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• Yenny Rojas Shuan

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1. TRANSFERENCIA DE CALOR: 1.1.

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR: A. CONDUCCIÓN DE CALOR (LEY DE FURIER): El calor transferido tiene una dirección, así como también magnitud. La tasa de conducción de calor en una dirección especificada es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es el cambio en la temperatura por unidad de longitud en esa dirección, sea en el sistema cartesiano, cilíndrico o esférico. Históricamente, la ecuación que describe la difusión se denomina ley de Fick. El campo Ψ describe la concentración de soluto en el disolvente y la constante α=D, siendo D el coeficiente de difusión. La difusión se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de concentración entre dos puntos del medio. La conducción de calor en un medio, en general, ocurre en tres dimensiones y depende del tiempo. Esto es, la temperatura es un campo escalar de la forma:

T =T (x , y , z , t) lo que significa que la temperatura en un medio varía con la posición y con el tiempo. Entonces, la conducción de calor en un medio se le denomina en estado estable o estacionario, si la temperatura no cambia con el tiempo, y se le llama en estado transitorio o transigente si cambia con el tiempo; por otra parte, se le denomina unidimensional, si su transferencia es significativa en una dirección del sistema donde se haga el análisis. manera de recordatorio podemos observar la descripción de las coordenadas espaciales de un punto en los tres sistemas de coordenadas, ya estudiados en el tema de transferencia de masa por difusión.

Imagen 1: Coordenadas en transferencia de masa por difusión LEY DE FOURIER: El flujo de calor es una magnitud vectorial, así como los son los flux de masa difusivos y convectivos ya estudiados, razón por la cual puede escribirse en notación de vectores, pero lo más importante de esto, es la forma en que puede entonces expresarse tales flujos en forma diferencial.

Q

n=¿−kA

⃗ Qn=Q x i⃗ +Q y ⃗j+Q z ⃗k

∂T … … …… …… ….. w ¿ ∂n

Entonces: Q x =−kA

∂T x´

Q y =−kA

∂T y´

Q z=−kA

∂T z´

Estas expresiones representan los flujos de calor a través de las paredes de un cuerpo o elemento diferencial colocado en el sistema cartesiano. Por otro lado, dentro de un cuerpo puede estar ocurriendo un proceso de generación de energía, por unidad de volumen, tal es el caso, por ejemplo, de considerar un volumen de control tipo reactor nuclear, donde resultaría obvio porque hay generación de energía si la superficie de control fuera las paredes del mismo. En cualquier caso, esta generación puede evaluarse como: ❑

G=∫ gdv … … … … … … … ecuación(1) v

En caso de que sea uniforma la generación de energía en el volumen de control, el término dentro de la integral se hace constante sale de ella, haciendo simple los cálculos, y llamando a dicho término, tasa de generación uniforme o constante de calor por unidad de volumen del sistema. Tal es el caso de una resistencia eléctrica de calentamiento en un material homogéneo. Consideremos un cuerpo homogéneo, libre de efectos de movimiento y circulación de flujos a su alrededor, ubicado en el sistema cartesiano, y admitiendo que la temperatura es un campo escalar, en ese mismo sistema de coordenadas.

Imagen 2: Temperatura escalar en el sistema de coordenadas. El flujo de calor expresado en las caras de salida del elemento, puede expresarse según el teorema del valor medio, de la siguiente forma:

q x +dx=q x

∂ qx dx ∂x

q y + dy=q y

∂qy dy ∂y

q z + dz=q z

∂q z dz ∂z

Estas expresiones determinan la tasa de salida en las caras de la superficie de control, y muy fácil demostrarlo a partir del teorema mencionado. Dentro del medio puede también existir una fuente de energía térmica asociada, con una tasa de generación de energía, que puede describirse así:

E˙ δ =q˙x dxdydz Además, pueden existir en el medio, cambios en su energía térmica almacenada o su energía interna, y si tales cambios ocurren de manera que los efectos de calor latente son despreciables por no existir cambio de fase, entonces este término correspondiente a energía almacenada puede expresarse como:

∂T E˙ st =ρ c p dxdydz ∂t En esta ecuación el triple producto de la densidad, calor específico y tasa de cambio de la temperatura en el tiempo, se le denomina tasa de cambio de energía térmica sensible del medio por unidad de volumen del sistema. Si se expresa la ley de conservación de la energía en su forma más elemental, ENERGÍA QUE ENTRA MENOS LA ENERGÍA QUE SALE MÁS LAENERGÍA QUE SE GENERA MENOS LA ENERGÍA QUE SE CONSUME ES IGUAL A LA ENERGÍA QUE SE ACUMULA, se obtiene la siguiente ecuación diferencial, susceptible a reducción:

q x +q y + q z +qdxdydz−q x+dx −q y+dy −q z +dz=ρ c p

∂T dxdydz ∂t

Haciendo las sustituciones respectivas, y reordenando adecuadamente los términos:

−∂ q x ∂qy ∂ qz ∂T dx− dy− + qdxdydz=ρ c p dxdydz ∂x ∂y ∂z ∂t finalmente, obtenemos la ecuación en coordenadas cartesianas:

∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T k + k + k + q=ρ c p ∂x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂z ∂t

( ) ( ) ( )

RESUMEN DE LA ECUACIONES EN LOS TRES TIPOS DE COORDENADAS MÁS COMUNES:

∂ ∂T ∂ ∂T k + k ∂x ∂ x ∂ y ∂ y

CARTESIANAS ∂ ∂T ∂T + k + g=ρC ˙ ∂ z ∂z ∂t CILÍNDRICAS 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T + 2 kr + k + g˙ = ρC ∂ϕ ∂ z ∂ z ∂t r ∂ϕ

( ) ( ) ( ) 1 ∂ ∂T kr r ∂r ∂r

(

)

(

) ( )

ESFÉRICAS 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂T k r2 + 2 k + 2 ksenθ + g=ρC ˙ 2 2 2 ∂r r sen θ ∂ ϕ ∂ ϕ r sen θ ∂θ ∂θ ∂t r ∂r

(

)

( )

(

)

B. FENÓMENOS DE TRANSPORTE: PROCESOS DE DIFUSIÓN: Muchos procesos de transferencia de calor que se encuentran en la naturaleza vienen acompañados por procesos de transferencia de masa de un componente a través del otro. Esto se tiene, por ejemplo, en la condensación del vapor procedente de una mezcla gas-vapor y en la evaporación de un líquido en una mezcla gasvapor. El líquido evaporado se distribuye por la mezcla gas-vapor por difusión, viniendo acompañado este proceso de un cambio en la naturaleza de la mezcla y de una variación en la intensidad de transferencia de calor, lo que a su vez influye en el proceso de difusión. Se entiende por difusión el proceso espontáneo de extensión o esparcimiento de materia en un medio binario o sistema de dos componentes bajo la influencia de la diferencia de concentración. En una mezcla homogénea en lo referente a la temperatura y la presión, la difusión tiende a homogeneizar las concentraciones en el sistema, viniendo acompañada de transferencia de masa de la región de alta concentración a la región de baja concentración. El flujo de difusión se puede determinar de cualquier manera, como masa de la sustancia disuelta que pasa por unidad de tiempo y de área, como número de moléculas, etc... La difusión está caracterizada por el flujo de difusión J de un componente, esto es, por la cantidad de materia que pasa en la unidad de tiempo a través de una superficie dada en la dirección normal a la superficie. Definiremos la densidad de flujo de difusión j como la cantidad de sustancia que pasa en la unidad de tiempo a través de la unidad de área de la superficie dada en la dirección normal a esta superficie.

j= y, por tanto:

dJ … … … … … … .ecuación(1) dS

❑

J=∫ jdS … … ..… ecuación(2) S

quedando, para j uniforme:

J= jS … … … .. ecuación(3)

La densidad de flujo de difusión es un vector. Consideraremos que el valor de una de sus componentes es positivo cuando ésta esté dirigida hacia el sentido positivo del eje, y negativo en caso contrario. Como la sustancia se traslada de los lugares de mayor concentración a los de menor concentración, el signo de la componente del flujo en una dirección será el contrario del que da la derivada de la concentración en esa dirección

∂c . Si la ∂n

concentración aumenta de izquierda a derecha, el flujo va hacia la izquierda y viceversa. Además, si la es uniforme

∂c concentración de la solución ∂n

∂c =0, no habrá flujo de difusión. Considerando todo ∂n

ésto, para un sistema ∂n estacionario macroscópico de dos componentes, homogéneo en lo que respecta a temperatura y presión, la densidad de flujo de difusión de uno de los componentes, debido a difusión molecular, viene dada por la Ley de Fick:

ji=D

∂ ci ∂n

o, en la forma vectorial habitual:

⃗ ji=−D ⃗ ∇ ci donde ci =es la concentración local de la sustancia (componente) i-ésima. Puede medirse en masa por unidad de volumen, moles por unidad de volumen, etc... D = es el coeficiente de difusión molecular de un componente respecto del otro o, de forma abreviada, el coeficiente de difusión [m2 /s]. n es la dirección normal a la superficie que une los puntos con similar concentración del componente.

∂ ci ∂n

= es el gradiente de concentración (concentración relativa) que está siempre

dirigido hacia el sentido creciente de las concentraciones.

El gradiente de concentraciones es la fuerza motriz que determina la transferencia de materia. Esto es equivalente al caso de la conducción del calor, donde la fuerza motriz que determina la transferencia de energía es el gradiente de temperaturas. El signo negativo en la ecuación 3 indica que el movimiento de masa por difusión tiene lugar, de acuerdo con la ley de Fick, hacia las regiones de menor concentración. A este proceso descrito por la ley de Fick se le denomina difusión por concentración.

C. TRANSMISIÓN DEL CALOR: RADIACIÓN: Cuerpo negro. Ley de Planck: Se entiende por cuerpo negro aquel cuerpo que absorbe toda la energía incidente en todo el espectro de longitudes de onda (αλ = 1 = α para todas las λ). Aunque ningún cuerpo se comporta como un cuerpo negro perfecto, una

Imagen 3: Cavidad como un cuerpo negro. cavidad con las paredes pintadas de negro y dotada de un pequeño orificio actúa de forma bastante similar a como lo haría un cuerpo negro, ya que la radiación incidente tiene pocas oportunidades de escapar (Figura 3–5). Max Planck (1900) demostró, basándose en la Mecánica Cuántica, que la emitancia monocromática de un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura T viene dada por la expresión:

2 π c2 h ( ) E λ,T = λ5 0 λ

1 hc ℮ k B T λ−1

conocida como Ley de Planck, en la cual c es la velocidad de la luz en el vacío (2,998 · 108ms-1 ), h una constante conocida como constante de Planck (6,625 · 10-34Js-1), y kB la constante de Boltzmann (1,381 · 10-23 J/K).

Ley del desplazamiento de Wien: Experimentalmente se observa que la emisión máxima tiene lugar a longitudes de onda cada vez más cortas según crece la temperatura. La ley de Planck prevé este comportamiento y permite obtener el máximo de la emisión mediante un sencillo cálculo de máximos:

E 0λ ( λ ,T ) dλ Que da:

|

=0

Tcte

λ máx .T =2.898 x 10−3 mk=2898 μk

Expresión conocida como ley del desplazamiento de Wien. Así, según la ley de Wien, cuando una corriente pasa por un filamento metálico delgado, se tiene que:

T < 3400 k λmáx > 0.85 μm(infrarrojo no visible) T ≅ 36 00 λ m á x > 0. 8 μm (extremo rojo del espectro visible) T > 4 0 00 k λ máx >0. 7 μm(expectro visible) resultados que concuerdan con la experiencia. Para el Sol, con una temperatura en la superficie del orden de los 5800 K, λma´x =0.5µm, en el centro de la región visible del espectro. El ojo humano está adaptado a este máximo de emisión, siendo allí donde tiene su mayor sensibilidad. El hecho de que las señales de peligro sean rojas no es debido a que sea el color para el cual el ojo humano es más sensible, sino a que es un color poco frecuente en la naturaleza y destaca con facilidad

https://es.slideshare.net/jalexanderc/ecuacin-diferencial-detransferencia-de-calor-y-sus-aplicaciones-en-ingeniera Domingo, M. A.(2011) ´´Apuntes deTransmisión del calor´ ´Departamento de Física e Instalaciones. E.T.S. Arquitectura de Madrid. Universidad Politécnica de Madrid.