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MECANICA DE LOS FLUIDOS II UNIDAD I: Teoría de Turbo-Máquinas.

José Antonio Rojas Martín Ingeniero Civil Mecánico

Teoría de Turbo-Máquinas. En toda maquina de fluido hay un intercambio entre energía de fluido y energía mecánica. Las maquinas de fluido se clasifican en maquinas hidráulicas y maquinas térmicas.

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Teoría de Turbo-Máquinas.

Maquina térmica es aquella en que el fluido en su paso a través de la maquina varia sensiblemente de densidad y volumen especifico, el cual en el diseño y estudio de la maquina ya no se puede suponer constante.

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Teoría de Turbo-Máquinas. Maquina hidráulica es aquella en que el fluido que intercambia su energía no varia sensiblemente de densidad en su paso a través de la maquinas, por lo cual en el diseño estudio de la misma se hace la hipótesis de que la densidad es constante.

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Teoría de Turbo-Máquinas. La compresibilidad e incompresibilidad del fluido que se traduce en la variación o no de la densidad (o volumen especifico), es fundamental en el diseño de una maquina de fluido. Todo cuerpo sólido, liquido o gas es compresible. Sin embargo, el diseño de una bomba se hace suponiendo por ejemplo que el liquido bombeado es incompresible o de densidad constante: la bomba es una maquina hidráulica.

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Teoría de Turbo-Máquinas. En un compresor el fluido es un gas y un gas es muy compresible, y por tanto, su volumen especifico varia grandemente. Sin embargo, si el incremento de presión es pequeño (inferior a 100 mbar) el diseño del compresor llevado a cabo con la hipótesis de que el volumen especifico del gas es constante resulta con frecuencia satisfactorio. En este caso la maquina se llama ventilador, el ventilador es una maquina hidráulica.

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Teoría de Turbo-Máquinas. No obstante, si la relación de compresión es grande (superior a 100 mbar), no se puede despreciar la variación del volumen especifico del gas a través de la maquina. En este caso la maquina se llama compresor, es una maquina térmica.

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Teoría de Turbo-Máquinas. MAQUINAS HIDRÁULICAS. Para clasificar las maquinas hidráulicas se atiende en el principio fundamental de funcionamiento. Las maquinas hidráulicas se clasifican en turbomáquinas y maquinas de desplazamiento positivo.

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Teoría de Turbo-Máquinas. MAQUINAS HIDRÁULICAS. El principio de funcionamiento de las maquinas de desplazamiento positivo es el principio de desplazamiento positivo. "El principio del desplazamiento positivo consiste en el movimiento de un fluido causado por la disminución del volumen de una cámara“.

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Teoría de Turbo-Máquinas. MAQUINAS HIDRÁULICAS. El principio de funcionamiento de las turbomáquinas es la ecuación de Euler. Su funcionamiento se basa en la ecuación de Euler, y su órgano transmisor de energía se llama Rodete.

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Teoría de Turbo-Máquinas. La ecuación de Euler es la ecuación fundamental para el estudio de las Turbomáquinas, tanto de las Turbomáquinas hidráulicas, como de las Turbomáquinas térmicas. Constituye, por ello, la ecuación básica tanto para el estudio de bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas, como para el estudio de los turbocompresores, turbinas de vapor y turbinas de gas.

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Teoría de Turbo-Máquinas. Esta ecuación que expresa la energía intercambiada en el rodete de todas estas maquinas.

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Teoría de Turbo-Máquinas. COMPORTAMIENTO DEL FLUIDO EN EL RODETE. En el comportamiento del fluido por los canales del rodete, se deben distinguir el movimiento absoluto del relativo. •

El movimiento absoluto es el de las partículas de líquido que nota un observador situado fuera del rodete.

•

El movimiento relativo es aquel que ve un observador situado dentro del giro del rodete.

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Teoría de Turbo-Máquinas. REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINAS.

Trayectorias absoluta y relativa de una partícula de fluido que atraviesa el rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. COMPORTAMIENTO DEL FLUIDO EN EL RODETE. Según DIN1331, se designa con las letras; • c: la velocidad absoluta. • w: la velocidad relativa. • u: la velocidad periférica de los alabes del rodete, subordinada, esta, a la distancia al eje de giro.

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Teoría de Turbo-Máquinas. COMPORTAMIENTO DEL FLUIDO EN EL RODETE.

u2

c2 a

w2 b

w1 c1

b a r2

u1 r1

Figura 1.1. Corriente líquida a través del rodete. Bomba radial.

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Teoría de Turbo-Máquinas. COMPORTAMIENTO DEL FLUIDO EN EL RODETE.

u2

c2

c: la velocidad absoluta.

a

w2 b

w1 c1

b a r2

u1 r1

Figura 1.1. Corriente líquida a través del rodete. Bomba radial.

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Teoría de Turbo-Máquinas. COMPORTAMIENTO DEL FLUIDO EN EL RODETE.

u2

c2

w: la velocidad relativa. .

a

w2 b

w1 c1

b a r2

u1 r1

Figura 1.1. Corriente líquida a través del rodete. Bomba radial.

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Teoría de Turbo-Máquinas. COMPORTAMIENTO DEL FLUIDO EN EL RODETE.

u2

c2

u: la velocidad periférica.

a

w2 b

w1 c1

b a r2

u1 r1

Figura 1.1. Corriente líquida a través del rodete. Bomba radial.

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Teoría de Turbo-Máquinas. REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINAS. Los dos planos de representación de una Turbomáquinas son el plano o corte meridional y el plano o corte transversal.

Figura 1.2. Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINAS. En la Figura se representa el corte por un plano que contiene el eje de la máquina, que se llama corte meridional, porque en él se representan en su verdadera forma las meridianas de las superficies de revolución de la máquina, como son las superficies anterior y posterior del rodete (s y s' en la figura). En este corte se ven también las aristas de entrada y de salida de los álabes, los cuales imparten (bomba) o absorben (turbina) energía del fluido.

Figura 1.2.(a) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINAS. Estas aristas de entrada y salida en nuestro caso son paralelas al eje de la máquina. Los anchos del rodete a la entrada b1 y a la salida b2 de los álabes se acotan también en este plano.

Figura 1.2.(a) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINAS. En la Figura se representa el corte transversal por un plano perpendicular al eje. En el corte transversal de una bomba radial se ve el álabe del rodete en su verdadera forma: el álabe es una superficie cilíndrica con generatrices paralelas al eje de la máquina. Los diámetros de entrada y salida de los álabes D1 y D2 se acotan también en este plano, así como el diámetro del eje, de. Figura 1.2.(b) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO DEL RODETE. En la figura a, b y c se representa con línea continua y una flecha la trayectoria de una partícula que atraviesa el rodete en los tres casos siguientes; • En la figue (a) se representa la trayectoria de una partícula en una maquina radial. • En la figura (b) se representa la trayectoria de una partícula en una maquina axial Figura 1.3. Corriente líquida a través del rodete.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO DEL RODETE. • En la figura (c) se representa la trayectoria de una partícula en una máquina radioaxial, llamada también de flujo mixto, o semi-axial.

Figura 1.3. Corriente líquida a través del rodete.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO DEL RODETE.

Figura 1.4. Corriente líquida a través del rodete.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO DEL RODETE. En cualquier punto de la trayectoria de una partícula se pueden dibujar ejes: r, u, a, dirigidos según el radio, la tangente y el eje de la máquina: • En la máquina radial la velocidad en ningún punto (del rodete) tiene componente axial (según el eje a); solo tiene dos componentes: tangencial y radial.

Figura 1.4.(a) Corriente líquida a través del rodete, flujo radial.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO DEL RODETE. • En la máquina axial la velocidad en ningún punto tiene componente radial (según el eje r); sólo tiene dos componentes: axial y periférica. En las máquinas axiales u1 = u2. El efecto de la fuerza centrífuga es nula. Una bomba axial no es una bomba centrífuga.

Figura 1.4.(c) Corriente líquida a través del rodete, flujo axial.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS SEGÚN LA DIRECCIÓN DEL FLUJO DEL RODETE. • En la máquina radio-axial la velocidad tiene las tres componentes según los tres ejes.

Figura 1.4.(b) Corriente líquida a través del rodete, flujo mixto.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL GRADO DE REACCIÓN. El grado de reacción de una Turbomáquinas se refiere al modo cómo trabaja el rodete. Así, por ejemplo, en una bomba se debe distinguir la altura de presión que da la bomba y la altura de presión que da el rodete de la bomba, Hp. La primera normalmente es mayor que Hp porque la bomba tiene además de un rodete un sistema difusor, que se estudiará mas adelante y que transforma la energía dinámica que da el rodete, Hd en energía de presión, que sumada a la energía de presión del rodete constituye la energía de presión que da toda la bomba.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL GRADO DE REACCIÓN. Por tanto el grado de reacción teórico se define como,

altura de presion cedida ó absorbida por el rodete = altura total cedida ó absorbida por el rodete

=

Hp Hu

es decir, el cociente de la altura que da (bomba) o absorbe (turbina) el rodete en forma de presión por la altura total que da (bomba) o que absorbe (turbina) el rodete (el denominador es la altura de Euler, Hu, en ambos casos).

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Teoría de Turbo-Máquinas. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL GRADO DE REACCIÓN. Siendo Hu siempre positivo: • Si Hp < 0, el grado de reacción es negativo. • Si Hp = 0, el grado de reacción es 0. • Si 0 < Hp < Hu , el grado está comprendido entre 0 y 1, que es el caso normal. • Si Hp > Hu , el grado de reacción es mayor que 1. Las máquinas en que el grado de reacción es igual a cero se llaman de acción. Todas las bombas son de reacción; las bombas de acción no suelen construirse.

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Teoría de Turbo-Máquinas. TRIANGULO DE VELOCIDADES. u2

c2 a

w2 b

w1 c1

b a r2

u1 r1

Figura 1.5. Triangulo de velocidad de entrada y salida de los alabes de una bomba o ventilador.

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Teoría de Turbo-Máquinas. TRIANGULO DE VELOCIDADES. Las ecuaciones vectoriales: =

+

y

=

+

se representan mediante dos triángulos, que se llaman triángulo de entrada y triángulo de salida, respectivamente.

Figura 1.5. Triangulo de velocidad de entrada y salida de los alabes de una bomba o ventilador.

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Teoría de Turbo-Máquinas. TRIANGULO DE VELOCIDADES. En dichos triángulos, u1 , velocidad periférica a la entrada. c1 , velocidad absoluta del fluido a la entrada. w1 , velocidad relativa a la entrada (del fluido con respecto al álabe). c1m , componente meridional de la velocidad absoluta del fluido a la entrada. Figura 1.6. Triangulo de velocidad de entrada de los alabes de una bomba o ventilador.

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Teoría de Turbo-Máquinas. TRIANGULO DE VELOCIDADES.

c1u , componente periférica de la velocidad absoluta del fluido a la entrada. a1 , ángulo que forman las dos velocidades c1 y u1. b1 , ángulo que forma w1 con (-u1). Nótese que el ángulo que forma w1 con + u1 es el suplementario del b1 . Lo mismo en el triangulo de salida, sustituyendo el subíndice 1 por el 2.

Figura 1.6. Triangulo de velocidad de entrada de los alabes de una bomba o ventilador.

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Teoría de Turbo-Máquinas. CAUDAL EN EL RODETE. Para determinar el caudal teórico que circula por un impulsor habrá que definir las áreas de paso y las velocidad que genera efectivamente el flujo, de acuerdo a la geometría de un impulsor,

Q1 = 2π  r1  b1  c 1m

Q 2 = 2π  r 2  b2  c 2m Si el flujo incompresible,

 Q1 = Q 2

es

Figura 1.2. Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Para la deducción de la ecuación fundamental de la bombas centrífugas se admitirán las siguientes hipótesis, •

Flujo incompresible (ρ = cte, dρ = 0).

•

Flujo permanente (dc/dt = 0).

•

Se supone que el fluido es perfectamente guiado a través de los álabes, ausencia de choques, las velocidades sólo dependen del radio dado. Tal suposición se consigue considerando un número infinito de álabes (z = ∞), de espesor igual a cero δ = 0.

•

No se consideran pérdidas de ningún tipo, η = 100 %.

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Esta deducción se hará con relación a la misma Fig. 1-2, que representa, como ya hemos dicho, el rodete de una bomba centrífuga (o de un ventilador centrífugo que esencialmente sólo se diferencia de una bomba en que el fluido bombeado no es líquido, sino gas); pero todo el razonamiento y por tanto la fórmula de Euler deducida mediante él, será válido para todas las Turbomáquinas.

Figura 1.2. Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Supondremos que la bomba funciona en régimen permanente y que al girar crea una depresión en el rodete penetrando el fluido en el interior de la bomba. Sea c1 la velocidad absoluta de una partícula de fluido a la entrada de un álabe (punto 1 en la figura). El rodete accionado por el motor de la bomba gira a una velocidad n, rpm. En el punto 1 el rodete tiene una velocidad periférica, =

Figura 1.2.(b) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial). MECANICA DE LOS FLUIDOS II – UNIDAD I

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Con relación al álabe el fluido se mueve con una velocidad w1, llamada velocidad relativa a la entrada. Las tres velocidades c1, u1 y w1 están relacionadas según la mecánica del movimiento relativo, por la ecuación vectorial, =

−

Suponemos que el álabe (o su tangente) tiene la dirección del vector con lo que la partícula entra sin choque en el álabe.

Figura 1.2.(b) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. En la práctica esto sucede cuando la bomba funciona en su punto nominal o punto para el cual la bomba ha sido diseñada. Si la velocidad de giro (n) es mayor o menor que la velocidad nominal, u1 es mayor o menor y se produce un choque a la entrada y disminución del rendimiento en la bomba real. La partícula guiada por el álabe sale del rodete con una velocidad relativa a la salida , que será tangente al álabe en el punto 2.

Figura 1.2.(b) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. En el punto 2 el álabe tiene la velocidad periférica

.

La misma composición de velocidades de la en el punto 1, nos proporciona la velocidad absoluta a la salida, : =

+

La partícula de fluido ha sufrido, pues, en su paso por el rodete un cambio de velocidad de a . Figura 1.2.(b) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Consideremos en primer término las ecuaciones para la potencia:

N = FV

ó

N  Tω

donde; F, Fuerza; N, Potencia; V, Velocidad; T: Torque; w, velocidad angular; p, presión; A, área; Q, Caudal; g, aceleración de gravedad; , densidad; H, altura.

F p  N = F   A  p  A  V A Q  A  V  N = p  A  V   p  Q

p  ρ  g  H  N  p   Q  ρ  g  H  Q MECANICA DE LOS FLUIDOS II – UNIDAD I

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER.

Nu  ρ  g  Hu  Q Esta ecuación es la potencia teórica que el rodete comunica al fluido, donde Hu equivale a la energía intercambiada en el fluido. Por otro lado, por la segunda ley de Newton, para una partícula de fluido,

  Δc F= m Δt m Δt = Q

 m   F =  Δc Δt    F = Q    Δc

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER.

  F = Q    Δc Tomando en cuenta la ecuación del cambio del momento angular, el torque aplicado al eje de la bomba es igual a la variación del momento angular o cinético del líquido en el rodete, es decir:

T = Q    c 2  l 2  c1  l1  l1 = r1  cosa1 

l 2 = r2  cosa 2 

Figura 1.2.(b) Rodete de una Bomba centrifuga (bomba flujo radial).

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER.

 T  Q    c 2  cosa 2   r2  c1  cosa1   r1  Por el triangulo de velocidad,

c1u = c1  cosa1  c 2u = c 2  cosa 2 

 T  Q    c 2u  r2  c1u  r1 

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER.

T  Q    c 2u  r2  c1u  r1  

N  Tω



N u  Q    c 2u  r2  c1u  r1   ω N u  Q    c 2u  r2  ω  c1u  r1  ω 

Pero la velocidad periférica,

=



=

y

=

=

N u  Q    c 2u  u 2  c1u  u1 

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Finalmente igualando,

Nu  ρ  g  Hu  Q

N u  Q    c 2u  u 2  c1u  u1 

 ρ  g  H u  Q  Q    c 2u  u 2  c1u  u1  1 H u    c 2u  u 2  c1u  u1  g

PRIMERA FORMA DE LA ECUACIÓN DE EULER (Expresión en alturas)

Esta ecuación es denominada generalmente Altura de Euler.

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. En el caso ideal, el líquido se aproxima al rodete sin formar remolino previamente y entrando en este ocupa los canales entre los álabes moviéndose radialmente. Esto significa que el vector c1 esta dirigido según el radio, con lo cual α1 = 90°. El flujo de agua en este caso ingresa paralelo al eje de rotación.

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Ejemplo 1.1.- Determine la altura teórica desarrollada por una bomba centrifuga de la que se conoce los siguientes datos; c1 = 4,8 m/s, D1 = 100 mm, a1 = 74º, c2 = 23,0 m/s, D2 = 300 mm, a2 = 13º y n = 1500 r.p.m.

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Ejemplo 1.2.- Una bomba centrifuga, en que no se consideran las perdidas ni se tiene en cuenta el estrechamiento del flujo producido por el espesor de los alabes, tiene las siguientes dimensiones: D1 = 80 mm; D2 = 250 mm; b1 = b2 = 45 mm; b1 = 40º; b2 = 65º. La entrada en los alabes es radial. La bomba gira a 700 rpm. El fluido bombeado es agua. Determine a altura teórica que da la bomba y el caudal teórico.

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. u2

c2 a

w2 b

w1 c1

b a r2

u1 r1

Figura 1.5. Triangulo de velocidad de entrada y salida de los alabes de una bomba o ventilador.

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Recordando, PRIMERA FORMA DE LA ECUACIÓN DE EULER (Expresión en alturas) Esta ecuación es denominada generalmente Altura de Euler.

1 H u    c 2u  u 2  c1u  u1  g

Figura 1.5. Triangulo de velocidad de entrada y salida de los alabes de una bomba o ventilador. MECANICA DE LOS FLUIDOS II – UNIDAD I

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Del triangulo de velocidades y la primera forma de la ecuación de Euler, obtenemos, 2 2

2 1

2 2

2 1

2 1

u -u c -c w -w H u    + + 2g 2g  2g

2 2

  

SEGUNDA FORMA DE LA ECUACIÓN DE EULER (Expresión en alturas)

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER. Recordando la ecuación de Energía entre la entrada y salida del rodete (sin considerar perdidas de energía y despreciando la energía potencial gravitacional) obtenemos,

 p2 - p1 h A     g

  + 

 c 22 - c12     2g 

ECUACIÓN DE ENERGÍA (Expresión en alturas)

Si no se consideran perdidas de energía hA = Hu.

 p2 - p1 H u     g

  + 

 c 22 - c12   u22 - u12 c 22 - c12 w12 - w 22  + +      2g 2g   2g   2g MECANICA DE LOS FLUIDOS II – UNIDAD I

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Teoría de Turbo-Máquinas. ECUACIÓN DE EULER.

 p2 - p1 H u     g

  + 

 c 22 - c12   u22 - u12 c 22 - c12 w12 - w 22  + +      2g 2g   2g   2g

Se denomina para el rodete,

 p2 - p1 H p     g

  u22 - u12 w12 - w 22  +     2g    2g

 c 22 - c12  H d     2g 

ENERGÍA DE PRESIÓN (Expresión en alturas)

ENERGÍA DINÁMICA (Expresión en alturas)

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Teoría de Turbo-Máquinas. Ejemplo 1.3.- Una bomba centrifuga para gira en sentido horario a 1100 r.p.m tiene las dimensiones; D2 = 25 cm; b2 = 3,5 cm. El flujo de agua entra paralelo al eje de rotación y sale un ángulo de 25º con respecto a la dirección radial. La velocidad absoluta de salida es 28 m/s. Dibuje el triangulo de velocidades para la salida y obtenga los todos sus componentes (velocidades y ángulos). Además determine el caudal, la altura y la potencia en kW. Realice los supuestos necesarios.

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