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• Carlos Eduardo Salazar Rendon

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Un juego clásico y muy popular es el conocido como "piedra/papel/tijera", utilizado comúnmente como mecanismo de decisión para la realización de alguna acción. La simplicidad de las reglas y la ausencia de accesorios necesarios en este pasatiempo, de origen chino, han hecho que su uso se haya mantenido durante varias generaciones. Matemáticamente, las reglas del juego tienen la particularidad de la no transitividad, proceso que ya hemos considerado en otro artículo de este rincón (ver matemagia 45). En esta ocasión describiremos un juego basado en estas mismas ideas pero utilizando cartas. El juego es una adaptación del descrito por Colm Mulcahy en su sección Card Colm.

Consigue una baraja francesa y reparte sobre la mesa algunas cartas de cada palo formando cuatro montones, uno por cada palo (y recuerda cuál o cuáles de los montones contienen un número impar de cartas). Entrega el resto de la baraja a un espectador para que la mezcle y te entregue un pequeño paquete. Después de echar una ojeada a tus cartas, comprobando que están bien repartidas, escribes dos predicciones y las dejas a la vista sin que pueda leerse su contenido. Explica al espectador que, con las cartas de su montón, jugará a la "batalla de los palos", similar al juego de "piedra-papel-tijera", pero con las reglas que se describen a continuación: 

Se sacan las dos cartas superiores del paquete. Si son del mismo palo, ambas quedan eliminadas pero se recoge de la mesa una carta de rombos y se añade al paquete; si sólo una de las cartas es de rombos, ésta queda eliminada y la otra carta se añade al paquete; en cualquier otro caso, se eliminan ambas cartas y se añade al paquete una carta de palo distinto a la pareja eliminada y distinto a rombos. La tabla de sustituciones se resume a continuación: 1ª\2 Ro Tré Cora Pi ª mb bol zone ca

os es



s

s

Rom R bos

T

C

P

Tréb T oles

R

P

C

Cora zone C s

P

R

T

Pica P s

C

T

R

[Podemos decir que los rombos representan un empate entre los palos, que el palo de rombos pierde ante cualquier otro palo y que, quitando los rombos, el tercer palo gana la batalla entre dos palos diferentes.]



La batalla anterior se repite entre las dos siguientes cartas y así sucesivamente, hasta que quede una sola carta.

Muestra entonces la primera predicción donde está escrito el palo de dicha carta. Puedes repetir el mismo experimento con el otro montón y comprobar que el palo de la carta ganadora también coincide con lo escrito en la segunda predicción.

Secreto. Veamos la forma de calcular los palos de las cartas que debes anotar en las predicciones. En primer lugar, debes saber el número de cartas que se han colocado previamente sobre la mesa (solamente necesitas saber qué montones contienen un número impar de

cartas).

Después, cuando el espectador se queda con un paquete de cartas y te entrega el otro, con el pretexto de comprobar que están bien mezcladas, contarás el número de cartas de cada palo. En realidad, basta con saber qué palos contienen un número impar de cartas. Esta información permite saber también qué palos contienen un número impar de cartas en el paquete del espectador. Además, no hace falta contar las

cartas

de

rombos

pues

tienen

valor

cero.

Con esta información, la regla para saber cuál será la carta final después del proceso de eliminación es la siguiente: 

Si sólo hay un palo con una cantidad impar de cartas, la carta final será de dicho palo.



Si sólo dos palos tienen una cantidad impar de cartas, la carta final será del palo restante (que no sea rombos).



Si hay una cantidad impar de cartas en los tres palos, la carta final será de rombos.

Ejemplos. (1) Supongamos que haces inicialmente los cuatro montones con un número par de cartas

en

cada

montón.

Supongamos también que, al revisar tu paquete, encuentras un número impar de cartas de tréboles. Esto quiere decir que el paquete del espectador contiene también un número impar de cartas de tréboles. En este caso, ambas predicciones coincidirán y debes escribir en cada una de ellas la palabra "TRÉBOLES". (2) Supongamos ahora que, sobre la mesa, has colocado los cuatro montones pero sólo el montón de picas contiene un número impar de cartas. Después, al revisar tu paquete, encuentras un número impar de cartas de tréboles. En consecuencia, el montón del espectador contiene un número impar de cartas de tréboles y de picas. En esta situación, la predicción correspondiente al paquete del espectador será "CORAZONES" y la correspondiente a tu paquete será "TRÉBOLES". Explicación. La tabla anterior corresponde al grupo de Klein de cuatro elementos (no debes preocuparte por conocer qué es un grupo de Klein pero si lo conoces apreciarás esta curiosa aplicación de este grupo), donde el palo de rombos representa el elemento neutro. Basta sustituir cada palo por un elemento del conjunto {0, 1, 2, 3} para saber el resultado final del proceso de eliminación-sustitución contando el número de cartas de cada palo que se encuentra en cada paquete. Con las sustituciones indicadas, la tabla anterior queda de la forma

1ª\2 R= T= C= P= ª 0 1 2 3 R=0 0

1

2

3

T=1 1

0

3

2

C=2 2

3

0

1

P=3 3

2

1

0

Observación. Se puede evitar tener que contar las cartas de cada paquete si se tiene la baraja preordenada por palos, digamos que los palos están alternados en toda la baraja (siempre en la misma secuencia, digamos rombos-tréboles-corazones-picas). Se pide a dos espectadores que nombren un número entre 10 y 20 y repartan para sí mismos tantas cartas como indica su número. Basta esa información para saber qué palos tienen una cantidad impar de cartas. Es habitual que se atribuyan a los grandes personajes de la historia ciertas habilidades o aptitudes que puedan sorprender a la mayoría por estar muy alejadas de su propia especialidad pero hagan aumentar su leyenda. Además, siendo tan difícil probar dichas habilidades como justificar su ausencia, es quien recibe la información el que elige creerla o no. Basta difundir la noticia de forma adecuada para que se convierta en un hecho irrefutable. Sirva este preámbulo para justificar el título del juego que presentaremos a continuación, dado por el excelente mago suizo Roberto Giobbi a sugerencia del no menos excelente mago francés Richard Vollmer. Sería muy atractiva la noticia de que Albert Einstein fue un mago aficionado, que inventó el juego que describimos en esta entrega y que lo realizaba siempre que quería explicar de forma desenfadada su teoría de la relatividad. A lo mejor, un día esta noticia se convierte en realidad, y la prueba está en la fotografía inicial, donde él mismo lo escribe en la pizarra. Busca una baraja y sigue las instrucciones que se enumeran a continuación. 1. Deja la baraja sobre la mesa y divídela en cuatro montones más o menos iguales. 2. Elige uno cualquiera de dichos montones (los demás ya no se usarán), recógelo y mira la carta inferior. Volverás a verla después de un viaje por el

espacio-tiempo. 3. Para hacer el viaje por el espacio, aplicaremos la famosa fórmula E = m c 2, donde E no significa "energía" sino "Einstein". Para ello, con el montón elegido caras abajo, deletrea la palabra E-I-N-S-T-E-I-N pasando por cada letra una carta de arriba abajo. 4. Repite de nuevo el paso anterior: como el símbolo c no significa "velocidad de la luz" sino "cartas", al estar elevadas al cuadrado en la fórmula, vuelve a deletrear la palabra E-I-N-S-T-E-I-N pasando por cada letra una carta de arriba abajo. 5. Vamos ahora a viajar por el tiempo para encontrar tu carta: deja sobre la mesa la carta superior, pasa de arriba abajo la carta que está ahora encima, deja sobre la mesa la nueva carta superior, pasa de arriba abajo la primera carta, y así sucesivamente. 6. El viaje termina cuando tengas en la mano una sola carta. Mírala y comprueba que la fórmula es correcta pues se trata de la carta elegida.

Explicación: El fundamento del juego se basa en las propiedades de la mezcla australiana, explicada en el número de mayo 2006, MATEMAGIA 28. Para que el juego funcione, el montón de cartas utilizado debe tener entre 8 y 16 cartas (lo que se consigue fácilmente si dividimos la baraja en cuatro montones más o

menos

iguales).

Para la primera parte, se debe deletrear dos veces cualquier palabra de ocho letras. La tabla siguiente muestra la posición final de las cartas en cada caso y, concretamente, la posición final de la última carta, que es la elegida:

Número de cartas

Posición final

Lugar que ocupa la última carta

a1, a2, ..., a16 a2, a3, ..., a15, a1 n = 16

16 a3, a4, ..., a14, a1, a2

n = 15

14 a4, a5, ..., a13, a1, a2, a3

n = 14

12 a5, a6, ..., a12, a1, ...,

n = 13

10 a4

n = 12

8 a6, a7, ..., a11, a1, ...,

n = 11

6 a5

n = 10

4 a7, a8, ..., a10, a1, ...,

n=9

2 a6

n=8

8 a8, a9, a1, ..., a7 a1, a2, ..., a8

De esta forma, la carta elegida está en la posición correcta para que sea la última que quede después de una mezcla australiana. LAS TRES ÚLTIMAS En el número de mayo de 2006 (matemagia 28) presentamos la llamada mezcla australiana, un proceso de reparto cuyas propiedades se basan en las características del sistema de numeración binaria. El juego que describimos en esta ocasión descansa en el mismo principio matemático pero permite localizar más de una carta con el mismo proceso. Repasa las indicaciones que se indican y busca tres voluntarios para realizar el juego. 1. Mezcla una baraja completa de 52 cartas. Pide a tres espectadores que elijan y retiren de la baraja una carta cada uno. 2. Reparte ahora un montón de 10 cartas caras abajo sobre la mesa. A su derecha reparte otro montón de 15 cartas y a la derecha de éste, reparte un tercer montón de 15 cartas. Guarda el resto de cartas en la mano.

3. Pide al primer espectador que coloque su carta sobre el montón de 10 cartas y que ponga encima de ese montón algunas cartas del montón central. 4. Pide al segundo espectador que coloque su carta sobre el montón central y que ponga encima algunas cartas del montón de la derecha, tantas como quiera. 5. Pide por último al tercer espectador que coloque su carta sobre el montón de la derecha y deja encima el resto de cartas que tienes en la mano. 6. Recoge el montón de la derecha y colócalo sobre el central. Recoge este montón y colócalo sobre el montón de la izquierda. Explica que las cartas elegidas están ahora perdidas en la baraja. 7. Pasa las cuatro cartas superiores a la parte inferior de la baraja. Explica que vas a encontrar las cartas elegidas mediante un proceso de eliminación. Para ello reparte las cartas sobre la mesa, una cara arriba, una cara abajo y así sucesivamente, de forma alternada, formando dos montones, hasta que aparezca alguna de las cartas elegidas. 8. Como ninguno de los espectadores verá su carta, retira el montón de cartas caras arriba y repite la operación con el otro montón. Reparte la primera carta cara arriba, la siguiente cara abajo en otro montón, y así sucesivamente hasta que algún espectador vea su carta. 9. Curiosamente, nadie ha visto aún su carta, de modo que repite el mismo proceso con el montón de cartas caras abajo. 10.De nuevo, las cartas elegidas no aparecen y sólo queda un montón de seis cartas. Repite de nuevo el mismo proceso y quedarán dos montones de tres cartas. Misteriosamente las tres cartas elegidas serán las únicas que han quedado cara abajo. Como muchos de nosotros no disponemos de barajas con 52 cartas, pues la baraja española clásica tiene 40 cartas, proponemos como concurso para este verano la adaptación del juego a la baraja española. Bastará descubrir el número de cartas que deben tener los tres montones que se forman sobre la mesa basándose en las propiedades de la mezcla australiana para que las tres cartas finales sean precisamente las elegidas al principio. Envía tu solución por correo electrónico y, como de costumbre, la redacción de Divulgamat premiará con un libro de divulgación matemática a los ganadores. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php? option=com_alphacontent§ion=11&category=63&ordering=5&limitstart= 50&limit=10&Itemid=67