• Author / Uploaded
• Anne Garcia

• Categories
• Intervalo de confianza
• Estimador
• Desviación Estándar
• Distribución normal
• Muestreo (Estadísticas)

Citation preview

Estimación de parámetros 4.1 Intervalos de 4.2 Intervalos de 4.3 Intervalos de 4.4 Intervalos diferencias

confianza para la media confianza para la varianza confianza de proporciones de confianza para las

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD APLICADA AL CAMPO PETROLERO ING. MARY CARMEN BACA GUTIERREZ GARCIA ANTONIO ROSA ANEL TORRES PIÑA JENIFER DALLAN GRUPO 1

4ºSEMESTRE

INGENIERIA PETROLERA TRABAJO UNIDAD 4 Y 5

Introducción  En el momento de tomar decisiones el conocimiento de los parámetros de población es de vital importancia, tal conocimiento generalmente se puede tener al estimar el valor de dichos parámetros, sin embargo, la estimación es mejor cuando se da un margen de confianza y uno de error, siendo importante la correcta estimación de dichos parámetros a través de la construcción de intervalos de confianza que puedan sustentar la toma de decisiones de manera eficiente.  Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; Intervalo.

Puntuales y por

Intervalos de confianza para la media

 Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida del grado de confiabilidad en el intervalo.  En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.  Como sabemos la media es interesante como medida de centralización cuando la distribución de la misma es mas o menos normal, incluso podemos hacer estimaciones aunque las muestras sean pequeñas, con solo verificarse que la distribución de la variable es normal, ya que la distribución del estimador es conocida de forma exacta como distribución t-student. En cualquier caso si las muestras son grande, aunque la distribución de los datos no sea normal, la media como en el caso de las proporciones de distribuye de manera aproximadamente normal.

Ejemplo 1  Se encuentra que la concentración promedio de zinc de una muestra de 36 cereales es de 2.6 gramos por miligramo. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el cereal. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. SOLUCION    La estimación puntual de µ es El valor de la media de la muestra). El valor de para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto;

Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio:

Ejemplo 2  Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950,200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:  A) superen los 1200 euros.  B) Estén entre 700 y 1000 euros. SOLUCION

Intervalos de confianza para la varianza  Si tenemos una muestra de tamaño n tomada de una población normal, podemos obtener un intervalo de confianza del nivel dado (90%, 95%, 99%, etc) para la varianza sabiendo que el valor de chi cuadrada es para este caso:

 El cual es una variable aleatoria que tiene una distribución Chi cuadrada con n -1    grados de libertad. Por lo tanto, podemos emplear esta definición para estimar un intervalo de confianza ya que lo que necesitamos es que

 Donde es el valor de Chi cuadrada para los grados de libertad y nivel de confianza (1 α) especificado.

Ejemplo 1  Para determinar un estimado de intervalo de la varianza poblacional de las cantidades de llenado, recuerde que la muestra es de 20 envases que presenta una varianza de = 0.0025. Con una tamaño de muestra de 20 , los grados de libertad son de 19. se determina que reemplazando los valores en la ecuación tenemos que:   

 O sea que el intervalo se encuentra dentro de los limites

Ejemplo 2  La varianza de la resistencia a la rotura de 30 cables probados fue de 32.000 Halle un intervalo de confianza del 90%, para la varianza de la resistencia de todos los cables de esta marca. SOLUCION Los valores de pertenecen a una distribución de chi-cuadrado con 29 grados de libertad. Como puede observarse en la figura el área que hay por debajo de Z    a/2 es 0,05 por lo tanto = 17,71 y el área que hay por debajo de es 0,95 por lo tanto =42,56. Reemplazando la ecuación obtenemos:

Por razones de utilidad se halla el intervalo de confianza para la desviación estándar, sacando la raíz cuadrada de los limites, por lo tanto:

El promedio de variación o dispersión de la rotura de cables de dicha marca, esta entre 150 y 233 Lb con una confiabilidad del 90%.

Intervalos de confianza de proporciones

 Un estimador puntual de la proporción P en un experimento binomial está dado por la estadística P=X/N, donde X representa el número de éxitos en N pruebas. Por tanto, la proporción de la muestra p=x/n se utilizará como estimador puntual del parámetro P. Si no se espera que la proporción P desconocida esté demasiado cerca de 0 ó de 1, se puede establecer un intervalo de confianza para P al considerar la distribución muestral de proporciones.  Considerando el valor z para la distribución de proporciones

Si intentamos despejar el valor de P nos encontramos con que

Pero ¿cómo podemos encontrar P si también está del lado derecho de la ecuación? Lo que haremos es aproximar la proporción de la población por la de la muestra, es decir sustituir P por la proporción de la muestra p siempre y cuando el tamaño de muestra no sea pequeño.

Cuando n es pequeña y la proporción desconocida P se considera cercana a 0 ó a 1, el procedimiento del intervalo de confianza que se establece aquí no es confiable ya que realmente se debería emplear la distribución binomial, por tanto, no se debe utilizar. Para estar seguros, se debe requerir que np y n(1-p) sea mayor o igual a 5. El error de estimación será la diferencia absoluta entre p y P, y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá el valor de

Ejemplo 1  En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 95% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. SOLUCION

Ejemplo 2  Tomada al azar una muestran de 500 personas en cierta comunidad autónoma, se encontró que 220 leían algún periódico habitualmente. Calcula, con un nivel de confianza del 95% el intervalo en el que se encontrara la verdadera proporción de lectores de periódico. SOLUCION Debemos aplicar la formula

Proporción muestral de lectores

Intervalo de confianza para P (proporción de población que leerá periódicos.

Intervalos de confianza para las diferencias

 En esta sección se verá el caso en donde se tienen dos poblaciones con medias y varianzas desconocidas, y se desea encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos medias m1-m2.  Si los tamaños de muestras n1 y n2 son mayores que 30, entonces, puede emplearse el intervalo de confianza de la distribución normal. Sin embargo, cuando se toman muestras pequeñas se supone que las poblaciones de interés están distribuidas de manera normal, y los intervalos de confianza se basan en la distribución t.

  Si, y son las medias y las varianzas de dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas pero iguales, entonces un intervalo de confianza del 100(1-a) por ciento para la diferencia entre medias es:

En donde:

Es el estimador combinado de la deviación estándar común de la población con n1 + n2 -2 grados de libertad.

Ejemplo 1

 Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cementos. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.

SOLUCION El estimador combinado de la desviación estándar es:

 Al calcularle raíz cuadrada a este valor nos queda que =4.41

Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias.

Ejemplo 2

 Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo se distribuye normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Suponga varianzas iguales.

SOLUCION

Con un nivel confianza del 95% se sabe que el tiempo promedio para alcanzar un nivel específico es mayor para el medicamento B.

Conclusión  Los conceptos antes mencionados han sido analizados e investigados de tal manera de hacer más fácil su comprensión y entendimientos ya que la estadística es la ciencia que trata de entender, organizar y tomar decisiones que estén de acuerdo con los análisis efectuados. La estadística juega un papel muy importante en nuestras vidas, ya que actualmente ésta se ha convertido en un método muy efectivo para describir con mucha precisión los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, además, sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico ha evolucionado mucho, ya no consiste sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información, ahora tiene un papel mucho más importante del que tenia en años pasados.  Es de vital importancia para nuestra vida profesional venidera, que manejemos estos conceptos con facilidad, así mismo el que los usemos de la manera apropiada, siempre en pro de buscar soluciones a los problemas que se nos puedan presentar.

Bibliografía •

Cebrian, M. J. (2001). Educaci9on . Obtenido de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/inferencia_estadistica/estimac.htm

•

DIAPOSITIVAS. (s.f.). Obtenido de http://plataforma.edu.pe/pluginfile.php/256189/mod_resource/content/1/INTERVALOS%20DE%20CONFIANZA.pdf

•

DIAPOSITIVAS. (s.f.). Obtenido de http://www.geociencias.unam.mx/~ramon/EstInf/Clase10.pdf

•

ICESI. (s.f.). Obtenido de http://www.icesi.edu.co/blogs/paoladministradora/files/2012/06/Int%C3%A9rvalo-de-confianza-para-la-varianza.pdf

•

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA. (s.f.). Obtenido de http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03d.html

•

PDF. (s.f.). Obtenido de http://www.ing.unlp.edu.ar/fismat/estadistica/estadistica/archivos/Capitulo6-Estimacion_de_varianzas_proporciones .pdf

•

Rada, G. (2007). UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE. Obtenido de http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/epianal9.htm

•

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. (s.f.). Obtenido de