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INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO INGENIERÍA ELECTROMECANICA ING. ARQUIMIDES RAMÍREZ FRANCO

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UNIDAD 1: SISTEMAS DE CONTROL

1.1 MARCO CONCEPTUAL

El control automático estudia los modelos matemáticos de sistemas dinámicos, sus propiedades y el cómo modificar éstas mediante el uso de otro sistema dinámico llamado controlador. El ser humano utiliza constantemente sistemas de control en su vida cotidiana, como en su vista, en su caminar, al conducir un automóvil, al regular la temperatura de su cuerpo y otros. De igual manera, en el mundo tecnológico constantemente se utilizan sistemas de control. Los conocimientos de esta disciplina se aplican para controlar procesos químicos, todo tipo de maquinaria industrial, vehículos terrestres y aeroespaciales, robots industriales, plantas generatrices de electricidad y otros.

El Control Automático juega un papel fundamental en los sistemas y procesos tecnológicos modernos. Los beneficios que se obtienen con un buen control son enormes. Estos beneficios incluyen productos de mejor calidad, menor consumo de energía, minimización de desechos, mayores niveles de seguridad y reducción de la polución. Es evidente que el especialista en control automático puede contribuir significativamente en diversas áreas de la tecnología moderna. El área de mayor impacto en la actualidad es la de automatización de procesos de manufactura. El control ha evolucionado desde básicos sistemas mecánicos, hasta modernos controladores digitales. En un principio, los sistemas de control se reducían prácticamente a reacciones; éstas eran provocadas mediante contrapesos, poleas, fluidos, etc. A principios del siglo pasado, se comenzó el trabajo con modelos matemáticos más estrictos para realizar el control automático. Se inició por ecuaciones diferenciales; a mediados de siglo, surgió el análisis de la respuesta en frecuencia y lugar geométrico de las raíces. Con el surgimiento de sistemas digitales que posibilitan el análisis en el dominio del tiempo, los sistemas de control moderno se basaron en éste y las variables de estado. Surgió en el último cuarto del siglo XX el control difuso, basado en la lógica difusa y toma de decisiones. El control difuso posee técnicamente la capacidad de tomar decisiones imitando el comportamiento humano y no basándose en estrictos modelos matemáticos. En la actualidad la automática se concibe como la construcción de autómatas, máquinas a las que considera dotadas de una “vida” en relación con el entorno que las rodea.

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1.1.1 CONTROL, SISTEMA, PROCESO, ACTUADOR, VARIABLE CONTROLADA, VARIABLE MANIPULADA, SISTEMA DE CONTROL, PERTURBACION, ENTRADA DE REFERENCIA. Para entrar al estudio de los Sistemas de Control, se deben definir los siguientes términos: 

Control: esta palabra se usa para designar regulación, gobierno, dirección o comando. Es una estrategia que verifica lo que ocurre (realidad) con respecto a lo que debería ocurrir (objetivo) y de no existir concordancia se toman acciones para corregir la diferencia.

Sistema de Control Automático: Sistema que reemplaza al factor humano en la realización de tareas peligrosas, repetitivas, monótonas, que requieren especial atención. Tipos de sistemas: 

Control Automático en lazo abierto: La salida no tiene efecto sobre la entrada (acción de excitación).NO se mide, NO se realimenta para modificar la entrada. A cada entrada le corresponde una condición de trabajo fija. Sólo se puede usar el control en lazo abierto si la relación entre la entrada y la salida es conocida y si no hay perturbaciones.



Control Automático en lazo cerrado: La acción (excitación al sistema) depende de la reacción (respuesta) en cada instante del sistema.

La respuesta se compara con el valor deseado y la diferencia entre ambas (error) se utiliza para actuar sobre el proceso con el fin de reducir el error y llevar la respuesta al valor deseado.

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Variable manipulada: estímulo aplicado al proceso por el equipo de control con el fin de lograr que la variable controlada alcance el valor deseado. Variable controlada: respuesta obtenida del sistema controlado. Perturbación: 1. Señal aditiva NO deseada que tiende a afectar el valor de la salida del sistema. 2. Cualquier causa que hace que la variable controlada se desvíe de su objetivo.

Sistema: Conjunto de elementos y reglas que organizados e interrelacionados entre sí contribuyen a generar un resultado. Poseen características propias que los definen, que pueden ser constantes (parámetros del sistema) y cambiantes en el tiempo (variables del sistema) las cuales permiten determinar su comportamiento.



 Sistema: Es un ensamblaje de componentes que proporcionan acciones interrelacionadas entre si, los cuales se caracterizan por poseer parámetros inherentes que los definen y por mostrar condiciones físicas asociadas. A los parámetros de cada elemento se les denomina parámetros

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del sistema y las condiciones físicas de cada componente cambiantes con el tiempo determinan el estado del sistema en cada momento y se les denominan variables del sistema. Es potencialmente aplicable a un conjunto diverso de fenómenos. Los sistemas se definen en todas las áreas. En control lo analizaremos en el contexto de sistemas físicos que se describen por leyes de las ciencias físicas. 

Proceso: El término proceso, para los fines de control significa el equipo a automatizar en donde se estabiliza la variable de control, a través de los sensores, actuadores y controladores. Conjunto de fases consecutivas en un fenómeno natural, en un área o en una actividad, que tiene cambios de estado de acuerdo a condiciones dadas.

Ejemplo: Procesos eléctricos, mecánicos, manufactura, alimentos, energía, hidrocarburos, transporte, comunicaciones, entre otros.

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Actuador: Conjunto de equipos o elementos de maquinas que actúan juntos con el propósito de realizar una operación en particular. Ejemplo: Plantas eléctricas, de Gas, Químicas, Hidroeléctricas, energía nuclear, de fabricación, entre otros.

Plata de hidrocarburos.

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Variable Controlada: Variable a mantener dentro de ciertas condiciones. Variable Manipulada: Variable modificada intencionalmente para influir en la variable controlada. Los actuadores son los elementos finales de control, tienen por función alterar el valor de la variable manipulada con el fin de corregir o limitar la desviación del valor controlado, respecto al valor deseado. Los fabricantes actualmente proveen una serie de actuadores como: motores, válvulas, relés, y swicthes. Los actuadores más importantes son:  Actuadores Eléctricos: Son usados en la industria y en aplicaciones comerciales para posicionar dispositivos de movimientos lineal o rotacional. Tales como swicthes, relés, motores y otros.  Actuadores Neumáticos: Aceptan señales de presión pequeñas, desde los posicionado res neumáticos y mediante un diafragma, convierten estas señales en movimientos mecánicos.  Actuadores Hidráulicos: Los actuadores hidráulicos operan en forma similar a los posicionadores neumáticos, pero con una mayor fuerza de acción, para ser usados en compuertas, grúas, elevadores y otros.

VARIABLE CONTROLADA: Es el parámetro más importante del proceso, debiéndose mantener estable (sin cambios), pues su variación alteraría las condiciones requeridas en el sistema, su monitoreo a través de un sensor es una condición importante para dar inicio al control. Al analizar el ejemplo mostrado del intercambiador de calor se observa, la intención de calentar agua a través del vapor, para lo cual se deberá tener en cuenta las diversas variable de proceso como son: los flujos de vapor y agua, las presiones de vapor y las temperaturas del agua; pero, la más importante del sistema es la temperatura de salida del agua, por lo tanto la Variable Controlada.

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 VARIABLE MANIPULADA: Es el parámetro a través del cual se debe corregir las perturbaciones del proceso, colocándose un actuador para lograr estabilizar el sistema. En el ejemplo del intercambiador de calor, quien proporciona mayor o menor cantidad de energía al sistema es el ingreso de vapor, por lo tanto la variable a manipular será el flujo de ingreso de vapor.

PERTURBACION: es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Si lo perturbación se genera dentro del sistema se la denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema. Las perturbaciones actúan sobre un sistema modificando, su funcionamiento por lo que su presencia implica la necesidad de control. Normalmente las perturbaciones actúan sobre un sistema aleatoriamente. Las respuestas de un proceso a una determinada perturbación están casi siempre caracterizadas por dos constantes: una constante de tiempo (t) y una ganancia

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estática. La ganancia es la amplificación o atenuación de la perturbación en el interior del proceso y no tiene interferencia con las características de tiempo de respuesta. La constante de tiempo, es la medida necesaria para ajustar un sistema de una perturbación en la entrada y puede ser expresada como producto de: t = resistencia x capacidad. ENTRADA DE REFERENCIA: Con el controlador armado hasta el paso anterior, el sistema planta/controlador funciona correctamente como regulador: para volver al punto de equilibrio a partir de una condición inicial distinta a ese punto de equilibrio, o para el rechazo de perturbaciones. Distinto es el caso de pretender que la salida y del sistema, “siga” la evolución de una señal deseada de referencia r. El problema es cómo introducimos en el esquema anterior (figura 2), dicha señal. La manera más sencilla de realizarla es como se muestra en la figura 3, donde envés de introducir al estimador la señal medida y, se la alimenta con la diferencia entre la referencia y la medición (y-r). Esta forma de introducir la entrada a referencia es semejante a la que se utiliza en control clásico, pero como veremos no es la única manera de introducir la referencia en el sistema, y que hay maneras más convenientes que ésta. De la manera que el sistema ha sido retroalimentado, la posición de los polos de la función transferencia entre la referencia r y la salida y quedan completamente definidos. Veremos que según cómo introduzcamos esta señal de referencia r dentro del controlador, tendremos la capacidad de mover los ceros de la función de transferencia mencionada.

1.2 CONTROL EN LAZO ABIERTO Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Ejemplo 1: el

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llenado de un tanque usando una manguera de jardín. Mientras que la llave siga abierta, el agua fluirá. La altura del agua en el tanque no puede hacer que la llave se cierre y por tanto no nos sirve para un proceso que necesite de un control de contenido o concentración. Ejemplo 2: Al hacer una tostada, lo que hacemos es controlar el tiempo de tostado de ella misma entrando una variable (en este caso el grado de tostado que queremos). En definitiva, el que nosotros introducimos como parámetro es el tiempo. Estos sistemas se caracterizan por: 

Ser sencillos y de fácil concepto.



Nada asegura su estabilidad ante una perturbación.



La salida no se compara con la entrada.



Ser afectado por las perturbaciones. Éstas pueden ser tangibles o intangibles.



La precisión depende de la previa calibración del sistema.

En estos sistemas la variable controlada no se retroalimenta. La conformidad entre el valor alcanzado por la variable controlada y su valor de referencia depende de la calibración, y consiste en establecer una relación entre la variable manipulada y la variable controlada. Estos sistemas solo son útiles en ausencia de perturbaciones.

En estos sistemas de control la salida no tiene efecto sobre la acción de control, es decir no se compara la salida con la entrada de referencia. Por lo tanto, para cada entrada de referencia corresponde una condición de operación fija. Así, la precisión del sistema depende de la calibración y del operador cuya función será la del controlador.

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En presencia de perturbaciones, un sistema de control de lazo abierto no cumple su función asignada, por no tener una forma de conocer el resultado del control efectuado o salida del proceso. En la práctica el control de lazo abierto sólo se utiliza si la relación entre la entrada y la salida es conocida y si no se presentan perturbaciones tanto internas como externas significativas. Analizamos el control manual de la figura 5, donde el operador mide la temperatura de salida, compara el valor deseado, calcula cuanto más abrirá la válvula de vapor, y hace las correcciones correspondientes. En la figura 7 se muestra un control de concentración de una solución salina donde se puede observar que la salida no modifica la posición de la válvula de la solución concentrada en caso de perturbaciones externas al sistema.

Luego podemos afirmar que los fundamentos de un sistema de control automático en este sistema deben de provenir de las funciones básicas del control manual realizadas por un ser humano. Sus características más importantes son: 

Fácil montaje y mantenimiento

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     

Bajo costo No tiene problemas de estabilidad Nada asegura su estabilidad ante una perturbación La salida no se compara con la entrada Afectado por las perturbaciones La precisión depende de la previa calibración del sistema.

Los sistemas de control de lazo abierto son sistemas de control en los que la salida no tiene efecto sobre la señal o acción de control. Se produce cuando la salida del sistema vuelve a ingresar al sistema para la acción de control. Este esquema se llama retroalimentación permite el control automático de un sistema. Los elementos de un sistema de control en lazo abierto, se pueden dividir en dos partes: el controlador, y el proceso controlado. Una señal de entrada o comando se aplica al controlador, cuya salida actúa como una señal de control o señal actuante, la cual regula el proceso controlado, de tal forma que la variable de salida o variable controlada se desempeñe de acuerdo a ciertas especificaciones o estándares establecidos. En los casos simples, el controlador puede ser un amplificador, filtro, unión mecánica u otro elemento de control. En los casos más complejos puede ser una computadora tal como un microprocesador. En los sistemas de control de lazo abierto, no se compara la salida con la entrada de referencia. Por lo tanto, para cada entrada de referencia corresponde una condición de operación fijada. Así la exactitud del sistema depende de la calibración. Calibrar significa establecer una relación entre la entrada y la salida con el fin de obtener del sistema la exactitud deseada. Así la exactitud del sistema depende de la calibración. Hay que hacer notar que cualquier sistema de control que actúa sobre una base de control de tiempo (temporizador), es un sistema de lazo abierto. Los sistemas de lazo abierto son económicos pero normalmente inexactos. Un sistema de control de lazo abierto es insensible a las perturbaciones; por consiguiente un sistema de control de este tipo es útil cuando se tiene la seguridad que no existen perturbaciones actuando sobre el mismo. En la práctica solo se puede usar el control de lazo abierto si la relación entre la entrada y la salida es conocida, y si no hay perturbaciones internas ni externas importantes. De lo dicho anteriormente no deberá concluirse que los sistemas de control de lazo abierto sean ineficaces. Debido a la simplicidad y economía se los

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utiliza en muchas aplicaciones no críticas. Es aquel en el que la salida no influye sobre la acción de control.

1.2.1 REPRESENTACION MEDIANTE DIAGRAMA DE BLOQUES Es la representación gráfica de los diferentes procesos de un sistema y el flujo de señales donde cada proceso tiene un bloque asignado y éstos se unen por flechas que representan el flujo de señales que interaccionan entre los diferentes procesos. Las entradas y salidas de los bloques se conectan entre sí con líneas de conexión o enlaces. Las líneas sencillas se pueden utilizar para conectar dos puntos lógicos del diagrama, es decir:   

Una variable de entrada y una entrada de un bloque Una salida de un bloque y una entrada de otro bloque Una salida de un bloque y una variable de salida

Se muestran las relaciones existentes entre los procesos y el flujo de señales de forma más realista que una representación matemática. Del mismo modo, tiene información relacionada con el comportamiento dinámico y no incluye información de la construcción física del sistema. Muchos sistemas diferentes se representan por el mismo diagrama de bloques, así como diferentes diagramas de bloques pueden representar el mismo sistema, desde diferentes puntos de vista.

Un proceso o sistema de control es un conjunto de elementos interrelacionados capaces de realizar una operación dada o de satisfacer una función deseada. Los sistemas de control se pueden representar en forma de diagramas de bloques, en los que se ofrece una expresión visual y simplificada de las relaciones entre la entrada y la salida de un sistema físico. A cada componente del sistema de control se le denomina elemento, y se representa por medio de un rectángulo. El diagrama de bloques más sencillo es el bloque simple, que consta de una sola entrada y de una sola salida.

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Diagrama de bloques típico de un sistema de control retroalimentado para un sistema mecánico

1.2.2 ANALISIS DE EJEMPLOS REALES Diseñar un diagrama de bloques que muestre el sistema de control para un aire acondicionado integral de una vivienda, identificando los cuatro elementos básicos del control y las variables principales (Referencia, Controlada, Disturbio).

1.3 CONTROL EN LAZO CERRADO Se denomina sistema de control de lazo cerrado cuando frente a presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida del sistema y el valor deseado o “set point”. El principio de funcionamiento consiste en medir la variable controlada mediante los captadores o sensores, convertirla en señal y

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retroalimentarla para compararla con la señal de entrada de referencia. La diferencia entre ésta y la señal retroalimentada constituye la señal de error , la cual es empleada por la Unidad de Control para calcular la variación a realizar en la variable manipulada y mediante los accionadores o actuadores restablecer la variable controlada en su valor de referencia.

En los sistemas de control de lazo cerrado, la salida o señal controlada, debe ser realimentada y comparada con la entrada de referencia, y se debe enviar una señal actuante o acción de control, proporcional a la diferencia entre la entrada y la salida a través del sistema, para disminuir el error y corregir la salida. Un sistema de control de lazo cerrado es aquel en el que la señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de control. Esto es, los sistemas de control de lazo cerrado son sistemas de control realimentados. La diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida se la denomina señal de error del sistema; esta señal es la que actúa sobre el sistema de modo de llevar la salida a un valor deseado. En otras palabras el término lazo cerrado implica el uso de acción de realimentación negativa para reducir el error del sistema. Sus características son: 

Ser complejos, pero amplios en cantidad de parámetros.



La salida se compara con la entrada y le afecta para el control del sistema.



Su propiedad de retroalimentación.



Ser más estable a perturbaciones y variaciones internas.

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1.4 SISTEMAS LINEALES Físicamente hablando, analizando la respuesta de un sistema, un sistema es lineal si la salida sigue fielmente los cambios producidos en la entrada. En la mayoría de los sistemas de control lineales, la salida debe seguir la misma forma de la entrada, pero en los casos que la salida no verifique la misma forma de la entrada, para ser considerado un sistema lineal la salida deberá reflejar los mismos cambios generados en la entrada. Por ejemplo, un integrador puro, es un operador lineal, ante una entrada escalón produce a la salida una señal rampa, la salida no es de la misma forma de la entrada, pero si la entrada escalón varía en una constante, la rampa de salida se verá modificada en la misma proporción. De la linealidad del sistema se desprenden dos propiedades importantes: -a) Si las entradas son multiplicadas por una constante, las salidas también son multiplicadas por la misma constante. - b) Los sistemas lineales se caracterizan por el hecho de que se puede aplicar el principio de superposición. - Principio de superposición: Si un sistema como el mostrado en la Fig. 14, posee más de una variable de entrada se puede obtener la salida total del sistema como la suma de las salidas parciales, que resultan de aplicar cada entrada por separado, haciendo las demás entradas cero.

Un sistema es lineal cuando se cumplen en el las propiedades de Homogeneidad y Superposición.

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1.4.1 Sistemas lineales invariables en el tiempo. Cuando los parámetros del sistema de control son estacionarios con respecto al tiempo durante la operación del sistema, es decir son magnitudes que permanecen constantes en el tiempo, el sistema se denomina Sistema Invariante con el tiempo. La linealidad y la invarianza con el tiempo juegan un papel fundamental en el análisis de señales y sistemas, debido a que muchos fenómenos físicos se pueden modelar mediante sistemas lineales invariantes con el tiempo. Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la respuesta a una entrada determinada. Esto se puede obtener mediante ecuaciones en diferencias o explotando el hecho de la linealidad e invarianza en el tiempo. De lo anterior surge el concepto de sumatoria de convolución. Un sistema lineal invariante se puede formular mediante una ecuación en diferencias de coeficientes constantes, la cual presenta la forma general siguiente:

. Resolver la ecuación en diferencias consiste en encontrar una expresión para y[n], es decir, generar la secuencia: {y(0), y(1), y(2), ....,y(N),...} Antes de estudiar apropiadamente los métodos de solución de una ecuación en diferencias, presentaremos algunas propiedades importantes de los sistemas lineales invariantes. Ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo: son aquellas en las que los coeficientes que acompañan a las derivadas de todos los términos son constantes en el tiempo.

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Hay que diferenciar entre variables y parámetros de un sistema. Las variables, como su nombre lo indica son magnitudes cambiantes en el tiempo, las cuales determinan el estado de un componente, bloque o sistema. (Por Ejemplo: tensión, intensidad de corriente, velocidad, temperatura, nivel etc). Los parámetros son magnitudes que pueden permanecer constantes o variar según sea el sistema. Los mismos reflejan las propiedades o características inherentes de los componentes (Ejemplo: masa, inductancia, capacitancia, resistencia, conductividad, constante elasticidad, coeficiente volumétrico de flujo, etc). Cuando los parámetros del sistema de control son estacionarios con respecto al tiempo durante la operación del sistema, es decir son magnitudes que permanecen constantes en el tiempo, el sistema se denomina Sistema Invariante con el tiempo. Cuando los parámetros varían con el tiempo, el Sistema se denomina Variante en el tiempo. En la práctica, la mayoría de los sistemas físicos contienen elementos que derivan o varían con el tiempo. Por ejemplo, la resistencia de la bobina de un motor eléctrico variará cuando el motor es excitado por primera vez y su temperatura está aumentando. Otro ejemplo de un sistema variante es el sistema de control de un misil guiado en el cual la masa del misil decrece a medida que el combustible a bordo se consume durante el vuelo. Un sistema variante en el tiempo sin no linealidades, es aún un Sistema Lineal. El análisis y diseño de esta clase de sistemas son mucho más complejos que los de un sistema lineal invariante con el tiempo. Dentro de los sistemas invariantes con el tiempo tenemos los sistemas de control de tiempo continuo y los de tiempo discreto, a continuación se describirán este tipo de sistemas. 1.4.2 SISTEMAS LINEALES VARIABLES EN EL TIEMPO Cuando los parámetros varían con el tiempo, el Sistema se denomina Variante en el tiempo. Representados por ecuaciones diferenciales lineales cuyos coeficientes o parámetros varían con el tiempo. Ecuaciones diferenciales variantes en el tiempo: son aquellas en las que los coeficientes que acompañan a la derivada son función de la variable independiente, es decir función del tiempo.

1.5 SISTEMAS NO LINEALES

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Los sistemas no lineales son todos los demás, regidos por ecuaciones no lineales, por ejemplo ecuaciones diferenciales con coeficientes que son función de la variable dependiente, ecuaciones diferenciales parciales, multiplicación entre variables, funciones senoidales con argumentos en función de la variable dependiente, o cualquier otro tipo de ecuación funcional, por ejemplo: 1- Considérese la ecuación que representa el movimiento de un vehículo submarino en forma simplificada:

Donde v es la velocidad y u la propulsión. Es una ecuación diferencial no lineal porque existe multiplicación entre la variable velocidad y la variable módulo. Un ejemplo de fuerza de fricción es la fuerza viscosa o amortiguamiento del aire, que suele modelarse como una función no lineal de la velocidad Fv = h( y&), h(0) = 0. Para velocidades pequeñas podemos asumir Fv = cy& . Combinando un resorte duro con amortiguamiento lineal y una fuerza externa periódica F = A cos(ωt) obtenemos la ecuación de Duffing:

Es una ecuación diferencial no lineal porque el grado de la variable y es 3, esta ecuación es un ejemplo clásico en el estudio de excitación periódica de sistemas no lineales. 1.5.1.- LINEALIZACION Introduciremos la técnica de linealización aproximada mediante una representación integral de las ecuaciones de estado. Propondr e m o s v e r a l s i s t e m a n o l i n e a l c o m o u n a e c u a c i ó n i n t e g r a l y analizaremos el efecto de pequeñas perturbaciones alrededor de un punto de equilibrio constante. Despreciando los términos de orden superior del efecto de tales perturbaciones y reteniendo solamente los términos lineales, presentaremos en un solo esquema la linealización que aproxima el comportamiento del sistema perturbado. El esquema conceptual presentado será utilizado en capítulos sub-secuentes para el diseño de acciones de regulación para el sistema no lineal. Recomendamos al lector, a medida que vaya avanzando en el texto, hacer uso de herramientas computacionales para conrear o avalar los resultados teóricos que se le proponen. En este capítulo, presentaremos nuestro primer ejemplo de simulación en el programa Mitla (R)