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• Frank Yauri

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UNIDAD III TEMA VI: PROBABILIDADES Experimento Aleatorio (E).Un experimento es aleatorio si tiene las siguientes características: - Es posible condiciones.

repetirlo

indefinidamente

bajo

las

mismas

- Aunque no se sabe el resultado preciso a obtener, se saben todos los posibles resultados. - Cuando se repite un gran número de veces aparece un modelo definido de regularidad, el cual hace posible la construcción de un modelo matemático preciso con el cual analizamos el experimento. Ejemplo: E: Se lanza una moneda y se registra el resultado obtenido. Lic. Mary Yris MIRANDA R.

Estadística

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Espacio Muestral (S).-

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Puede ser finito, infinito numerable o infinito no numerable. Ejemplo:

1: Se fabrican ciertos artículos hasta producir 5 defectuosos. Se registra el # total de artículos fabricados. S1: {.............................................}: Infinito numerable. 2: Se fabrica una bombilla de luz. Se registra su tiempo de vida en horas. S2: {.............................................}: Infinito no numerable. Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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Evento o Suceso. Operaciones de Eventos.

Un evento A, respecto a un espacio muestral S, asociado a un experimento , es un subconjunto del espacio muestral S. El mismo espacio muestral S, así como el conjunto nulo o vacío  es también un evento. Cualquier resultado individual del espacio muestral S es considerado también un evento. Ejemplo: 1: Se lanza un dado y se registra el # que aparece en la cara superior. S1: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {Obtener un # par} = {2, 4, 6} B = {Obtener un # impar} = {1, 3, 5} C = {2} Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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jercicio:

Un científico desea probar un reactivo sobre algunos metales. Si el reactivo produce el efecto deseado sobre el metal registra una S y registra una N si no produce el efecto deseado. Aplica el reactivo sobre cuatro metales. a) Definir el espacio muestral de este experimento b) Indicar los elementos del evento A, que consiste en que al menos 2 de los 4 metales presentaron el efecto deseado ante la aplicación del reactivo. c) Indicar los elementos del evento B que consiste en que, máximo 1 de los 4 metales presentó el efecto deseado. Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos, es decir, si: A B = . Ejemplo:

: Elegir un alumno de la clase de Estadística que ha dado el examen parcial. Eventos: A = {El alumno ha aprobado el examen parcial} B = {El alumno ha desaprobado el examen parcial} Ambos eventos son mutuamente excluyentes, por que no pueden ocurrir a la vez. Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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Definición de Probabilidad

Dado un espacio muestral S, asociado a un experimento , a cada evento A se le asocia un # real designado por P(A), llamado probabilidad de que ocurra A, el cual satisface las siguientes propiedades: 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. P (s1+s2+…….+sn ) = 1 3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P(A  B)  P(A)  P(B) Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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Consecuencias de las Propiedades de la Probabilidad Teorema 1: Si  es el conjunto vacío Demostrar a partir de:

Teorema 2: Sea A

A  A 

P( A)  1  P( A)

Demostrar, a partir de:

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P( )  0

S A A

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Teorema 3: Sean A y B sucesos cualesquiera, P(AB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Demostrar a partir de:

Teorema 4: Si A  B

P(A) ≤ P(B)

Demostrar a partir de:

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Definición Clásica de Probabilidad Generalmente, las características físicas de un experimento sugieren que se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestral. Si un evento A tiene n(A) elementos, y su espacio muestral tiene n(S) elementos, los cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A es: P( A) 

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n( A) n( S ) Estadística

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Ejercicios: 1. Un lote consta de 10 artículos buenos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se escogen dos artículos sin sustitución, encontrar la probabilidad de que: a) Ambos sean buenos b) Sólo uno sea bueno. 2. El comité de perfeccionamiento docente de una facultad en una universidad nacional, está formada por 5 docentes, 2 de los cuales son ingenieros ambientales. El rector de dicha universidad ha decidido seleccionar aleatoriamente 2 de los cinco docentes de este comité para formar un subcomité que pueda representar a la universidad en la SUNEDU. Se desea ver la formación de este subcomité. a) Defina el experimento b) Defina el espacio muestral (S). c) Si todas las posibles parejas de docentes del comité tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas ¿cuál es la probabilidad de que el subcomité quede constituido por los 2 ingenieros ambientales? d) Cuál es la probabilidad de que el subcomité: - Tenga al menos un ingeniero ambiental? - No tenga ingenieros ambientales? Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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3. En un curso de Matemáticas se encuentran matriculados estudiantes que tienen las siguientes características: 5 hombres mayores de 20 años, 4 hombres menores de 20, 6 mujeres mayores de 20 y 3 mujeres menores de 20. Si A= El estudiante es mayor de 20 años B= El estudiante es menor de 20 años C= El estudiante es de sexo masculino D= El estudiante es de sexo femenino Hallar: a) P(BUD) b)

P( AU C )

4. Con 7 ingenieros y 4 médicos se van a formar comités de 6 profesionales. Cuál es la probabilidad de que el comité incluya: a) Exactamente 2 médicos b) Al menos 2 ingenieros c) A lo sumo 3 ingenieros Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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PROBABILIDAD CONDICIONAL.La probabilidad de que un evento B suceda, luego que otro evento A haya sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de B dado A se define como: P( B / A) 

Propiedades:

P( B  A) n( B  A)  P( A) n( A)

Para un evento A, P(B/A) tiene las siguientes propiedades: - 0 ≤ P(B/A) ≤ 1 - P(S/A) = 1 - P(B1  B2 /A)= P(B1/A) + P(B2/A), si B1B2 =  Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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Ejercicios: 1. En cierto lugar del país, la probabilidad de que llueva el 1º. de junio es 0.5, y probabilidad de que llueva los dos primeros días de junio es 0.4. Se sabe que llovió el 1ro. de junio. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva al día siguiente? 2. Un estudio realizado en Lima Metropolitana reporta que el 26% de recicladores de residuos sólidos tienen estrés, el 31% presenta dolor lumbar y el 41% tiene estrés o dolor lumbar o ambos problemas de salud. Si se elige al azar a un reciclador de esta población, cuál es la probabilidad de que: a) Presente ambos problemas de salud? b) Tenga dolor lumbar, si se sabe que tiene estrés?

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TEOREMA DE LA MULTIPLICACION.P( A  B)  P( A) P( B / A) Generalizando se obtiene: P( A1  A2  ... An )  P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1  A2 )......P( An / A1  A2 ...... An1 )

Ejercicio: Una urna contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Se extraen 2 sucesivamente y sin sustitución. Cuál es la probabilidad de que: a)Ambas bolas sean blancas b)La primera bola sea blanca y la segunda sea negra c)La primera bola sea negra y la segunda sea blanca d)Ambas sean negras. Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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PARTICION DEL ESPACIO PROBABILIDAD TOTAL

MUESTRAL

Y

Se dice que los sucesos B1, B2,... Bk , representan una partición del espacio muestral S si: •

Bi  Bj   k

• •

B

i

S

i 1

P( Bi )  0

, ɏ i≠j

Gráficamente:

,

, ɏi

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Ejemplo: Si: E: Lanzamiento de un dado S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Una partición de S podría ser: B1= {1, 3, 5} B2= {2} B3= {4, 6}

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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sea un suceso A, respecto a S. Además sea B1, B2,... Bk , una partición de S, gráficamente:

A=(A∩ B1)(A∩ B2)  (A∩ B3) . . .(A∩ Bk)

P(A)=P(A∩ B1)+(A∩ B2)+(A∩ B3)+. . .+P(A∩ Bk) P(A)= P(B1)(P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+. . .+P(Bk)P(A/Bk) Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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Ejercicio: En un laboratorio se encuentra un anaquel con tres divisiones. En la división 1 hay dos piedras plomas y tres plateadas, en la división 2 hay 4 piedras plomas y 2 plateadas, y en la división 3 hay 5 plomas y 5 plateadas.

Se selecciona al azar una división y se saca una piedra aleatoriamente de esta division. ¿Cuál es la probabilidad de que la piedra escogida sea plateada?

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TEOREMA DE BAYES Sean B1, B2, … ,Bi , ..., Bk , una partición de S y A un evento cualquiera relacionado a S, P( Bi ) P( A / Bi ) P( Bi / A)  P( B1 ) P( A / B1 )  P( B2 ) P( A / B2 )  ...... P( Bk ) P( A / Bk ) Ejercicio:

Del total de trabajadores de una empresa, el 50% son técnicos profesionales, el 30% son oficinistas y el 20% personal de servicio; además el 8% de los profesionales, el 9% de los oficinistas y el 10% del personal de servicio son de provincia. Si se selecciona un trabajador al azar y resulta ser de provincia. Hallar la probabilidad de que el trabajador sea técnico profesional. Lic. Mary Yris MIRANDA R.

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INDEPENDENCIA DE EVENTOS Dos sucesos A y B son independientes si:

P( A  B)  P( A) P( B) En forma equivalente se puede decir también que A y B son eventos independientes si:

P( B / A)  P( B) ,

y

P( A / B)  P( A)

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Ejercicios: 1.- En una universidad nacional, el 30% de estudiantes son costeños, el 10% estudian Ing. Mecánica, y el 1% estudian Ing. Mecánica y son costeños. Si se selecciona al azar un estudiante de esta universidad:

a) Cuál es la probabilidad de que no sea costeño? b) Cuál es la probabilidad de que sea costeño o pertenezca a Ing. Mecánica? c) Cuál es la probabilidad de que no sea costeño ni estudiante de Ing. Mecánica?

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2.- La probabilidad de que la construcción de una casa termine a tiempo es 17/20. la probabilidad de que no haya huelga es ¾, la probabilidad de que la construcción termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15, la probabilidad de que haya huelga y no se termine a tiempo la construcción es 1/10. Hallar la probabilidad de que: a) b) c) d)

La construcción termine a tiempo y no haya huelga. No haya huelga dado que la construcción terminó a tiempo. La construcción no termine a tiempo dado que hubo huelga La construcción termine a tiempo dado que hubo huelga.

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Gracias

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