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Unidad 2 Tarea 5: Ejercicios de funciones, Trigonometría e Hipernometría

Jornebye Jozdanny Palma Rojas Código: 1.110.062.727 Pablo Emilio López Código: 1.108.980.39

Grupo: 297

Gloria Alejandra Rubio Tutora del Curso

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA CEAD IBAGUE 15/04/2017

Introducción

Este trabajo es realizado según el desarrollo de la unidad 2 “Funciones, Trigonometría e Hipernometria” del curso Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica dado por la Universidad Nacional Abierta A Distancia. También con las referencias bibliográficas requeridas dadas por la anteriormente mencionada, con el fin de reforzar el aprendizaje y los conocimientos obtenidos de la educación media y requeridos en la educación superior para aplicarlos a diferentes ámbitos de trabajo. Se da la solución a diferentes problemas propuestos por la guía integrada de actividades académicas de algebra, trigonometría y geometría analítica; los temas que se desarrollan en el siguiente trabajo son: Funciones, Trigonometría e Hipernometría.

Problema 1. Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra 𝑓(𝑥) =

𝑥 + 16 √𝑥 − 17

Dominio: Para que el valor no tenga valores negativos ni indeterminación la x debe tomar valores mayores a 17. 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝑒𝑠 (17, ∞+ )

Rango: Como debe tomar valores mayores que 17, entonces: 𝑓(𝑥) =

18 + 16 √18 − 17

=

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑒𝑠 (34, ∞+ ) Solución Geogebra

34 √1

= 34

Problema 2

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 12𝑥 + 5 𝑓(−𝑥) = (𝑥)2 − 12(−𝑥) + 5

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 12𝑥 + 5 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟)

−

b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 √𝑥 − 17 −

𝑔(−𝑥) = (−𝑥 3 ) √(−𝑥) − 17 −

= 𝑥 3 √𝑥 − 17 (𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟)

c) 𝑙(𝑥) =

𝑙(−𝑥) = 𝑙(𝑥) =

𝑥7 𝑥3

(−𝑥)7 (−𝑥)3

𝑥7 (𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑎𝑟) 𝑥3

Problema 3 𝑓(𝑥) = 𝑥=

𝑥 − 16 7𝑥 + 9

𝑦 − 16 7𝑥 + 9

𝑥(7𝑦 + 9) = 𝑦 − 16 7𝑥𝑦 + 9𝑥 = 𝑦 − 16

7𝑥𝑦 − 𝑦 = −16 − 9𝑥 −7𝑥𝑦 + 𝑦 = −16 + 9𝑥 𝑦(−7𝑥 + 1) = 16 + 9𝑥 𝑦=

16 + 9𝑥 −7𝑥 + 1

𝑦=

−9𝑥 − 16 7𝑥 − 1

Problema 4. Determine el rango de la siguiente función 𝑓(𝑥) = Rango: Como debe tomar valores mayores que 17, entonces: 𝑓(𝑥) =

𝑥−7 = 12𝑥 + 2

𝑥−7 12𝑥+2

y compruebe con Geogebra.

Observando la función no existe valores que hagan indeterminante la función, por lo tanto el Rango son todos los ℝ. R = x Є ℝ Solución Geogebra

Problema 5. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2) Determine analíticamente y compruebe con Geogebra a. b. c. d.

𝑓+𝑔 𝑔∗𝑓 (𝑓 𝑜 𝑔) (𝑔 𝑜 𝑓)

a. (f + g) (x) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑥 − 2 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 (f + g) (x) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2

b. (g - f) (x) = = (𝑥 + 2) ∗ (𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 3 − 4𝑥 4 + 6𝑥 (g - f) (x) = −3𝑥 4 + 3𝑥 2 + 6𝑥

c. (f o g) (x) = = (𝑥 + 2)3 − 2(𝑥 + 2)2 + 3(𝑥 + 2) (f o g) (x) = = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8 − 2(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 3𝑥 + 6 (f o g) (x) = = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8 − 2𝑥 2 − 8𝑥 − 8 + 3𝑥 + 6 (f o g) (x) = = 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 7𝑥 + 6

d. (g o f) (x) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 + 2 (g o f) (x) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 + 2

Problema 6. Una sustancia radioactiva se transforma en otro elemento siguiendo la siguiente ley: 𝑥 = 𝐵𝑒 −0.3𝑡 Donde 𝑥 es la cantidad de sustancia presente después de t años.

a. Un ingeniero químico desea calcular que cantidad habrá después de 5 años si la cantidad inicial de B es 100 gramos? 𝑥 = 100𝑒 −0.3(5) 𝒙 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟏 𝒈

b. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo que tarda en descomponerse a la mitad de su cantidad, calcular la vida media de la sustancia siendo 𝐵 = 100 gramos, compruebe el ejercicio con Geogebra.

𝑥=

100 = 50𝑔 2

𝑥 = 100𝑒 −0.3(5) 50 = 100 𝑒 −0.3𝑡 50 = 𝑒 −0.3𝑡 100 1 = 𝑒 −0.3𝑡 2 1 ln = 𝑙𝑛 ∗ 𝑒 −0.3𝑡 2 1 ln = −0.3𝑡 2

ln 0.5 =𝑡 −0.3 𝒕 = 𝟐. 𝟑𝟏 𝒂ñ𝒐𝒔

Problema 7. Realizar las siguientes conversiones y comprobar con Geogebra. a. Convertir a grados. 

𝟐𝟑𝝅 𝟑

𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔.

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =

180 23𝜋 ∗ 𝜋 3

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =

4140𝜋 3𝜋

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 1380º Solución Geogebra



𝟒𝟓𝝅 𝟒

𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔.

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =

180 45𝜋 ∗ 𝜋 4

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =

8100𝜋 4𝜋

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 2025º Solución Geogebra



𝟏𝟐𝝅 𝟓

𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔. 180 12𝜋 𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = ∗ 𝜋 5 𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 =

2160𝜋 5𝜋

𝑌𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 432º Solución Geogebra

b. Convertir a radianes. 

A cuantos radianes equivale 𝟗𝟎𝟎

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

𝜋 ∗ 90º 180º

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

90𝜋 180

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

𝜋 2

Solución Geogebra



A cuantos radianes equivale 𝟕𝟓𝟒𝟎

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

𝜋 ∗ 754º 180º

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

754𝜋 180

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

377𝜋 90

Solución Geogebra



A cuantos radianes equivale 𝟑𝟑𝟕𝟎

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

𝜋 ∗ 337º 180º

𝑋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =

337𝜋 180

Solución Geogebra

Problema 8. Si un triángulo ABC tiene lados 𝑎 = 300 𝑏 = 145𝑚 𝑦 𝑐 = 220𝑚.Calcular los ángulos α, β, γ. Comprobar con Geogebra. A= α

c= 220 m

b=145 m

C=γ

B=β

a= 300 m

Aplicamos el teorema del seno: Calculo del angulo A: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠 (𝐶) 𝐶𝑜𝑠 (𝐶) =

𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 2𝑎𝑏

𝐶𝑜𝑠 (𝐶) =

3002 + 1452 − 2202 2(300)(145)

𝐶𝑜𝑠 (𝐶) = 0.72 𝐶 = cos −1 0.72 𝐶 = 43.94º

Calculo del angulo B: 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠 (𝐵) 𝐶𝑜𝑠 (𝐵) =

𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑐 2 2𝑎𝑐

𝐶𝑜𝑠 (𝐵) =

3002 − 1452 + 2202 2(300)(220)

𝐶𝑜𝑠 (𝐵) = 0.89 𝐵 = cos−1 0.89 𝐵 = 27.12º Finalmente calculamos A: A= 180º - (27.12+43.94)=108.94 A= 108.94º Problema 9. Se requiere diseñar un tobogán como la muestra la gráfica, calcular la longitud del tobogán según las indicaciones dadas.

h1=9.99 L3

F1 L4 =9.39

h2=19.97

F2

h3= 15.60

L2 =14.1 F3

L1= 14.99

𝑭𝟏 = 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟏 𝑠𝑒𝑛 20 =

3.42 ℎ1

ℎ1 = 9.99

𝑡𝑎𝑛 20 =

3.42 𝑥1

𝑥1 = 9.39 = 𝐿4 𝑭𝟐 = 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟐 𝑠𝑒𝑛 45 =

14.1 ℎ2

ℎ2 = 19.94 𝑡𝑎𝑛 45 =

14.1 𝑥2

𝑥2 = 14.1

𝑭𝟑 = 𝑭𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟑

𝑠𝑒𝑛 16.07 =

4.32 ℎ3

ℎ3 = 15.60

𝑡𝑎𝑛 16.07 =

4.32 𝑥3

𝑥3 = 14.99

𝐿3 = 53.58 − (𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿4 ) 𝐿3 = 53.58 − (14.99 + 14.1 + 9.39) 𝐿3 = 53.58 − (38.48) 𝐿3 = 15.1

𝑳𝑻 = 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒐𝒃𝒐𝒈á𝒏 𝐿 𝑇 = ℎ1 + 𝐿3 + ℎ2 + ℎ3 𝐿 𝑇 = 9.99 + 15.1 + 19.97 + 15.60 𝐿 𝑇 = 9.99 + 15.1 + 19.97 + 15.60 𝑳𝑻 = 𝟔𝟎. 𝟔𝟔 Problema 10. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°. 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) − 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 0

1 1 1 1 − cos(2𝑥) − ( + cos(2𝑥)) = 0 2 2 2 2 1 1 1 1 − cos(2𝑥) − − cos(2𝑥) = 0 2 2 2 2 1 1 − cos(2𝑥) − cos(2𝑥) = 0 2 2 − cos(2𝑥) = 0 −(1 − 2𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)) = 0 −1 + 2𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) = 0 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) =

1 2

1 √𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) = √ 2 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 = √ 2 1 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 √ 2 𝒙 = 𝟒𝟓º 𝒚 𝟐𝟐𝟓º