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MODELOS DE OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS UNIDAD 6: Modelación y simulación de operaciones y procesos

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MENDIOLA TÉLLEZ IRVIN MONTIEL TAPIA DAVID

INTRODUCCIÓN El trabajo que a continuación les presentamos consta principalmente del proceso de simulación nos informa que es, como se formula, que tipo de modelos de simulación existen, nos dice cuales podemos usar en determinados momentos, ya que se usan de acuerdo a la aplicación que deseamos realizar. Las aplicaciones que se mencionan en este documento son las aplicaciones en líneas de espera e inventarios Lo primero que tenemos que hacer es estudiar nuestro problema y ver cuál es el objetivo que deseamos alcanzar en el proyecto deseado, luego pasamos a formular nuestro modelo. Con estos datos nos podemos utilizar un software que nos ayude a realizar el modelo de simulación ya que en la actualidad existen varios software para la simulación cada uno para distintas aplicaciones. También se habla de las técnicas de Montecarlo, que son unos métodos simplificados de simulación, que incluye factores de probabilidad. Esta simulación funciona de manera guiada por un muestreo al azar para tomar en cuenta la probabilidad de que el evento suceda. Estas técnicas nos sirven para simular sucesos naturales con el fin de determinar la probabilidad de los eventos bajo estudio. Este es un trabajo he recopilado información distinta de varias fuentes, para comparar y analizar el contenido de la información para luego poner los puntos más importantes de cada uno y se pueda entender con más claridad todos los temas que abarcaremos.

EL PROCESO DE SIMULACION: CONCEPTO, ELEMENTOS Y FASES. Simulación es la experimentación con un modelo de una hipótesis o un conjunto de hipótesis de trabajo. Thomas T. Goldsmith Jr. y Estle Ray Mann la define así: "Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos".

Una definición más formal formulada por R.E. Shannon 1 es: "La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del sistema".

TIPOS DE SIMULACIÓN Existen dos tipos distintos de modelos de simulación. Los modelos continuos se ocupan de sistemas cuyo comportamiento cambia contiguamente con el tiempo. Estos modelos suelen utilizar ecuaciones diferenciales para describir las interacciones entre los diferentes elementos del sistema. Los modelos discretos tienen que ver principalmente con el estudio de líneas de espera con el objetivo de determinar medidas como el tiempo de espera promedio y la longitud de cola.

ELEMENTOS DE LA SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS El objetivo final de la simulación es estimar algunas medidas de desempeño deseables que describan el comportamiento del sistema simulado. Por ejemplo, en una instalación de servicio, las medidas de desempeño asociadas pueden incluir el tiempo de espera promedio hasta que un cliente es atendido, la longitud promedio de la cola y la utilización promedio de la instalación de servicio. Todas las simulaciones de eventos discretos describen, directamente o indirectamente, simulaciones de colas en las que los clientes llegan (para servicio), esperan en la cola (si es necesario) y luego reciben servicio antes de salir de la instalación de servicio. La aleatoriedad de la simulación surge cuando el intervalo t, entre los eventos sucesivos es probabilístico. Esta sección presenta tres métodos para generar muestras aleatorias sucesivas (t=t1,t2…) de una distribución de probabilidad f(t). Método inverso Método de convolución Método de aceptación y rechazo

MÉTODO INVERSO Suponga que se desea obtener una muestra aleatoria x de la función de densidad de probabilidad f(x) (continua o discreta). El método inverso determina

primero la expresión de forma cerrada de la función de densidad acumulada F(x) = P{y ≤ x}, donde 0 ≤ F(x )≤1, para todos los valores definidos de y. Se puede demostrar que la variabilidad aleatoria z=F(x) está distribuida de modo uniforme en el intervalo 0 ≤ z ≤ 1. Con base en este resultado, se determina una muestra aleatoria de f(x) mediante los siguientes pasos (F-1 es la inversa de F). Paso 1: Genere un número aleatorio 0-1,R. Paso 2: Calcule la muestra deseada x = F-1 (R).

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN La idea básica del método de convolución es expresar la muestra deseada como la suma estadística de otras variables aleatorias fáciles de muestrear. Típicas entre estas distribuciones están las de Erland y la de Poisson, cuyas muestras pueden obtenerse con las muestras de la distribución exponencial.

MODELOS DE SIMULACION La experimentación puede ser un trabajo de campo o de laboratorio. El modelo de método usado para la simulación seria teórico, conceptual o sistémico. Después de confirmar la hipótesis podemos ya diseñar un teorema. Finalmente, si éste es admitido puede convertirse en una teoría o en una ley. MODELO TEÓRICO El 'modelo teórico' debe contener los elementos que se precisen para la simulación. Un ejemplo con trabajo de laboratorio es un programa de estadística con ordenador que genere números aleatorios y que contenga los estadísticos de la media y sus diferentes versiones: cuadrática- aritmética-geométrica-armónica. Además, debe ser capaz de determinar la normalidad en términos de probabilidad de las series generadas. La hipótesis de trabajo es que la media y sus versiones también determinan la normalidad de las series. Es un trabajo experimental de laboratorio. Si es cierta la hipótesis podemos establecer la secuencia teorema, teoría, ley. Es el modelo principal de toda una investigación científica, gracias a ello podemos definir o concluir la hipótesis, las predicciones, etc. MODELO CONCEPTUAL El modelo conceptual desea establecer por un cuestionario y con trabajo de campo, la importancia de la discriminación o rechazo en una colectividad y hacerlo por medio de un cuestionario en forma de una simulación con una escala de actitud. Después de ver si la población es representativa o adecuada, ahora la

simulación es la aplicación del cuestionario y el modelo es el cuestionario para confirmar o rechazar la hipótesis de si existe discriminación en la población y hacia qué grupo de personas y en que cuestiones. Gran parte de las simulaciones son de este tipo con modelos conceptuales. MODELO SISTÉMICO El modelo sistémico es más pretencioso y es un trabajo de laboratorio. Se simula el sistema social en una de sus representaciones totales. El análisis de sistemas es una representación total. Un plan de desarrollo en el segmento de transportes con un modelo de ecología humana, por ejemplo. El énfasis en la teoría general de sistemas es lo adecuado en este tipo de simulaciones. Este método, que es para un Sistema complejo, es sumamente abstracto, no se limita a la descripción del sistema, sino que debe incluir en la simulación las entradas y salidas de energía y procesos de homeostasis, auto hipótesis y retroalimentación. Tanto el programa de estadística, como la escala de actitud, como el sistema total, son perfectas simulaciones de la realidad y modelizan todos los elementos en sus respectivas hipótesis de trabajo. Son también un microclima y el ambiente o el escenario en los procesos de simulación/experimentación. Otras propiedades que deben contener las simulaciones es que sean repetibles indefinidamente. Que eviten el efecto de aprendizaje que incita al encuestador a rellenar él mismo los cuestionarios y que se podrá evitar con algún control, que sean flexibles o mejorables y que no sea invasivo o cambiar la población de las muestras sucesivas.

PROCEDIMIENTO DE SIMULACION 

PASO 1: DEFINICION DE LOS OBJETIVOS

Una simulación puede llevarse a cabo como ayuda para entender un sistema existente o como apoyo para diseñar un nuevo sistema. Es importante que los objetivos estén definidos con claridad, Los objetivos influyen en el diseño del experimento. 

PASO 2: FORMULACION DEL MODELO

La tarea es desglosar en términos lógico matemáticos precisos: 

Las componentes que deben incluirse.

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Comportamiento de las componentes

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Sus relaciones

La meta es formular un modelo válido y seguro con un mínimo de complejidad. 

PASO 3: DISEÑO DEL EXPERIMENTO

Se ahorra mucho tiempo y esfuerzo, si se trabaja en los procedimientos experimentales antes de correr el modelo. ¿Qué medidas se tiene que tomar? ¿Qué incrementos de tiempo se usarían? ¿Cuál será la duración total? Deben tomarse en cuenta las respuestas a estas y otras preguntas al desarrollar un plan para el experimento. 

PASO 4: REALIZACION DEL EXPERIMENTO

Esto es de hecho correr el modelo. Aquí se debe marcar el tiempo apropiado, hacer las observaciones necesarias y registras los datos para el análisis.

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PASO 5: EVALUACION DE LOS RESULTADOS

Casi siempre la simulación da resultados estadísticos: promedios y distribuciones de probabilidad. En la práctica, estos 5 pasos se traslapan considerablemente. El orden de los pasos es menos significativo que el que se ejecuten por completo.

APLICACIONES DE LA SIMULACION EN PROBLEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA E INVENTARIOS La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el

servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegadasalida.

Los objetivos de la teoría de colas consisten en: 

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

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Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

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Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

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Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

SIMULACION EN PROBLEMAS DE LINEAS DE ESPERA Al realizar la simulación de este tipo de problemas se obtienen datos de distintas situaciones que se pueden presentar al cambiar las distintas variables que intervienen, siendo de gran utilidad para que en base a estos se puedan tomar las medidas necesarias para solucionar las carencias que pueda presentar el sistema. El análisis de dichos datos nos dice si es necesario aumentar las instalaciones de servicio al superar una cantidad “n” de clientes, obtenemos un tiempo promedio de espera por cada cliente; el cual se puede reducir al incrementar las filas o utilizando métodos para priorizar sus necesidades y atenderlos en diferentes instalaciones de servicio. Todos estos datos deben ser analizados por los administradores decir cuál de las opciones es la más apropiada o incluso si es suficiente dejar las cosas como están ya que no sería rentable invertir una gran suma en la contratación de más personal para las diferentes instalaciones extras y que estas solo produzcan mínimas diferencias respecto al estado actual que se tenga.

USO DE SOFTWARE SIMULACION POR COMPUTADORA Es un intento de modelar situaciones de la vida real por medio de un programa de computadora, lo que requiere ser estudiado para ver cómo es que trabaja el

sistema. Ya sea por cambio de variables, quizás predicciones hechas acerca del comportamiento del sistema. La simulación por computadora se ha convertido en una parte útil del modelado de muchos sistemas naturales en física, química y biología, y sistemas humanos como la economía y las ciencias sociales (sociología 3 computacional), así como en dirigir para ganar la penetración su comportamiento cambiará cada simulación según el conjunto de parámetros iniciales supuestos por el entorno. Las simulaciones por computadora son a menudo consideradas seres humanos fuera de un loop de simulación. Tradicionalmente, el modelado formal de sistemas ha sido a través de un modelo matemático, que intenta encontrar soluciones analíticas a problemas que permiten la predicción del comportamiento de un sistema de un conjunto de parámetros y condiciones iniciales. La simulación por computadora es frecuentemente usada como un accesorio para, o sustitución de, sistemas de modelado para los cuales las soluciones analíticas de forma cerrada simple no son posibles. Ahí se encuentran muchos tipos diferentes de simulación por computadora, la característica común que todas ellas comparten es el intento por generar una muestra de escenarios representativos para un modelo en que una enumeración completa de todos los estados posibles sería prohibitivos o imposibles. Varios paquetes de software existen para modelar por computadora en el funcionamiento de la simulación se realiza sin esfuerzo y simple (por ejemplo: la simulación Montecarlo y el modelado estocástico como el Simulador de Riesgo). Es cada vez más común escuchar acerca de simulaciones a muchas clases designadas como "ambientes sintéticos". Esta etiqueta ha sido adoptada al ampliar la definición de "simulación", que abarca virtualmente cualquier representación computarizada. LA TÉCNICA MONTECARLO Es un método simplificado de simulación, pero también incluye factores de probabilidad. La simulación es guiada por un muestreo al azar para tomar en cuenta la probabilidad de que el evento suceda. El muestreo al azar se usa para simular sucesos naturales con el fin de determinar la probabilidad de los eventos bajo estudio. Se emplea una tabla de números al azar para obtener la muestra al azar. El Montecarlo es un medio de tanteo para ver qué sucedería cuando ciertos eventos, normales y anormales, se presenten. Este enfoque es productivo y dice lo que probablemente sucederá en los eventos reales sin analizar los eventos comprobables existentes. Las aplicaciones posibles

son muy Pueden usarse para resolver problemas con estas preguntas típicas:

numerosas.

¿Cuál es la probabilidad de un evento o combinación de eventos, que ocurran en un proceso dado? ¿Qué decisión debe tomarse en base a las alternativas posibles? Líneas de espera (Filas): Se presentan problemas administrativos debido a: Se hace esperar a empleados, máquinas o materiales debido instalaciones insuficientes para manejarlos de inmediato.

a

Ocurre la utilización de las instalaciones a menos del máximo a causa de la secuencia de la llegada de recursos que emplean las instalaciones. Hay pérdidas de tiempo, mano de obra no utilizada y costos excesivos causados por las líneas de espera o filas. Minimizar estas pérdidas es el objetivo de esta técnica. Las filas están relacionadas con el flujo; Ejemplo: el material que espera ser procesado por una máquina, los aviones que dan círculos sobre un aeropuerto en espera de instrucciones, incluyen el flujo de la combinación y de los materiales. Los métodos de Montecarlo abarcan una colección de técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios. A lo largo de varias páginas se estudiará el concepto de variable aleatoria y la transformación de una variable aleatoria discreta o continua. Empezaremos a estudiar esta técnica por los ejemplos más sencillos: el mecanismo básico de la difusión y el establecimiento del equilibrio térmico entre dos sistemas que se ponen en contacto a distinta temperatura. Estos dos ejemplos nos mostrarán el significado de proceso irreversible y fluctuación alrededor del estado de equilibrio. Se incluyen entre otros ejemplos, la explicación de la ley exponencial decreciente en la desintegración de una sustancia radioactiva en otra estable. Comprender, a partir de un modelo simple de núcleo radioactivo, que su desintegración es un suceso aleatorio, con mayor o menor probabilidad dependiendo de la anchura de las barreras de potencial que mantienen confinadas a las partículas que componen el núcleo.

Otros ejemplos relevantes son: el estudio de un sistema con un número pequeño de estados como paso previo al estudio del comportamiento de un material paramagnético bajo la acción de un campo magnético y a una determinada temperatura, dos ejemplos de aplicación de la transformación de una variable discreta. Por último, estudiaremos el comportamiento de un material dieléctrico como ejemplo de aplicación de transformación de una variable aleatoria continua.