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• Yoel Llamo Goicochea

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A CA D EM IA P R E U N IV ER SITA R IA

A F U L

A U T O R IZA D O P O R EL M IN IS TE R IO D E ED U C A C IO N A T R A V ES D E LA D R - R D R S N º0 2 3 9 - 9 6 - R E N O M /E D

U

ÁREAS SOMBREADAS

En función de lado

A∆ =

I. FÓRMULAS 1.

Área de un triángulo

A∆ =

bh 2

5.

b

ab A∆ = 2

b

Área de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo

ab Sen θ A∆ = 2 4.

a

θ

b

6.

60 60°

l

a

c

r

r

D

a

D2 2 Nota: D = a

a

A=

a

2

b

b

A = P.r P → semiperímetro R → longitud del radio del círculo inscrito en el ∆ (inradio) 8.

•

a + b +c Semiperímetro P = 2

a

P( p − a )(p − b)(p − c)

Área del triángulo en función de los lados y el circunradio b

a

R

c

10. Área del rectángulo b

a

A = ab

Área del triángulo en función del exradio 11. Área del trapecio b

rc

Área de un triángulo equilátero l

Área del cuadrado en función de su lado y en función de su diagonal

r

Perímetro: P = a + b + c

abc ∆= 4R

9.

ra

h

A=

rb

a

3.

a

•

A=

R. MATEMÁTICO

A = a2

c

Área de un triángulo rectángulo

U

Área del triángulo en función del inradio y el semiperímetro

h2 3 3

a

b

2.

ó

4

Área del triángulo en función de sus lados (Teorema de Herón S. III)

bh A= 2

h

7.

l 23

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En función de la altura

A=

h

U

R. MATEMÁTICO

A CA D EM IA P R E U N IV ER S ITA R IA

B A = ra (p – a) A = rb (p – b) A = rc (p – c) 1 1 1 1 + + = ra rb rc r

12. Área del rombo B

A

Q

C

En función de lado R → Medida del radio, del círculo circunscrito al ∆ (circunradio)

60° l

l2 3 4 En función de la altura A∆ =

A∆ =

AV. PEDRO RUIZ Nº 815 - 817 TELEFONO: 20- 8917 EX LOCAL DEL BANCO LATINO

(B + b)h 2

D

h2 3 3

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S=

ACxBD Dxd = 2 2

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R. MATEMÁTICO Área de un segmento circular

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PRÁCTICA DIRIGIDA

R. MATEMÁTICO 3.

ÁREAS CURVAS 1.

A = A−A ∆

Área del círculo

1.

¿En que porcentaje difiere el área de la región sombreada del círculo?

En el cuadrado, hallar el área de la figura sombreada, si el radio de las circunferencias menores son iguales a “r” metros

Área de la corona circular Nota: Longitud de una circunferencia: Lc = 2πR • D = 2R

A = π (R2 – r2) R = radio mayor r = radio menor

a)

33,3 %

b) 66,6 % c)

A = πR2 A = πD2/4

a) b) c) d) e)

72,6 %

d) 80 % Área de trapecio circular

e)

Área del Sector circular

A=

2.

πr 2α

Si α = 45° → A =

πR 2 8

Si α = 120° → A = Si α = 60° → A =

2

πR 2 3

Hallar el sombreada

perímetro

de

la

región

Qué % del área total representa la suma de las áreas sombreadas?

360

Si α = 90° → A = πR 4

4.

22,2 %

r2 (64 - 20π) r2 (64 + 18π) r2 (64 - 18π) r2 (64 - 2π) r2 (65 + 15π)

A=R R–r r a) b) c) d) e)

πR 2α πr 2α πα 2 2 A= (R – r ) − = 360 360 360

PROPIEDADES

πR 2 6

2 Si α = 30° → A = πR 12

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a) b) c) d) e)

30 % 50 % 10 % 80 % 60 %

5.

2a (2 + π) 4a (2 + π) 3a (2 + π) a (2 + π) a (2 + 3π)

Hallar el área de la región sombreada

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a)

30 3 −10π 6

b)

24 3 −11π 6

c)

30 3 −12π 8

d)

e) 6.

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9.

30 3 − 7π 6 30 3 −π 7

Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 3 2 m

a) b) c) d) e)

7.

R 2 (2π - 3) 4

c)

R 2 (6 - π) 4

d)

R 2 (π - 6) 4

e) 8.

R2 (π − 6) 3

b)

R2 15

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Hallar el área de la región sombreada si el radio de c/u de los círculos inscritos en el triángulo equilátero mide 1 metro

R. MATEMÁTICO 1.

a) b) c) d)

2 4 2 4

e)

4 3 + 6 - 3π

3 3 3 3

+ 8 - 3π - 6 + 3π - 6 + 4π - 8 + 4π

2.

el

84 % 10 % 62,5 % 37,5 % 70,3 %

Hallar el área de a región sombreada AV. PEDRO RUIZ Nº 815 - 817 TELEFONO: 20- 8917 EX LOCAL DEL BANCO LATINO

c) 20

d) 32 e) 64

Hallar el área de la región sombreada, si AABCD es un paralelogramo y “O” es centro del semicírculo

a) b) c) d) e)

área

a) a) b) c) d) e)

b) 18

10. Hallar el área de la región sombreada si el radio de la circunferencia menor mide: 1 metro, ∆ ABC es equilátero.

3.

8m2 12m2 9m2 7m2 6m2

Hallar el área de la región sombreada

a) 16

(π - 2)

Qué porcentaje representa sombreada de la no sombreada Si A (-2; 0) ; B(2; 2) y C(0; -2)

A F U L

U

R. MATEMÁTICO

a)

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27 3 - 10

πR2/5 πR2/3 πR2/6 πR2/2 πR2/4

Hallar el área de la región sombreada Si ON = NA = 2 3

b) 8 3 + 9 c) 3 (9 3 −5) d) 3 (8 3 −5) e)

3 (6 3 −5) PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 4π - 6 b) 2π - 5

3 3

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c) 3π - 6 d) 5π - 6 e) π/2 4.

8

a) b) c) d) e) 7.

b) R2 (π - 1) c)

R 2 (π−1) 28

d) R2 (π + 2) e) R2 (π - 2)

Hallar el área de la región sombreada

área

2a

figura si el área del paralelogramo

F

9.

2 (6 - π) 3 (6 - π) 4 (6 - π) 5 (6 - π) 7 (6 - π)

R 2 (π+1) 2

a

es 12 cm2 y BM = MN = NC el área de la región sombreada es: B M N C

A

a) b) c) d) e)

Calcular el área de la región sombreada.

CUADRO DE RESPUESTAS a)

a

la

a)

5 cm2 4 cm2 4,5 cm2 6 cm2 5,5 cm2

a

¿Qué relación hay entre el sombreada y el área del cuadrado?

En

Hallar el área de la región sombreada

3

a

6.

U

R. MATEMÁTICO

8

+ 4π 3 + 8π 3 + 6π 3 + 3π

3/5 5/12 1/6 3/4 2/3

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3

3

a) b) c) d) e)

U 8.

3

Hallar el área de la región sombreada, si el ∆ es equilátero de lado 8

a) 6 b) 3 c) 2 d) 4 5.

U

R. MATEMÁTICO

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37

π   + 3  3 2    π

3 

 b) a2  + 2  3 

c)

 3 π +  a2  

d)

 3 π  +  a2  2 5  

e)

N.A.

 2

3

AV. PEDRO RUIZ Nº 815 - 817 TELEFONO: 20- 8917 EX LOCAL DEL BANCO LATINO E D

4

a) b) c) d) e)

2 - π/3 1 - π/4 3 - π/4 5 - π/4 6 - π/4

1 D

2 C

3 D

4 A

5 B

6 A

7 B

8 C

YOMBI RODAS SOPLAPUCO Prof. Del Curso YRS/fan 2000-III

10. Calcular el área de la región sombreada si el radio del círculo mide R R

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9 B

10 E