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TRIGONOMETR´IA Douglas Jim´enez[1]

11 de diciembre de 2010

[1]

Universidad Nacional Experimental Polit´ecnica (UNEXPO) “Antonio Jos´e de Sucre”. Vicerrectorado de Barquisimeto. [email protected]

1.

Introducci´ on

Trigonometr´ıa es una palabra que deriva de dos palabras griegas: τρίγωνον (tr´ıgonon, tri´ angulo) y μέτρον (metron, medida). Esta etimolog´ıa describe bien lo que fue la disciplina en sus inicios: un conjunto de t´ecnicas para resolver tri´ angulos, esto es, determinar sus tres ´angulos y sus tres lados; hoy todav´ıa, la trigonometr´ıa tiene amplios usos en este sentido. Sin embargo, como suele suceder, muy pronto sus aplicaciones comenzaron a abarcar una serie de fen´omenos no previstos al inicio –por ejemplo, los fen´omenos peri´odicos– lo que implicaba nuevos puntos de vista y nuevas metodolog´ıas de estudio. La matem´ atica, beneficiaria de esta evoluci´on, ha impuesto nuevos conceptos en la materia y actualmente la misma se estudia como parte de una disciplina m´ as amplia: la teor´ıa de funciones, lo que abarca tanto los n´ umeros reales como a los complejos. Nuestro enfoque se orienta como una preparaci´on al estudio del c´ alculo, campo en el que estas funciones son imprescindibles.

2.

Medida angular

Para medir ´ angulos se usa el procedimiento de tomar el v´ertice como centro de una circunferencia y luego medir el arco de la circunferencia que queda en el interior del ´ angulo, al cual se le llama arco subtendido. As´ı, en la figura a la derecha vemos el =AOB que subtiende un arco de la circunferencia mostrada con centro en O. Hay dos sistemas principales para medir los ´ angulos por medio del arco subtendido:

A

O

Arco subtendido B

Figura 1: Arco subtendido.

Medida en grados: Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y se determina cu´ antas de estas partes est´an en el arco subtendido. A cada una de las 360 subdivisiones se le llama grado y se representa mediante el s´ımbolo  ; por ejemplo: 27 , 45 , etc. Las partes fraccionarias de un grado se pueden representar de manera decimal, pero se suele preferir en este sistema dividir el grado en sesenta partes denominadas minutos y el minuto en sesenta partes, denominadas segundos. Los minutos se representan por el s´ımbolo 1 y los segundos por el s´ımbolo 2 . Por ejemplo un ´angulo de 32 251 172 es un ´ angulo de 32.42139 (con cinco decimales). Medida en radianes: Se determina cu´antos radios de la circunferencia hay en la longitud del arco subtendido; si el arco tiene la misma longitud que el radio se dice que el ´ angulo mide un radi´ an. Evidentemente, si un ´angulo de un radi´ an subtiende un arco de una circunferencia de radio 1 entonces

1

la longitud del arco es igual a 1. En general, si la longitud del arco es s y el radio de la circunferencia es r, entonces la medida x del ´angulo, en s radianes, es x  . r Cabe preguntarse si estas definiciones dependen del mayor o menor tama˜ no de la circunferencia y, por fortuna, la respuesta es negativa: puede demostrarse que, para un mismo ´ angulo, las longitudes de los arcos subtendidos son proporcionales al radio de la circunferencia, por lo cual no importa el radio de la circunferencia: la medida angular siempre ser´a la misma.[1] Una ilustraci´on pr´ actica de este hecho es que si tenemos dos pizzas de diferentes tama˜ nos y las cortamos desde el centro en el mismo n´ umero de partes iguales, entonces todos los cortes coincidiran en el ´ angulo. Sea cual sea la unidad de medida, esta u ´ltima se asigna al arco subtendido. Por ejemplo, podemos decir que un arco mide 25 o 2 radianes. La medida angular de un arco subtendido ser´a siempre menor que la mediC O D da de un ´angulo llano como por ejemplo el =COD de la figura a la izquierda, que nos ilustra el hecho de que todo ´ angulo llano sub´ Figura 2: Angulo llano. tiende a una semicircunferencia. Ahora bien 1 corresponde a una divisi´on de la circunferencia en 360 partes iguales, por lo cual una semicircunferencia tendr´a 180 de estas partes; es decir, la medida de un ´angulo llano es 180 . ¿C´ omo determinamos la medida en radianes? La semicircunferencia tiene una longitud s  πr; entonces usando la f´ormula x  s{r, conseguimos como medida del ´ angulo llano π radianes. En consecuencia, π radianes  180 , de donde obtenemos las siguientes ecuaciones de conversi´on de unidades: 1 radi´ an 

180 π

1

y

π  180 radianes.

En la tabla a continuaci´ on tenemos algunos valores de ´angulo notables, tanto en grados como en radianes, las cuales pueden verificarse con las ecuaciones de [1] De

hecho, la medida angular en radianes es la constante de proporcionalidad.

2

conversi´ on anteriores.: Grados

Radianes

0

0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6

30 45 60 90 120 135 150 180

π

Es natural entonces afirmar que la circunferencia completa mide 360 o 2π radianes. Esto permite asignar una medida al arco de la circunferencia que queda en el exterior del =AOB de la figura 1. Por ejemplo, si el arco subtendido mide g  , el arco exterior medir´ a p360
g q ; pero si estos g  son x radianes, entonces el arco exterior mide 2π
x radianes. En lo que sigue daremos preferencia a la medida en radianes respecto a la medida en grados. No se trata de un capricho. En primer lugar, hay que observar que al medir los ´ angulos en radianes, la longitud de los arcos se mide con la misma unidad con la que se miden los segmentos rectil´ıneos: es decir, la medida en radianes nos da homogeneidad en las mediciones. Por otra parte, este peque˜ no curso de trigonometr´ıa est´a pensado como apoyo al estudio del c´alculo, y en esta materia los resultados principales que involucran a las funciones trigonom´etricas se hacen mucho m´as sencillos usando medida en radianes. Por lo tanto, el estudiante debe adecuar su pensamiento a esta nueva situaci´on. Es tan importante la medida en radianes para el c´alculo que para referirse a ella ni siquiera se nombran las unidades. Por ejemplo, si decimos que un ´angulo mide 2 debe sobreentenderse que se trata de 2 radianes; en caso contrario estamos obligados a escribir 2 . Lo anterior no significa que prescindiremos totalmente de la medida en grados pero, por lo regular, la dejaremos para los problemas de resoluci´on de tri´ angulos.

3

Arcos orientados Pero siempre es posible extender las ideas m´as all´a de donde est´an en un momento determinado: por ejemplo, vale asignar signo a la medida angular de un arco de circunferencia; para ello podemos proceder como sigue. En primer lugar, consideremos un sistema de ejes coordenados t
s,[2] en el cual trazaremos la circunferencia con centro en el origen y radio 1, que ser´a denominada circunferencia unitaria, tal como se muestra en las dos partes de la figura 3. Ahora los arcos en consideraci´on tendr´an un extremo fijo: el punto A p1, 0q de la circunferencia unitaria, el cual se concibe como el inicio del arco; el otro extremo del arco es cualquier punto P de la circunferencia, pensado como el final del arco (incluso puede darse el caso P  A). s

s P 1

O

x

p q t

O

A 1, 0

p q t

A 1, 0

1

x P

(a) Arco positivo: x ¡ 0

(b) Arco negativo: x   0

Figura 3: Arcos orientados en la circunferencia unitaria.

Los arcos pueden recorrerse desde el inicio hasta el final en dos sentidos distintos con relaci´ on al punto A: si se recorre desde A hasta P contrariando las agujas del reloj (figura 3(a)), entonces el arco tiene medida x positiva; pero si se recorre en el mismo sentido de las agujas del reloj (figura 3(b)) entonces el arco tiene medida x negativa. En otro orden de ideas, el recorrido de A hasta P (positivo o negativo) puede hacerse de infinitas formas distintas. La m´as sencilla, en el caso positivo, es hacer el recorrido directo; esto significa que los arcos tienen valores entre 0 –cuando P coincide con A– hasta 2π (o 360 )–cuando P vuelve a coincidir con A, pero luego de dar una vuelta completa a la circunferencia. Ahora bien, llegados aqu´ı nada impide continuar recorriendo la circunferencia –tantas veces como deseemos– para alcanzar de nuevo a P . En este caso estar´ıamos hablando de valores de arco mayores a 2π. Como las mismas consideraciones se pueden hacer respecto a los arcos negativos, entonces puede asumirse que cualquier n´ umero real es una medida de arco. [2] Usamos

las variables t y s porque este sistema ser´ a provisional, antes de colocar nuestros conceptos principales en el sistema definitivo x y.




4

EJEMPLO 1 ¿Cu´al es la medida en radianes de un arco de 1845 ? ¿Y la medida en grados de un 25π arco de
? 6 Soluci´ on Como una vuelta completa a la circunferencia significa 360 entonces dividimos 1845 entre 360, que resulta en 1845  5  360

45,

es decir que el punto terminal del arco de 1845 se obtiene luego de dar 5 vueltas a la circunferencia en sentido antihorario y finalmente recorrer 45 adicionales en el mismo sentido. En radianes, las cinco vueltas equivalen a 5  2π  10π y 45 (seg´ un la tabla de la p´agina 3) es π {4; entonces 1845

 10π

π 4

 41π . 4

Para responder la segunda parte, nos tenemos que preguntar cu´antas veces est´a
2π (una vuelta completa en sentido horario) en
25π {6; para ello observamos que 
24π6 π 
4π
π6  2p
2πq
π6 ,
25π 6 lo cual significa que para alcanzar el arco de
25π {6 debimos dar 2 vueltas a la circunferencia en sentido horario y luego terminar con un arco de π {6 en el mismo sentido. Como π {6  30 entonces


25π  2p
360 q
30 
750 . 6



EJERCICIOS 1. A continuaci´ on se le dan varias medidas de arco en grados o radianes. Convi´ertalas de una medida a la otra. En cada caso, dibuje la circunferencia unitaria e indique el punto final del arco. a) 15

b)


7π 36

c)


17π 12

d) 205

e)


805

f)

85π 12

2. El minutero de un reloj de pared mide 15 cm. ¿Qu´e distancia recorre su punta desde las 12 m. hasta las 12 : 25 p.m.?

5

3. Demuestre que

1 radi´an  57 171 452 .

(En realidad es un poco m´as, pero la diferencia es menor que una mil´esima de segundo y esta es una magnitud que ser´ıa importante para longitudes astron´ omicas. Si el lector se dedicara a esta disciplina deber´a tomarlo en cuenta.) 4. Un sector circular es una porci´on de c´ırculo contenida entre los lados de un ´ angulo con el v´ertice en el centro del c´ırculo, tal como se muestra en la figura 4, donde tenemos un c´ırculo de centro O y radio R y dentro de ´el un sector circular definido por un ´angulo de medida x en radianes, el cual subtiende un arco de longitud s en la circunferencia del c´ırculo. Se puede demostrar que, en un mismo c´ırculo, las ´areas de los sectores circulares son proporcionales a las longitudes de los arcos subtendidos. Utilice esta informaci´ on para demostrar que AS

 12 xR2 ,

donde AS es el ´ area del sector circular de la figura 4. s

x R O

´ Figura 4: Area de un sector circular. (Ejercicio 4.) 5. Se dibuja una flor de tres p´etalos dentro de un hex´agono regular, ti˜ nendo de gris las regiones comprendidas por arcos de circunferencia trazados con centro en v´ertices del hex´agono, tal como se muestra en la figura 5. Calcule el ´ area de la flor, si el lado del hex´agono mide 1.

Figura 5: Flor dibujada dentro de un hex´agono. (Ejercicio 5.)

6

3.

Las definiciones

Los t´erminos seno y coseno est´an asociados a las coordenadas de los puntos sobre la circunferencia unitaria de acuerdo a la siguiente definici´on. s

p q

P t, s 1

O

 

sen x s cos x t

x

Q

p q t

A 1, 0

Figura 6: Definiciones de las funciones trigonom´etricas. Definici´ on 1. Sea x un n´ umero real cualquiera y sea P pt, sq el extremo final del arco orientado de medida x sobre la circunferencia unitaria (figura 6). El seno de x es la ordenada de P y el coseno de x es la abscisa de P ; m´ as brevemente sen x  s, cos x  t.

A partir de estas definiciones a la circunferencia unitaria tambi´en se le llama circunferencia trigonom´etrica.

Valores De acuerdo a las definiciones anteriores, para calcular el valor del seno o coseno del arco de medida x, solo tenemos que medir las longitudes respectivas de los segmentos QP (en rojo) y OQ (en azul). Es claro que ambos segmentos tienen menor (o igual) tama˜ no que el radio de la circunferencia; por supuesto que la igualdad solo se da en los arcos cuyos extremos terminales est´an sobre los ejes coordenados. Por esta raz´on sabemos que tanto seno como coseno son valores entre
1 y 1, lo cual se expresa de la siguiente manera:


1 ¤ sen x ¤ 1,


1 ¤ cos x ¤ 1.

Ahora bien, en general no parece f´acil medir estos segmentos de forma tal que podamos obtener aproximaciones a estos valores con cualquier cantidad de decimales previamente establecida. Sin embargo, en el curso de c´alculo aprenderemos t´ecnicas que nos permiten obtener dichos valores con el n´ umero de decimales exactos que nos haga falta. 7

Estas t´ecnicas implican buena cantidad de c´alculos por lo que, hasta el segundo tercio del siglo XX, hab´ıa personas que se encargaban de hacer las laboriosas computaciones y escrib´ıan los resultados en tablas para quienes los necesitaran. Posteriormente, la aparici´ on del c´alculo electr´onico hizo las cosas m´as f´aciles pues las secuencias de c´ omputo de las que hemos hablado pueden incluirse en la memoria de los artefactos electr´onicos, lo que permite obtener estos valores inmediatamente con la simple presi´on de una tecla. s

p0, 1q

p
1, 0q

p1, 0q t

O

p0,
1q Figura 7: Valores trigonom´etricos notables. Sin embargo, hay valores de las cantidades trigonom´etricas que pueden calcularse sin tanta dificultad pues se deducen de la observaci´on directa de la circunferencia trigonom´etrica, tal como vemos en la figura 7; por ejemplo, aquellos que corresponden a los arcos cuyos extremos est´an sobre los ejes coordenados; en el primer giro estos son: 0, π {2, π, 3π {2 y 2π. En estos casos tenemos: sen 0  0,

cos 0  1,

π 2

 1,

cos

sen π

 0,

cos π

sen

sen

3π 2

sen 2π

 0,

π 2


1,


1,

cos

3π 2

 0,

 0,

cos 2π

 1.

Obs´ervese que es en estos puntos –y solo en ellos– donde seno y coseno adquieren los valores 1,
1 y 0. Como ya sabemos, podemos alcanzar estos mismos extremos mediante giros m´ as amplios o negativos; algunos ejemplos pueden ser: sen

5π 2

 1,

cos

5π 2

 0,

senp
π q  0, 8

cosp
π q 
1,

etc.

π 4

1

?2

1

2

π 3 1 2

π 4

?2 2

π 6

?3 2

(b) Tri´angulo mitad de un equil´atero.

(a) Tri´angulo isorrect´angulo

Figura 8: Tri´angulos rect´angulos importantes.

Por otra parte, las propiedades de algunos tri´angulos rect´angulos facilitan conocer otros valores de observaci´on menos sencilla, como veremos a continuaci´ on apoyados en la figura 8. En la parte (a) de esta figura tenemos un tri´angulo isorrect´ angulo, esto es, is´ osceles y rect´angulo a la vez. Como la suma de los angulos internos de cualquier tri´angulo vale π entonces los ´angulos agudos del ´ π isorrect´ angulo miden cada uno . Si la hipotenusa del isorrect´angulo mide 1, 4 el lector puede?demostrar usando el teorema de Pit´agoras que cada uno de los 2 catetos mide . 2 En la parte (b) de la figura tenemos un tri´angulo equil´atero de lado 1; todos π sus ´ angulos miden . Al bajar una de sus alturas aparececen dos tri´angulos 3 π π rect´ angulos de ´ angulos agudos y . La altura corta al lado produciendo para 3 6 1 el tri´ angulo rect´ angulo un cateto de longitud ; el otro cateto –por el teorema 2 ? 3 de Pit´ agoras– mide . 2 Llevados estos resultados a la circunferencia trigonom´etrica –como se muestra en la figura 9– se obtienen los valores que la misma figura indica. N´otese que en todos los casos hemos representado al seno como la l´ınea roja y al coseno como la l´ınea azul. La tabla de la figura 10 nos da un resumen de lo visto hasta ahora y nos provee de los valores trigonom´etricos para los arcos cuyo punto terminal est´ a en el primer cuadrante. Esta informaci´on suele ser suficiente para obtener valores en los dem´ as cuadrantes, tal como veremos en el pr´oximo aparte.

Algunas propiedades importantes A continuaci´ on veremos ciertas propiedades que sirven para usar valores trigonom´etricos conocidos en la b´ usqueda de otros desconocidos. Los arcos a los que haremos referencia tendr´an sus extremos en el primer cuadrante, pero el lector deber´ a mostrar que las afirmaciones que hagamos son v´alidas indepen9

s

s 1 O

π sen 6 π cos 6

 

π 6

s 1

t

1 2 ? 3 2

t

O

π sen 4 π cos 4

 

π 3

1

π 4

t

O

?

π 3 π cos 3

2 ?2 2 2

sen

 

?

3 2 1 2

Figura 9: M´as valores trigonom´etricos. dientemente de la posici´ on en que se encuentre tal extremo. Recordemos que el sistema en el que hemos colocado la circunferencia unitaria lo hemos llamado sistema t
s. Periodicidad Como 2π mide a un arco de circunferencia completa entonces los arcos de medida x y x 2π tienen exactamente el mismo extremo terminal, en consecuencia podemos afirmar que senpx

2π q  sen x

cospx

y

2π q  cos x

Las ecuaciones anteriores reflejan el hecho de que dando giros alrededor de la circunferencia unitaria repetimos una y otra vez los valores trigonom´etricos. Esta caracter´ıstica se conoce con el nombre de periodicidad y al n´ umero 2π se le denomina per´ıodo del seno y del coseno. Las ecuaciones anteriores pueden generalizarse pues no estamos limitados en el n´ umero de vueltas que podemos dar a la circunferencia antes de alcanzar un determinado arco, por esta raz´on se puede multiplicar el per´ıodo 2π por cualquier n´ umero entero y las ecuaciones anteriores se modifican a senpx

2nπ q  sen x

cospx

y

2nπ q  cos x

n P Z.

Simetr´ıa respecto al eje t En la figura 11 vemos que si P es el extremo del arco de medida x y Q el extremo del arco de medida
x entonces P y Q son sim´etricos respecto al eje t. (El lector debe probar que los dos tri´angulos que aparecen son congruentes.) 10

Arcos (Unid.)

Valores

Radianes

Grados

Seno

Coseno

0

0

0

1

30

1 2

π 6

?

3 2

?

?

π 4

2 2

45

2 2

π 3

60

3 2

1 2

π 2

90

1

0

?

Figura 10: Valores trigonom´etricos en el primer cuadrante. Por esta raz´ on: senp
xq 
sen x

cosp
xq  cos x

y

s P 1

x

t

O


x

1 Q

Figura 11: Simetr´ıa respecto al eje t: arcos x y

11


x.

EJEMPLO 2 11π Determinar los valores trigonom´etricos del arco de . 6 Soluci´ on En primer lugar, observamos que 11π 6

 2π
π6 .

Si el lector hace una gr´afica similar a la figura 11 podr´a cerciorarse de que los arcos x y 2π
x tienen extremos terminales sim´etricos respecto al eje t, por lo cual es v´alido afirmar que senp2π
xq  senp
xq Finalmente



cosp2π
xq  cosp
xq.

11π 6

 sen
π6 
sen


π


21
π
π ?3 11π cos  cos
6  cos 6  2 . 6

sen y




y

6



Si el lector observa con cuidado ver´a que el procedimiento de soluci´on del ejemplo anterior consiste en situar en la circunferencia unitaria el extremo del arco en el que estamos interesados, luego de lo cual el arco en cuesti´on se compara con alguno del primer cuadrante mediante un criterio de simetr´ıa. Esto significa que para conocer los valores trigonom´etricos de cualquier arco, basta con conocer los valores trigonom´etricos en el primer cuadrante, esto es los π valores trigonom´etricos de los arcos entre 0 y . 2 Simetr´ıa respecto al eje s Si P es el extremo del arco de medida x y Q el extremo del arco de medida π
x entonces, tal como se desprende de la observaci´on de la figura 12, los puntos P y Q son sim´etricos respecto al eje s; en consecuencia: senpπ
xq  sen x

y

cospπ
xq 
cos x

Por extensi´ on del concepto aplicado a los tri´angulos, a los arcos de medida x y π
x –es decir, aquellos cuya suma da un ´angulo llano– se les llama suplementarios. EJEMPLO 3 Determine los valores trigonom´etricos del arco de medida

12


5π4 .

s




π x

Q

P 1

1

x

t

O

Figura 12: Simetr´ıa respecto al eje s: arcos x y π
x. Soluci´ on Se tiene que


5π4 
π
π4 .

Un diagrama adecuado mostrar´a que los arcos de medidas x y extremos terminales sim´etricos respecto al eje s, por lo cual senp
π
xq  senpπ
xq

y

cosp
π
xq  cospπ
xq.

Por lo tanto,



5π sen
4 y



5π cos
4





 sen

 cos







π


π



π
x tienen

?


π π 2  sen  , 4 4 2

?


π π 
cos 
22 . 4 4



Simetr´ıa respecto al origen Si P es el extremo final del arco de medida x y Q el extremo final del arco de medida π x entonces P y Q son sim´etricos respecto al origen de coordenadas, tal como se desprende de la observaci´on de la figura 13; por lo tanto senpπ

xq 
sen x

y

EJEMPLO 4 Calcular los valores trigonom´etricos del arco de

13

cospπ


8π3 .

xq 
cos x

s π x P 1

x

t

O

1 Q

Figura 13: Simetr´ıa respecto al origen: arcos x y π

x.

Soluci´ on


8π3 
2π3
2π. Pero esto significa que



sen



y






















8π3  sen
2π3
2π  sen
2π3

8π cos
3

 cos
2π3


2π

 cos
2π3

,

puesto que 2π es el per´ıodo. Entonces todo se reduce a conseguir los valores trigo2π nom´etricos del arco de medida
. 3 Ahora bien
2π3  π3
π, pero el uso de la circunferencia trigonom´etrica muestra que x y x
π son magnitudes de arcos con puntos terminales sim´etricos respecto al origen. Entonces senpx
π q  senpπ Finalmente



8π sen
3



y cos



xq

 sen



xq .

?





8π3  cos

cospx
π q  cospπ

y

π


π


π π 3 
sen 
3 3 2
π π 
cos 
12 . 3 3

14



Arcos complementarios Por extensi´ on –como en el caso de los suplementarios– se llaman complemenπ tarios a los pares de arcos cuyas medidas son x y
x; esto es, a aquellos cuya 2 suma es un ´ angulo recto. En la figura 14 mostramos en dos versiones de la misma s

s Q 1

P

1

π 2


x

x

O

S

t

O T

Figura 14: Arcos complementarios: x y

π 2

t


x.

circunferencia unitaria, los segmentos que representan los valores trigonom´etricos de los arcos de medida x y π {2
x, respectivamente. Los tri´angulos OSP y QT O son tri´ angulos rect´ angulos cuyas hipotenusas, OP y OQ, son congruentes, por ser radios de la misma circunferencia; Ahora bien, por complementarios en tri´ angulos rect´ angulos, se tiene que m=SOP y

 m=T QO  x,

m=T OQ  m=SP O

 π2
x,

donde m representa la medida angular. En consecuencia, los tri´ angulos SOP y T QO son congruentes por tener un lado congruente entre dos pares de ´angulos congruentes correspondientes. Por lo tanto: SP  OT y OS  QT, pero esto no es otra cosa que afirmar que sen


π




x  cos x 2

y

cos


π




x  sen x 2

En la tabla de la figura 10 se puede verificar la propiedad anterior para los π π π π π arcos de medidas: (a) 0 y , (b) y y (c) y . 2 6 3 4 4 Ecuaciones de diferencia de fase π x, esto es, dos arcos cuya 2 diferencia es π {2, tal como los mostrados en la figura 15. Usando t´enicas similares Consideremos dos arcos de medidas x y

15

a las que acabamos de ver, conseguimos congruencia en los tri´angulos OSP y QT O, por lo cual los segmentos P S y OT –as´ı como OS y T Q– son congruentes, s π 2

x

Q 1 1 T

O

P x

t

S

Figura 15: Arcos cuya diferencia es

π π :xy 2 2

x.

pero esto es lo mismo que decir sen


π 2

x

 cos x

y

cos


π 2

x


sen x

las cuales llamaremos ecuaciones de diferencia de fase por razones que estar´an claras m´ as adelante. No le recomendamos al lector que se aprenda de memoria todas estas f´ormulas. En cualquier caso siempre es posible dibujar en la circunferencia trigonom´etrica la situaci´ on que la ecuaci´on contiene. La circunferencia unitaria es la mejor arma contra el uso indiscriminado de la memoria cuando de trigonometr´ıa se trata.

4.

M´ as definiciones

A partir de seno y coseno es posible hacer aparecer otros cuatro valores trigonom´etricos, seg´ un podemos ver en la siguiente definici´on.

16

Definici´ on 2. Si x es cierto n´ umero real, entonces x  sen cos x

tg x

cot x 

Tangente

cos x sen x

Cotangente

sec x

 cos1 x

Secante

csc x

 sen1 x

Cosecante

Sin embargo, estas nuevas definiciones tienen una diferencia importante con seno y coseno: estas u ´ltimas pueden evaluarse en cualquier n´ umero real, pero las nuevas se definen por cocientes, lo que implica la posibilidad de conseguir una divisi´ on por cero, que es una operaci´on imposible. Entonces, es bueno saber con antelaci´ on cuales pudieran ser los valores de arco que nos conducir´ıan a este inconveniente. Concluiremos que las dificultades est´an en los cuatro puntos cardinales de la circunferencia trigonom´etrica que se muestran en la figura 16. s

p q

B 0, 1

C

p
1, 0q

p q

O

A 1, 0

t

p
1q

D 0,

Figura 16: Puntos cardinales en la circunferencia unitaria. En el caso de la tangente, por ejemplo, su denominador es el coseno. Una observaci´ on a la circunferencia trigonom´etrica muestra que el coseno se anula en los arcos cuyos extremos finales son los puntos B y D de la circunferencia. En un primer giro positivo, estos puntos se alcanzan con los arcos de medida π {2 y 3π {2, respectivamente. Pero si continuamos girando, los alcanzaremos sucesivamente en 5π {2, 7π {2, 9π {2, etc. Pero el razonamiento tambi´en es v´alido para los giros negativos, simplemente cambiando el signo a los valores de arco anteriores. Ahora bien, lo que acabamos de decir se puede resumir afirmando que es imposible evaluar la tangente en los m´ ultiplos impares de π {2 o, simb´olicamente, 17

en los valores x tales que π x  p2n
1q , 2

n P Z.

Con razonamientos similares, el lector puede conseguir las siguientes imposibilidades de c´ alculo: Cotangente

En los m´ ultiplos enteros de π: x  nπ, n P Z.

Secante En los m´ ultiplos impares de

π π : x  p2n
1q , 2 2

n P Z.

Cosecante

En los m´ ultiplos enteros de π: x  nπ, n P Z.

Con las definiciones anteriores puede completarse la tabla de valores de la figura 10 de la p´ agina 11, para obtener la tabla que se ve en la figura 17.

Arcos (Unid.)

Valores

Radianes

Grados

sen

cos

tg

0

0

0

1

0

π 6

30

1 2

π 4

45

π 3 π 2

?

2 2

?

?

3 2

?

2 2

60

3 2

1 2

90

1

0

?

3 3 1

?

3



cot

 ?

3

sec

csc

1



2 3 3

2

?

?

?

3 3

2

2 3 3

0



1

1

?

2

2

?

Figura 17: Valores trigonom´etricos en el primer cuadrante. La definici´ on 2 garantiza que todos los nuevos valores trigonom´etricos son peri´ odicos, con per´ıodo 2π, pero en el caso de la tangente y la cotangente se puede afinar la periodicidad un poco m´as, aprovechando las propiedades de los arcos de puntos terminales sim´etricos respecto al origen (p´agina 13), en efecto: tgpx

πq 

senpx cospx

πq πq

18

x 

sen  tg x, cos x

lo cual quiere decir que la tangente es peri´odica, pero con per´ıodo π. Esto, por supuesto, tambi´en es v´ alido para la cotangente. Resumiendo tgpx

π q  tg x

cotpx

y

π q  cot x

Otro aspecto importante tiene que ver con la simetr´ıa respecto al eje t (p´agina 10), observamos que tgp
xq 

senp
xq cosp
xq

sen x 
cos 
tg x, x

con un procedimiento similar para la cotangente, que resumimos en tgp
xq 
tg x

cotp
xq 
cot x

y

EJEMPLO 5 Calcular i) tg

7π . 6

ii) sec

5π . 3

 iii) cot iv) csc


25π 4




π


3

Soluci´ on

i) Tenemos que

7π 6

π

Entonces tg

ii)

π . 6




7π 6

 tg π6  tg π6 ?  33 .

5π 3

 2π
π3 . 19

π

Luego sec

iii)

 cot

5π 3




 sec 2π
π3
 sec
π3
 sec π3  2.









25π  cot 3p
2πq
π4 4

(¿Por qu´e?)








 cot
π4

cot π4 
1. iv) csc


π







3 
csc π3 ? 2 3 
3 .

(¿Por qu´e?) 

EJERCICIOS 1. Calcule los seis valores trigonom´etricos de los arcos con las siguientes medidas: a)

3π 4

b)

7π 6

c)

11π 6

d)

9π 2

e)


5π6

f)


5π4

g)


37π 4

h)


π

2. Demuestre lo siguiente:

ii) iii) iv)


π




x  cot x.
2π cot
x  tg x.
π2 sec
x  csc x.
π2 csc
x  sec x. 2

i) tg

20

A

E

B

F

C

G

D

Figura 18: El pent´agono regular de lado 1. 3. Este ejercicio muestra c´omo calcular los valores trigonom´etricos del arco 2π de medida (o 72 ). Consid´erese el pent´agono regular ABCDE de la 5 figura 18; suponga que este pent´agono tiene lado 1. i) Demuestre que las diagonales AD y EC se cortan en F de manera tal que AF AD  . AF FD ii) Demuestre que AE

 AF .

iii) Demuestre que EF iv) Demuestre que m=AEF

 FD 

?

5
1 . 2

 m=AF E  2π5 .

v) Baje la altura AG sobre el lado EF del 4AEF ; demuestre que

d

AG 

1 2

5

?

5

2

.

2π . 5 vii) Identifique otro arco en el primer cuadrante al cual pueda determinarle sus valores trigonom´etricos y diga cu´ales son ´estos. vi) Calcule los valores trigonom´etricos del arco de medida

5.

Gr´ aficas

Segmentos trigonom´ etricos Con relaci´ on a la circunferencia unitaria, los valores trigonom´etricos pueden representarse mediante un cierto segmento. Ya hemos visto desde la figura 6 de la 21

s

Q P



AQ tg x x O

B

A

t

Figura 19: AQ  segmento tangente. p´ agina 7 que el seno y el coseno se representan mediante los segmentos que hemos venido mostrando en rojo y azul, respectivamente. Ahora bien, observemos la figura 19 en la que BP  sen x y OB  cos x. Los tri´angulos OBP y OAQ son semejantes (¿por qu´e?) lo que nos permite concluir que AQ OA

BP  OB ,

pero OA  1 porque OA es un radio de la circunferencia unitaria. En conclusi´on: AQ 

sen x cos x

 tg x.

s

s

x

t

O

Cotangente

s

x O

Secante

x

t

O

t

Cosecante

Figura 20: Restantes segmentos trigonom´etricos. El decir, el segmento AQ (en morado) representa a la tangente del arco de medida x. Obs´ervese que este segmento es tangente a la circunferencia unitaria, lo que justifica de alguna manera el nombre dado a este valor trigonom´etrico. Con razonamientos similares, el lector podr´a comprobrar las representaciones que se sugieren en la figura 20.

22

Construcci´ on de las gr´ aficas Parece dif´ıcil construir la gr´afica de una ecuaci´on de la que se tienen tan pocas soluciones como es el caso de los valores trigonom´etricos. A pesar de eso es f´ acil trazar las gr´ aficas con bastante precisi´on usando los segmentos trigonom´etricos: simplemente trasladamos estos segmentos del sistema t
s original a un sistema x
y, donde en el eje x colocaremos las medidas de arco en radianes y en el eje y los valores trigonom´etricos correspondientes. Comencemos. Seno y coseno y

s 1

1

O

t

O

π 2

π


1


1

Figura 21: Gr´afica de la ecuaci´on y

x 3π 2

2π

 sen x entre 0 y π{2.

Nos apoyamos en la figura 21, en la que vemos a la izquierda la circunferencia trigonom´etrica en el sistema t
s y a la derecha tenemos el sistema x
y donde representaremos la ecuaci´ on y  sen x. En esta figura vemos que en el primer cuarto de vuelta, esto es, en los valores de arco comprendidos entre 0 y π {2 el segmento correspondiente al seno (segmento rojo) va creciendo, variando su longitud desde y  0 (en x  0) hasta y  1 (en x  π {2). Estos segmentos se desplazan horizontalmente hasta el sistema x
y y se tiene la gr´afica en el intervalo indicado. y

s 1

1

O


1

t

O

π 2


1 Figura 22: Gr´afica de la ecuaci´on y

π

x 3π 2

2π

 sen x entre π{2 y π.

Seguimos luego considerando el comportamiento en el segundo cuadrante 23

–esto es, entre π {2 y π– respaldados por la figura 22. Vemos ahora que el segmento seno disminuye su tama˜ no desde y  1 (en x  π {2q hasta y  0 en x  π, lo cual se refleja a la derecha en el sistema x
y, en el intervalo de π {2 a π. y

s 1

1 π 2 O

t

3π 2

π

2π

O


1

x


1 Figura 23: Gr´afica de la ecuaci´on y

 sen x entre π y 2π.

Para terminar con el primer giro, la figura 23 (que no debe necesitar m´as explicaci´ on) nos muestra la evoluci´on del segmento en el intervalo de π a 2π, esto es, en el tercer y cuarto cuadrantes. y 1


5π2


2π
3π2


π


π2

O


1

π 2

π

Figura 24: Gr´afica de la ecuaci´on y

x 3π 2

2π

5π 2

 sen x.

Obs´ervese que tenemos ahora la ecuaci´on representada en el intervalo de 0 a 2π, un intervalo cuya longitud es igual al per´ıodo del seno, lo cual quiere decir que el resto de la gr´ afica se obtiene simplemente copiando esta gr´afica parcial infinitas veces, a izquierda y derecha, tal como se muestra en la figura 24.

En cuanto respecta al coseno –es decir, la ecuaci´on y  cos x– se puede hacer un an´ alisis similar al anterior y no ser´ıa ocioso que el lector lo intentara. Sin π embargo, los arcos cuya diferencia es (p´agina 15), nos permiten obtenerla m´as 2 f´ acilmente. En efecto:
π cos x  sen x 2
π y la ecuaci´ on y  sen x tiene la misma gr´afica que y  sen x pero des2 π [3] plazada hacia la izquierda en ; esta es la gr´afica que aparece en la figura 25. 2 [3] En

general, si tenemos la gr´ afica de una ecuaci´ on de la forma y

24

 f pxq,

la ecuaci´ on

y 1


2π
3π2


5π2


π


π2

O


1

x

π

π 2

Figura 25: Gr´afica de la ecuaci´on y

2π

3π 2

5π 2

 cos x.

Esta relaci´ on entre las funciones seno y coseno se expresa diciendo que entre π ellas hay una diferencia de fase de ; por esta raz´on dimos ese nombre a las 2 ecuaciones deducidas en la p´ agina 15. Este lenguaje es u ´til en las aplicaciones de estas funciones a los fen´ omenos oscilatorios, donde aparecen de manera natural. Tangente y cotangente y

s 1

O


1

t

O

π 2

Figura 26: Gr´afica de la ecuaci´on y

π

x 3π 2

2π

 tg x entre 0 y π{2.

Un procedimiento similar al que acabamos de realizar, siguiendo la evoluci´on del segmento que representa a la tangente, mostrado en la figura 19, nos permite hacer la gr´ afica de la ecuaci´ on y  tg x para todos los valores entre 0 y π {2 sin incluir a este u ´ltimo, como ya se sabe. La din´amica de la construcci´on de la curva se muestra en la figura 26. En primer lugar vemos que para x  0 se tiene que y  0, A medida que el arco se desplaza desde 0 a π {2 vemos que el segmento tangente (representado

 p

q

¡  p
q

y f x p , con p 0 tendr´ a la misma gr´ afica pero desplazada p unidades a la izquierda; mientras que y f x p tendr´ a un desplazamiento de p unidades a la derecha. Se invita al lector a mostrar un argumento que lo justifique.

25

en la l´ınea de color morado) crece cada vez y, mientras nos acercamos a π {2, los valores se hacen m´ as grandes que cualquier n´ umero positivo que se nos ocurra. Desplazados estos valores hacia el sistema x
y, vemos que la recta vertical que pasa por x  π {2 act´ ua como una pared, m´as all´a de la cual no puede pasar la gr´ afica de y  tg x, pero, sin embargo, esta gr´afica nunca llega a tocar a la recta. El lector har´ a bien repasando de nuevo la figura 26. Con este trazo es suficiente para trazar la curva completa si tomamos en cuenta las dos ecuaciones siguientes: tgp
xq 
tg x

tgpx

y

π q  tg x.

La primera dice que la curva de y  tg x es sim´etrica respecto al origen, por lo cual la gr´ afica de la ecuaci´on en el intervalo de
π {2 a 0 se puede realizar simplemente con una copia sim´etrica de la que acabamos de hacer. La otra y


π


3π2

x

x

O

x


π2

π

x

 π2

 3π2

x

Figura 27: Gr´afica de la ecuaci´on y

 tg x.

ecuaci´ on describe la periodicidad con per´ıodo π y esto significa que debemos desplazar la curva conseguida entre
π {2 y π {2 hacia la derecha y hacia la izquierda en π unidades, infinitas veces. Finalmente, la curva queda como en la figura 27. Al igual que en el caso del coseno, al lector le har´ıa bien deducir la gr´afica de la cotangente a partir de la evoluci´on del segmento cotangente de la figura 20. Pero la v´ıa m´ as r´ apida es aprovechar las ecuaciones de diferencia de fase, que conducen a la ecuaci´ on




cot x 
tg x que el lector verificar´ a. 26

π 2

Entonces la gr´ afica de la ecuaci´on y es la gr´ afica de la ecuaci´ on

 cot x





tg x π2 que se deduce de la gr´ afica de y  tg x mediante las dos siguientes transformay

ciones:

un desplazamiento a la izquierda en

π , 2

seguido de una reflexi´ on respecto al eje x, producida por el signo f´ ormula.[4]


que precede a la

y


π2


3π2


π

x

O

x

π 2

3π 2







x π

x 0

5π 2

x 2π

Figura 28: Gr´afica de la ecuaci´on y

 cot x.

Por lo tanto la gr´ afica es la que observamos en la figura 28. Secante y cosecante Dejamos al lector el ejercicio de seguir la evoluci´on del segmento secante, pero la gr´ afica la vemos en la figura 29. La contrucci´on de la gr´afica de y  csc x se deduce de la anterior mediante la ecuaci´on




csc x 
sec x [4] Obs´ ervese

π 2

que esta reflexi´ on se puede realizar girando la gr´ afica 180 respecto al eje x.

27

y

1


π


3π2


1

x

x

x

O


π2

π

x

 π2

 3π2

x

Figura 29: Gr´afica de la ecuaci´on y

 sec x.

y


π2

1 O


1

x

3π 2

x

π 2




π

x π



x 2π

Figura 30: Gr´afica de la ecuaci´on y

 csc x.

que el lector demostrar´ a como ejercicio. Har´a falta un desplazamiento en π {2 a la izquierda seguida de una reflexi´on respecto al eje x; se muestra la gr´afica en la figura 30.

6.

Identidades trigonom´ etricas

Hay un enorme mundo de relaciones oculto tras las definiciones de los valores trigonom´etricos y que se expresan en la forma de identidades entre estos

28

valores. La m´ as sencilla de ´estas es, al mismo tiempo, la identidad fundamental de la trigonometr´ıa en tanto muy buena cantidad de estas identidades se des

s P

1 O

x Q

x

1

t

Q

s

s x

P

Q

t

O

O

x

t

Q

O

t

1

1 P

P

Figura 31: Identidad fundamental de la trigonometr´ıa. ducen desde ella. Para justificarla usaremos la figura 31, en la cual tenemos un arco cuyo punto terminal llamamos P , pero que hemos representado en cada cuadrante para mostrar que la conclusi´on es independiente de la posici´on de P . N´ otese que, en el tri´ angulo rect´angulo OQP la hipotenusa es OP  1 y los catetos son QP  sen x y OQ  cos x, por lo tanto, de acuerdo al teorema de Pit´ agoras, sen2 x cos2 x  1 Si los dos lados de esta identidad se dividen por cos2 x, resulta 1  sec2 x

tg2 x

pero si se dividen por sen2 x entonces se tiene 1  csc2 x

cot2 x

Con estas identidades a la mano basta con conocer un valor trigonom´etrico y la posici´ on terminal de un arco para conocer los restantes valores trigonom´etricos del arco. EJEMPLO 6 El n´ umero real x es mayor que π {2, pero menor que π. Si se sabe que sen x hallar los restantes valores trigonom´etricos del arco.

 15

Soluci´ on π Que sea x ¡ y x   π significa que el extremo terminal del arco est´a en el segundo 2 cuadrante. De sen2 x cos2 x  1

a

se deduce que

cos x 
1
sen2 x,

donde se toma el signo entonces


pues el coseno es negativo en el segundo cuadrante; d

cos x 
1


 2 1 5

c


29

1


1 25


25

?

6.

Finalmente

? 
121 6, ? cos x
p2{5q 6 
2?6, cot x   sen x 1{5 1 5? 1 ? sec x  
 6, cos x 12
p2{5q 6 tg x 

csc x 

sen x cos x

1{5 ?
p2{5q 6



1 sen x

 11{5  5. 

EJEMPLO 7 Demostrar que

1
cos x 1 cos x

 pcsc x
cot xq2 .

Soluci´ on Se puede partir de cualquiera de los dos lados de la igualdad y llegar al otro. En este caso tenemos:

pcsc x
cot xq  2





1
cos x sen x sen x p1
cos xq2 . sen2 x

2

Por la identidad fundamental sen2 x tenemos que

cos2 x  1,

sen2 x  1
cos2 x,

por lo cual cos xq pcsc x
cot xq2  p11

cos 2x 1
cos xq2  p1
pcos xqp1 cos xq 1
cos x  1 cos x , 2

tal como se esperaba.



EJEMPLO 8 Demuestre que sec x sen2 x cos x

1 30

tg2 x
cot2 x . csc2 x

Soluci´ on Otra t´ecnica de soluci´ on de este tipo de problema consiste en mostrar que los dos miembros de la igualdad son iguales a una expresi´on com´ un. En este caso, puesto 1 que sec x  se tiene cos x 1 sen2 x sen2 x sec x sen2 x cos x   , cos x cos x cos2 x lo que se traduce en sec x sen2 x cos x

 tg2 x.

(1)

Por otra parte tg2 x
cot2 x csc2 x

1

 csc

2

x

tg2 x
cot2 x , csc2 x

pero, aplicando las definiciones de cosecante y cotangente, llegamos a tg x
cot x csc2 x 2

1

2

1 sen2 x



tg x
cot x csc2 x 2

1 Ahora bien: 1

2



tg2 x ,

csc2 x

de donde tg2 x
cot2 x 1 csc2 x y, por la identidad fundamental

2

cos x
sen 2x



1
cos2 x tg2 x sen2 x , csc2 x

sen2 x tg2 x sen2 x csc2 x

2

 1 csctg2 x x .

tg2 x  sec2 x, por lo cual 1

tg2 x
cot2 x csc2 x

2

x  sec , csc2 x

y, despu´es de aplicar las definiciones de secante y cosecante, se transforma en

1

tg2 x
cot2 x csc2 x

o 1



1 cos2 x 1 sen2 x

tg2 x
cot2 x csc2 x

2

x  sen , 2 cos x

 tg2 x.

(2)

Los lados derechos de p1q y p2q permiten concluir en la igualdad propuesta, por comparaci´ on de los lados izquierdos.  31

EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 12 demuestre la identidad trigonom´etrica planteada. csc2 x  sec2 x csc2 x.

1. sec2 x 2. 3. 4. 5. 6.

1

1 sen x

1 1
sen x

 2 sec2 x.


csccosx x 1  2 sen x tg x. tg x cot x  sec x csc x. sen x  csc x cot x. 1
cos x 1 csc x
1

sec x tg x 2 sec x 1

7. sen x tg x

x  psec x
tg xcot qpcot x

cos x  sec x.

8.

sec2 x csc2 x sec x csc x

 tg x

9.

sen x cos x cos2 x
sen2 x

 1
tgtgx2 x .

10.

1 tg x 1
tg x

cos x
sen x cos x sen x

12.

3 cos x

.

cot x.

2 ptg2 x tg x  sec x
2sec 2x
2

11.

7.

2 csc xq

1q

.

x
1  cot . cot x 1

cos2 x
3 cos x
1 sen2 x

2

 1.

Resoluci´ on de tri´ angulos

Resolver un tri´ angulo es determinar el valor de sus tres lados y de sus tres ´angulos. C Con esta informaci´ on se puede calcular cuala γ quier otra relacionada con el tri´angulo como, b por ejemplo, el ´ area. En este contexto se sueα β le usar, en la medida de lo posible, una no- A B c taci´ on ad hoc para identificar los elementos de un tri´ angulo, tal como se muestra en la figura a la derecha. Si el tri´ angulo es ABC los v´ertices representan a los ´angulos correspondientes, los lados opuestos a los v´ertices son, respectivamente a, b y c. Si hiciera falta, se pueden utilizar letras griegas para identificar los ´angulos como 32

α, β y γ en la figura. Las letras se usan para representar tanto a la figura como a su medida. No suele haber confusi´on pues el contexto aclara. Comencemos con los tri´ angulos rect´ angulos. s

s B B1

B1 B

A

C

C1

t

A

C1

C

t

Figura 32: Valores trigonom´etricos en un tri´angulo rect´angulo Dado un tri´ angulo rect´ angulo ABC con ´angulo recto en C, es posible construir con centro en A una circunferencia unitaria en un sistema t
s tal que AC est´e en el eje t. El tri´ angulo puede quedar en el interior de la circunferencia o puede extenderse fuera de ella: ambas posibilidades est´an representadas en la figura 32 pero, en cualquiera de los casos es cierto que los tri´angulos ABC y AB 1 C 1 son semejantes. Esto significa que BC AB

1 1

 BABC1  B 1 C 1

y

AC AB

1

AC 1  AB 1  AC ,

puesto que AB 1  1 por ser un radio de la circunferencia unitaria; por otra parte, B 1 C 1 , AC 1 son, respectivamente, el seno y el coseno del =A.[5] Esto permite definir los valores trigonom´etricos para los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´ angulo: sen A  cos A

BC AB

opuesto  cateto hipotenusa

adyacente AC  AB  cateto hipotenusa

=

[5] Escribir sen A es una simplificaci´ on gr´ afica; en realidad deber´ıa ser sen m A, pero esto har´ıa la notaci´ on algo pesada.

33

de donde se obtienen adem´ as: tg A

A cateto opuesto  sen  BC  cateto cos A AC adyacente

cot A

cos A AC cateto adyacente  sen   A BC cateto opuesto

sec A

hipotenusa  cos1 A  AB  cateto AC adyacente

csc A

AB  sen1 A  BC 

hipotenusa cateto opuesto

Como puede verse los valores trigonom´etricos asociados a los ´angulos agudos de los tri´ angulos rect´ angulos se expresan en forma de razones o cocientes, lo que tiene sentido por la semejanza de los tri´angulos rect´angulos que tienen los mismos ´ angulos agudos. Se dice que Tales us´o estas semejanzas para calcular la altura de las pir´ amides egipcias. En esencia, el posible procedimiento de Tales es el descrito en el ejemplo 9.

Figura 33: C´alculo de la altura de una pir´amide EJEMPLO 9 En la figura 33 se muestra una pir´amide egipcia en el momento del d´ıa en el que los rayos del sol inciden sobre la tierra con un ´angulo de 35 . Obs´ervese que la altura h de la pir´amide, su sombra s y el segmento del rayo de luz desde su v´ertice al piso forman un tri´angulo rect´angulo. Si medimos la sombra y obtenemos s  197 m., ¿cu´anto mide la altura de la pir´amide? Soluci´ on Por las definiciones que acabamos de exponer, se tiene que h s es decir

 tg 35 ,

h 197

 tg 35 . 34

El uso de la calculadora muestra que tg 35

 0.70021, en consecuencia h  p197 m.qp0.70021q  137.94 m.

es la altura de la pir´amide.



EJEMPLO 10 En la figura a continuaci´ on C 30

25 A

B

tenemos un 4ABC tal que m=B  25 y m=C  30 . Resolver el triangulo si se sabe que la altura desde C mide 4. Hallar el ´area del tri´angulo. Soluci´ on Como m=A m=B m=C  180 entonces se deduce que m=A  125 . Si bajamos la altura desde C y llamamos D al pie de esta altura, entonces la situaci´on queda como en la figura que sigue C 30



h 4 55 D

125

25

A

B

En el tri´angulo rect´angulo CDA se tiene que[6] 4 AC o AC

 sen 55 ,

4  sen455  0.8192  4.88.

Para calcular el lado AB necesitamos previamente conocer la longitud DA. Entonces, por el teorema de Pit´agoras aplicado a 4CDA DA  [6] Daremos

a

AC 2
CD2



a

4.882
42

 2.80.

los valores trigonom´ etricos con cuatro decimales y las longitudes con dos.

35

Ahora bien, en el 4CDB ocurre que 4 DB de donde DB Entonces AB

 tg 25 ,

4  8.58.  tg 425  0.4663

 DB
DA  8.58
2.80  5.78.

Queda solo por determinar el lado BC, pero su longitud se calcula por el teorema de Pit´agoras aplicado en el 4CDB: BC



a

BC 2

DB 2



a

42

8.582

 9.47.

El ´area del tri´angulo, representada por pABC q se calcula como

pABC q  12 AB  h  12 p5.78q  4  11.56.



Los valores trigonom´etricos tambi´en pueden calcularse para ´angulos obtusos, es decir mayores de 90 ; en este caso aplicamos las ecuaciones sen A  senp180
Aq

cos A 
cosp180
Aq,

y

sustentadas en la figura 12 de la p´agina 13 y las ecuaciones con ella relacionadas. Obs´erve que la conclusi´ on puede verbalizarse de la siguiente manera: los senos de ´ angulos suplementarios coinciden y los cosenos de ´ angulos suplementarios difieren solo en el signo. Esta caracter´ıstica es u ´til para demostrar dos identidades importantes conocidas respectivamente como teorema del seno y teorema del coseno. Veamos la primera, apoyados en la figura 34. C a E b

D

c

A

B

Figura 34: Dos teoremas importantes.

36

El 4ABC tiene alturas CD y AE, la primera se calcula en el 4CDA como

 b sen =CAD  b sen A. Esta u ´ltima igualdad es v´ alida en tanto los ´angulos =CAD y =CAB son suCD

plementarios. A este u ´ltimo lo llamamos simplemente A. Pero, por otro lado, tambi´en podemos calcular la misma altura con el 4CDB y resulta CD

 a sen B.

En conclusi´ on a sen B

 b sen A,

a sen A

 senb B .

o mejor todav´ıa:

Por otro lado, la altura AE tambi´en puede calcularse de dos formas distintas. Primero, en el 4AEC: AE  b sen C, y luego en el 4AEB: AE

 c sen B,

de donde b sen C

 c sen B,

b sen B

 senc C .

o

Todo esto se resume en una sola f´ormula: a sen A

 senb B  senc C

(Teorema del seno)

expresable de esta manera: en todo tri´ angulo los lados son proporcionales a los senos de los ´ angulos opuestos. Nustra segunda proposici´on importante parte del 4CDB en el cual, por el teorema de Pit´ agoras: a2  CD2 DB 2 . (1) Pero tenemos lo siguiente: en el 4CDA CD2

 b2
DA2 ,

(2)

por el teorema de Pit´ agoras. Adem´as DB 2

 pDA

cq2

 DA2 37

c2

2pDAqc,

(3)

pero, en el 4CDA

DA  b cos =CAD.

Ahora bien, =CAD y =CAB (es decir A) son suplementarios, por lo que cos =CAD 
cos A. Sustituyendo en p3q, queda

 DA2 c2
2bc cos A. Finalmente, sustituyendo p2q y p4q en p1q resulta a2  b2 c2
2bc cos A. DB 2

(4)

Si estas mismas consideraciones se aplican sobre 4AEB y 4AEC se obtienen conclusiones similares, con las que completamos el siguiente resumen:

 b2 b2  a2 c2  a2

a2

c2
2bc cos A

c2
2ac cos B

(Teorema del coseno)

b2
2ab cos C

El teorema del coseno puede verbalizarse as´ı: en todo tri´ angulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ´ angulo que forman. Las demostraciones que hemos hecho implican la existencia de un ´angulo obtuso en el 4ABC; si, por el contrario, ´este fuera acut´angulo la u ´nica diferencia ser´ıa que no se hacen consideraciones sobre valores trigonom´etricos de ´angulos obtusos. El teorema del coseno es una extensi´on (o generalizaci´on, si se prefiere) del teorema de Pit´ agoras, pues si por ejemplo el ´angulo A fuera recto, se tendr´ıa cos A  0 y, en consecuencia, a2  b2 c2 , como era de esperar. EJEMPLO 11 Un tri´angulo tiene dos lados de medidas 4 y 6. El tercer lado forma con el menor de los dos anteriores un ´angulo de 45 . Resolver el tri´angulo. Soluci´ on Tenemos una situaci´ on como la de la siguiente figura: C

b



a 6 45 A



c 4

Podemos determinar la medida del efecto, de a sen A

B

=C

apoyados en el teorema del seno; en

 senc C , 38

obtenemos sen C

 ac sen A

 46  sen 45 ? 4  6  22 ?  32  0.47140 La calculadora dispone de la tecla sen
1 la cual da el valor del ´angulo si se conoce el seno. En este caso, resulta[7] m=C

 28.125212  28 71 312 .

El ´angulo faltante se determina por m=B

 180
pm=A

m=C q  106 521 292 .

Queda por identificar entonces el lado b, cuyo valor se obtiene a partir del teorema del coseno b2

 a2 c2
2ac cos B  36 16
2  6  4  p
0.29028q  65.93

De donde, finalmente

b  8.12.



EJEMPLO 12 Calcular el ´area del tri´angulo cuyos lados miden 7, 10 y 12. Soluci´ on La situaci´ on est´a representada en la figura siguiente C





a 10

b 7

A

h

D



B

c 12 [7] Obs´ ervese que tambi´ en hay un ´ angulo obtuso que tiene este mismo valor de seno. Sin embargo, hay que rechazarlo; ¿por qu´ e?

39

donde tenemos el 4ABC con a  10, b  7, c  12. Hemos bajado la altura CD desde el v´ertice C, la cual mide h, que es una cantidad a determinar. Ahora bien, el teorema del coseno dice a2 de donde

cos A 

 b2

c2
a2 2bc

b2

c2
2bc cos A,


100  49 2 144  7  12  0.55357.

Pero, por otro lado

 sen A

h 7

h  7 sen A,

o

por lo cual debemos calcular sen A, que se deduce de la identidad fundamental sen A 

a

1
cos2 A 

Entonces

a

1
0.55372

 0.83280.

h  7  0.83280  5.83

En consecuencia

pABC q  21 ah  12  12  5.83  34.98.



Existe una hermosa f´ ormula –adjudicada al matem´atico Her´on, de la antiguedad griega– para calcular el ´area de un tri´angulo conociendo sus tres lados a, b y c. La f´ ormula es

pABC q 

a

sps
aqps
bqps
cq,

donde s 

1 pa 2

b

cq.

El lector matar´ a la curiosidad de comprobar el resultado del ejemplo anterior con la f´ ormula de Her´ on. Esta f´ormula no es f´acil de deducir, sin embargo se puede intentar, tal como se solicita en el ejercicio 15 de la p´agina 41.

EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 11 resuelva el tri´angulo con los datos dados. 1. a  5, b  7{2, A  43 . 2. a  8, A  32 , B

 50 .

3. a  3, b  4, c  5.

4. a  7, b  8, c  9. 40

5. a  9, b  12, la altura trazada desde B mide 7.

6. A  32 , B 7. 8. 9. 10. 11.

 80 , la altura trazada desde C mide 15. a  b  5, c  7. A  B  18 , c  25. a  15, A  29 , B  53 . a  4, b  9, pABC q  12. A  30 , B  45 , pABC q  8.

12. Se aplican dos fuerzas F1 y F2 sobre un mismo cuerpo, lo que produce una fuerza resultante F tal que F  25 Nw. Si se sabe que F1 y F2 forman angulos respectivos con F de 20 y 35 , hallar F1 y F2 , las magnitudes de ´ las fuerzas aplicadas. 13. Un peso de 50 Kg. cuelga del techo sostenido por dos cuerdas absolutamente tensas. Una de las cuerdas forma con el techo un ´angulo de 40 y la otra un ´ angulo de 70 . Determinar la magnitud de las tensiones que soportan las cuerdas. 14. Dos paredes suficientemente altas est´an separadas por una distancia de 3 m. Al extremo izquierdo del piso entre las paredes se coloca el pie de una escalera de 5 m., cuya parte superior descansar´a en la pared derecha. De identica manera, una escalera de 4 m. se coloca con su pie en el extremo derecho del piso y su parte superior descansando en la pared izquierda. Las escaleras se colocan de manera que entren en contacto y el punto de contacto est´ a a una distancia h del piso. Determinar h. 15. Sea dado un 4ABC. i) Demuestre que pABC q 

1 ab sen C. 2 ii) Use la f´ ormula anterior para demostrar la f´ormula de Her´on de la p´ agina 40. (Sugerencia: Eleve al cuadrado los dos miembros de la f´ ormula anterior, busque una manera de aplicar el teorema del coseno y luego use manipulaci´on algebraica. ¡Mucha manipulaci´on algebraica!) 16. Demuestre que en todo paralelogramo el producto de dos lados es siempre mayor o igual al ´ area del paralelogramo.

41

8.

Suma y diferencia de arcos

En esta secci´ on veremos un importante conjunto de identidades trigonom´etricas que involucran suma y diferencia de arcos. Necesitamos un peque˜ no par´entesis para deducir una f´ ormula que nos permita calcular la longitud de un segmento en el plano t
s si conocemos las coordenadas de sus extremos. Sea P Q tal segs

p

q

p

q

P t1 , s1

s1

s2

R t1 , s2

O

p

Q t2 , s2

q t

t1

t2

Figura 35: Longitud del segmento P Q. mento con P pt1 , s1 q y Q pt2 , s2 q, as´ı como se muestra en la figura 35. Si bajamos una perpendicular al eje t por P y una perpendicular al eje s por Q, se forma el 4P RQ, rect´ angulo en R pt1 , s2 q, por lo cual se puede aplicar el teorema de Pit´ agoras P Q2  QR2 P R2 , pero es f´ acil ver que QR2

 pt2
t1 q2

y

P R2

 ps2
s1 q2 ,

sin importar las posiciones relativas de los puntos en cuesti´on. Finalmente, llegamos a P Q2  pt2
t1 q2 ps2
s1 q2 . Verbalizando: el cuadrado de la longitud de un segmento es igual a la suma del cuadrado de las diferencia de abscisas m´ as el cuadrado de la diferencia de las ordenadas respectivas de sus puntos extremos. Ya estamos listos y podemos apoyarnos en la figura 36, donde tenemos la circunferencia trigonom´etrica y dos arcos de medidas α y β cuyos puntos terminales son P y Q, respectivamente. N´otese que, en el 4P OQ, donde O es el origen de coordenadas, al lado P Q se le opone el ´angulo de medida α
β por lo que, aplicando el teorema del coseno, resulta: P Q2

 OP 2

OQ2
2pOP qpOQq cospα
β q.

42

s α

p

q

P cos α, sen α

1

p

Q cos β, sen β




α β

q

β 1

p q

O

A 1, 0

t

Figura 36: Coseno de la diferencia de arcos. Ahora bien OP  OQ  1, por tratarse de radios de la circunferencia unitaria, entonces esta u ´ltima f´ormula se convierte en P Q2

 2
2 cospα
β q.

(1)

Este es el momento oportuno para usar la f´ormula de la longitud que acabamos de deducir, para lo cual debemos observar que P pcos α, sen αq y Q pcos β, sen β q; entonces P Q2

 pcos α
cos β q2 psen α
sen β q2  pcos2 α cos2 β
2 cos α cos β q psen2 α sen2 β
2 sen α sen β q  pcos2 α sen2 αq pcos2 β sen2 β q
2pcos α cos β sen α sen β q  2
2pcos α cos β sen α sen β q (Por la identidad fundamental)

Sustituyendo esta u ´ltima f´ormula en p1q, tenemos que 2
2 cospα
β q  2
2pcos α cos β y simplificando

cospα
β q  cos α cos β

sen α sen β q,

sen α sen β,

que da la f´ ormula para el coseno de la diferencia de arcos.


β y recordamos que senp
β q 
sen β,

Si en esta u ´ltima f´ ormula sustituimos β por cosp
β q  cos β obtenemos

cospα

y

β q  cos α cos β
sen α sen β,

43

que se constituye en la f´ ormula para el coseno de la suma de arcos. Ambas f´ ormulas se pueden resumir en cospα  β q  cos α cos β sen α sen β donde los signos se seleccionan correlativamente. Para las f´ ormulas correspondientes a los senos aplicaremos las f´ormulas de ´ngulos complementarios estudiadas en la p´agina 15. Por ejemplo, para el seno a de la suma tenemos en principio: senpα

β q  cos

π


pα 2



βq

 cos


π




α
β 2



,

y llegados a este punto podemos aplicar la f´ormula para el coseno de la diferencia: cos


π






α
β  cos 2


π


α 2



cos β

sen


π


α 2



sen β,

y, aplicando de nuevo las f´ ormulas para ´angulos complementarios, se llega a senpα

β q  sen α cos β

cos α sen β,

que da la f´ ormula para el seno de la suma de arcos. De nuevo en la f´ ormula anterior cambiamos β por


β y resulta

senpα
β q  sen α cos β
cos α sen β, que es la f´ ormula para el seno de la diferencia de arcos. Las dos se resumen en senpα  β q  sen α cos β  cos α sen β en la que –igual que antes– los signos se toman correlativamente. Con estas f´ ormulas se pueden calcular las correspondientes a la tangente, por ejemplo tgpα

βq 



senpα β q cospα β q sen α cos β cos α sen β . cos α cos β
sen α sen β

Ahora bien, en el lado derecho de la f´ormula anterior se pueden dividir numerador y denominador por cos α cos β, por lo cual tgpα

βq 

 sen α   cos β   cos α   cos β   cos α cos β  
  cos α cos β   44

 cos α  sen β    cos  α  cos β sen α  sen β cos α  cos β

y, finalmente

tgpα

βq 

tg α tg β . 1
tg α tg β

que, despu´es de la consideraciones de signo que el lector efectuar´a, se resume en tgpα  β q 

tg α  tg β 1 tg α tg β

Dejamos tambi´en como ejercicio lo siguiente cotpα  β q 

cot α cot β 1 cot β  cot α

F´ ormulas del ´ angulo doble Haciendo α  β en las f´ ormulas de suma se obtinen f´ormulas para determinar los valores trigonom´etricos de los ´angulos dobles. Comencemos con el seno: sen 2α  senpα de donde

αq  sen α cos α

sen α cos α,

sen 2α  2 sen α cos α

En lo que respecta al coseno: cos 2α  cospα

αq  cos α cos α
sen α sen α,

ecuaci´ on que produce produce variadas f´ormulas; por un lado cos 2α  cos2 α
sen2 α que, aplicando la ecuaci´ on sen2 α  1
cos2 α, se transforma en cos 2α  2 cos2 α
1 pero, aplicando cos2 α  1
sen2 α pasa a ser cos 2α  1
2 sen2 α Para la tangente se tiene simplemente tg 2α 

2 tg α 1
tg2 α

45

F´ ormulas del ´ angulo mitad Por contraposici´ on, las f´ ormulas del ´angulo doble permiten obtener las f´ormulas del ´ angulo mitad. En efecto, de cos 2α  2 cos2 α
1

y

cos 2α  1
2 sen2 α,

y

sen2 α 

se obtienen, respectivamente cos2 α 

1

cos 2α 2

1
cos 2α , 2

cambiando α por α{2 se llega finalmente a cos


α 2

c



1

cos α 2

y

sen


α 2

c



1
cos α 2

en las cuales la elecci´ on del signo depender´a del cuadrante donde est´e situado el punto terminal de α{2. EJEMPLO 13 Calcule sen 15 . Soluci´ on Como el extremo terminal de 15 est´a en el primer cuadrante entonces el seno es positivo. Aplicando las f´ ormulas del ´angulo mitad, tenemos sen 15 

c

1
cos 30 2



g ? f f1
3 e 2

2



1 2

b

2


?

3.

A partir de este valor se pueden calcular todos los otros valores trigonom´etricos de 15 . 

Conversi´ on de productos en sumas Las f´ ormulas de suma de arcos pueden manipularse para convertirse en f´ ormulas mediante las cuales el producto de expresiones trigonom´etricas se transforma en suma de ´estas. Para ello, observemos que el sistema

A α
β B

α

β

tiene como soluci´ on α

A

B 2

y

46

β

 A
2 B ,

por lo cual las f´ ormulas para el seno de la suma y la diferencia pueden escribirse as´ı:

















A
B A B A
B sen A  sen cos cos sen 2 2 2 2 







A B A
B A B A
B sen B  sen cos
cos 2 sen 2 2 2 A

B

(1) (2)

Sumando p1q y p2q resulta sen A

sen B

 2 sen



A

B





A
B 2





A
B 2



cos

2

y restando p2q de p1q sen A
sen B

 2 cos



A

B

sen

2

Asimismo, las f´ ormulas para el coseno de suma y diferencia de arcos produce:

















A
B cos A  cos cos
sen A 2 B sen A
2 B 2 2 







A B A
B A B A
B cos B  cos cos sen sen 2 2 2 2 A

B

(3) (4)

por lo que, sumando p3q y p4q tenemos cos A

cos B

 2 cos



A

B



2

 cos

A
B 2



y restando p4q de p3q cos A
cos B


2 sen



A

B 2



 sen

A
B 2



EJEMPLO 14 En una circunferencia de radio R, un segmento circular es lo que queda de un sector circular cuando se le extrae el tri´angulo cuyos v´ertices son el centro de la circunferencia y los extremos del arco subtendido por el ´angulo central; tal como se muestra en la figura 37. Consiga una relaci´on funcional entre el ´area A de un segmento circular y la medida x (en radianes) del arco subtendido. (Una explicaci´ on antes de continuar con la soluci´on del ejemplo. Cuando se pide conseguir una relaci´ on funcional entre las variables A y x, lo que est´a planteado es escribir una ecuaci´ on del tipo A  f pxq, donde por f pxq entendemos 47

x R O

´ Figura 37: Area de un segmento circular. (Ejemplo 14.) una expresi´ on matem´ atica que tiene como u ´nica variable a x. Observemos que, en este problema, el radio R del c´ırculo se supone conocido; es decir, no es una variable.) Soluci´ on Con el ejercicio 4 de la p´agina 6 el lector demostr´o que el ´area del sector circular es AS  12 R2 x. Dada la definici´on de segmento circular, es claro que para calcular su ´area hay que restar al ´area del sector circular, el ´area AT del tri´angux{2 R h lo central. Este es un tri´angulo is´oceles cuyos lados iguales miden R y el ´angulo que forman mide x radianes; lo hemos b extra´ıdo en la figura a la derecha, en la cual bajamos la altura desde el ´angulo de medida x, lo que hace aparecer dos tri´angulos rect´angulos congruentes cuyos catetos miden h (altura) y b (base) y uno de sus ´angulos agudos mide x{2. El ´area AT del tri´angulo es el doble de la de cualquiera de los tri´angulos rect´angulos; esto es 1 AT  2  bh  bh. 2 Ahora bien

de donde

h R

 cos x2

h  R cos

Entonces AT

x 2

 sen x2 ,

y

b R

y

x b  R sen . 2

 R2 sen x2 cos x2 ,

pero, por la f´ ormula del seno del ´angulo doble x x sen x  2 sen cos , 2 2 por lo que AT

 12 R2 sen x. 48

En conclusi´ on

A  AS

o


AT  12 R2 x
21 R2 sen x

A

1 2 R px
sen xq, 2 que es la relaci´ on funcional que estamos buscando.



EJERCICIOS 1. Demuestre lo siguiente i) sen 3α  3 sen α
4 sen3 α. ii) cos 3α  4 cos3 α
3 cos α. iii) 3psen4 α cos4 αq
2psen6 α

cos6 αq  1.

2. D´e el valor exacto de sen 3 . (Sugerencia: Use el ejemplo 13 y el ejercicio 3 de la p´ agina 21.) ,
, 3. Suponga que su calculadora solo tiene las teclas de operaci´on ?  ´  ,  y . Usela para obtener un valor aproximado de sen 1 . Aplique libremente su creatividad y luego compare su resultado con el que da la calculadora usando directamente la tecla sen . 4. Una hoja de papel de ancho igual a 20 cm. se dobla de forma tal que la punta superior izquierda se hace coincidir con el borde derecho de la hoja, tal como se muestra en la figura 38. Para hacer esto se toma una porci´on del borde superior de la hoja que mide x y se forma un doblez en la hoja de longitud d. Hallar una relaci´on funcional entre d y x. x

d

20 cm.

Figura 38: Doblez en una hoja rectangular. (Ejercicio 4.) 5. Un poste recto de 5 m. est´a clavado al suelo con cierta inclinaci´on. En el momento en que los rayos del sol forman con la tierra un ´angulo igual al doble del que forma el propio poste, la sombra del poste mide 4.5 m. Calcule la distancia de la punta del poste a la punta de su sombra. Determine el valor de los ´ angulos que hemos mencionado.

49