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• Harrison Alvarez

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UNIDAD III FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales a. 259𝑥 − 4 = 125 2 (9 x−4)

3

5 =5 2(9 x−4)=3 18 x−8=3 18 x=3+8 11 x= 18 b. 7293𝑥 − 1 = 81 3 (3 x−1)

2

9 =9 3(3 x−1)=2 9 x−3=2 9 x=2+3 5 x= 9 c. 72𝑥 − 8 = 3

( 2 x−8 ) log 7=log 3 2 xlog7−8 log 7=log 3 2 xlog7=log 3+8 log 7 x (2 log 7)=log 3+8 log 7 x=

log 3+8 log 7 2 log 7

x=

log 3+log 78 log 72

(¿ 3∗78 ) x=log ¿ log 72 x=4.2822

d. 27𝑥 + 2 = 96𝑥 + 10 3 (x+2) 2(6 x +10) 3 =3 3 ( x+ 2 )=2(6 x +10) 3 x+ 6=12 x+ 20 3 x−12 x =20−6 −9 x=14 x=

−14 9

2. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas a. 𝐿𝑜𝑔 (𝑥 + 3) + 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 1 log ( x ( x +3 )) =1 log ( x 2 +3 x ) =1

( x 2 +3 x−10 )=0 x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

−3 ± √32−4 (1)(−10) x= 2(1) x=

−3 ± √ 49 2

x 1=2 b. 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔32 = 2 log 3 ( ( x−3 )∗2 )=2 log 3 ( 2 x −6 )=2 32=2 x−6 9=2 x −6

2 x=9+6 x=

15 =7.5 2

c. 𝐿𝑜𝑔 8x2 - 𝑙𝑜𝑔4𝑥 = 0 log 8 x 2−log 4 x=0 log 8 + log x 2−log 4 x=0 log 8+2 log x−log 4+ log x=0 log x−log 4=−log 8 log x=log 4−log 8 log x=log

x=10 x=

log

( 12 )

(12 )

1 2

3. Resuelva las siguientes situaciones relacionadas con función exponencial y logarítmica a. Un grupo de especialistas médicos ha determinado que, si una persona se contagia por un virus H, la cantidad de personas que se pueden contagiar por el mismo virus al cabo de t días se puede determinar por medio de la siguiente expresión. h (t) = 9.000e t / et + 9.000 A partir de lo anterior, podemos establecer ¿cuáles es el número de personas contagiadas por el virus H al cabo de 20 días? y ¿cuál es la cantidad de días que deben transcurrir para que resulten 40 personas contagiadas? h ( t )=

9.000 et et +9.000

h ( 20 ) =

9.000 e 20 4.36∗1012 = =8999.8 personas en 20 días e 20 +9.000 485174195.4

40=

9.000 et e t +9.000

40 ( et + 9.000 )=9.000 et 40 et +360.000=9.000 e t 360.000=9.000 et −40 et 360.000=8 .960 e t 360.000 t =e 8 . 960 40.18=e t ln 40.18=lne t ln 40.18=t ln e ln 40.18=t t ≈ 3.693 … días para que se contagien 40 personas b. Un compuesto químico decrece de acuerdo con la expresión C = 28e -0,4t de tal manera que C es un valor en miligramos y t en horas. ¿cuál es el tiempo necesario para que el compuesto se reduzca a 2 mg? C=28 e−0.4t 2=28 e−0.4 t 1 =e−0.4 t 14 ln

1 =ln e−0.4 t 14

ln

1 =−0.4 t ln e 14

1 14 =t −0.4 ln

−2.64 =t −0.4

t ≈ 6.6 horas para que el conpuesto se reduzca2 mg c. Se invirtieron 8.000 dólares al 6% anual y la inversión alcanza un valor de 10.100 dólares ¿por cuánto tiempo se hizo la inversión? M =C (1+it ) M : Monto C :Capital i: Interes t :Tiempo 10.100=8.000(1+0 , 06 t) 10.100=8.000+480 t 10.100−8000 =t 480 t=4,375 años d. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una inversión de 5.000 euros, cuando el interés compuesto semestral mente es del 14%? M =C (1+it ) M : Monto C :Capital i: Interes t :Tiempo 10. 00 0=5 .000(1+0,14 t) 10. 0 00=5 .000+70 0 t 10.0 00−5 000 =t 700 t=7.1428 semestres ≈ 3,6 años e. La población de una ciudad está dada por la función p (t)= 250.000℮ 0,08t y el valor de p para t=0, corresponde a la población al inicio del estudio en 2000. - Halle la población de la ciudad para el año 2020 - ¿Cuánto tiempo pasará para que la población inicial se duplique? p ( t ) =250.000 e0.08 t

p ( 20 )=250.000 e 0.08∗20 p ( 20 )=250.000 e 1.6 p ( 20 )=1' 238.258habitantes en el año 2020 p ( t ) =250.000 e0 , 08t 500.000=250.000 e0 , 08t 500.000 0 ,08 t =e 250.000 2=e0 , 08t ln 2=ln e 0 ,08 t ln 2=0,08 t ln e ln 2=0,08 t t ≈ 8,66 años para que la poblacióninicial se duplique