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ESTADISTICA APLICADA

ESTIMACION DE PARAMETROS (Una Poblaciòn) 1

Por Aracelli Poémape – 2018 I UNC

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana” FACULTAD DE INGENIERIA

CONTENIDO: •

Estimación puntual

para el promedio, la varianza y la proporción

poblacional. •

Estimación interválica para el promedio, la varianza y la proporción poblacional.

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LOGRO DE LA SESION:

Al término de la sesión, el estudiante de ingeniería, resuelve ejercicios, aplicando los diferentes tipos de estimación con información obtenida de una muestra, de manera precisa.

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CASO DE APLICACIÓN 1: CONTENIDO DE CALCIO EN CEMENTO El departamento de investigación de una fábrica que produce cemento, llevó a cabo un estudio para estimar el contenido promedio de calcio, que contienen sus bolsas de cemento. Se seleccionaron 16 bolsas y se midió la cantidad de calcio (gramos por kilo), lo que se detalla a continuación. 2.26 2.40 3.02 3.21 2.98 3.12 3.05 3.12 2.85 3.10 3.03 2.88 2.92 3.15 3.22 3.14

Se desea saber si con la información facilitada de las 16 bolsas de cemento, se puede estimar un intervalo de confianza del 95%, para el contenido promedio real de calcio, en todas las bolsas de cemento que se produce en la fábrica. 4

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•Aleatoria •Representativa • Adecuada

S2

Proporción Poblacional

σ2

Varianza Poblacional

PARÁMETROS 5

μ

Varianza Muestral Proporción Muestral

X

Media Muestral

Media Poblacional

INFERENCIA ESTADÍSTICA

ESTIMADORES

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El procedimiento mediante el cual, a partir del conocimiento de las características de la muestra, que llamaremos estimadores, inferimos las características de la población, se llama ESTIMACIÓN.

Se divide en: 1) Estimación puntual 2) Estimación por intervalos

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. Los estimadores estadísticos deben cumplir con algunas propiedades, como ser:

Insesgados. Es decir, el promedio de todas las posibles medias muestrales debe ser igual a la media poblacional. Consistentes. Significa que conforme se incrementa el tamaño de la muestra n la estimación se acerca cada vez más al parámetro poblacional. Eficientes. Deben tener varianza mínima. De 2 estimadores insesgados es más eficiente el que tiene menor varianza.

Suficientes. Deben contener toda la información de la muestra

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La Estimación Puntual consiste en obtener un único valor, calculado a partir de observaciones muestrales y que es utilizado como estimación del valor del parámetro.

Una estimación puntual es el valor de la estadística de la muestra correspondiente.

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ESTIMADORES

PARAMETROS µ P σ2 µ1 -µ2 P1 – P2

σ21 /σ22

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: Media Poblacional : Proporción Poblacional : Varianza Poblacional :Diferencia de Medias Poblacionales :Diferencia de Proporciones Poblacionales. :Cociente de varianzas Poblacionales

X p S2 X1 – X2

: Media Muestral : Proporción Muestral : Varianza Muestral : Diferencia de Medias Muestrales p1 – p2 : Diferencia de proporciones muestrales S 21 / S22 : Cociente de Varianzas Muestrales

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n

X

X 

X i 1

X  Xi 1 x n X  p  n

n

i

i 1

i

n

n

n

x p n

i

x p n

x = Todos los elementos que tienen la característica de interés. n= Tamaño de la muestra

muestral n:n: tamaño tamaño muestral

n: tamaño muestral n

S  2

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 ( X i  X )2 i 1

n 1

x: número de elementos en la muestra que presentan la 2 x: número encaracterística de interés (nX i de X )elementos n

 la muestra que presentan la

(X

 X)

i 1 2 S 2 característica de interés n 1 i 2 i 1

S 

n 1

x: número de elementos la muestra que presenta característica de interés

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Se está realizando una investigación acerca del porcentaje de óxido de calcio de 25 muestras de cemento aluminoso*/. Los porcentajes son los siguientes: 41 34 34 41 36

36 35 41 36 37

40 41 37 38 36

41 37 39 41 34

34 37 36 40 41

•Estime puntualmente el porcentaje promedio de óxido de calcio •Estime puntualmente la variabilidad del porcentaje de óxido de calcio.

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*/

El cemento aluminoso se produce principalmente a partir de la bauxita con impurezas de óxido de hierro (Fe2O3), óxido de titanio (TiO2) y óxido de silicio (SiO2). Adicionalmente se agrega óxido de calcio o bien carbonato de calcio. El cemento aluminoso también recibe el nombre de «cemento fundido», pues la temperatura del horno alcanza hasta los 1.600 °C, con lo que se alcanza la fusión de los componentes. El cemento fundido es colado en moldes para formar lingotes que serán enfriados y finalmente molidos para obtener el producto final.

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•Estime puntualmente el porcentaje promedio de óxido de calcio n

X 

X i 1

n

i

x p = (41+36 + ……+34+41) nx / 25

= 297.3 / 20 = 37.72

X  p •El promedio de óxido de calcio del cemento aluminoso, X porcentaje  es de 37.72 n n X% ( X )  n

i 1 n: tamaño muestral

i

n

2

i

x: número de elementos en la muestra que presentan la característica de interés

S 2  i 1 n 1 n: tamaño muestral •Estime puntualmente la variabilidad del x: número de elementos en n la muestra que presentan la ( X i  X )2 característica de interés

S  2

 i 1

n 1

porcentaje de óxido de calcio

= 2.638

•La variabilidad del porcentaje de óxido de calcio del cemento aluminoso, con respecto a su promedio, es de 2.38 (%) 2

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Un ingeniero, desea determinar el porcentaje de planchas de acero inoxidable, defectuosas en su producción. Una muestra de 100 de estas planchas, mostró que hay 8 defectuosas . * Estime puntualmente la proporción de planchas inoxidables defectuosas, en la producción del Ingeniero.

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x p n

Xi

n

= 8/100 = 0.08

stral

 X )2

x: número de elementos en la muestra presentan la El que porcentaje característica de interés

de planchas de acero inoxidables defectuosas en la producción del Ingeniero es del 8%

1

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Al 95% de confianza

= 1-α

1 - α = 0.95 α/2 = 0.025

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α/2 = 0.025

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Al 95% de confianza

= 1-α

α = 0.05

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1 - α = 0.95

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Al 95% de confianza

= 1-α

1 - α = 0.95

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α = 0.05

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1. ERROR TIPO I: α •Es la probabilidad de que el intervalo confidencial obtenido a partir de una muestra no contenga al valor del parámetro; es decir es la probabilidad de equivocarse o de tomar equivocadamente la muestra. •El valor de α es elegido por el investigador, sin embargo se dice que debe estar dentro del siguiente rango: 0.01 < α < 0.20. •Al complemento de α es decir (1- α) se denomina NIVEL DE CONFIANZA, y viene a ser la probabilidad de que el intervalo confidencial obtenido a partir de una muestra si contenga al verdadero valor del parámetro.

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2. COEFICIENTE DE CONFIANZA: Z

• Es un valor tabular asociado a un nivel de confianza ( 1- α ). •Cuando los parámetros son conocidos generalmente se unas la DISTRIBUCION NORMAL ESANDARIZADA, con los siguientes coeficientes de z1-a/2, para los niveles de confianza más común. VALORES DE NORMAL ESTANDARIZADA(Z) Nivel de confianza (1-a) 90% 95% 98% 99%

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= = = =

0.90 0.95 0.98 0.99

Nivel de significancia (a)

Bilateral

Unilateral

10% = 0.10 5% = 0.05 2% = 0.02 1% = 0.01

1.64 1.96 2.32 2.57

1.28 1.64 2.05 2.32

Valor Z

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CASUISTICA 1:

       x  z1a / 2 * , x  z1a / 2 *  n n 

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CASUISTICA 1:

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CASUISTICA 2:

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CASUISTICA 3:

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CASUISTICA 4:

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1º

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0

5

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=

= 37

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ESTIMACIÓN INTERVÁLICA PARA MEDIA POBLACIONAL (Μ) CASO A: Cuando  2 es conocida y n≥ 30

Cuando  2 es conocida n