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3.4 Sistemas de orden superior. El procedimiento para analizar los sistemas de orden superior será a través de la adición de los polos y ceros a una FDT simple. El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen tres o más polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos más lentos del sistema. El polo más lento es el que posee la constante de tiempo más grande, es decir, aquel polo se encuentran más cerca del origen en el plano complejo S.

Fig. 3.4.1: Sistema de tercer orden Sea un sistema de tercer orden, Fig. 3.4.1, en el que existe un polo real y dos complejoconjugados. La respuesta temporal, depende de la posición relativa de los tres polos del sistema. La Fig. 3.4.2, muestra el caso particular de que los polos complejo-conjugados sean los más lentos. La respuesta se asemeja a la del sistema de segundo orden subamortiguado, pero está un poco retrasada en el tiempo y tiene un menor sobreimpulso. Ese retraso en el tiempo es aproximadamente igual a la constante de tiempo del polo real.

Fig. 3.4.2: Respuesta temporal y posición de los polos de un sistema de tercer orden Por tanto, la inclusión de polos adicionales a un determinado sistema no influye en la respuesta temporal del mismo mientras los nuevos polos se encuentren suficientemente alejados del eje imaginario del plano complejo S respecto a los que ya tenga el sistema.

Por norma general se puede admitir que los polos que se encuentren más alejados que cinco veces la distancia de los polos más lentos al eje imaginario, tienen una influencia en la respuesta temporal del sistema prácticamente despreciable. Por esta razón, los polos lentos se llaman también polos dominantes del sistema. En la Fig. 3.4.1 se muestra un caso particular en el que el polo real es el más lento. La respuesta se asemeja a la del sistema de primer orden, con un retraso adicional y pendiente inicial nula.

Fig.3.4.3: Respuesta temporal y posici¶on de los polos de un sistema de tercer orden Influencia de los ceros Los ceros del sistema son las raíces del numerador de la función de transferencia. La presencia de ceros en la función de transferencia, modifica la respuesta que se podría esperar del sistema atendiendo a la posición de los polos. Se va a mostrar la con el ejemplo de la Fig. 3.4.3. La presencia de un cero real negativo hace el efecto contrario un polo, es decir, adelanta la respuesta temporal en lugar de retrasarla. Además, modifica las condiciones iniciales de la respuesta temporal. Si el sistema tendrá dos polos, la pendiente inicial del sistema pasa de ser nula a no nula. Si el sistema tendrá tres polos, la derivada segunda en el instante inicial para se ser nula a no nula. Y así sucesivamente. En el caso concreto de sistema de segundo orden con cero, como es el caso de la Fig. 3.4.3, se puede calcular la pendiente inicial de forma sencilla: ( )

( )

( )

( (

) ) (3.4.1)

Fig. 3.4.4: Influencia del cero en la respuesta temporal del sistema Por tanto, conforme el cero está más cerca del origen mayor es el valor de la pendiente inicial. Otro efecto muy interesante que se puede dar en un sistema es la cancelación de un polo con un cero. Esto ocurre en el ejemplo de la Fig. 4.22 cuando z toma el valor 1. En ese caso, el sistema disminuye su orden en una unidad y pasa de ser de orden dos a ser de orden uno. Se puede comprobar que la respuesta temporal en ese caso es efectivamente una exponencial con constante de tiempo igual a la que fija el polo que permanece en el sistema. En la práctica, para cancelar un polo con un cero no es necesario que ambos se encuentren exactamente en la misma posición. Basta con que estén muy próximos para que el efecto de uno se anule con el del otro.

Fig. 3.4.5: Respuesta temporal de un sistema de fase no mínima Los sistemas de fase no mínima son aquellos que poseen un cero real positivo. La respuesta temporal de este tipo de sistemas tiene la característica de que comienza evolucionando en la dirección contraria al valor en régimen permanente, Fig. 3.4.5.