P(x) = p(2≤ x ≤ 5) = (0.02990) + () + () + () = 0.0318701 Procesadof(x)estadísticadistribucion normal B.

P8. En un flujo continuo de producción de peletts, el porcentaje que no cumple con especificaciones es de 0.09, si se toma una muestra de 67 peletts. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra tenga 3 peletts fuera de especificación? Sera correcto utilizar una distribución de Poisson como aproximación de la binomial? Fundamente su respuesta. Distribución de Poisson. Flujo continúo. v.a.d. p= Datos: n= 67, x= 3 piezas P (3,0.0603) = Procesadof(x) estadísticaPoisson

Distribución Binomial. Datos: x= 3, n= 67, p= 0.0009, q= 0.9991, x= B (67,0.0009) p(3,67,0.0009) = p(3,67,0.0009) = 3.2967 x Procesadof(x) estadística Distribución Binomial

La distribución de Poisson es una buena estimación de la distribución Binomial. P9. En una planta de procesamiento químico es importante que el rendimiento de cierto tipo de producto de un lote se mantenga por arriba de 80%. Si permanece por debajo de 80% durante un tiempo prolongado, la empresa pierde dinero. Los lotes producidos ocasionalmente con defectos son de poco interés, pero si varios lotes por día resultan defectuosos, la planta se detiene y se realizan ajustes. Se sabe que el rendimiento se distribuye normalmente con una desviación estándar de 4%. a) ¿Cuál es la probabilidad de una “falsa alarma” (rendimiento por debajo de 80%) cuando TipificaciónxZ ∴ z = 0.10567 Utilizando la tabla acumulada obtenemos que p(x≤80) = 0.10567 Procesadof(x) estadística Distribución normal

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote tenga un rendimiento que exceda el 80% cuando en realidad el rendimiento promedio es de 79%? Datos: µ = 79, σ = 4 a) Tipificación x Z ∴ z = Utilizando la tabla acumulada: p = 0.5987 p (x ≥ 80) = 1 – 0.5987 = 0.4013

Procesadof(x) estadística Distribución Normal

P10. Se quiere estudiar la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que la tasa de combustión de los dos propelentes tiene aproximadamente la 51 misma desviación estándar; esto es s1=s2 = 3 cm/s. ¿Qué tamaño de muestra debe utilizarse en cada población si se desea que el error en la estimación de la diferencia entre las medias de las tasas de combustión sea menor que 4 cm/s con una confianza del 99%? Distribución Normal. 100 (1 – α) = 99 α= 0.01 Obtener el valor de z: IC= 0.5 – (0.01/2) = 0.495 Se tiene que buscar el valor de z que satisfaga la probabilidad de 0.495, realiza una interpolación debido a que este valor no se encuentra de manera exacta 2.57 z 2.58

0.4949 0.495 0.4951 De donde: 2.57 – 2.58------ 0.4949 – 0.4951 2.57 – z------- 0.4949 – 0.495 Para obtener el tamaño de la muestra en cada población para un error menor de 4: ≤ Suponiendo que ambas poblaciones tienen el mismo tamaño: ≤E Tamaño de n mínimo: n≥)= Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y para que el error sea menor de 4 cm/s, el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual que 8.

Reflexión: Esta guía esta muy completa ya que cuenta con definiciones desde que es la probabilidad hasta los diversos tipos de distribuciones así como ciertas diferencias que ayudan a esclarecer los diversos conceptos, los problemas son bastante variados por lo que te apoya a comprender de donde provienen diferentes variables y el porque se debe usar determinada distribución en determinado caso, esto nos ayudara que no nos estanquemos en un solo tipo de distribución o estructura de problema(as) así a su vez que el día de mañana podamos resolver cualquier situación que se nos presente.

Bibliografía: • Douglas C. Montgomery y George Runer (2011) Probabilidad y estadística para ingenieros, Limusa Wiley, México. • Irwin R. Miller y John E. Freud (2004) Probabilidad y estadística para ingenieros, Revete. México. • Mendenhall William (1997) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y

Ciencias, Editorial Prentice Hall. • Velasco Sotomayor, Gabriel (2005), Estadística con Excel, Editorial Trillas. Capitulo 4, 5 y 6.