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• Widman Gutiérrez Reyes

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MATEMÁTICAS

[NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA]

TRIGONOMETRÍA

𝑦

CONCEPTOS BÁSICOS

𝑃

𝑦

I.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES (Plano Cartesiano o Bidimensional) Este sistema consta de dos rectas numéricas dirigidas perpendiculares entre sí, llamadas ejes coordenados. Sabemos que:

O

𝑦

𝐷

IV Cuadrante

D

-1

   

y

si:

AB= 5

y

PQ= (5)2  (6)2  61 2

3

X

-1

C

Coordenadas de A: (1;2) Coordenadas de B: (-3;1) Coordenadas de C: (3;-2) Coordenadas de D: (-2;-1)

III.

DIVISIÓN DE UN SEGEMENTO EN UNA RAZÓN DADA Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) los extremos de un segmento. Sea P(x;y) un punto (colineal con P1P2 en una razón) tal que divide al segmento P1P2 en una razón r. 𝑦

𝑃

𝑦 𝑃

𝑦 𝑦

𝑟

𝑃 𝑥

RAZÓN DADA

𝑥 𝑥

𝑃𝑃 𝑃𝑃

𝑥

Entonces las coordenadas de P son:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de abscisas y su diferencia de ordenadas. Demostración: Sean los puntos y Prof. Widman Gutiérrez R.

.

PQ= (2  3)2  (5  (1))2

NOTA: Si un punto pertenece al eje x, su ordenada igual a cero. Y si un punto pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero. II.

𝑦

Resolución

A

1

-2

𝑦

Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos y

1

-2

𝑥

AB= (3  2)2  (8  6)2

Ejemplo: Del gráfico determinar las coordenadas de A, B, C y D. Y

-3

𝑥

Resolución

𝑌 (-)

B

𝑥

Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos y 𝑋(+)

2

𝑥

La distancia entre ellos será:

I Cuadrante

III Cuadrante

𝑦

𝑥

𝑥

𝑌(+)

𝑋 (-)

𝑥

𝑦

𝛼

: Eje de Abscisas (eje ) : Eje de Ordenadas (eje ) : Origen de Coordenadas

II Cuadrante

𝐷

𝑃

PREPARATORIA 5

MATEMÁTICAS

[NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA]

Ejemplo: Los puntos extremos de un segmento son y Hallar las coordenadas de un punto P tal que: AP 2 PB Resolución: Sean (x;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que:

𝑦

𝑃

𝑦 𝛼 𝑥

y

𝑦

𝑥

𝛼 𝑥

4  2(4) 1 2

DADO EL ÁNGULO

𝑥

𝑥

DADOS 2 PUNTOS

4 3

 

4  3 Ejemplo:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si la razón es igual a 1 es decir

, significa

que: , entonces P es punto medio. Es la posición del punto que se ubica en la mitad del segmento



Hallar la pendiente de una recta que pasa por (2;-2) y (-1;4).

Resolución: Sea P1(2;-2) y P2(-1;4); entonces m

VI.

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos extremos son: A(2;3) y B(4;7).

4  (2) 6  m=-2  (2)  (2)  3

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS DADAS SUS PENDIENTES Consideremos dos rectas cualesquiera que se cortan en un punto A, como se ve en la figura. 𝑦

PENDIENTE DE UNA RECTA Prof. Widman Gutiérrez R.

𝐿 𝑚

𝛼

𝛼

𝑥

𝜃  P(3; 5)

𝐿 𝑚 𝛼⬚

Resolución: Sea P(x; y) el punto medio de AB, entonces: 24 x  x=3 2 37 y  y=5 2

V.

𝑃

𝑦

2  2(8) x 1 2

 P 6;  IV.

Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u obtuso respectivamente.

𝑦

x  r.x 2 x 1 1 r 18 x 6 3 y  r.y 2 y 1 1 r y

TRIGONOMETRÍA

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔

𝑚

𝑚 𝑚 ∙𝑚

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

PREPARATORIA 5

MATEMÁTICAS I.

[NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA]

CONDICIONES DE PARALELISMO 𝑦

𝐿

A la ecuación de la forma: , se le llama ecuación general de la recta, cumpliéndose:

𝐿 𝛼

TRIGONOMETRÍA

Si : L : ax  by  c   0  m  a / b ; a , b  0

𝛼

𝛼

𝛼

I.

𝑥

POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA Rectas Verticales y

II.

Rectas Horizontales y

L

CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD 𝑦 𝐿

b

L

𝐿

a

𝐿 ⊥𝐿 𝛼

𝛼

x

x

Ecuación: L: m = No definido

𝑥

∙

II.

ECUACIÓN DE LA RECTA La ecuación de una recta es la condición algebraica que deben verificar tanto la abscisa como la ordenada de todo punto perteneciente a la recta. Si las coordenadas del punto no verifican la ecuación, dicho punto se sitúa fuera de la recta. Para hallar la ecuación de una recta se necesitará de la pendiente y un punto de paso, esto es:

Ecuación: L : m=0

GRAFICA DE UNA RECTA Para graficar una recta, se procede a ubicar dos puntos de ella y trazar por esos dos puntos la recta que representará a la que se pide hallar. En la ecuación de la recta de referencia se hace: x = 0  y = b  Punto: (0 ; b) y = 0  x = a  Punto: (a ; b) y

(0 ; b)

Se conocen:

(a ; 0) x

O

 La ecuación es: y  y0  m( x  x0 )

Por ejemplo, grafique a la recta: L1: –  x=0y=2 y = 0  x = -1 y L1

L

P( x ; y ) P0 ( x o ; y o )

2 -1 x Por ejemplo, si: La ecuación seria:

m = 2/3 y P0(1 ; 3) y – y0 = m(x – x0) y–3=

2 ( x  1) 3

Operamos y ordenamos: (Ecuación general de la recta) NOTA:

Prof. Widman Gutiérrez R.

–

III.

INTERSECCIÓN DE RECTAS Para intersectar dos rectas, se toman sus ecuaciones y se resuelve como un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Los valores encontrados para x e y, serán la abscisa y ordenada del punto de intersección. Por ejemplo: Halle el punto de intersección de las rectas: PREPARATORIA 5

MATEMÁTICAS

[NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA]

L1: 2x – y + 7 = 0

;

Resolviendo:

L2: 3x + y + 3 = 0

2x – y + 7 = 0 3x + y + 3 = 0  2x  y  7  3x  y  3

5x = -10  x = -2 L1  L2 = (-2 ; 3)

Sumando: Luego:

L1

P

L2

CONSIDERACIONES 1) Si la recta para por (0 ; b) y (a ; 0), a la x

ecuación

a



y b

 1 se le llama ecuación

simétrica de la recta. 2) A la ecuación: y  mx  b , se le llama ecuación pendiente – intercepto de la recta. Donde: m: pendiente b: intercepto con el eje y DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia “d” de un punto P0(x0 ; y0) a una recta de ecuación: Ax + By + C = 0 está dada por: P0 ( x o ; y o )

d

Ax

+

By

+

C

=

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (5;6) (-2;3) b) (3;6) (4;-1) c) (1;3) (1;-2) d) (-4;-12) (-8;-7) 2. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo es12, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo. a) 12 b) 11 c) 8 d) 42 e) 31 3. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa. a) (-12; 5) b) (12; 5) c) (5; 12) d) (-5; -12) e) a y b son soluciones 4. La base menor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;4), uno de los extremos de la base mayor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base mayor es: a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 10u 5. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes triángulos: a) (2:5); (6;4); (7;9) b) (7;-8); (-12;12); (-16;14)

0

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia “d” entre dos rectas paralelas L1 y L2 esta dada por: L1 : Ax  By  C1  0 L 2 : Ax  By  C2  0 d

TRIGONOMETRÍA

6. Calcular las coordenadas del punto “p” en cada segmentos dada las condiciones: a) A(0;7); B(6;1) / AP = 2PB b) A(-3;2); B(4;9) / 3AP = 4PB c) A(-1;-4); B(7;4) / 5AP = 3PB 7. En un triángulo ABC las coordenadas del baricentro son (6:7) el punto medio AB es (4;5) y de CB(2;3) determinar la suma de las coordenadas del vértice ”C”. a) 21 b) 20 c) 31 d) 41 e) 51 8. Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2;4); B(3;-1); C(-5;3). Hallar la

Prof. Widman Gutiérrez R.

PREPARATORIA 5

MATEMÁTICAS

[NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA]

distancia de A hasta el baricentro del triángulo. a)

2

b) 2 2 c)

2 / 2 d) 4 3 e)

3

9. En la figura determinar: a+b (2;6)

a) b) c) d) e)

19 –19 –14 –18 -10

(-11;2)

TRIGONOMETRÍA

16. Señale la ecuación de la recta que pasa por: A=(2 ; 2) y B=(4 ; 3) 17. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-1;4) y tiene un ángulo de inclinación de 37°. 18. El ángulo de inclinación de una recta que no pasa por el segundo cuadrante es de 45°. Hallar su ecuación, si su distancia al origen es 6 2.

(-4,1)

19. Hallar la ecuación de la recta “L”. (a;b)

10. La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(1;5) y C(-3;1) sabiendo que B pertenece al eje “x”, hallar el área del triángulo. a) 10u2 b) 11u2 c) 12u2 d) 13u2 e) 24u2 11. Los vértices de un triángulo tienen por coordenadas A(-3 , 4) , B(6 ; 8) , C(8 ; -2). Hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura BH . 12. La recta que pasa por el punto (2 ; 1) y es perpendicular a la recta: 3x – 4y + 12 = 0, tiene por ecuación: 13. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3 ; 2) y determina con los semiejes positivos una región triangular cuya área es 162. 14. Del gráfico, calcular la ecuación de la recta L. Sabiendo que R  5 . y

y

L (9 ; 7)

(1 ; 5) x

20. Hallar la proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta: 4x – 5y + 3 = 0 21. Determinar el ángulo  formado por las dos rectas: L1 : x 2  y 3  5  0 L 2 : ( 3  2 ) x  ( 6  3 )y  7  0

22. Dos lados de un cuadrado están en las rectas: 5x – 12y – 65 = 0 5x – 12y + 26 = 0 Calcular su área 23. Dadas las ecuaciones de los lados de un triángulo: L1 : 3x + 4y – 1 = 0 L2 : x – 7y – 17 = 0 L3 : 7x + y + 31 = 0

R O

24. Determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las dos rectas: L1 : 3x + 4y – 5 = 0 L2 : 5x – 12y + 3 = 0

53°/2 x

15. En la figura mostrada, determinar la ecuación de la recta L. B M S(2 ; 4) A

(1 ; 2)

Q(3 ; -2)

Prof. Widman Gutiérrez R.

C L

25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C(-5 ; 4), sabiendo que la longitud de su segmento comprendido entre las rectas: x + 2y + 1 = 0 ; x + 2y – 1 = 0 es igual a 5. 26. Entre las raíces que pasan por el punto P(3 ; 0), hallar una de ellas, de manera que el segmento comprendido entre las rectas: L1 : 2x – y – 2 = 0 PREPARATORIA 5

MATEMÁTICAS

[NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA]

L2 : x + y + 3 = 0 Se a dividido por la mitad en el punto P. 27. Una recta tiene interceptos iguales y pasa por (3 ; 2). Hallar su ecuación. 28. Una recta pasa por (3 ; 5) de modo tal que el segmentos de ella, situada entre los ejes coordenados, es dividido por el punto dado en su mitad. Halle su ecuación. 29. Se da la recta: 2x + 4 + 3y = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2 ; 1) y es perpendicular a la recta dada. 30. Hallar la ecuación de la recta de pendiente 0,75; y que forma con los semiejes coordenados positivos un triángulo de perímetro 36.

TAREA 1. Si el área del triángulo sombreado es de 122. L1  L2. Halle la ecuación de L1. y O

L2 x (6 ; 0) L1

a) 3x + 2y – 18 = 0 b) 3x + y – 18 = 0 c) 2x + y + 1 = 0 2. Halle la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(-1 ; 3) y B(5 ; 7) a) 2x + y – 16 = 0 b) 3x + 2y – 16 = 0 c) 5x + 3y – 14 = 0 3. El área de un triángulo es S = 8. Dos de sus vértices son los puntos A(1 ; 2) ; B(2 ; 3) y el tercer vértice “C” está en la recta: 2x + y – 2 = 0. Señale la suma de coordenadas de “C”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Los lados de un triángulo están en la rectas: x + 5y – 7 = 0; 3x – 2y – 4 = 0; 7x + y + 19 = 0; calcular su área. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 5. Hallar la proyección del punto P(-6 ; 4) sobre la recta: 4x – 5y + 3 = 0 a) (-2 ; 1) b) (1 ; -2) c) (1 ; 1) Prof. Widman Gutiérrez R.

d) (1 ; 2)

TRIGONOMETRÍA e) (-2 ; -2)

6. Hallar el punto “Q” simétrico al punto P(-5 ; 13) relativo a la recta: 2x – 3y – 3 = 0 a) (1 ; 1) b) (-11 ; 10) c) (11 ; 1) d) (11 ; -11) e) (3 ; -11) 7. Determinar el área de la región limitada por el eje de ordenadas y las rectas: L1 : 3x – 2y + 8 = 0 L2 : x + y + 8 = 0 a) 28,8 b) 8,8 c) 3,8 d) 18,8 e) 20,1 8. Sean las rectas: L1 : 7x – y + 1 = 0 L2 : 3x – 4y + 2 = 0 Determinar uno de los ángulos que forman L1 y L2 a) 30° b) 45° c) 48° d) 57° e) 60° 9. Dada la recta: 2x+ 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M0(2 ; 1) y forma un ángulo de 45° con la recta dada. a) x – 3y + 2 = 0 ; 3y + 2x – 1 = 0 b) x + 2y – 2 = 0 ; 3x + 2y – 3 = 0 c) x – 5y + 3 = 0 ; 5x + y – 11 = 0 d) 3x – 5y + 8 = 0 ; 2x + y – 11 = 0 10. Determinar la distancia del punto Po(7 ; 1) a la recta de ecuación: 3x + 4y + 5 = 0 a) 6 b) 7 c) 8 d) 8 e) 9 11. El lado BC de un triángulo se encuentra sobre la recta L1: – y el vértice A se encuentra en (-3 ; 2), determinar la longitud de la altura del triángulo que parte del vértice A. a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) N.A. 12. Dadas las ecuaciones de los lados de un cuadrado 4x– 3y + 3 = 0; 4x – 3y – 17= 0. Determinar su área. a) 13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20 13. Dadas tres rectas paralelas: L1 : 10x + 15y – 3 = 0 L2 : 2x + 3y + 5 = 0 L3 : 2x + 3y – 9 = 0 Determinar la razón en que divide la distancia entre ellas. a) 2/3 b) 1/3 c) 4/3 d) 3/5 e) 8/9 PREPARATORIA 5