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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

UNIDAD 7 Diagramas de Forrester Contenido Tipos de variables, símbolos, relaciones, reglas. Herramientas para la construcción de diagramas de Forrester Sistema de Ecuaciones. El modelo y las funciones matemáticas. Formulación de ecuaciones

Diagrama de Flujos, también denominado Diagrama de Forrester, es el diagrama característico de la Dinámica de Sistemas. Es una traducción del Diagrama Causal a una terminología que permite la escritura de las ecuaciones en el ordenador para así poder validar el modelo, observar la evolución temporal de las variables y hacer análisis de sensibilidad.. No hay unas reglas precisas de cómo hacer esta transformación, pero si hay alguna forma de abordar este proceso. Pasos a seguir: 1º. Hacer una fotografía mental al sistema y lo que salga en ella (personas, km2, litros, animales,..) eso son Niveles. 2º. Buscar o crear unos elementos que sean "la variación de los Niveles", (personas/día, litros/hora, ...) y esos son los Flujos. 3º. El resto de elementos son las Variables Auxiliares. Como regla general esto sirve para empezar. Después ya se pueden ir haciendo retoques, y así los Niveles que vayan a permanecer constantes (m2 de la habitación) en vez de definirlos como Niveles se pueden definir como variables auxiliares tipo constante que es más sencillo. Este es todo el procedimiento.

Ahora veremos con más detalle cómo se representan estos elementos. EFP Ing. De Sistemas Ing. Elinar Carrillo Riveros

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Los "Niveles" son aquellos elementos que nos muestran en cada instante la situación del modelo, presentan una acumulación y varían solo en función de otros elementos denominados "flujos". Las "nubes" dentro del diagrama de flujos son niveles de contenido inagotable. Los niveles se representan por un rectángulo. Los "Flujos" son elementos que pueden definirse como funciones temporales. Puede decirse que recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. Las "Variables auxiliares" y las "Constantes", son parámetros que permiten una visualización mejor de los aspectos que condicionan el comportamiento de los flujos. Las magnitudes físicas entre flujos y niveles se transmiten a través de los denominados "canales materiales". Por otra parte existen los llamados "canales de información", que transmiten, como su nombre indica, informaciones que por su naturaleza no se conservan. Por último quedan por definir los "retardos", que simulan los retrasos de tiempo en la transmisión de los materiales o las informaciones. En los sistemas socioeconómicos es frecuente la existencia de retardos en la transmisión de la información y de los materiales y tienen gran importancia en el comportamiento del sistema.

Tipos de variables Las variables o elementos del diagrama de influencias, una vez identificados como acumulaciones, o razones de cambio o cálculos intermedios son representados mediante: 

variables de nivel o acumulaciones



variables de flujo o razones de cambio



variables auxiliares o de cálculo intermedio

Los elementos del diagrama de Forrester Las variables de estado o "niveles" se definen como aquellos elementos que muestran en cada instante la situación del modelo, simulan una acumulación y varían solo en función de los "flujos". Los niveles se representan por medio de un rectángulo. Para el caso del símil hidrodinámico los niveles son N1, N2 y N3. El EFP Ing. De Sistemas Ing. Elinar Carrillo Riveros

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rectángulo representa la variable de nivel. La evolución de este tipo de variables resulta siendo muy significativa para el estudio del sistema. La variable de nivel al cambiar a través del tiempo alcanza lo que se conoce con nombre de estado del sistema. La elección de los elementos o variables que se pueden representar mediante niveles en un modelo determinado depende del problema específico qué se esté considerando; sin embargo una característica común a todos los niveles es que cambian lenta o rápidamente en respuesta a variaciones de otras variables. A cada nivel se le puede asociar un flujo de entrada (FE) o un flujo de salida (FS) o una combinación de los dos. Un ejemplo de nivel podría ser la cantidad de personas que hay dentro de la sala de un teatro. Los llamados "canales de información", transmiten, como su nombre indica, informaciones que por su naturaleza no se conservan. Las magnitudes físicas entre flujos y niveles se transmiten a través de los denominados "canales de material". Las razones de cambio, válvulas o "flujos" son elementos que se definen como funciones temporales, pues recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. Las variables de flujo caracterizan las acciones que se toman en el sistema, las cuales quedan acumuladas en los correspondientes niveles. Debido a su naturaleza se trata de variables que no son medibles en sí, sino que se miden por los efectos que se producen en las variables de nivel de tal forma que las variables de nivel se asocian con ecuaciones que definen el comportamiento del sistema. Un ejemplo de flujo podría ser la cantidad de personas que entran a un teatro por unidad de tiempo, 5 personas por minuto. La “nube” representa una fuente o un sumidero de material que puede interpretarse como un nivel que no es importante para el modelador y es prácticamente inagotable.

Las “constantes” o parámetros se usan para representar aquellos valores que no cambian a través del tiempo. Son determinantes para calcular el valor de los flujos. Un ejemplo de constante es la tasa de natalidad de una población o la tasa de interés de un préstamo. Los "retardos", que simulan el tiempo que demora la transmisión de los materiales o las informaciones. En los sistemas socioeconómicos es frecuente la existencia de retardos en la transmisión de material e información y tienen una gran importancia en la determinación del comportamiento del sistema. Ejemplo: si se siembra una semilla de maíz se esperaría que a los 90 días hubiera una mazorca, es decir, habría un retardo de 90 días desde el momento de la siembra hasta el momento de la cosecha. EFP Ing. De Sistemas Ing. Elinar Carrillo Riveros

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Las variables “exógenas” son las influencias que afectan el sistema, pero lo que suceda en el sistema no la afecta. Un ejemplo puede ser la cantidad de agua lluvia que afecta a un cultivo. Las "variables auxiliares" son cálculos intermedios y valores fijos, respectivamente, que permiten una visualización mejor de los aspectos que condicionan el comportamiento de los flujos.

Las “tablas” se usan para representar aquellas relaciones entre variables que son no lineales, este tipo de comportamientos se pueden observar por ejemplo entre la sensación de hambre y la cantidad de alimento consumido; a medida que se come la sensación de hambre disminuye, pero no proporcionalmente a la cantidad de alimento consumido. También se usan para representar multiplicadores que son las relaciones entre variables que no permanecen constantes a través del tiempo. Ejemplo de ello sería una tasa de interés variable.

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Se puede resumir de la siguiente manera: Ahora veremos con más detalle cómo se representan estos elementos. Los "Niveles" son aquellos elementos que nos muestran en cada instante la situación del modelo, presentan una acumulación y varían solo en función de otros elementos denominados "flujos". Las "nubes" dentro del diagrama EFP Ing. De Sistemas Ing. Elinar Carrillo Riveros

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de flujos son niveles de contenido inagotable. Los niveles se representan por un rectángulo. Los "Flujos" son elementos que pueden definirse como funciones temporales. Puede decirse que recogen las acciones resultantes de las decisiones tomadas en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. Las "Variables auxiliares" y las "Constantes", son parámetros que permiten una visualización mejor de los aspectos que condicionan el comportamiento de los flujos. Las magnitudes físicas entre flujos y niveles se transmiten a través de los denominados "canales materiales". Por otra parte existen los llamados "canales de información", que transmiten, como su nombre indica, informaciones que por su naturaleza no se conservan. Por último quedan por definir los "retardos", que simulan los retrasos de tiempo en la transmisión de los materiales o las informaciones. En los sistemas socioeconómicos es frecuente la existencia de retardos en la transmisión de la información y de los materiales y tienen gran importancia en el comportamiento del sistema.

Ejemplo de creación de modelos de simulación La creación de un modelo no requiere conocimientos matemáticos ni estadísticos, sólo son necesarios unos conocimientos informáticos a nivel de usuario. Veamos un ejemplo de los pasos a seguir: 

Dibujar el diagrama causal. Se dibujan en un papel los elementos del sistema y las relaciones que existen entre ellos.



Dibujar el diagrama de flujos. Con ayuda de los iconos se dibujan en la pantalla del ordenador los elementos del sistema

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y las relaciones entre ellos

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

Ecuaciones El software escribe en parte las ecuaciones de acuerdo con el diagrama de flujos que hemos dibujado. Existe total libertad en cuanto al nombre asignado a las variables y su longitud.



Ejecutar el modelo Pulsar en el icono



Obtener los resultados Tenemos diversas opciones para visualizar el resultado de la simulación: La evolución temporal de un elemento y sus causas: de un elemento sólo:

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, la evolución temporal

o la tabla de los valores del elemento:

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Herramientas para la construcción de diagramas de Forrester Existen diversa herramienta, pero entre las más destacadas son las siguientes: Vensim, Dynamo y Stella.

Vensim Vensim es una herramienta visual de modelaje que permite conceptualizar, documentar, simular, analizar y optimizar modelos de dinámica de sistemas. Vensim provee una forma simple y flexible de construir modelos de simulación, sean lazos causales o diagramas de stock y de flujo. Mediante la conexión de palabras con flechas, las relaciones entre las variables del sistema son ingresadas y registradas como conexiones causales. Esta información es usada por el Editor de Ecuaciones para ayudarlo a completar su modelo de simulación. Podrá analizar su modelo siguiendo el proceso de construcción, mirando las causas y el uso de las variables y también siguiendo los lazos relacionados con una variable. Cuando construye un modelo que puede ser simulado, Vensim le permite explorar el comportamiento del modelo.

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Descripción de Vensim Vensim es actualmente el programa más versátil, intuitivo y sencillo para construir y simular modelos dinámicos. Permite construir modelos a través de diagramas causales o en versión texto, y en cualquiera de las dos modalidades permite comparar fácilmente los resultados de distintos experimentos, superponer gráficos de distintas variables, cambiar escalas, periodos de estudio, etc.

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Vensim permite realizar utilidades avanzadas, como son el calibrado de parámetros, análisis de sensibilidad, optimización de funciones y valoración de decisiones a través de juegos interactivos entre otras posibilidades. También permite construir aplicaciones DSS (Decision Suport System), elaborar informes EIS (Executive Information Systems), importar y exportar datos de hojas de cálculo o formatos ASCI y enlazar un modelo con aplicaciones construidas con otras librerías y aplicaciones programadas en lenguaje C. Concretamente se pueden enlazar los modelos con aplicaciones de teoría de juegos, programación lineal o genética, etc. Crear un modelo con Vensim es muy sencillo y sus menús de fácil acceso hacen del trabajo de todo modelador un verdadero placer. Algunas características de Vensim: Vensim permite identificar los distintos elementos del modelo con nombres de hasta 250 caracteres, incluyendo tantos espacios en blanco, es decir, divisiones de palabras, como se desee. Permite introducir datos directamente o en forma de tablas e interpola los datos conocidos cuando se omiten los valores de alguna(s) observación(es). La utilidad Units Check del menú Model permite contrastar la consistencia de las unidades en las que han sido medidos los distintos elementos del modelo. El programa no lee los textos incluidos entre paréntesis {}, por lo que en cualquier parte del texto se pueden introducir comentarios, advertencias y referencias útiles para lecturas posteriores. La apariencia de la pantalla del diagrama causal es muy flexible, en el sentido de que resulta muy sencillo organizar visualmente los elementos por categorías asignándoles bordes o marcos diferentes, desplazándolos por la pantalla a conveniencia, modificando las fuentes que los describen, el grosor, color de las flechas que indican sus relaciones, etc. No debe olvidarse tampoco la conveniencia de poder poner en segundo plano las relaciones que influyen sobre alguna variable convirtiéndola en variable sombra o la posibilidad de dividir la representación gráfica del modelo entre dos o más bosquejos. El modelador podrá realizar simulaciones con los datos de partida del modelo empleando la opción simulate del menú desplegable Model. Seleccionando la opción adecuada también podrá realizar simulaciones alternativas modificando el valor de los parámetros o valores de cuadros o tablas del modelo. El menú desplegable Windows permite acceder al panel de control (control panel) desde el que se pueden modificar muchos aspectos de interés, y, en particular, todos aquellos que afectan a los diagramas del modelo. Por ejemplo, desde aquí se puede modificar distintos aspectos que afectan a la apariencia de los gráficos (escalas, divisiones, etc.) pero también permite EFP Ing. De Sistemas Ing. Elinar Carrillo Riveros

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representar simultáneamente los valores de varias variables de distintas simulaciones, elegir las variables representadas en los ejes, etc. El menú vertical de iconos permite realizar con la máxima facilidad operaciones muy convenientes: El modelador que trabaja con en Vensim podrá comprobar en cualquier momento qué elementos influyen sobre el valor de la variable seleccionada en cada momento (pulsando dos veces el botón izquierdo del ratón sobre el nombre de la variable) y sobre qué elementos influye la variable seleccionada presionando respectivamente el primero o el segundo icono de la serie vertical. El modelador puede recordar en cualquier momento los datos relativos a cualquier elemento del modelo seleccionando ese elemento (con una doble pulsación del botón izquierdo del ratón) y presionando después el icono vertical denominado . Este responderá con la definición del elemento seleccionado, las unidades en que está medido y cualquier definición o comentario introducido por el modelador El quinto icono de la barra vertical permiten conocer tras cada simulación, la evolución gráfica de la variable seleccionada y las de los elementos que tienen una influencia directa sobre ella. El sexto icono ofrece esa misma información pero sólo para la variable seleccionada. El último icono del menú vertical permite leer la evolución de la variable seleccionada periodo tras periodo en forma de cuadro.

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Dynamo Se creó a mediados de los años 19503 por el profesor Jay Forrester a raíz de un trabajo suyo para General Electric (GE). Así, en 1956, Forrester aceptó un puesto de profesor en la recién formada MIT Sloan School of Management. Su objetivo inicial era determinar cómo sus antecedentes en la ciencia y la ingeniería podían ser aprovechados, de alguna manera útil, en las cuestiones fundamentales que determinan el éxito o el fracaso de las empresas. En ese momento, los directivos de GE estaban perplejos porque el empleo en sus plantas de electrodomésticos en Kentucky exhibía un ciclo significativo de tres años. El ciclo económico se consideró una explicación insuficiente para la inestabilidad del empleo en GE. A partir de simulaciones a mano (o cálculos) de la estructura de flujos y de la retroalimentación de las plantas de GE, que incluyó a la toma de decisiones corporativas con respecto a la estructura de la contratación y los despidos, Forrester fue capaz de demostrar cómo la inestabilidad en el empleo de GE se debía a la estructura interna de la empresa y no a una fuerza externa, como el ciclo económico. Estas simulaciones manuales fueron el comienzo4 de un nuevo enfoque para abordar problemas industriales, basado en el análisis de la estructura interna más que en el impacto de factores externos. Durante la década de 1950 y comienzos de 1960, Forrester y un equipo de estudiantes de postgrado se dio el salto de una etapa de la simulación manual a una la etapa de modelado formal por ordenador debido a que en esa época Richard Bennett creó el primer lenguaje de modelado dinámico llamado SIMPLE (Simulation of Industrial Management Problems with Lots of Equations) en la primavera de 1958. En 1959, Phyllis Fox y Alexander Pugh escribió la primera versión de DYNAMO (DYNAmic MOdels), una versión mejorada de SIMPLE, y el nuevo lenguaje basado en variables de hasta 8 caracteres, del que aún se pueden hallar modelos en libros antiguos, se convirtió en el estándar de la industria durante más de treinta años. Forrester publicó el primer, y todavía clásico, libro en el campo con el título de Industrial Dynamics en 1961. Desde finales de 1950 a finales de 1960, las publicaciones recogen aplicaciones centradas en el ámbito de organización industrial y a problemas gerenciales en empresas. En 1968, sin embargo, un acontecimiento inesperado causó que el campo se ampliara más allá del modelado corporativo. John Collins, el exalcalde de Boston, fue nombrado profesor visitante de Asuntos Urbanos del MIT. El resultado de la colaboración Collins-Forrester fue un libro titulado Urban Dynamics que sirvió para explicar cómo los subsidios públicos provocan que en el centro de las grandes ciudades habiten las familias de menor renta, lo cual ya había definido Forrester antes como el comportamiento contra-intuitivo de los sistemas sociales. Muy poco después, en 1970, Jay Forrester fue invitado por el Club de Roma para una reunión en Berna, Suiza. El Club de Roma es una organización dedicada a la solución de lo que sus miembros describen como el "predicamento de la humanidad", es decir, la crisis global que puede aparecer en algún momento en el futuro, debido a las exigencias que se colocan sobre la capacidad de carga de la Tierra (sus fuentes de los EFP Ing. De Sistemas Ing. Elinar Carrillo Riveros

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recursos renovables y no renovables y sus sumideros para la eliminación de los contaminantes) que el mundo está en crecimiento exponencial de la población. En la reunión de Berna, a Forrester se le preguntó si podría aportar un nuevo enfoque para ser utilizado para hacer frente a la difícil situación de la humanidad. Su respuesta, por supuesto, era que podía. En el avión de regreso de la reunión de Berna, Forrester creó el primer borrador de un modelo del sistema socioeconómico del mundo, donde aparecían conceptos inéditos hasta entonces como el de ‘reciclaje’ de productos de consumo. Él llamó a este modelo WORLD1. A su regreso a Estados Unidos, Forrester refinó WORLD1, en preparación para la visita al MIT por los miembros del Club de Roma, dando origen a una versión refinada del modelo que fue el WORLD2. Forrester publicó World2 en un libro titulado World Dynamics.

STELLA Los fundamentos de la dinámica de sistemas, creados por Jay Forrester, se están extendiendo cada vez más entre nuestros estudiantes, donde la expresión “extendiendo” la utilizamos en el amplio sentido de “conociendo y aplicando”. Hay sobrados ejemplos de fundamentos teóricos que son comprendidos en la etapa de aprendizaje, pero posteriormente no son aplicables. No queriendo con esto decir que ha sido un “aprendizaje inútil”, sino que simplemente no se utiliza en la mayoría de las veces a causa de su rango de validez. Por ejemplo nadie duda de la potencia de la Transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales “lineales”, y es así que toda vez que aparecen ecuaciones diferenciales no-lineales (las más abundantes en la complejidad de hoy) los fundamentos y teoremas de la Transformada de Laplace quedan en el olvido, y con el agregado de que eventualmente “esa” ecuación diferencial no-lineal también quede en el olvido. Pues bien, la dinámica de sistemas se basa en un lenguaje formal bastante simple, y en la que inicialmente podemos reconocer cuatro tipos de elementos: variable de estado, variable de flujo, convertidor y conector. Observe la figura 1 otorgada por el software STELLA (versión 3.07)

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Sistema de Ecuaciones.

Investigar

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Ejemplo Práctico

DESCRIPCIÓN DEL MODELO Diseñaremos un modelo que representará de forma simplificada el comportamiento de la poliomielitis en una población. La enfermedad tiene mayor incidencia en niños lactantes y menores de 5 años, en las zonas tropicales, y en niños en edad escolar, en las zonas templadas. Sin embargo, los brotes en comunidades aisladas pueden afectar a cualquier edad. Características: 

Población cerrada, no se tiene en cuenta las tasas de mortalidad, natalidad y migraciones.



Se ignoran los periodos de incubación y latencia.



La infección, el contagio y la enfermedad aparecen simultáneamente.



La inmunidad creada es activa.



Consideramos nula la tasa de letalidad.

VARIABLES DEL MODELO Variables de estado 

Población susceptible. Se considera a aquellas personas que no poseen suficiente resistencia contra el agente patógeno y pueden adquirir la enfermedad.



Población enferma. Serían las personas infectadas con la sintomatología típica de la enfermedad.



Población inmune. Personas que poseen anticuerpos que les previene del contagio de la enfermedad.

Variables de flujo

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

Incidencia. Número de personas que pasan de la población de susceptibles a enfermos por unidad de tiempo.



Recuperación. Número de personas que pasan de la población de infectados a la población de inmunes por unidad de tiempo.



Vacunación. Número de personas de la población que pasan de susceptibles a la de inmunes por unidad de tiempo, debido a la vacuna.

Variables auxiliares 

Prevalencia. Proporción de la población total que está enferma o presenta trastornos causados por la enfermedad.



Tasa de incidencia. Cociente entre el número de casos nuevos de poliomielitis diagnosticados por unidad de tiempo (día) y el número de personas que componen la población de la que surgieron esos casos.

Parámetros 

Tasa de contagio. Es la proporción de personas que abandonan el estado de susceptibles y pasan al estado de enfermos. Se llama también coeficiente de transmisión de la enfermedad. Depende de la tasa de contacto entre personas susceptibles y enfermas y la probabilidad de transmisión de la enfermedad a partir de un contacto.



Tasa de recuperación. Proporción de personas que abandonan el estado de infectados y pasan al estado de inmunes.



Tasa de vacunación. Proporción de personas que dejan de ser susceptibles y pasan a ser inmunes, debido a la vacunación.



Tasa de letalidad. Proporción de personas infectadas que fallecen.

DIAGRAMA DE INFLUENCIAS

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DIAGRAMA DE FORRESTER

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