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INSTITUTO TECNÓLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS

INGENIERIA EN MECATRÓNICA Análisis de circuitos eléctricos

Unidad 3 Técnicas de análisis de circuitos de CA Ricardo López Salazar Prof.: Rogelio Galván Ramos 27/05/2018

3.1 características de la onda senoidal Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de Altern Current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas: • La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna. • Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier.

• Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica. • Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores. Onda sinusoidal

Figura 2: Parámetros característicos de una onda senoidal Una señal sinusoidal, a(t), tensión, v(t), o corriente, i(t), se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos (figura 2), como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación: donde A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico), ω la pulsación en radianes/segundo, t el tiempo en segundos, y β el ángulo de fase inicial en radianes. Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros, la fórmula anterior se suele expresar como:

donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del período . Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz. Valores significativos A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal: • Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado. • Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es −1, una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0. • Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que su expresión es la siguiente: • Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período: En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.). Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene dado por la expresión:

El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una carga. Así, si una tensión de corriente continua (CC), VCC, desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de CA de Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC. Para ilustrar prácticamente los conceptos anteriores se consida, por ejemplo, la corriente alterna en la red eléctrica doméstica en Europa: cuando se dice que su valor es de 230 V CA, se está diciendo que su valor eficaz (al menos nominalmente) es de 230 V, lo que significa que tiene los mismos efectos caloríficos que una tensión de 230 V de CC. Su tensión de pico (amplitud), se obtiene despejando de la ecuación antes reseñada: Así, para la red de 230 V CA, la tensión de pico es de aproximadamente 325 V y de 650 V (el doble) la tensión de pico a pico. Su frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la onda sinusoidal tarda 20 ms. en repetirse. La tensión de pico positivo se alcanza a los 5 ms de pasar la onda por cero (0 V) en su incremento, y 10 ms después se alcanza la tensión de pico negativo. Si se desea conocer, por ejemplo, el valor a los 3 ms de pasar por cero en su incremento, se empleará la función sinsoidal: Representación fasorial Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las siguientes características: • Girará con una velocidad angular ω. • Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.

Figura 3: Representación fasorial de una onda senoidal La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna. Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea el siguiente:

Figura 4: Ejemplo de fasor tensión (E. P.: eje polar). Tomando como módulo del fasor su valor eficaz, la representación gráfica de la anterior tensión será la que se puede observar en la figura 4, y se anotará:

denominadas formas polares, o bien:

denominada forma binómica.

3.2 concepto de fasor y diagramas fasoriales

Un fasor es una representación gráfica de un número complejo que se utiliza para representar una oscilación, de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar la magnitud y fase de la oscilación resultante de la superposición de varias oscilaciones en un proceso de interferencia. Los fasores se utilizan directamente en ingeniería eléctrica, óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e ytiene diferentes significados físicos. Los fasores se usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo: "existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, ¿cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y después se aplica la suma fasorial (similar a la suma vectorial) sobre ellos. La longitud del fasor resultante es la amplitud de la oscilación resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Nótese que mientras que la suma de varias oscilaciones sinusoidales no es necesariamente otra oscilación sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia sí lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante.

j

,

,

,

,

3.3 concepto de impedancia y admitancia La impedancia (Z) es una medida de oposición que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica una tensión. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna (CA), y posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que sólo tiene magnitud. Cuando un circuito es alimentado con corriente continua (CC), su impedancia es igual a la resistencia, lo que puede ser interpretado como la impedancia con ángulo de fase cero. Por definición, la impedancia es la relación (cociente) entre el fasor tensión y el fasor intensidad de corriente:

Donde Z es la impedancia, V es el fasor tensión e, I corresponde al fasor intensidad. El concepto de impedancia tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso las magnitudes se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces inadecuadamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es la reactancia. El concepto de impedancia permite generalizar la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (CA), dando lugar a la llamada ley de Ohm

de corriente alterna que indica:

El término fue acuñado por Oliver Heaviside en 1886. En general, la solución para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias, condensadores e inductancias y sin ningún componente de comportamiento no lineal, son soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero, cuando todos los generadores de tensión y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes, las soluciones en estado estacionario (cuando todos los fenómenos transitorios han desaparecido) son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la

misma frecuencia que los generadores y amplitud constante. La fase, sin embargo, se verá afectada por la p arte imaginaria (reactancia) de la impedancia. .

3.4 simplificación de circuitos RLC serie y paralelo

1. Circuito en paralelo RLC En un circuito RLC que presente los tres elementos conectados en paralelo, la tensión total aplicada al circuito es la misma que la que tenemos en bornes de cada elemento, mientras que la intensidad que circula para cada uno de ellos es distinta y depende de los efectos de la R, de la L y de la C. Por tanto, la intensidad que circula por la resistencia está en fase con la tensión aplicada y su valor, que es independiente de la frecuencia, será:

Utilizando la notación compleja:

La intensidad que circula por la bobina está retrasada π/2 respecto a la tensión aplicada y su valor está limitado por la reactancia inductiva XL, que es directamente proporcional a la frecuencia, siendo esta intensidad:

Por la capacidad circula una intensidad que está adelantada π/2 respecto a la tensión y cuyo valor está limitado por la reactancia capacitiva XC, que es inversamente proporcional a la frecuencia, siendo:

Y utilizando la notación compleja:

Por tanto, aplicando la primera ley de Kirchoff y utilizando la notación compleja, la intensidad total que absorbe el circuito es:

Teniendo en cuenta la ley de Ohm generalizada:

Obtendremos la impedancia compleja del circuito:

Siendo el módulo de la impedancia:

Y el ángulo:

2. Método de las admitancias En los circuitos en paralelo de corriente alteña el cálculo se simplifica utilizando el concepto de admitancia.

La admitancia, Y, de un elemento o de una rama de un circuito es el cociente entra la intensidad que circula a través de dicho elemento o rama y la tensión aplicada entre sus extremos.

La admitancia es la inversa de la impedancia.

Siendo Escribiendo la impedancia en forma compleja:

Ψ=-φ

Donde G es la conductancia y B la susceptancia. Siendo:

Y:

La susceptacia será negativa si el circuito es inductivo y positiva si es capacitivo. Admitancia, conductancia y susceptancia se miden en siemens (S) Para un circuito con n impedancias en paralelo, aplicamos la ley de Ohm a cada rama y calculamos la intensidad total:

Como Y=1/Z, sustituimos y nos queda:

Siendo la admitancia de entrada o equivalente y su unidad, el siemens. Para sumar las admitancias parciales se deben de expresar en su forma binómica:

Para resolver los circuitos se convertirán las impedancias de todas las ramas en admitancias, luego se haya la admitancia equivalente y, por último, la impedancia total del circuito. Además podemos hallar las intensidades de cada una de las ramas utilizando la admitancia:

3. Caso particular de dos impedancias en paralelo Para un circuito formado por dos impedancias Z1 y Z2 sometidas a una tensión alterna de valor U, tendremos:

Operando:

3.6 teorema de superposición

Teorema de superposición El teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de la tensión en sus extremidades). El teorema de superposición ayuda a encontrar:  

Valores de tensión, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente independiente. Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente independiente.

Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una impedancia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de tensión restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto. Suponga que en un circuito hay una cantidad n de fuentes independientes E (tanto de tensión como de corriente). En el caso de una tensión específica, la respuesta sería dada por la suma de las contribuciones de cada fuente; dicho de otro modo:

La corriente, al igual que la tensión, estaría dada por la suma de las contribuciones de cada fuente independiente.

Interés del teorema En principio, el teorema de superposición puede utilizarse para calcular circuitos haciendo cálculos parciales, como hemos hecho en el ejemplo precedente. Pero eso no presenta ningún interés práctico porque la aplicación del teorema alarga los cálculos en lugar de simplificarlos. Otros métodos de cálculo son mucho más útiles, en especial a la hora de tratar con circuitos que poseen muchas fuentes y muchos elementos. El verdadero interés del teorema de superposición es teórico. El teorema justifica métodos de trabajo con circuitos que simplifican verdaderamente

los cálculos. Por ejemplo, justifica que se hagan separadamente los cálculos de corriente continua y los cálculos de señales (corriente alterna) en circuitos con Componentes activos (transistores, amplificadores operacionales, etc.). Otro método justificado por el teorema de superposición es el de la descomposición de una señal no sinusoidal en suma de señales sinusoidales (ver descomposición en serie de Fourier). Se reemplaza una fuente de tensión o de corriente por un conjunto (tal vez infinito) de fuentes de tensión en serie o de fuentes de corriente en paralelo. Cada una de las fuentes corresponde a una de las frecuencias de la descomposición. Por supuesto no se hará un cálculo separado para cada una de las frecuencias, sino un cálculo único con la frecuencia en forma literal. El resultado final será la suma de los resultados obtenidos remplazando, en el cálculo único, la frecuencia por cada una de las frecuencias de la serie de Fourier. El enorme interés de esto es el de poder utilizar el cálculo con el formalismo de impedancias cuando las señales no son sinusoidales.

3.7 teorema de thevenin y Norton

.

.

.

SDFARG ASDG ASFG AFG AFG AFG

3.8 teorema de máxima transferencia de potencia Las fuentes de voltaje reales tienen el circuito equivalente de la fugura de abajo, donde V = I x Ri + VL Si el valor de Ri (resistencia interna en las fuentes de alimentación) es alto, en la carga aparecerá solamente una pequeña parte del voltaje debido a la caída que hay en la resistencia interna de la fuente. Si la caída en la resistencia interna es pequeña (el caso de la fuentes de tensión nuevas con Ri pequeña) casi todo el voltaje aparece en la carga. Si en el circuito anterior Ri = 8 Ohmios, RL = 8 Ohmios y V = 24 Voltios, entonces I = V / Ri + RL = 24 / 16 = 1.5 amperios. Esto significa que la tensión en RL es: VRL = I x R = 1.5 x 8 = 12 Voltios. Este dato nos dice que cuando la resistencia interna y RL son iguales solo la mitad de la tensión original aparece el la carga (RL). La potencia en RL será: P = I2 x RL = 1.52 x 8 = 18 Watts (vatios), lo que significa que en la resistencia interna se pierde la misma potencia.

Si ahora se aumenta y disminuye el valor de la resistencia de carga y se realizan los mismos cálculos anteriores para averiguar la potencia entregada a la carga se puede ver que esta siempre es menor a los 18 Watts que se obtienen cuando RL = Ri (recordar que Ri siempre es igual a 8 ohmios). – Si RL = 4 ohmios  

I = V / Ri + RL = 24 / 12 = 2 amperios P = I2 x RL = 22 x 4 = 16 Watts – Si RL = 12 ohmios  

I = V / Ri + RL = 24 / 20 = 1.2 amperios P = I2 x RL = 1.22 x 12 = 17.28 Watts Así se se concluye que el teorema de máxima entrega de potencia dice: “La potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia de carga RL sea igual a la resistencia interna de la fuente Ri” Nota: Cuando es importante obtener la máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga debe adaptarse a la resistencia interna en las fuentes de voltaje.