• Author / Uploaded
• Susana Sánchez

• Categories
• Transformada de Laplace
• Ecuaciones
• Logaritmo
• Sistema de control
• Ecuaciones diferenciales

Citation preview

4 Transformadas de Laplace

Introducción

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver. En este capítulo se presenta la transformada de Laplace y se estudia su utilización en la resolución de problemas que de otro modo requeríría la solución de ecuaciones diferenciales. Para ayudar a situar el concepto de transformada matemática de manera objetiva, un ejemplo sencillo de transformación matemática es cuando el problema de multiplicación se cambia por la simple operación de adición mediante la transformación logarítmica (figura 4.1). La multiplicación de B por C para dar A,

A=BC

1

se puede transformar, mediante el uso de logaritmos, en logA = logBC = logB +logC

Podemos ento nces sumar log B y log C para obtener el número D. De esta manera LogA = D

Para encontrar el valor de A se debe realizar la operación logaritmo inverso o antilogaritmo

A = antilogD

La transfonnada de Laplace es un tipo similar de operación matemática a esta transformación logarítmica (figura 4.2). La ecuación diferencial que describe cómo se comporta un circuito con el tiempo se transforma en relaciones algebraicas sencillas, que no involucran el tiempo, donde es posible realizar las manipulaciones algebraicas normales de las cantidades. Se dice que el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo se transforma al

2

dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas.

Multiplicación o división

Transformación Logarítmica

Adición o sustracción

Transformación Logarítmica

Solución

Figura 4.1 La transformación logarítmica

Entonces se utiliza una transformada inversa, como el antilogaritmo, a fin de obtener la solución que describe cómo la señal varía con el tiempo, es decir, se transforma de regreso del dominio de

s al

dominio del tiempo. Comportamiento descrito mediante la ecuación diferencial

Dominio del tiempo

Manipulación algebraica de las ecuaciones

Transformación de Lapalce Dominio de

s

Transformación inversa

Solución en función del tiempo Dominio del tiempo

Figura 4.2 La transformación de Laplace

3

La transformación de Laplace

El matemático francés P. S. de Laplace (1749-1827) descubrió una forma de resolver ecuaciones diferenciales: multiplicar cada término de la ecuación por

e −st

y, así, integrar cada uno de esos términos

respecto al tiempo desde cero hasta infinito; s es una constante con unidades de 1/tiempo. El resultado es lo que hoy día se conoce como la transformada de Laplace. De este modo, la transformada de Laplace de algún término que es función del tiempo es

∫

∞

0

(term)e − st dt

Debido a que el término es una función del tiempo, es usual escribirla como f(t) con la transformada de Laplace; puesto que ésta es una función de s; se escribe como F(s). Es muy común usar la letra mayúscula F para la transformada de Laplace y la letra minúscula f

4

para la función del tiempo f(t). Así

[1]

∫

∞

0

f (t )e − st dt

Para ilustrar el uso de la notación de funciones, considere un resistor R a través del cual circula una corriente i y la diferencia de potencial v. En general, se escribiría

V=Ri Puesto que tanto

v como i son funciones del tiempo, esto se podría

indicar de manera ideal, al escribir la ecuación como

v(t) = R i(t)

El símbolo (t) no indica que el término precedente deba multiplicarse por t, sino que ese término es una función del tiempo, es decir, su valor depende de qué tiempo se considere.

5

Si se toman las transformadas de Laplace de i y

v la ecuación se

convierte en

V(s) = R I(s)

V(s) indica que el término es la transformada de Laplace de v(t); de modo similar I(s) indica que el término es la transformada de Laplace de i(t) La (s) no indica que el término precedente deba multiplicarse por s.

La transformada de Laplace para una función escalón f(t) 1

tiempo 0

Figura 4.3: Una función escalón de altura 1

6

Para ilustrar cómo una transformada de Laplace se puede desarrollar a partir de los primeros principios, considere una función escalón. Esta función se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo, el cambio en el voltaje aplicado a un circuito cuando éste se enciende de manera súbita. La figura 4.3 muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1 unidad. La ecuación para esta función es

f(t)=1 para todos los valores de t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es

f(t)=0 La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es, e ntonces

∞

F (s ) = ∫ 1e − st dt 0

7

y así

[ ]

1 −st F ( s) = − e s

∞ 0

−∞ Puesto que cuando t = ∞, el valor de e es 0 y cuando t = 0, el valor −0 de e es -1, entonces

[2]

F ( s) =

1 s

f(t)

a

tiempo 0

Figura 4.4 Una función escalón de altura a

Suponga ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de altura de 1 unidad se tiene uno de una altura de a unidades, como en la figura 4.4. Entonces, para todos los valores de t mayores que 0 se tiene

8

f(t)=a

La transformada de Laplace de esta función es

∞

F (s) = ∫ ae−st dt 0

∞

= a ∫ e− st dt 0

Pero esto sólo es

a multiplicado por la transformada del escalón

unitario. Así

F (s ) =

a s

La multiplicación de una función del tiempo por una constante

a da

por resultado una transformada de Laplace, la cual es sólo la multiplicación de la transformada de Laplace de la función por la constante.

9

Ejemplo Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de Laplace de la función

e at , donde a es una constante.

Respuesta La transformada de Laplace de esta función se obtiene como sigue:

f (t ) = e at Transformada de Laplace ∞

F ( s) = ∫ e at e −st dt 0

Esto se puede simplificar a ∞

F ( s) = ∫ e −( s −a) t dt 0

F ( s) = −

[

1 e − ( s − a )t s −a

]

∞ 0

Cuando t = ∞, el término en los corchetes se convierte en 0 y cuando t = 0, éste se convierte en -1. De este modo

1 F (s ) = s −a 10

Por fortuna no siempre es necesario evaluar las integrales que se obtienen al realizar la transformada de Laplace, puesto que se dispone de tablas que proporcionan las transformadas de todas las funciones más comunes, que, combinadas con algunas reglas básicas para manipular dichas transformadas, permiten abordar los problemas por resolver.

Las reglas básicas son:

1

La adición de dos funciones se convierte en la adición de sus

dos transformadas de Laplace.

f 1(t) + f 2(t) se convierte en F1 (s) + F2 (s)

2

La sustracción de dos funciones se convierte en la sustracción de

sus dos transformadas de Laplace.

f 1(t) - f 2 (t) se convierte en F1 (s) - F2 (s)

11

3

La multiplicación de una función por una constante se convierte

en la multiplicación de la transformada de Laplace de la función por la misma constante

af(t) se convierte en aF(s)

4 Una función que esté retrasada un tiempo T, es decir, f (t − T ) , se convierte en e −Ts F (s) para valores de T mayores que o iguales a cero.

5 La primera derivada de una función se convierte en

s

multiplicada por la transformada de Laplace de la función, menos el valor de d f (t ) dt

f(t) en t=0. se convierte en

sF ( s ) − f (0)

donde f(0) es el valor de la función en t = 0 .

6 La segunda derivada de una función se convierte en s2 multiplicada por la transformada de Laplace de la función, menos s multiplicada por el valor de la función en t = 0, menos el valor de la 12

primera derivada de f(t) en 1=0.

d2 f (t ) se convierte en 2 dt

s 2 F ( s) − sf (0) −

df (0) dt

donde sf (0) es s multiplicada por el valor de la función en t = 0 y

d f(0)/d t es la primera derivada de la función en t =0.

7

La n-ésima derivada de una función se convierte en sn multiplicada por la transformada de Laplace de la función, menos los términos que involucran los valores de f(t) y sus derivadas en t=0

dn f (t ) se convierte en dt n 8

s F (s) − s n

n −1

d n−1 f (0) f (0) − .... dt n−1

La primera integral de una función, entre el tiempo cero y el tiempo t, se convierte en (1/s) multiplicado por la transformada de Laplace de la función.

∫

∞

0

f (t )

se convierte

1 F (s) s

13

La tabla 4.1 contiene algunas transformadas de Laplace más comunes y sus correspondientes funciones del tiempo.

14

15

Ejemplo 2

Determinar, con base en la tabla 4.1, la transformada de Laplace para:

a) Un escalón de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t = 0. b) Un escalón de voltaje de magnitud 4V que empieza en t = 2s. c) Una rampa de voltaje que empieza en t = 0 y se incrementa a razón de 3 V/s. d) Una rampa de voltaje que empieza en t = 2s y se incrementa a razón de 3 V/s. e) Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t =3 s. f) Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10 Hz.

Respuesta

En la figura 4.5 se muestra la forma de las seis funciones, éstas representan formas comunes de señales de entrada a los sistemas.

16

Figura 4.5: a) función escalón

b)

función escalón retrasada

c) función rampa

d)

función rampa retrasada

e) impulso retrasado

f)

función senoidal

17

a)

El escalón de voltaje es una función de la forma f(t)=a

donde

a

tiene el valor, en este caso, de 4 V. La transformada de

Laplace de una función escalón de magnitud 1 es 1 /s y de este modo la función escalón de magnitud a tiene la transformada de Laplace de

F ( s) = a

1 s

Por lo tanto

4 F ( s) = s b)

La función escalón en el inciso a) se retrasa por 2 s. La

transformada de Laplace para una función retrasada es la misma de la función sin retraso, es decir, la función empezando en t = 0, pero multiplicada por

e − st . De este modo, la transformada de Laplace es F ( s) =

a − sT 4 − 2 s e = e s s

18

b) La función rampa es de l a forma

f(t)=at

donde a tiene el valor de 3 V/s. Debido a que a es una constante, entonces la transformada de Laplace de la función será a multiplicada por la transformada de t, la cual es 1/ s 2. De este modo

a 3 F ( s) = 2 = 2 s s d)

La función rampa está retrasada un tiempo T, donde T =3s. La

transformada de Laplace para una función retrasada es la misma que la función sin retraso, es decir, la función empezando en − sT e t = 0, pero multiplicada por . Así, la transformada de Laplace

es

ae −Ts 3e −2s F ( s) = 2 = 2 s s

19

e) La transformada de Laplace de una función impulso que ocurre en t=0 es 1. Para un impulso de 4 V la transformada será 4. Retrasar el − Ts e impulso significa que la función sin retraso se multiplique por .

De este modo, la transformada de Laplace con T=3s es

F ( s) = 4e −3 s

f) La transformada de Laplace de una función senoidal sen wt es

F ( s) =

w s 2 + w2

De este modo, la transformada de Laplace de una función senoidal de amplitud A, es decir, la función Asenwt, es

F (s ) =

Aw s2 + w2

Así, para una amplitud de 2 V y una frecuencia angular de 10 Hz,

F ( s) =

2 * 2π *10 40π = s 2 + 4π 2 10 2 s 2 + 400π 2

20

Ejemplo 3

Obtener, con base en la tabla 4.1, la transformada de Laplace para las siguientes funciones: a) = t 2 b ) = t 2 e − at c) = t 2 (1 + e −at )

Respuesta

a)

1 2 1 t La tabla da la transformada de Laplace de como 3 .De 2 s

esta manera, para obtener la transformada de Laplace de t2 se debe multiplicar la función de la tabla por 2. Debido a que ésta es una constante, la transformada de Laplace de t 2 será

F ( s) =

2 s3

21

b)

Al emplear la tabla, la transformada es

F ( s) =

2 (s + a )3

Observe que la transformada de Laplace de dos funciones multiplicadas no es la multiplicación de sus transformadas de Laplace individuales.

c)

La transformada de Laplace de dos funciones sumadas es la

suma de las transformadas de Laplace individuales.

f (t ) = t 2 + t 2 e − at F ( s) =

2 2 + s 3 (s + a )3

22

Empleo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales

Para utilizar la transformada de Laplace en la solución de una ecuación diferencial, se adopta el siguiente procedimiento: 1

Transformar cada término de la ecuación diferencial en su equivalente en transformada de Laplace, es decir, se cambia la función del tiempo en una función de (s).

2

Realizar todas las operaciones algebraicas, por ejemplo, considerar qué pasa cuando al sistema se aplica una entrada escalón.

3

Convertir otra vez la función de Laplace resultante en una ecuación que dé una función del tiempo, es decir, la operación inversa de la transformada de Laplace. A fin de emplear las tablas para hacer la conversión, a menudo es necesario primero realizar una expansión en fracciones parciales para obtener de éstas formas estándares dadas en las tablas.

23

Ejemplo 5 Emplear la transformada de Laplace para resolver la siguiente ecuación diferencial: 3

dx + 2x = 4 dt

Con x =0 en t =0

Solución La transformada de Laplace de 3 dx/dt es 3 veces la transformada de Laplace de dx/dt. La transformada de Laplace de 2x es 2 veces la transformada de Laplace de x. La transformada de Laplace de 4 es 4/s, puesto que éste se puede considerar una función escalón de altura 4. De este modo

3[sX ( s) − x(0)] + 2 X (s) = 4 / s donde X(s) es la transformada de Laplace de x. Debido a que x (0) = 0, entonces 3[sX (s ) − 0] + 2 X ( s) = 4 / s 3 s 2 X (s ) + 2 sX (s ) = 4 X (s) =

4 2( 2 / 3) = 3s + 2s s [s + ( 2 / 3)] 2

Ahora se necesita encontrar las funciones que darían las transformadas de Laplace de esta forma para obtener la transformada inversa y obtener x. Puesto que la transformada inversa de a /[s ( s + a) ], es

(1 − e −2t / 3 ) entonces

x = 2(1 − e −2t / 3 ) 24

Ejemplo 6 La ecuación diferencial en función del voltaje a través del capacitor Vc, para un circuito RC en serie al que se le aplica una entrada escalón de voltaje de magnitud V en t = 0 está dada por

V = RC

dvc + vc dt

VC es cero en t = 0. Utilice la transformada de Laplace para resolver esta ecuación. Solución La transformada de Laplace para una entrada escalón unitario es 1/s y así, para un escalón de magnitud V es V/s. La transformada de

dvc Laplace para dt es [sVc ( s) − 0], debido a que la función v c es dv

c cero en t = 0. La transformada de Laplace para RC dt es RCs V c(s).

La transformada de Laplace para vc es Vc (s). De esta manera, la transformada de la ecuación diferencial es

V = RCsV c ( s) + V c (S ) s

25

Así

V Vc (s ) = (RCs + 1)s Al reordenar se tiene

Vc ( s ) = La función

V (1 / RC) (s + (1 / RC ))s

(1 − e − at ) proporciona la transformada de Laplace

a (s + a )s De este modo, con a = (1/RC) ,

v c = V (1 − e −t / RC )

26

Ejemplo 7 Para un circuito LR en serie alimentado por una entrada escalón de magnitud V en t = 0, la variación de corriente con el tiempo se describe mediante l a ecuación

L di V +i = R dt R

La corriente i es cero en t = 0. Resuelva esta ecuación usando la transformada de Laplace.

Solución La transformada de Laplace para

así para (L / R )

di es sI(s), puesto que i(0) es cero, y dt

di es ( L / R ) sI ( s ) . La transformada de Laplace de i dt

es I(s). La transformada de Laplace para una entrada escalón unitario es 1/s y así, para un escalón de magnitud (V/R) es (V/R)/s. Por lo tanto, la transformada de la ecuación diferencial se puede escribir como 27

( L / R) sI ( s ) + I ( s ) =

(V / R) s

Por lo tanto

I ( s) =

(V / R) [( L / R ) s + 1]s

Al reordenar se tiene

I ( s) = la función (1 − e

− at

(V / R)( R / L ) [s + ( R / L)]s

) da la transformada de Laplace

a (s + a)s De este modo, con a=(R/L),

i = (V / R)(1 − e − Rt / L )

28

Función de transferencia En la teoría de control, se utilizan frecuentemente funciones denominadas funciones

de transferencia, para caracterizar las

relaciones de entrada-salida de componentes o sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.

Función de transferencia. La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por las siguientes ecuaciones diferenciales: Ecuación 1-14 (n )

( n −1)

•

(m )

( m −1)

•

a0 y + a1 y + ......+ an−1 y + an y = b0 x + b1 x + ......+ bm−1 x + bm x n≥m

29

donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene, tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuación anterior, bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o sea

Función de transferencia = G(s) = L[salida]/ L[salida] Con condiciones iniciales cero. Luego se tiene

Y ( s) b0 s m + b1 s m−1 + ...... + bm −1 s + bm G (s ) = = X ( s) a0 s n + a1 s n −1 + ...... + a n−1 s + a n Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.

Comentarios sobre la función de transferencia. La aplicación del concepto de función transferencial queda limitada a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.

30

No obstante, el procedimiento de función transferencia es de uso extensivo en el análisis y diseño de tales sistemas. A continuación, se listan importantes comentarios sobre la función de transferencia. (Nótese que dentro de la lista se hace referencia a un sistema descrito por una ecuación diferencial lineal, invariante en el tiempo).

1.

La función de transferencia de un sistema es un modelo

matemático en el sentido de que es un método operacional de expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. 2.

La función de transferencia es una propiedad de un sistema en si,

independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora. 3.

La función de transferencia incluye las unidades necesarias para

relacionar la entrada con la salida; no obstante, no brinda ninguna información respecto a la estructura física del sistema (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente distintos pueden ser idénticas).

31

4.

Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede

estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema.

5.

Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se

puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema. Una vez establecida, una función de transferencia brinda una descripción completa de las características dinámicas del sistema, tan definida como su descripción física.

32

DIAGRAMAS DE BLOQUE Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de componentes. Para mostrar las funciones que realiza cada componente, en ingeniería de control se acostumbra usar diagramas denominados diagrama de bloques. Esta sección explica qué es un diagrama en bloques, presenta un método para la obtención de diagramas de bloques para sistemas físicos, y, finalmente, expone las técnicas para simplificar esos diagramas.

Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemáticamente puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de señales del sistema real. En un diagrama de bloques, todas las variables del sistema se enlazan entre sí a través de bloques funcionales. El bloque funcional, o simplemente bloque, es un símbolo de la operación matemática que el

33

bloque produce a la salida, sobre la señal que tiene a la entrada. Sobre los bloques correspondientes, se colocan generalmente las funciones de transferencia de los componentes; los bloques están conectados por flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Nótese que la señal sólo puede pasar en la dirección de las flechas. De este modo, un diagrama de bloques de un sistema de control presenta explícitamente una propiedad o característica unilateral.

Función de transferencia G(s)

Figura 1-12: Elemento de un diagrama de bloque a

a-b

b

Figura 1-13: Punto de suma

La figura 1-12 muestra un elemento del diagrama de bloques. La flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada, y la que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas normalmente reciben la designación de señales.

34

Debe notarse que la magnitud de la señal de salida del bloque, es la de la señal de entrada, multiplicada por la magnitud de la función de transferencia en el bloque. Las ventajas de la representación del diagrama de bloques de un sistema, consisten en que es fácil formar el diagrama de bloques global de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de acuerdo con el flujo de señales, y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al comportamiento general de todo el sistema. En general, el funcionamiento de un sistema se puede ver más fácilmente examinando el diagrama de bloques, que analizando el sistema físico en sí. Un diagrama de bloques contiene información respecto al comportamiento dinámico, pero no contiene ninguna información acerca de la constitución física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas disímiles, sin relación alguna entre sí, pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

35

Debe notarse que en un diagrama de bloques no aparece representada la fuente principal de energía y, por lo tanto, el diagrama de bloques de un sistema no es único. Se pueden dibujar diversos diagramas de bloques diferentes de un sistema, según el punto de vista del análisis.

Punto de suma . En relación a la figura 1-13, un círculo con una cruz constituye el símbolo que indica la operación de suma. El signo más o menos indica si la señal ha de sumarse o restarse. Es importante que las cantidades a sumar o restar tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

Punto de bifurcación. Un punto de bifurcación es un punto desde el cual la señal de un bloque va concurrentemente a otros bloques o puntos de suma.

36

Punto de suma

R(s)

Punto de bifurcación

E(s)

G(s)

C(s)

Figura 1-14: Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado

Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado. La figura 1-14 presenta un ejemplo del diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado. La salida C(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza de lazo cerrado del sistema queda claramente indicada por la figura. La salida del bloque C(s), se obtiene, en este caso, multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s). Cualquier sistema lineal de control puede representarse por un diagrama de bloques, consistente en bloques, puntos de suma y puntos de bifurcación.

37

Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, la señal de salida es generalmente la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de una temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de compararla con la señal de entrada. Esta conversión la realiza el elemento de retroalimentación cuya función de transferencia es H(s), como se ve en la figura 1 -15.

R(s)

E(s)

G(s)

C(s)

B(s)

H(s)

Figura 1-15: Sistema de lazo cerrado

La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida antes de compararla con la entrada. (En la mayoría de los casos, el elemento de retroalimentación es un sensor que mide la salida de la

38

planta. La salida del sensor se compara con la entrada, y así se genera la señal de error). En este ejemplo la señal de retroalimentación que se envía de vuelta al punto de suma para su comparación con la entrada es B(s) = H(s)C(s).

Función de transferencia de lazo abierto y función de transferencia directa. Con referencia a la figura 1-15, la relación entre la señal de retroalimentación B(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina función de transferencia de lazo abierto. Es decir,

B(s ) Función de transferencia de lazo abierto = E ( s) = G ( s) H ( s)

La relación entre la salida C(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina función de transferencia directa, de modo que

C ( s) Función de transferencia directa = E ( s) = G ( s)

39

Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad, la función de transferencia de lazo abierto y la función de transferencia directa son lo mismo.

Función de transferencia de lazo cerrado. Para el sistema que se muestra en la figura 1-15, la salida C(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue: C(s) = G(s)E(s) E(s) = R(s) - B(s)=R(s) - H(s)C(s) Eliminando E(s) de estas ecuaciones da C(s) = G(s)[R(s) - H(s)C(s)]

C ( s) G ( s) = R (s ) 1 + G ( s ) H ( s )

(1-15)

La función de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina función de transferencia de lazo cerrado . Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de los elementos de la acción directa y los de la retroalimentación. 40

De la ecuación (1-15), se obtiene C(s) por

C (s ) =

G ( s) R ( s) 1 + G (s ) H (s )

Así, la salida del sistema de lazo cerrado depende claramente tanto de la función de transferencia de lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada. Perturbación N(s)

E(s)

R(s)

G1(s)

G2(s)

C(s)

B(s)

H(s)

Figura 1-16: Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación

Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación. En la figura 1-16 se ve un sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación. Cuando dos entradas (la señal de referencia y la perturbación) están presentes en un sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas correspondientes se

41

pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un signo más o un signo menos, la forma en que cada entrada se introduce al sistema. Considere el sistema que aparece en la figura 1-16. Al examinar el efecto de la perturbación N(s), se puede suponer que el sistema está inicialmente en reposo, con error cero; entonces se puede calcular la respuesta CN(s) debida a la perturbación solamente. Se puede hallar entonces que:

[E( s )G1 ( s) + N (s ) ]G2 ( s) = CN ( s) E( s ) = − H ( s )CN ( s)

[N ( s ) − H ( s)C N ( s )G1 ( s )]G2 ( s ) = C N ( s ) N ( s )G2 ( s) − H ( s )C N ( s )G1 ( s)G2 ( s) = C N ( s ) N ( s )G2 ( s) = CN ( s)[1 + H ( s)G1 ( s )G2 ( s ) ]

C N (s) G 2 (s) = N (s) 1 + G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )

42

Por otro lado, considerando la respuesta a la entrada de referencia R(s), se puede suponer que la perturbación es cero. Entonces es posible obtener la respuesta C R(s) a la entrada de referencia R(s) de

C R (s ) G1 ( s )G2 ( s ) = R( s ) 1 + G1 ( s)G2 ( s) H ( s)

La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta C(s) debida a la aplicación simultánea de la entrada de referencia R(s) y la perturbación N(s), está dada por

C ( s ) = C R ( s) + C N ( s )

C (s ) =

G2 ( s ) [G1 (s) R(s) + N (s)] 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

Sea ahora el caso en que G1 ( s ) H ( s ) 〉〉1 y G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s ) 〉〉1 En este caso, la función de transferencia de lazo cerrado CN (s)/N(s) se convierte en casi cero, y se suprime el efecto de la perturbación.

43

Esta es una ventaja del s istema de lazo cerrado. Por otro lado, la función de transferencia de lazo cerrado CR(s)/R(s) tiende a 1/H(s) cuando la ganancia de G1(s)G2 (s)H(s) aumenta. Esto significa que si G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 〉〉1 , la función de transferencia de lazo cerrado CR(s)/R(s) se hace independiente de G1 (s) y G 2 (s), y se vuelve inversamente proporcional a H(s) de modo que las variaciones de G1 (s) y G2(s) no afectan la función de transferencia de lazo cerrado C R(s)/R(s). Esta es otra ventaja del sistema de lazo cerrado. Se puede ver fácilmente que cualquier sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitario H(s) = 1, tiende a igualar la entrada y la salida.

44

Reducción del diagrama de bloques. Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes, es necesario combinar esos componentes en un bloque individual. Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen comp onentes que no producen efecto de carga se puede representar como un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese bloque simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con muchos lazos de retroalimentación, modificando paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de diagramas de bloques. En la tabla 1-3 se dan algunas de estas reglas importantes. Se obtienen escribiendo la misma ecuación en forma diferente. Simplificando el diagrama de bloques con modificaciones y sustituciones, se reduce considerablemente la tarea a efectuar en el análisis matemático subsiguiente. 45

Hay que notar, sin embargo, que al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos, debido a que se generan nuevos polos y ceros. Al simplificar un diagrama de bloques, debe recordarse lo siguiente.

1.

El producto de las funciones de transferencia en sentido directo

debe quedar igual. 2.

El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo

debe quedar igual.

46

47

EJEMPLO 1-8 Sea el sistema que aparece en la figura 1-18(a). Simplifique este diagrama, utilizando las reglas que aparecen en la tabla 1-1. Desplazando el punto de suma del lazo negativo de retroalimentación que contiene H2 fuera del lazo positivo de retroalimentación que contiene a H1, se obtiene la figura 1-18(b). Eliminando el lazo de retroalimentación positiva, se tiene la figura 1 -18(c). Luego, eliminando el lazo que contiene H2 /G1, se obtiene la figura 1-18(d). Finalmente eliminando el lazo de retroalimentación, se llega a la figura 1-18(e).

Figura 1-18: a) Sistema de lazos múltiples; b)-e) Reducciones 48

sucesivas del diagrama de bloques mostrado en a)

49