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• Análisis matemático

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Control de Procesos  ¿Qué es un sistema de control ?  En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que

necesitan cumplirse.

 En el ámbito doméstico  Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios

 En transportación  Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a

otro en forma segura y exacta

 En la industria  Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de

manufactura

Control de Procesos  En años recientes, los sistemas de control han

asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.  Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: › tales como control de calidad de los productos

manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros

Ejemplos de procesos automatizados  Satélites

Control de Procesos

 El campo de aplicación de los sistemas de control es

muy amplia.  Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de Laplace?  En el estudio de los procesos es necesario considerar

modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.  Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

¿Por qué Transformada de Laplace?  El comportamiento dinámico de los procesos en la

naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

 La transformada de Laplace es una herramienta

matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

¿Por qué Transformada de Laplace?  De hecho, la transformada de Laplace permite

resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

 Una vez que se ha estudiado el comportamiento de

los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

Conociendo el proceso …  MODELACIÓN MATEMÁTICA

Suspensión de un automóvil f(t)

Fuerza de entrada

 F  ma

z(t) m

k

Desplazamiento, salida del sistema

b

f (t )  kz (t )  b

dz(t ) d 2 z (t ) m dt dt 2

El rol de la transformada de Laplace Convirtiendo ecs. diferenciales a ecs. algébricas

Suspensión de un automóvil dz(t ) d 2 z (t ) f (t )  kz (t )  b m dt dt 2 Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero) F ( s )  kZ ( s )  bsZ ( s )  ms2 Z ( s )



F ( s )  Z ( s ) ms2  bs  k Z (s) 1  F ( s ) ms2  bs  k



Función de transferencia

Conociendo el proceso…  MODELACIÓN MATEMÁTICA

Circuito eléctrico



di(t ) 1 ei (t )  L  Ri(t )  i (t )dt dt C 1 i (t )dt  eo (t ) C



El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Circuito eléctrico



di (t ) 1 ei (t )  L  Ri (t )  i (t )dt dt C Aplicando la transformada de Laplace



1 i (t )dt  eo (t ) C

1 1 E i ( s )  LsI ( s )  RI ( s )  I ( s) I ( s )  Eo ( s ) Cs Cs Combinando las ecuaciones (despejand o para I(s)) E i ( s )  LsCsEo ( s )  RCsEo ( s ) 





1 CsEo (s) Cs

E i ( s )  Eo ( s ) LCs 2  RCs  1 Eo ( s ) 1  Ei ( s ) LCs 2  RCs  1

Función de transferencia

La función de transferencia

 Representa el comportamiento dinámico del proceso  Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada Y ( s) Cambio en la salida del proceso  X ( s ) Cambio en la entrada del proceso Y ( s ) Respuesta del proceso  X ( s) Función forzante

 Diagrama de bloques Entrada del proceso (función forzante o estímulo)

Proceso

Salida del proceso (respuesta al estímulo)

La función de transferencia Diagrama de bloques  Suspensión de un automóvil Entrada

1

Salida

(Bache)

ms2  bs  k

(Desplazamiento del coche) -3

10

3

x 10

8

2 6

4

1

2

0 0

-2

-1

-4

-2 -6

-8

-10

-3

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3 4

x 10

La función de transferencia Diagrama de bloques  Circuito eléctrico Ei(s)

1

Eo(s)

(Voltaje de entrada)

LCs 2  RCs  1

(Voltaje de salida)

20

10

18

9

16

8

14

7

12

6

10

5

8

4

6

3

4

2

2

0

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 4

x 10

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 4

x 10

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control

 TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL

(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados en al ámbito de control  TEOREMA DE VALOR FINAL

(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

 TEOREMA DE VALOR INICIAL

(Nos indica las condiciones iniciales)

La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace Ts ( s ) 

K1 K2 Tv ( s )  W (s)  1s  1  2s  1

Ts ( s ) 

K1  20  K 2  5007 .25       1s  1  s   2 s  1  s 

Tv ( s ) 

20 s

W (s) 

5007 .25 s

0.381883  20   7.573947 x10 4  5007 .25  7.63766 3.792464 Ts ( s )       1.712995 s  1  s  1.712995 s  1  s  1.712995 s  1s 1.712995 s  1s Expansión en fracciones parciales a1 a b1 b 4.458658 2.213928 Ts ( s )     2  2 s  0.583772 s s  0.583772 s s  0.583772  s s  0.583772  s

La respuesta del proceso en el tiempo Transformada Inversa De Laplace  4.458658  4.458658  a1  s  0.583772    7.6376   s  0 . 583772 s  0 . 583772   s 0.583772  4.458658  4.458658  a2  s    7.6376   s  0 . 583772 s 0 . 583772   s 0  2.213928  2.213928  b1  s  0.583772    3.792453  0.583772  s  0.583772 s  s 0.583772  2.213928  2.213928  b2  s    3.792453   s  0 . 583772 s 0 . 583772   s 0 7.637670 7.637670 3.792453 3.792453 Ts ( s )      s  0.583772  s  0.583772  s s Ts (t )  7.637670 e 0.583772 t  7.637670  3.792453 e 0.583772 t  3.792453  Tss









Ts (t )  7.637670 1  e 0.583772 t  3.792453 1  e 0.583772 t  Tss

(Tss  temperatur a inicial de salida)

El sistema control automático Temperatura deldeagua de salida – Lazo abierto (sin control) Tv(s) (Aumento de la temperatura de vapor a la entrada )

K1 1s  1

Ts(s) (Aumento en la temperatura de agua a la salida)

Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control) Valor desead o

+ -

Controlador Acción de control

0.3819 1.713 s  1

Variable controlad a

La ecuación del controlador  ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID  1 de(t )  m(t )  Kc e(t )  e(t )dt   d   dt i   Aplicando la transformada de Laplace



  1 M(s)  Kc E(s)  E ( s )   d sE ( s ) is     M (s) 1  Kc E(s)  E ( s )   d sE ( s ) E (s) is     M (s) 1  Kc 1    d s E (s)  is 

Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido

El sistema de control automático Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control) +

Valor desead o

Kc1  1s   d s  i  Acción

-

de control

6

6

5

5

Variable controlad a

0.3819 1.713 s  1

X: 0.683 Y: 4.91

4

4

3

3

2

2

1

1

0 -1

0

1

2

3

4

5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5