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Transferencia de calor Segunda edición José Ángel Manrique Valadez
TP 368 M8 2002 JOSE ANGEL MANRIQUE VALADEZ 1111111 1111111111 11111 11111 11111 11111111111111111111 l1li 1111
0233002790
TRANSFERENCIA DE CALOR.
OXFORD
f1. Alfaomega
UNIV E R SI TY P R ESS
d
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OXFORD UNIVERSITY PRESS
Antonio Caso 142, San Rafael, Delegación Cuauhtémoc, c.P. 06470, México, D.F. Tel. : 5592 4277, Fax: 5705 3738, e-mail: [email protected] Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford. Promueve el objetivo de la Universidad relativo a la excelencia en la in vestigac ión , erudición y educación mediante publicaciones en todo el mundo en Oxford New York Auckland Cape Town Dar es Salaam Hong Kong Karachi Kuala Lumpur Madrid Melboume Mexico City Nairobi New Delhi Shanghai Taip.ei Toronto Con oficinas en Argentina Austria Brazil Chile Czec h Republic France Greece Guatemala Hungary Italy Japan Poland Portugal .Singapore South Korea Switzerland Thailand Turkey Ukraine Vietnam Oxford es una marca registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y Olros paises. Publicado en México por Oxford University Press Mé xico, S.A. de c. v. División : Universitaria Área: Ingeniería
Sponsor editor: Jorge Alberto Ruiz González Edición : Ester Alizeri Femández Sergio Gerardo López Hemández Producción: Jorge A. Martínez Jiménez TRANSFERENCIA DE CALOR
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1:
Todos ios derechos reservados © 2002, respecto a la segunda edición por Oxford University Press México , S.A. de c.v. Ninguna parte de esta publicación puede reproducirse, almacenarse en un sistema de recuperación o transmitirse, en ninguna forma ni por ningún medio, sin la autorización previa y por escrito de Oxford University Press Méxi co, S,A. de C.v. Las consultas relativas a la reproducción deben enviarse al Departamento de Derechos de Autor de Oxford University Press México, S,A. de C.v., al domicilio que se señala en la parte superior de esta página. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, registro número 723. ISBN 970-613-671-1
A/faomega Grupo Editor es distribuidor exclusivo para todos los países de habla hispana de es/a coedición realizada entre Oxford University Press México, S.A. de C. V y A/faomega Grupo Edito,; S.A . de C. V ISBN 970-15-1161-1 Alfaomega Grupo Editor, S,A. de c.v. Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100, México, D.F. Impreso en México P.;mera reimpresión: octubre de 2005 Esta obra se lemlinó de imprimir en OClubre de 2005 en Jmpresos 2000, S. A. de C. v., Callejón de San Amonio Núm, 69, Col. Tránsito, México, D.F., sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g. Elliraje fue de 2 000 ejemplares.
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índice de contenido
Prólogo .................................................
ix
1. Introducción
1
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
Conducción .... ......... ........ .. .. .. .. .... ... ... . Convección ... . ... ...... ...... ....... ........ .. ... . Radiación .. . .. .... ..... .... ..... .. ... .... .. . ... .. .. Transferencia simultánea de calor. ... ...... ........... . .. Resumen . .. ....... .. .............. ... ......... .. .. Problemas ......................................... Bibliografía ........................................
2 7 10 12 15 15 22
2. Conducción unidimensional en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.
Placa .................... ... ..... ..... ... . . . .... .. Cilindro hueco .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radio crítico . . . .... ......... .. .......... .... ....... Esfera .... . .... .. ......... .... . .... ............... Placa con generación uniforme de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cilindro CaD generación uniforme de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficies extendidas . .. . .. ... ... ... ........ . ........ 2.7.1. Ecuación general para una superficie extendida ... . . . .. 2.7.2. Superficies extendidas de sección transversal constante .. 2.7.3. Aletas circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4. Aletas rectangulares de perfil triangular . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5. Eficiencia de las aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas ..................... .. ...... .... .... . ... Bibliografía ........ .. ....... . . ................ .. ...
23 33 37 40 45 49 54 55 56 61 65 67 69 77
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones. . . . . .
79
3.1 . Método analítico .. ............... .... ........... . ... 3.2. Diferencias finitas ............ ... . .. .. ...............
79 86
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vi
Índice de contenido
3.3. Método de relajación . ... .. ..... . .......... . .......... 3.4. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Formulación en diferencias finitas para problemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 . Método analógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . .............. .. ...... :..... . .......... Bibliografía ... .. . . ........ ... ........... ... ....... .
100 101 104 105 114
4. Conducción de calor en estado transitorio ...................
115
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
Análisis de parámetros concentrados . ...... .. .... . ....... Placa infinita .. .. ........ . .. . ....................... Cilindro infinito y esfera ... . .. .. ........ .. . .. ....... . . Sólido semiinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conducción transitoria en más de una dimensión . . . . . . . . . . . . Diferencias finitas. Método explícito ...... . ..... . . . ...... Método gráfico de Schmidt . . .. . ............. . ......... Problemas .................. . ...................... Bibliografía .. . . . ............. . . . .... .. .. ... ....... .
5. Fundamentos de convección forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90 93
115 126 139 143 150 157 163 164 . 169
171
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar ................. . ........ 5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción . ........ S3. Transferencia de calor en una placa con convección . forzada en régimen turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 . Transferencia de calor en un ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante. ...... . . . ....... 5.5 Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos ...... . . 5.6 Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos. . . . . . Problemas .. ... .... . . ... .. . ... . ..... ... .... . . ... . . . Bibliografía . . . .. .. .. ..... .. .... .. .. . ............ ...
193 200 203 205 206
6. Convección natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
6.1 Parámetros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Fórmulas para la transferencia de calor por convección natural en una placa vertical. ...... . ... .. ............ . ..... . 6.3. Fórmulas para convección natural en otras geometrías. ...... . Problemas ..... .. ............ . ........ .. .. . ....... . Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
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171 187 189
213 214 217 217
Índice de contenido
VÜ
7. Transferencia de calor con cambio de fase ...................
219
7.1. Condensación...... ....... .......... .. ... .. ... . . .... 7.2. Condensación en fonna de película sobre cilindros hOlizontales 7.3. Ebullición .. .... ......... .... ............... ... .... Problemas ..... ..... ............ ... ..... .. ......... Bibliografía . . . .. .. . . ... .. ..........................
219 225 225 230 230
8. Intercambiadores de calor. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas ............ 8.2. El método efectividad-número de unidades de transferencia. . . . 8.3. Diseño o selección de un intercambiador de calor ........... Problemas ......... ... ............. .. ......... .. ... Bibliografía ........................................
232 242 250 251 252
9. Principios de radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8.
Radiación de un cuerpo negro ... .... ... . ........ .. .. . .. Intensidad de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Emitancia y absortancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reflactancia y transmitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El factor de fonna para radiación. ........... . .... ... .... Intercambio de calor por radiación entre cuerpos negros ..... . Intercambio de radiación entre cuerpos grises .. .. . .. ... . .. . Radiación solar .......... .. ......... .. .. . ..... . .... . Problemas . .... ................. . ...... ......... .. . Bibliografía ... ... ... .... ... . ...... . .. .......... . ...
Apéndice Tabla A.l . Tabla A 2. Tabla A3. Tabla A.4. Tabla A.5 . Tabla A6. Tabla A7. Figura Al. Figura A2.
253 259 262 268 270 277 280 284 285 286
Propiedades de algunos fluidos en estado saturado . . . . . . Propiedades de gases a presión atmosférica . .......... Propiedades de algunos metales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de los no metales ..................... Vapor de agua saturado ... .... ..... ... ........ .. . Vapor de agua saturado ........... .. .. .... ....... Vapor de agua sobrecalentado ..................... Conductividad térmica del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número de Prandtl del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287 290 293 296 297 298 299 303 304
Índice analítico ...................................... . ....
305
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Prólogo
...
Las técnicas para la solución de problemas de transferencia de calor han experimentado un desarrollo sorprendente durante los últimos años y por ello su conocimiento es imprescindible en la actuación profesional del ingeniero. En este texto se presentan en forma elemental los principios básicos de transferencia de calor, los cuales se complementan con numerosos ejercicios resueltos que adoptan el Sistema Internacional de unidades en toda la obra. Cada capítulo termina con una sección de problemas a fin de que el estudiante pueda comprobar los conocimientos adquiridos. Los principales temas de la materia pueden estudiarse en un curso semestral con duración de tres sesiones de una hora por semana. Los temas cubiertos en la obra están destinados a estudiantes de ingeniería de licenciatura y de pos grado durante los primeros semestres. Desde luego, es recomendable que posean ciertos conocimientos sobre termodinámica, mecánica de fluidos y ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales para entender mejor la materia. El autor ha tenido el privilegio de enseñar el material de este texto a sus estudiantes de ingeniería del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey durante varios años, y su paciencia, sugerencias y comentarios han contribuido de manera especial y significativa a la presentación del material, por lo que espera que la obra refleje sus inquietudes y estimule aún más su interés por la disciplina. Muchas personas han sido muy generosas con sus comentarios, sugerencias y estímulo, por lo que el autor desea hacer patente su agradecimiento a todas ellas . También quiere dejar constancia de su agradecimiento a Karla Lucía Salinas, quien con todo esmero participó en la realización del manuscrito de la obra . Finalmente, también desea reconocer la importante cooperación y apoyo recibidos de los editores de Oxford University Press. José A. Manrique
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Transferencia de calor
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1. Introducción Participar en la construcción y mejoramiento de la Patria: he ahí la tarea más noble de un ciudadano. CARLOS PRIETO
La alimentación, la salud y la generación de potencia han sido una preocupación vital de la humanidad a lo largo de la historia. El progreso en estas áreas ha llevado al desarrollo conjunto de la transferencia de calor como una ciencia, por lo que su estudio es de capital importancia para el ingeniero. Esta disciplina de transporte tiene aplicaciones de suma relevancia en casi cualquier campo de la ingeniería. Así, se utiliza prácticamente en todos los procesos de la industria del vidrio; interviene en el diseño de los hornos, los regeneradores de calor, el enfriamiento de los moldes, el templado de los cristales, el flotado de los vidrios, etc. En el área del acondicionamiento del aire ambiental es imprescindible para evaluar con precisión las cargas térmicas de enfriamiento y calefacción que tiene un edificio. También forma parte del diseño de ciertos componentes de un sistema de refrigeración, como el evaporador, el condensador y las líneas de transmisión de agua helada, entre otros. En el ámbito de los combustibles fósiles se requiere un análisis de la transferencia de calor en presencia de reacciones químicas para mejorar la eficiencia de la combustión en hornos y calderas. La investigación de la energía solar en los últimos años ha aportado conocimientos muy promisorios para el acondicionamiento del aire para edificios mediante sistemas de absorción. Cabe mencionar que en varios países el aire acondicionado precisa una fracción significativa de la producción primaria de energía, por lo que el uso de la energía solar en este campo podría tener repercusiones significativas. El diseño de esos sistemas supone un amplio conocimiento de la transferencia de calor. Casi todos los alimentos en el curso de su preservación y preparación requieren tratamientos en los que la transferencia de calor juega también un papel importante. Debido a las condiciones adversas en algunas regiones agrícolas del mundo se pierden considerables cantidades de grano por falta de secado inmediato después de la cosecha; por ello, el uso de la energía solar u otros mecanismos de secado 1
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1. Introducción
apropiados podrían ser ventajosos. El congelamiento, la deshidratación y la cocción de alimentos exigen asimismo un conocimiento cabal de esta materia. En el diseño actual de edificios se requiere cada vez más un análisis de la transferencia de calor a fin de promover el ahorro de energía. A medida que surgen ideas novedosas y cada vez más refinadas en la tecnología moderna, la teoría de la transferencia de calor debe resolver problemas nuevos y cada vez más complejos. Así, desempeña igualmente un papel de gran relevancia en el enfriamiento de equipo eléctrico y electrónico; por ejemplo, en motores y generadores eléctricos, transformadores, transistores y conductores, entre otros. Con la termodinámica se predice el intercambio de calor en un sistema al realizar un proceso, pero no puede preverse el tipo de mecanismo por el cual se lleva a cabo tal transferencia. Así, al aplicar la primera y la segunda leyes de la termodinámica en un intercambiador de calor se obtiene información relacionada con el flujo de calor que debe transferirse del fluido caliente al frío. No obstante, la termodinámica no suministra datos con respecto al diámetro, longitud, material o arreglo geométrico de los tubos que deben emplearse. Estas características de diseño se obtienen mediante un análisis detallado de la transferencia de calor. De manera análoga, el estudio termodinámico de un motor de combustión interna brinda información relativa a sus requisitos de enfriamiento. Sin embargo, la transferencia de calor contempla la posibilidad de enfriarlo con aire o con agua, así como las dimensiones físicas que deben tener los conductos por donde circula el agua en caso de emplearla como refrigerante, o bien, las dimensiones de las aletas de enfriamiento para lograr la refrigeración con aire. De lo anterior se desprende que la termodinámica y la transferencia de calor son dos ciencias afines que se complementan. La primera predice los requisitos de transferencia de calor de un sistema; la segunda, cómo se lleva a cabo tal transferencia. A fin de que el lector tenga un panorama general de las distintas formas básicas de transferencia de calor, en este capítulo se describen en forma sucinta y cualitativa sus tres mecanismos básicos: • conducción o convección • radiación En los capítulos siguientes nos ocuparemos detenidamente de cada uno de estos mecanismos.
1.1. Conducción El fenómeno de transferencia de calor por conducción constituye un proceso de propagación de energía en un medio sólido, líquido o gaseoso mediante la comunicación molecular directa cuando existe un gradiente de temperatura.
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3
1.1. Conducción
En el caso de líquidos y gases, tal transferencia es importante siempre que se tomen las precauciones debidas para eliminar las corrientes naturales del flujo que pueden presentarse como consecuencia de las diferencias de densidad que presentan ambos fluidos. De aquí que la transferencia de calor por conducción sea de particular importancia en sólidos sujetos a una variación de temperaturas. Al haber un gradiente de temperatura en el medio, la segunda ley de la termodinámica establece que la transferencia de calor se lleva a cabo de la región de mayor temperatura a la de menor, como s~ muestra en la figura 1.1. En tales circunstancias, se dice que el flujo de calor por unidad de área es proporcional al gradiente de temperatura. Es decir, q" = -k dT
( 1.1 )
dX
donde q" denota el flujo de calor por unidad de área o densidad de calor en la dirección x, y k es la conductividad térmica del material. Sus unidades son W/mK (watt por metro kelvin) en el Sistema Internacional (SI) de unidades. También se emplean de manera indistinta las unidades W/m°C. A la ecuación 1.1 se le agrega un signo negativo para que cumpla la segunda ley de la termodinámica, es decir, que el calor debe fluir de mayor a menor temperatura. Esta ecuación se conoce como la ley de Fourier y --cabe destacar- define la conductividad térmica k. Aun cuando esta propiedad de transporte varía con la temperatura, en numerosas aplicaciones puede suponerse constante. En la tabla 1.1 se presentan algunos valores de la conductividad térmica, y en la figura 1.2, la variación con respecto a la temperatura de la conductividad térmica de algunos sólidos, líquidos y gases. T
Perfil de temperatura
x
Figura 1.1. Temperatura como función de la distancia.
* Cuando la transferencia de calor se Ueve a cabo en más de una dirección, la ley de Fourier puede escribirse como q"=-k"ílT donde q" es el vector correspondiente a la densidad de calor y "ílT el gradiente de temperatura con dirección opuesta.
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4
l. Introducción
Tabla 1.1. Conductividad térmica de algunos materiales o sustancias a 300 K. Material
k, W/moC
Poliestireno rígido
0.027
Fibra de vidrio
0.036
Aire
0.0263
Agua
0.613
Ladrillo común
0.72
Refractario
1.0
Acero AISI 302
15.1
Acero AISI 1010
63.9
Aluminio puro
237
Cobre puro
401
Fuente: F. P. Incropera y D. P. DeWitt, Introduction lO Heal Transfer, 3a. ed., Jolm Wiley, 1996.
Cuando los materiales tienen una alta conductividad térmica se denominan conductores; los que la tienen baja se llaman aislantes. Cabe agregar que las conductividades térmica y eléctrica de los metales puros están relacionadas entre sí. Sin embargo, a temperaturas muy bajas los metales se toman superconductores de la electricidad, pero no del calor. En los datos de la tabla 1.1 puede observarse que los aislantes tienen una conductividad térmica entre 0.03 y 0.04 W/moC; en tanto, la del cobre es del orden de 400 W /moC. En esa tabla también se aprecia que el aire tiene una conductividad térmica muy baja, como la de los aislantes. No obstante, es difícil tener conducción solamente por él, ya que hay gradientes de densidad y, por tanto, movimiento en presencia de un campo gravitacional cuando el aire está expuesto a una diferencia de temperaturas. Para que se comporte como un verdadero aislante debe encontrarse estático aun en presencia de un gradiente de temperaturas. Hay algunas aplicaciones de aislantes donde el aire prácticamente está estático y se comporta como aislante; por ejemplo, el aire atrapado en un aislante de fibra de vidrio o en las pequeñas burbujas del material plástico que se utiliza para los empaques. Con la ecuación 1.1 puede determinarse la transferencia de calor por conducción en un sistema siempre que se conozcan la conductividad térmica y el gradiente de temperatura. En la circunstancia de que el flujo de calor sea constante puede determinarse mediante una integración directa de la ley de Fourier. Así, si se considera una pared de espesor L cuyas superficies están expuestas a dos temperaturas constantes TI y Tb como se muestra en la figura 1.3, y se supone además que la conducti vidad térmica k es constante,
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s
1.1. COMucción
Temperatura, cC
1000
o
100
200
300
400
500
600
I
I
I
I
I
I
I
1000
500 Plata
Cobre
200 Oro Aluminio
Magnesio
100
Cinc
100
50 SOd,! líquido Hierro (puro)
' "Estaño
Plomo
20
\1ID
f-
en u
Mercurio
~ 5
::J
oí
Acero Inoxidable tioo 430
--
10
'6.
0, por lo que se deduce que la pared está calentándose.
1.2. Convección El fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transporte de energía que se lleva a cabo como consecuencia del movimiento de un fluido (líquido o gas) en la vecindad de una superficie, y está íntimamente relacionado con su movimiento. Para explicar esto, considérese una placa cuya superficie se mantiene a una temperatura Ts (fig. 1.4) Y que disipa el calor hacia un fluido cuya temperatura es T=. La experiencia indica que el siste1na disipa más calor cuando se le hace pasar aire proveniente de un ventilador que cuando sólo está expuesto al aire ambiente; de ello se desprende que la velocidad del fluido tiene un efecto importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la superficie. De manera similar, la experiencia indica que el flujo de calor e~ diferente si la placa se enfría en agua o en aceite en vez de aire. De aquí que las propiedades del fluido deben tener también una influencia importante en la transferencia de calor. Puesto que la velocidad relativa del fluido con respecto a la placa es, en general, igual a cero en la interfase sólido-fluido (y = 0),* el calor se transfiere totalmente por conducción sólo en este plano del fluido. Sin embargo,
k=0.5W/mK
1:: l
0.25 mm
mm
T = 30 ' C superficie
Figura P.2.22.
Respuesta: q" = 16 333.33 W/m 2
23. Piense en la pared de una casa formada por 20 cm de ladrillo común (k = 0.72 W/mK) y 5 cm de poliuretano (k = 0.023 W/mK) por la parte exterior. La temperatura ambiente en el exterior es de 35 oC (h = 22 W/m 2 K) y en el interior de 25 oC (h = 6 W/m 2 K). La superficie exterior de la pared recibe un flujo neto de radiación igual a 400 W/m2 . a) Calcule la temperatura en la superficie exterior de la pared. b) Estime el flujo de calor por unidad de área que penetra en el interior de la
casa. e) Calcule la temperatura en la superficie de la pared que da hacia el interior de la casa. d) Dibuje un esquema del perfil de temperatura.
Respuestas: a) 52.71 oC b) 10.57 W/m 2 e) 26.76 oC
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.
"
2. Conducción unidimensional en estado estable
24. ¿Cuánto aislante de fibra de vidrio (k = 0.04 W/mK) se requiere poner en el horno de una estufa para garantizar que la superficie exterior no alcance los 50 OC? La temperatura máxima del horno es de 300 oC, y la temperatura ambiente en la cocina fluctúa entre 15 y 35 oc. Supóngase que los coeficientes de la película son de 10 W/m2 °C pór ambos lados y que el aislante está cubierto por dos láminas de acero porcelanizado de 1.25 mm de espesor (k = 54 W/m°C). Respuesta: 6.3 cm
25. Considérese una pared como la de la figura P.2.25. Las superficies exteriores están expuestas a un fluido de 25 oC de temperatura y un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m20 C. La placa interna B experimenta una generación uniforme de calor qB" mientras que las placas A y e no presentan generación. Las temperaturas en las interfases son T¡ = 260 oC y T2 = 210 oc. 1
,
,"
a) Trace el esquema de la distribución de temperatura en la pared. b) Calcule la generación de calor qB" 1 en la placa B.
~
kA = 25W/mK
'i
l·
k a = 15W/mK
A
e
B
kc =50W/mK
25
oc, 100 W/m2°C
60 mm
l' '1'
30 mm
I tl
flll
.,
1'"
~fII
l iD
.¡. '1
20mm
Figura P.2.25.
26. Se colocan dos barras del mismo tamaño entre dos superficies cuyas temperaturas son de 100 oc. El aire ambiente que las rodea está a 25 oc. Se sabe que una de las barras es de un material cuya conductividad térmica es de 43 W/moC, y que registra una temperatura de 49 oC en el punto medio de las dos superficies. Si la otra barra registra una temperatura de 75 oC en el mismo punto, ¿cuál es su conductividad térmica? 27. El rotor de una turbina de gas tiene en una sección dada 54 álabes de acero inoxidable AISI 302 (k = 15 W/mK). Los álabes tienen una longitud de 6 cm, un área de sección transversal de 4 X 10-4 m2 y un perímetro de 0.1 m. En esa sección los gases de combustión tienen una temperatura de 900 oC, y la temperatura en la base de los álabes es de 500 oc. El coeficiente de transferencia
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77
Bibliografía
de calor se estima en 440 W/m 2 °C. Calcule el calor que se transmite al sistema de enfriamiento del rotor a través de los álabes.
Respuesta: 11 098 W 28. El vidrio trasero de un automóvil puede desempañarse adhiriendo una película transparente muy delgada que conduzca corriente eléctrica. Supóngase un cristal de 4 mm de espesor (k = 1.4 W /m°C) donde la temperatura ambiente es de - 10 oC y el coeficiente de transferencia de calor es de 65 W/m 2K. En el interior del vehículo la temperatura ambiente es de 25 oC y el coeficiente interior de transferencia de calor es de 10 W/m 2K. a) ¿Qué potencia eléctrica por unidad de área (W/m 2) debe aplicarse a la pe-
lícula para mantener la superficie interior del cristal a 15 OC? b) ¿ Qué temperatura tendría la superficie interior del cristal si no se aplica co-
rriente eléctrica?
Respuestas: a) 1270.48 W/m 2 b) -4.6 oC
1
Corriente eléctrica
Temperatura en la superficie interior del cristal = 15 oC
h=65W/m2 K
h = 10W/ m2 K
Figura P.2.28.
Bibliografía Kays, William M. yA. L. London, Compact Heat Exchangers, McGraw-Hill, Nueva York, 3a. ed., 1984. Mills, Anthony F., Heat Transfer, Irwin, 1992. Ozisik, M. N., Heat Transfer: A Basic Approach, McGraw-Hill, Nueva York, 1985. - -, Heat Conduction, John Wiley & Sons, Nueva York, 2a. ed., 1993.
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3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones _ _ _ __ Todo el oro del mundo no significa nada. Lo que perdura son las buenas acciones que hacemos para nuestros semejantes. ADOLFO PRIETO
Existe una gran variedad de problemas de conducción en estado estable donde la transferencia de calor se lleva a cabo en más de una dimensión. Tal es el caso de gasoducto s u oleoductos cuyas líneas de transmisión están enterradas, en superficies extendidas de espesor considerable, en la intersección de paredes de hornos y chimeneas, etc. En todos esos casos la temperatura depende de más de una coordenada. Hay en general varias técnicas o métodos para resolver un problema de conducción en estado estable donde la temperatura es función de dos y hasta de tres coordenadas. Normalmente estos métodos se clasifican, de acuerdo con su naturaleza, en analíticos, numéricos, gráficos y analógicos. De esta clasificación, los métodos numéricos son los de más amplia aplicación cuando se tienen geometrías o condiciones de frontera irregulares, y ello gracias a los sorprendentes progresos en la computación. En este capítulo se describen esos métodos y se presta especial atención a los problemas en los que la conducción de calor se realiza en dos dimensiones, es decir, evitaremos las complejidades inherentes e innecesarias a que dan lugar los casos tridimensionales. Sin embargo, la metodología que se presenta puede extenderse a éstos.
3.1 . Método analítico El método analítico para resolver problemas de conducción de calor en dos y tres dimensiones se limita en la práctica a geometrías relativamente sencillas y es, en esencia, igual al descrito ántes con relación a la transferencia de calor en una sola dimensión. Empero, la temperatura en tales circunstancias depende de más de una variable independiente, por lo que la distribución de ésta ahora se especifica con
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80
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
una ecuación diferencial parcial y sus condiciones de frontera. Aquélla y éstas constituyen el modelo matemático para predecir la distribución de la temperatura en el material, así como los diferentes flujos de calor en el sistema. Para desarrollar esta ecuación considérese un volumen de control de dimensiones Llx, Lly Y .& dentro de un material como se muestra en el esquema de la figura 3.1. Puesto que la temperatura puede variar en las tres direcciones, deben tenerse en cuenta todos los posibles flujos de calor mediante un balance de energía. En estas condiciones, "1
'~i¡
q" xLly.&1 X
-
q" xLly.&1 X + tu + q" y&.&1 y - q" y&.&1 y + Ily +
+ q" zLlxLlyl z - q" zLlx.&1z + I'lz + q'" Llx Lly.&
=O
(3.1)
Al dividir entre Llx, Lly Y.& y hacer que Llx, Lly Y.& tiendan a cero, se obtiene, por el teorema del valor medio,
a" - ~ a" - ~ a" + q"' = O -~ ax
,
.
"
ay
az
(3.2)
Con la ley de Fourier de conducción de calor se tiene que q'~= - kaTlax, q; = - kaT/dy, y q" z = -kaTlaz, y si se supone que la generación de calor q'" y la conductividad térmica del material son constantes,
t'l1
¡ie
(3.3)
La anterior se denomina ecuación de Poisson, la cual, en caso de que la generación interna de calor q'" sea igual a cero, se reduce a la ecuación de Laplace; es decir,
6z
Figura 3.1. Volumen de control.
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81
3.1. Método analítico
(3.4)
Esta ecuación, con sus seis condiciones de frontera, constituye el modelo matemático para determinar la distribución de temperatura T(x, y, z) en un sistema sin generación interna de calor. Para ilustrar la aplicación del método analítico, considérese una barra de sección transversal rectangular como la del esquema de la figura 3.2, donde se desea obtener una solución para la distribución de temperatura T(x, y). Las condiciones de frontera, isotérmicas en este caso, se especifican en la misma figura. Para obtener la solución analítica, defínase por conveniencia una temperatura adimensional como (3.5)
Por tanto, el modelo matemático queda definido por la ecuación diferencial (3.6)
y sus condiciones de frontera 8(O, y) = O
y
x E Iif--
T
1
-
W
- --- -71)1
Figura 3.2. Sección transversal de una barra.
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(3.7)
82
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
8(w, y)
=o
(3 .8)
8(x, O)
=O
(3.9)
8(x, L)
=1
(3.10)
y
Obsérvese que la definición de 8 ha dado como resultado que tres de las condiciones de frontera sean homogéneas. Aun cuando la solución analítica de este conjunto de ecuaciones (de la 3.6 a la 3.10) puede obtenerse por medio de varias técnicas matemáticas, aquí se empleará el método de separación de variables por su amplio uso no sólo en el área de transferencia de calor. Esta separación de variables se logra si suponemos que la solución 8(x, y) puede expresarse como el producto de dos funciones X(x) y Y(y), cada una de las cuales depende solamente de una variable independiente. Dicho con otras palabras, supóngase una solución de la forma 8(x, y)
= X(x)Y(y)
(3.11)
Al diferenciar y sustituir esta expresión en la ecuación 3.6 se obtiene 1 d 2X 2 X dX2 - - Y-dy-
" jli
(3.12)
En virtud de que cada miembro de la expresión puede variarse independientemente, la igualdad sólo será válida para todos los valores de x y de y si ambos miembros son equivalentes a la misma constante; por ejemplo, a 2 (al cuadrado por conveniencia), con lo que ahora se tienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Una de ellas es (3.13)
Si la constante a 2 es positiva, la solución general de la ecuación 3.13 es de la forma X(x)
= C¡cosh ax + C2senh ax
Aplicando las condiciones de frontera se obtiene que C I constante a 2 no puede ser mayor que cero. http://gratislibrospdf.com/
= C2 = O, por lo que la
83
3.1. Método analítico
Considérese ahora el caso en que la constante a 2 sea igual a cero. Entonces la solución general de la ecuación 3.13 es de la forma
= C ¡x + C2
X(x)
Al aplicar de nuevo las condiciones de frontera se obtiene que C¡ = C2 = 0, por lo que la constante a 2 no puede ser igual a cero y se concluye entonces que debe ser negativa. Para simplificar el análisis, supóngase ahora que a 2 = _ A,2 < O. La solución general de la ecuación diferencial es
x = CICOSA,X + C2 senA,x Aplicando las condiciones de frontera se obtiene CI
=
°
y, como C2senA,w debe ser cero,
1 1\.
= nn., w
n = 123 " , ...
(3.14)
Con lo anterior se determina un conjunto infinito de valores discretos de A, para los que la ecuación 3.13 ofrece solución. Esos valores (3.14) se conocen como valores característicos del problema y las funciones
nn
Xn(x) = C2 sen-x; w
n = 1,2,3, ...
(3.15)
como las correspondientes funciones características. Una vez determinada la secuencia de valores de A, y de las funciones Xn(x) , ahora pueden determinarse las correspondientes funciones Yn(y). Recurriendo a las ecuaciones 3.12 y 3.9, (3 .16)
Puede observarse con facilidad que las soluciones de la ecuación 3.16 deben ser de la forma
nn nn y + C4 senh - y; w w
Yn( y ) = C3 cosh -
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n = 1,2,3, ...
84
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
Puesto que Y(O)
= 0, se obtiene que C3 = 0, es decir,
¡"
Como se desconocen las constantes C2 y C4 pueden sustituirse por otra constante, Cs, al multiplicar las funciones X por y, es decir (3.17) '1'
'.
Es evidente que la ecuación 3.17 no satisface la condición de frontera no homogénea, 3.10. Sin embargo, ahora intentaremos representar la solución ecomo una serie infinita de las funciones en> puesto que la suma de soluciones también es una solución de acuerdD con el principio de superposición; esto es, n1CX nny e(x,y) = ~ ~Cssen-senhn=l
W
donde los coeficientes Cs pueden determinarse de tal modo que 8(x, L) decir, ~
nnL
n1CX
n=l
W
W
1= ~Cssenh-- sen -Si ahora se define ill
..
bn
nnL = Cs senh W
el problema es determinar b¡, b2 , ... , de manera que
111\
1111
= ~
n1CX
n=l
W
1= ~bnsen--
Al aplicar las series de Fourier puede demostrarse que 2
bn = -
W
fW
n1CX
(l)sen -
o
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(3.18)
W
W
dx
= 1,
es
(3.19)
85
3.1. Método analítico
Integrando
2
bn = - (- cosnn +l) nn n = 1,2,3, ...
(3.20)
En consecuencia, 1
2 --'(------'----,;lr+ + 1 e5 -- -nn hnnL
(3.21)
sen - w
La solución analítica final para la distribución bidimensional de la temperatura en la barra es, por consiguiente, nny T - T. 2 ~ (_I)n+l + 1 n1lX senh __ 1 = _ "" sen w (3 .22) k.J . nnL T2 - 'T' 11 n n=1 n W senh - W
La temperatura en cualquier punto (xo, Yo) de la barra ahora puede determinarse mediante la ecuación 3.22. En forma similar, mediante una diferenciación apropiada pueden obtenerse los componentes q"x Y q" y del flujo de calor en cualquier punto del sistema. De lo anterior se desprende que por la complejidad de las soluciones analíticas y sus problemas de convergencia inherentes, el método analítico está limitado a geometrías y condiciones de frontera relativamente simples. No obstante, cuando es posible obtener las soluciones analíticas, resultan muy útiles como situaciones límite para verificar los resultados de otros tipos de soluciones, como las numéricas. Cabe señalar también que la separación de variables puede extenderse a problemas de conducción en tres dimensiones.
Ejemplo 3.1.
Considérese una barra de sección transversal cuadrada como la que se muestra en el esquema de la figura E.3.1. Debe determinarse la temperatura en el punto x = 0.15 m, Y = 0.3 m.
lE-- 0.3 m --?i Figura E.3.t.
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3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
Solución Según la ecuación 3.22,
I
d i
n
3n
5n ]
8(0.150.3) = -2 [2 -sen- + -2 sen - + -2 sen - + .. . , nI 23252 8(0.15,0.3) = -2 ( 2 - -2 + -2 - ... ) = 1.1039 n 3 5
li
:!
En consecuencia, T = 110.39 oC
.'"
Obsérvese que la respuesta correcta debe ser 100 oc. Evidentemente, el número de términos considerados en este ejemplo es muy bajo y la serie está lejos de alcanzar convergencia. Considerando hasta n = 25 se obtiene una temperatura de 102.44 oC.
1/
Ejemplo 3.2.
~¡
¡¡ ~¡
,.l i
,1 "
Calcule el flujo de calor por unidad de profundidad que se transfiere a través de la cara derecha de la barra mostrada en la figura 3.2.
Solución Mediante la ley de Fourier de conducción de calor, y aplicando la ecuación 3.22, se obtiene
'= rL _kdT l q
Jo
ax x =w
d
y
nnL) - 1 (nnL) senh -;-
= 2k(T._T)~(-lr+l + l(_I)n cosh(-;n
1
2
~ n=!
n
3.2. Diferencias finitas
"1 ~I
Como se dijo antes, varios problemas complejos de conducción no son susceptibles de una solución analítica. Sin embargo, el uso cada vez más generalizado de computadoras ha dado como resultado que los métodos de diferencias finitas sean muy importantes para resolver este tipo de problemas. Contrario a la formulación analítica, en el análisis de diferencias finitas se considera que el sistema en estudio está compuesto por elementos de volumen muy pequeño pero finitos. Es decir, los componentes finitos empleados para obtener el modelo matemático son una aproximación de los elementos diferen-
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3.2. Diferencias finitas
ciales usados en la formulación analítica. Al hacer el tamaño de estos componentes cada vez más pequeño, disminuye la diferencia en los resultados que se obtienen mediante el modelo de diferencias finitas y el modelo diferencial. En el análisis de conducción bidimensional por diferencias finitas, el principio de conservación de energía se aplica a un elemento de profundidad unitaria, de ancho i1x y altura ~y . El conjunto de todos estos volúmenes conforma una red como se muestra en la figura 3.3. El centro de cada volumen finito se conoce como nodo y se supone en el análisis que su temperatura representa la de todo elemento. Por el momento sólo se considerarán los nodos interiores del sistema dejando para después los que se localizan en las fronteras. Un balance de energía en cualquier nodo i, j del sistema indica que la suma de flujos de calor en ese nodo es igual a cero. Si usamos el concepto de resistencia térmica, y con relación a la figura 3.3, se obtiene que, en ausencia de generación de calor, qi-l,} --7 i,} + qi,} + 1 --7 i,} + qi + l,} --7 i,} + qi,} - 1 --7 i,} = O Tl·-T . T ¡ - T1,) . 1- , ) 1,) + 1, )+
i1x
k(~y)(l)
- T1, ) + T1, ).- ¡-T. + T¡. 1+ ,) 1, ) = O i1x ~y k(i1x)(l) k(~y)(l) k(i1x)(l) ~y
(3 .23)
Si i1x = ~y, la ecuación anterior se simplifica a Ti - l,}
+ Ti , } + 1 + Ti + l,} + Ti,} -
1 - 4T i , }
puesto que la conductividad térmica es constante.
;!)+1 O
O
O
;-1, j
;, j
;+1, j
O
O
O
;, j-1 ~y
O
O
~x
Figura 3.3. Red de análisis de diferencias finitas.
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O
=O
(3 .24)
88
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
Ésta es la ecuación en diferencias finitas para todos los nodos interiores de un sistema con conducción bidimensional en estado estable con conductividad térmica constante y sin generación de calor. Si el sistema en estudio está constituido por n nodos interiores cuyas temperaturas se desconocen, n ecuaciones como la 3.24 especificarán la distribución de la temperatura. Cabe apuntar que la ecuación 3.24 sólo es válida si Llx = ~y. En algunas geometrías no conviene hacer esta simplificación, por lo que ha de usarse la ecuación general 3.23. Desde luego, la ecuación en diferencias finitas (3.24) también puede obtenerse de manera distinta a partir de la ecuación de Laplace. Si analizamos la figura 3.4, una expresión aproximada para la derivada dT/dX en un punto intermedio entre i, j e i + 1, j es
()TI
: : T¡+I ,j - 7;, j
dX i+l/2, j
Llx
De manera similar, la pendiente en un punto intermedio entre i - 1, j e i, j puede escribirse como
dTI -_ T¡,j - T¡-I,j dx i-l/2,j Llx
-
Por tanto, 2
d TI dX 2 1,. ../
(3.25)
Mediante un razonamiento análogo, 2
d
TI
di
_ T¡,j+l - 2T¡,j i, j
+ T¡ ,j-l
(3.26)
(~y)2
Al sustituir las ecuaciones 3.25 y 3.26 en la ecuación de Laplace se obtiene T¡+I,j - 2T¡,j
+ T¡-I,j + T¡,j+l
(Llx)2
+ T¡,j-l = O
- 2T¡,j
(~y)2
Puesto que Llx = ~y en la ecuación 3.24, T i - 1,j+ Ti,j+ 1 + T i +l,j + Ti,j-l
-
4T i,j = O
(3.24)
Esta ecuación es exactamente igual a la desarrollada previamente. De lo anterior se concluye que ahora el problema de conducción de calor se ha reducido ala solución de un conjunto de ecuaciones algebraicas, en vez de la ecuación diferencial
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3.2. Diferencias finitas T
T.1-1, 1. T..
1, 1
i - 1,j i,j
T
i+1, j
i+1,j
x
Figura 3.4. Perfil de temperatura.
parcial. Esas ecuaciones pueden resolverse con distintas técnicas. Por supuesto, las ecuaciones 3.23 o 3.24 deben acompañarse de las condiciones de frontera apropiadas al problema, como se verá más adelante. Para ilustrar la aplicación de la ecuación 3.24 considérese la barra de sección transversal cuadrada de la figura 3.5. En este caso se requieren cuatro ecuaciones para determinar las cuatro temperaturas desconocidas T¡, T2 , T3 Y T4 . Las relaciones necesarias para determinarlas pueden obtenerse con la ecuación en diferencias finitas 3.24, es decir, Nodo Nodo Nodo Nodo
1: 2: 3: 4:
-4T¡ + T2 + T3 + 100 = O TI - 4T2 + T4 + 100 = O TI - 4T3 + T4 = O T2 + T3 - 4T4 = O
(3.25) (3 .26) (3.27) (3.28)
De la ecuación 3.25 a la 3.28 permiten determinar las cuatro temperaturas desconocidas. Al resolver ese sistema de cuatro ecuaciones, TI T2
= 37.5 oC = 37.5 oC
o o
1
3
o
2
4 o
if--- 0. 3 m----1 Figura 3.5. Barra de sección transversal cuadrada.
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T
1
90
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
T 3 = 12.5 oC T4 = 12.5 oC
Aun cuando en este ejemplo sólo. se consideraron cuatro nodos interiores, puede decirse que el número de nodos y sus correspondientes ecuaciones se incrementan al emplear divisiones más pequeñas, con el resultado de que la solución es cada vez más precisa pero embarazosa. De aquí se desprende la necesidad de contar con técnicas numéricas que permitan agilizar las soluciones.
3.3. Método de relajación Uno de los métodos más prácticos para resolver un conjunto no muy grande de ecuaciones sin tener que recurrir necesariamente a la computadora es el método de relajación. Desde luego, también permite resolver un gran conjunto de ecuaciones, si se dispone de una de estas máquinas. En este procedimiento el miembro derecho de las ecuaciones en diferencias para cada nodo i,j cuya temperatura se desconoce se iguala a algún residuo t¡,j' el cual se desea "relajar" a cero. Para ilustrar el método de relajación piense en las ecuaciones 3.25 a 3.28 del ejemplo anterior (fig. 3.5); se tiene entonces que Nodo Nodo Nodo Nodo
1: 2:
3: 4:
-4TI + T 2 + T 3 + 100 = tI TI - 4T2 + T4 + 100 = t2 TI - 4T3 + T4 = t3 T 2 + T 3 - 4T4 = t4
(3.29) (3.30) (3.31) (3.32)
Cuando los residuos t b t2 , t3 Y t4 sean todos iguales a cero, las temperaturas Tb Tz, T 3 Y T4 determinarán de manera única la distribución de la temperatura en la barra. El proceso de relajación puede describirse básicamente de la manera siguiente:
1. Se establece un patrón de relajación para cada uno de los nodos cuyas temperaturas se desconocen. Este patrón constituye una guía para determinar el efecto que tiene sobre los residuos un cambio en cada una de las temperaturas. Así, al analizar las ecuaciones 3.29 a 3.32 se observa que un cambio en la temperatura TI afecta al residuo tI por un múltiplo de -4; en forma simultánea afecta al residuo t2 por un múltiplo de + 1; al residuo t 3, por un múltiplo de + 1, Y no tiene ningún efecto sobre el residuo t4' Por consiguiente, el patrón de relajación correspondiente al nodo 1 es el que se muestra enseguida:
L1TI = l
L1t l
L1t2
-4
+1
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91
3.3. Método de relajación
donde ~ denota un cambio incremental. De modo semejante, para los otros nodos 2, 3 Y 4, respectivamente, los patrones de relajación son:
~T2=
1+1
~T3 ~T4
=1 =1
~tl
~t2
~t3
-4 +1 O
O O +1
+1 -4 +1
+1 -4
2. Una vez establecidos los diferentes patrones de relajación, se suponen valores para las temperaturas de los distintos nodos que se constituyen en el sistema. Estos valores iniciales pueden estimarse con base en la experiencia o a partir de la información física que se tiene sobre el problema. Desde luego, cuanto más próximos sean esos valores a la solución que se busca, tanto más expedito será el proceso de relajación. Una vez fijados los valores iniciales se calculan los diferentes residuos mediante las ecuaciones del problema (de la 3.29 a la 3.32, en este caso). En la tabla 3.1 se proporcionan (aunque de forma arbitraria) los valores de temperatura TI = 50 oC, T2 = 50 oC, T3 = 25 oC, y T4 = 25 oc. Los correspondientes residuos obtenidos son tI = -25, t 2 = -25, t 3 =-25 Y t4 = -:25. El hecho de que todos los residuos tengan la misma magnitud en este problema es completamente fortuito. 3. Se relajan a cero o a un valor próximo los residuos más grandes cambiando la temperatura del nodo correspondiente por una cantidad apropiada, de acuerdo con los patrones de relajación. Un valor positivo en el residuo requiere que se incremente la temperatura en el nodo correspondiente para eliminar el residuo y viceversa. A fin de acelerar la convergencia suele ser conveniente "sobrerrelajar" los residuos. Así, un cambio de _6° en la temperatura del nodo 1 en el primer ajuste altera su residuo por +24, dando un nuevo valor de-1. Del mismo modo, el residuo del nodo 2 se reduce en - 6 produciendo un nuevo valor de -31; el nodo 3 afecta también su residuo en -6, resultando así un valor de -31 ; el nodo 4 no afecta su residuo. Tras realizar este ajuste las nuevas temperaturas son TI = 44 oC, T2 = 50 oC, T3 = 25 oC, T4 = 25 oC y sus respectivos residuos son -1, -31 , -31 Y-25 . Puesto que los residuos de mayor magnitud son los correspondientes a los nodos 2 y 3, ahora se procede a relajar el del nodo 2 en forma arbitraria. Así, un cambio de _8° en la temperatura del nodo 2 altera su residuo por +32, dando un nuevo valor de + 1. Al mismo tiempo, el residuo del nodo 1 se reduce en -8, produciendo un nuevo valor de - 9; el nodo 4 afecta también su residuo en -8, dando así un valor de -33. El residuo del nodo 3 no se ve afectado. 4. Se continúa el proceso de relajación hasta que todos los residuos sean iguales a cero o tan próximos a este valor como se desee. Si en algún punto del proce-
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3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
Tabla 3.1. Tabla de relajación para el sistema de la figura 3.5. 1
Nodo
Patrón de relajación
4
3
2
-4 +1 +1 O +1 -4 O +1
.
+1 O -4 +1
O +1
+1 -4
TI
ti
T2
t2
T3
t3
T4
t4
Estimación inicial, oC
50
-25
50
-25
25
-25
25
-25
Ajuste núm. 1
--6
-1
Ajuste núm. 2
-9
Aj uste núm. 4 -5
-2
-3
-14
Ajuste núm. 10 Ajuste núm. 11
-1.5 -0.5
-1.5
0.5
Ajuste núm. 13 Ajuste núm. 14
O
37.5
-3
O
-5
-1
-1
1
O
-1.5
0.5
-1.5
O
-2
O
-2 -4
1
-4
O
37.5
-7 -2
O
-1
-11
O
-4
-1
-8
1 -4
-3
Ajuste núm. 8
Respuesta:
-39
- 12
1
Ajuste núm. 7
Ajuste núm. 12
-33
-10
-19
Ajuste núm. 6
Ajuste núm. 9
1 -7
Ajuste núm. 3 Ajuste núm. 5
-31
-31 -8
-0.5
O
12.5
O
-0.5
0.5 O
12.5
O
so se descubre un error algebraico se sigue adelante, empleando los residuos correctos determinados por las ecuaciones en diferencias.
Ejemplo 3.3.
Las superficies interior y exterior de una chimenea cuya sección transversal se muestra en el esquema de la figura E.3.3 se encuentran a 100 y O oC, respectivamente. El cociente entre los lados exterior e interior es igual a 2. Determine el patrón de relajación para cada uno de los nodos que se muestran en el esquema.
Solución Dada la simetría del problema, sólo es necesario analizar una octava parte de la sección transversal. Las ecuaciones en diferencias para los nodos mostrados modificadas por los residuos son Nodo 1: Nodo 2:
2T2 + 100 - 4TI = ti TI + T 3 + 100 - 4T2 = t2
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93
3.4. Condiciones de frontera
Nodo 3: Nodo 4:
T2 + T4 + 100 - 4 T3 = t 3 2T3 - 4T4 = t4
En consecuencia, los patrones de relajación para los nodos 1, 2, 3 Y 4 son, respecti vamente, ~tl ~TI =
1 ~T2 = 1 ~T3 = 1 ~T4 = 1
-4 +2 O O
~t2
~t3
~t4
+1 -4 +1 O
O +1 -4 +1
O O +2 -4
Como ejercicio, el lector puede demostrar que TI = 48.89 oC, T2 = 47.78 oC, T3 = 42.22 oC y T4 = 21.11 oc. Los residuos correspondientes son: t[ = O, t2 = - 0.01, t3 = +0.01 Y t4 = O.
Figura E.3.3.
3.4. Condiciones de frontera Hasta ahora se han considerado solamente los nodos interiores del sistema y sus correspondientes ecuaciones en diferencias sin contemplar las condiciones de frontera que deben acompañar al conjunto de ecuaciones. Puesto que las temperaturas en los límites del sistema se han supuesto conocidas, las ecuaciones de los nodos interiores, junto con esas temperaturas, son suficientes y especifican completamente la distribución de temperatura. Sin embargo, en numerosas aplicaciones las temperaturas en las fronteras también se desconocen y deben obtenerse las correspondientes ecuaciones en diferencias para esos nodos. Tales expresiones pueden obtenerse mediante balances de energí~ apropiados. Para ilustrar la metodología que se usará para determinar las condiciones de frontera, considérese el nodo i, j localizado sobre una superficie plana que intercambia calor por convección con un medio cuya temperatura es T= y que se muestra en el esquema de la figura 3.6. Con un balance de energía en el nodo i, j se tiene qi - l.} -? i,}
+
qi,} + 1 -?i,}
+
qi,} - 1 -? i,}
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= qconvección
94
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
I i, j+1 i-1,j O
\
"
i, j
h, Too
~x
i, j-1
~y
~--
Figura 3.6. Superficie plana que intercambia calor por convección.
Recurriendo al concepto de resistencias térmicas se obtiene T¡.-T. l- , J I,J
L1x
k(i1y)(l)
T . ]-T. ( ) + T.]-T. I,J+ I , J + I ,JI, J =h(i1 )(1) T . -T
i1y
i1y
Y
k(L1x/ 2)(1)
k(L1x/ 2)(1)
1, J
=
Puesto que en este caso L1x = i1y, la expresión anterior se simplifica a
(3.33)
La ecuación 3.33 permite determinar la temperatura de cualquier nodo i, j localizado sobre una superficie plana que intercambia calor por convección con un medio. Las temperaturas en los nodos i, j + 1 e i, j - 1 se determinan mediante la aplicación simultánea de la misma ecuación; la temperatura del nodo i - 1, j se determina, a su vez, aplicando la ecuación 3.24 para nodos interiores. Otra forma de exponer este método para obtener las condiciones de frontera estriba en considerar el nodo i, j que se localiza en la esquina formada por la intersección de dos superficies planas que intercambian calor por convección con un medio a temperatura T= como se ve en el esquema de la figura 3.7. Con un balance de energía en el nodo i, j mostrado, qi - ], j
-7
i, j
+ qi, j -
]
-7
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i, j
= qconvecci6n
95
3.4. Condiciones de frontera
j-1 ,
j
j,
j
j,
j-1
~
( L'.yo
"'-.
L'.x
~"--
Figura 3.7. Esquina que intercambia calor por convección. Mediante el concepto de resistencias térmicas, T;-l, j-T;, j
Ax
k(~y/2)(1)
+ T;, j-l-T;, j =h(Ax)(l)(T . -T )+h(~Y)(l)(T . -T ~Y 2 1, ] = 2 1, ] = k(Ax/2)(1)
Al simplificar la expresión anterior se obtiene que, para Ax
2 hAx k T= + (T
1 .+ T . 1) - (2 hAx k + l)T
1- , ]
1,
J-
= ~Y,
1, ]
=O
(3.34)
En la tabla 3.2 se muestra un resumen de algunas ecuaciones en diferencias para distintas condiciones de frontera.
Tabla 3.2. Ecuaciones en diferencias para distintas condiciones de frontera. a) Esquina interior intercambiando calor por convección.
j, j+1
q j-1, j O
J
j, j
.'1
1+ , j
j, j - 1 h,
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96
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
b) Superficie plana aislada. Aislante O i,j+1
li-b
j
q i,j
e>
i,j-1
T1, J+ . ¡ + T1, J. ¡+2T1- ¡ , J· -4T1, J· = 0 e) Esquina interior aislada. i,J+1
o
i-1,j
i,j
i+1,j
o
Aislante i, j-1
Ejemplo 3.4.
Determine la ecuación en diferencias para el nodo i, j de la figura E.3.4 a partir de principios básicos. Aislante
i,j Aislante
i+1 , j
tj-1
\
o
~/
l/ Figura E.3.4.
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97
3.4. Condiciones de frontera
Solución Mediante un balance de energía en el nodo i, j se obtiene qi,j - I -t i, j
= q ¡,j -t i+l , j
1f, j - I - 1f, j _ 1f, j - 1f+I , j
Lly k(Llx/2)(1) Puesto que Llx
Llx k(Lly/2)(1)
= Lly, 1f, j-I
+ 1f+I, j
T . = --'-"------'-"-1, J 2
Ejemplo 3.5.
Considérese la barra de sección transversal cuadrada que se muestra en la figura E.3.5 . El material tiene una conductividad térmica de 3 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor es de 10 W /m 2K. Determine las ecuaciones en diferencias para los distintos nodos de la figura. 500 °C
7
8
k---O.3 m ~
Figura E.3.5.
Solución Las expresiones para los nodos 1, 2, 4 Y 5 pueden obtenerse mediante la ecuación 3.24. De manera similar, las de los nodos 3, 6, 7 Y 8 se obtienen con la ecuación 3.33. La ecuáción en diferencias correspondiente al nodo 9 se obtiene a partir de la ecuación 3.34. El resultado es: Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3:
600 + T2 + T4 - 4 TI = O TI + 500 + T3 + Ts - 4T2 = O 2T2 + T6 + 567 - 4.67T3 = O
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98
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
Nodo Nodo Nodo Nodo Nodo Nodo
4: 5: 6:
7: 8: 9:
100 + TI + T 5 + T7 - 4 T 4 = O T 4 + T 2 + T6 + Ts - 4T5 = O 2T5 + T 3 + T 9 + 67 - 4.67T6 = O 2T4 + Ts + 167 - 4.67 T7 = O 2T5 + T7 + T9 + 61 - 4.67Ts = O T6 + Ts - 67 - 2.67T9 = O
Mediante este conjunto de ecuaciones pueden determinarse las temperaturas T¡, T2>"" T9· Con el método de relajación se obtiene la distribución de temperaturas siguiente: TI = 280.7 oC T2 = 330.3 oC T3 = 309.4 oC
T4 = 192.4 oC T5 = 231.1 oC T6 = 217.2 oC T7 = 157.7 oC Ts = 184.7 oC T 9 = 175.6 oC
Ejemplo 3.6.
Considérese una barra de sección transversal rectangular que mide 2 cm de altura por 3 en la base. El material de la barra tiene una conductividad térmica de 20 W/moC y no hay generación de calor. En la figura E.3.6, donde se muestra la barra, hay cuatro temperaturas CC) con valores desconocidos. Determine su valor.
120
120
100
120
140
100 1
2
3
4
Aislante
Figura E.3.6.
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120
140
99
3.4. Condiciones de frontera
Solución Como las temperaturas en los nodos 1 y 2 son iguales, así como las de los nodos 3 y 4, Nodo 1: Nodo 3:
240 + T3 - 3TI = O 140 + 2TI - 3T3 = O
Al resolver ambas ecuaciones se obtiene TI T3
Ejemplo 3.7.
= T2 = 122.86 oC = T4 = 128.57 oC
Se tiene una barra de sección transversal cuadrada que mide 2 cm por lado. Su material tiene una conductividad térmica de 20 W/m°C. En el esquema de la barra hay cuatro temperaturas CC) con valores desconocidos. Determine su valor. Trate de simplificar el problema analizando la geometría antes de resolverlo. 50
180
200
180
1
2
200
3
4
k=20W/m oC
/
E u
~
1 cm
Figura E.3.7.
Solución Nótese que T2
= T3 = T4 . Así, para el nodo
1,
360 + 2T2 - 4T¡ De manera similar, para el nodo 2,
Al resolver ambas expresiones se obtiene T¡
= 185 oC
y
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=O
100
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
3.5. Formulación en diferencias finitas
para problemas unidimensionales El uso de las ecuaciones en diferencias finitas no se limita a la solución de problemas bidimensionales; de hecho, también pueden usarse con gran ventaja en la solución de problemas de conducción en una y tres dimensiones, como se ilustra en el sencillo ejemplo que se presenta a continuación.
Ejemplo 3.8.
Considérese una placa plana de 4 cm de espesor como la que se muestra en el esquema de la figura E.3.8 . Supóngase que el calor generado en su interior es de 106 W/m 3 . La conductividad térmica del material es de 10 W/mK. Las temperaturas en las superficies de la placa se mantienen a 50 y 100 oC, respectivamente. Determine la distribución de las temperaturas en la placa.
100 oc
50
fE-- 4 cm ----1 Figura E.3.8.
Solución Al aplicar la primera ley de la termodinámica a un volumen de control de espesor Ax en donde se localiza cualquier nodo (1, 2 o 3) se obtiene 'T¡- l - 'T¡ 'T¡+l - 'T¡ "'AAx - O Ax + Ax +q kA
kA
T1- 1 + T1+ 1 - 2T1 +
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q"'(Axf k
=O
101
3.6. Método gráfico
Aplicando esta expresión a los nodos 1, 2 Y 3 tenemos que
Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3:
T2 - 2TI + 60 = O TI + T3 - 2T2 + 10 = O T2 - 2T3 + 110 = O
Resolviendo el conjunto de ecuaciones resulta lo siguiente: TI = 77.5 oC T2 = 95.0 oC T3 = 102.5 oC
3.6. Método gráfico En varias circunstancias sólo se requiere calcular la distribución de la temperatura y el flujo de calor en un sistema donde las condiciones de frontera son isotérmicas o adiabáticas. Tal estimación puede incluso ser útil para empezar la solución numérica de un conjunto de ecuaciones en diferencias finitas donde se requiere una solución más precisa. Puesto que el flujo de calor en cualquier punto de un sistema es perpendicular a las líneas isotermas, como se muestra en la figura 3.8, el método gráfico consiste básicamente en construir una red formada por líneas isotermas y líneas de flujo de calor constante que se intersecan en ángulos rectos. El sistema que se muestra en la figura 3.9 con dos superficies isotérmicas y dos adiabáticas sirve para ilustrar esto. El flujo de calor a través del elemento mostrado es I'l.T
qelemento
= - kl'l.x(l)I'l.y
q
T - 6. T
Figura 3.8. Flujo de calor en un punto.
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102
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
(a)
Figura 3.9. Red de isotermas y líneas de calor constante.
Este flujo es el mismo a lo largo del dueto formado por las líneas de calor constante en donde se localiza el elemento. Si por construcción Llx = ~y, tal flujo de calor es proporcional a la diferencia de temperatura ~T a través del elemento. Por otra parte, en términos de la diferencia total de temperaturas en el sistema,
~T = Sf¡otal N
donde N es el número de incrementos de temperatura entre las superficies isotermas interior y exterior del sistema. Si en la red existen M duetos por donde fluye el calor,
M
q = -k~I;otal N
M
=-
N
k(T¡ - T2 )
La expresión anterior permite calcular el calor total transferido por unidad de profundidad entre las superficies isotermas TI y T2 siempre que se conozca el cociente M/N. Este cociente se denota con la letra S y se conoce como el facto r de forma de conducción. En términos de este parámetro la expresión anterior puede escribirse como (3 .35)
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103
3.6. Método gráfico
La exactitud del método gráfico depende por completo de la habilidad que se tenga para construir la red formada por las líneas isotermas y las de calor constante, cuidando que se corten en forma perpendicular y que Ax "" Lly. Algunos valores del factor de forma se muestran en la tabla 3.4. Tabla 3.4. Algunos factores de forma. a) Cilindro isotérmico de radio r y longitud L enterrado en un medio semiinfinito. Isoterma
s=
s=
2rrL
L» r
cosh-l(D/ r)
2rrL
L»
r, D > 3r
In(2D/ r)
b) Esfera de radio r enterrada en un medio semiinfinito. Isoterma
T
s=
2rrD
l-D/4z
z>D/2
e) Conducción entre dos cilindros de longitud L enterrados en un medio infinito.
d) Cilindro de longitud L y diámetro D centrado en una barra sólida de sección transversal cuadrada.
s=
2rrL
In(l.08w/ D)
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w > D, L
» w
104
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
Ejemplo 3.9.
Un tubo de 6 cm de diámetro se encuentra enterrado a una profundidad de 30 cm. La conductividad térmica de la tierra puede suponerse de 0.35 W/moC. Si la temperatura en la superficie exterior del tubo es igual a 200 oC y la de la tierra es de 40 oC, determine el. calor disipado por el tubo.
Solución En la figura E.3.9 se muestran las diferentes líneas isotermas y de calor constante. De esa figura se obtiene que
S=~=2.25 8
En consecuencia, q'
= kS(T1 -
T 2)
= (0.35)(2.25)(200 40 oc
SO
oc
100 oc
120 oc
Io
1/ / rt- I-l r--, N 1/
60 oc
-/.. J
40)
-
cm
/
f.--
fi 7i'-. /
~ -:t: ./ /1\. ,/ ~ 200 :g ~ ~ V'I V v :¡::;:L d=6cm ~ ~ )'1 -\ 140 160 160
= 126 W/m
30 cm
--
-
'\/
./
"
-
t'-...
/
/
Ocm
P'
,/
90 cm
Figura E.3.9.
3.7. Método analógico El fenómeno de conducción de calor es análogo al de la conducción eléctrica en un material homogéneo de resistividad constante, por lo que la ecuación de Laplace también es aplicable. En términos del potencial eléctrico E, la ecuación de Laplace para conducción eléctrica en dos dimensiones puede escribirse como
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105
Problemas
(3 .36)
Mediante una analogía eléctrica es posible determinar experimentalmente el factor de forma de conducción de calor. Cabe apuntar que existen varios programas comerciales para computadora con los que se resuelven problemas bidimensionales de conducción de calor. Por lo general utilizan la técnica de elementos finitos .
Problemas 1. Supóngase que la distribución de temperatura en la superficie superior de la barra mostrada·en la figura 3.2 está dada por la expresión 1CX
T(x,L) = Ti + Tmsenw
Determine la distribución de temperatura T(x, y) en el interior de la barra. senh rey Respuesta: T = Ti + Tm
W
1CX
nL sen-
senh -
W
W
2. Imagínese una placa de espesor 2L, conductividad térmica k, densidad p y calor específico e, la cual es muy grande en la dirección perpendicular al papel. Es extruida por dos rodillos cuya temperatura es To (fig. P.3.2). La placa se desplaza hacia la derecha con una velocidad V. La temperatura del medio que la rodea es de T=' El coeficiente de transferencia de calor entre la placa y el ambiente es muy grande. Determine la distribución de la temperatura T(x, y) .
2L -7V
Figura P.3.2.
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106
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
T - T.
Respuesta:
_
_
2
_ 00_
10 - Too donde
A n
(_l)n
=_ L 00
-
-A!X
e s cos AnY
L n=O An
= (2n+1)n
n
2L
y
= 0,1,2, ... pcV k
s=--
3. Considérese una superficie extendida de espesor 2L y profundidad muy grande que se halla adherida a una pared vertical cuya temperatura es To (fig. P.3.3). La conductividad térmica del material es k, y el coeficiente de transferencia de calor h. La superficie es muy grande en la dirección x. Determine la distribución de temperatura T(x, y). T O
T~
h¡ Y
x
2L
JI
x~oo
Figura P.3.3.
4. Un circuito integrado de silicio se inserta en un sustrato dieléctrico como se muestra en el esquema de la figura P.3.4. La superficie superior se enfría de forma convectiva, mientras que las otras tres superficies están aisladas térmiq" = 107 W/m 3 k c = 50W/moc
T E E
~
k s =5W/moC
lE
27 mm
Figura P.3.4.
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1 JI
107
Problemas
camente. Puede suponer que el sistema es muy grande en la dirección perpendicular al papel. Para las condiciones mostradas en el esquema, a) Determine si la temperatura en el circuito excede el valor máximo permitido
de 85 oc. b) ¿Dónde se presenta la temperatura máxima? Se sugiere resolver el problema mediante diferencias finitas con un espaciamiento entre nodos de 3 mm.
5. Un tubo de 20 mm de diámetro exterior que transporta un fluido caliente está inmerso en un sólido cilíndrico cuya conductividad térmica es de 0.5 W/moC, como se muestra en la figura P.3.5. El diámetro exterior del sólido cilíndrico es de 80 mm. La temperatura en la superficie exterior del tubo es de 150 oC, mientras que la de la exterior es de 30 oc. Determine el calor por unidad de longitud que disipa el tubo interior. Se sugiere usar el método gráfico para resolver el problema.
20 mm
Figura P.3.5.
6. Considérese el cuadrante de un ducto de radio interior de 10 cm y exterior de 20 cm (fig. P.3.6). Las superficies interior y exterior del ducto se encuentran aisladas térmicamente. La superficie vertical se mantiene a 100 oC, en tanto que la horizontal se mantiene a O oc. Determine el factor de forma y el calor por unidad de profundidad que se conduce en dirección angular.
100 oc
+
o oC I ~20cm~
1- 10 cm-71
Figura P.3.6.
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108
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
7. Se tiene una superficie extendida como la que se ilustra en la figura P.3.7. Demuestre que la ecuación en diferencias finitas para cualquier nodo i es hP(Ax )2 [
kA
+
2]T _ hP(Ax )2 T l
'
;-1
kA
=
_ (T
1- 1
+
T) = O 1+1
;+ 1
k, A, P
Figura P.3.7.
8. Piense en una barra de hierro (k = 57 W/mK) de 1.25 cm de diámetro y 30 cm de longitud, la cual se encuentra adherida a una superficie cuya temperatura es de 120 oC (fig. P.3.8). La barra disipa calor hacia el aire ambiente cuya temperatura es de 20 oC a través de un coeficiente de transferencia de calor de 9.0 W/m20 C. Puede suponerse que el extremo libre de la barra está esencialmente aislado. a) Determine la distribución de temperatura a través de la barra resolviendo
las temperaturas en los nodos mostrados. b) Compare sus respuestas con una solución analítica.
120 oc
h = 9W/m2 °C
Figura P.3.8.
Respuesta:
T2 = 91.22 T3 = 71.46 T4 = 58.20 Ts = 49.77 T6 = 45.10 T7 = 43.61
oC oC oC oC oC oC
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T~ = 20
oc
109
Problemas
9. Considérese una barra de sección transversal cuadrada como la que se muestra en la figura P.3.9. La barra es de cobre (k = 401 W/m°C), su generación de calor por unidad de volumen es igual a 8 x 106 W/m 3 y mide 10 cm por lado. Determine la ecuación diferencial y sus condiciones de frontera. h= 10W/m2 K Tambiente;::; 20 oc
h= 10W/m 2 K
¡¡
Aislante
Tambiente;::; 20 oC ~
y X
10cm h=10W/m 2K Tambiente ::;; 20 oC
Figura P.3.9.
10. Escriba los patrones de relajación para las dos siguientes ecuaciones que se obtuvieron de un análisis de diferencias finitas: -4T1 + 2T2 + 360 = O 2T¡ - 3T2 + 200 = O 11. Un ángulo estándar de acero de 5 pulg (k = 42.9 W/m°C) se encuentra adherido a una superficie cuya temperatura es de 300 oC (fig. P.3.11). Este ángulo sirve de apoyo a una vigueta de concreto de 4 3/8 pulg. La conductividad térmica del concreto puede suponerse de 0.66 W/moC, el coeficiente de transferencia de calor que rodea las superficies de 45 W/m2 °C y la temperatura ambiente de 25 oc. a) Determine el calor total disipado hacia el aire ambiente. b) Calcule la localización y el valor de la temperatura más baja en la vigueta.
300
oc -
~5pulg~
Figura P.3.11.
Respuesta: T mínima"" 31.5 oC
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110
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
12. Considérese la transferencia de calor bidimensional en un sólido compuesto por dos materiales A y B, como se muestra en la figura P.3.12. Calcule por diferencias finitas el calor por unidad de profundidad que fluye del nodo 1 al 3. La distancia entre nodos es de 0.1 m. T = 294.2 1
oc = 253.9
oc
T = 275.1 °C
s
Figura P.3.12.
Respuesta: q'
= 344.12 W/m
13. Piense en una barra de sección transversal rectangular muy grande en su dirección axial. Una de sus superficies está aislada térmicamente, otra recibe un flujo de calor constante por unidad de área, mientras que las dos restantes disipan calor por convección (fig. P.3.13). Establezca la ecuación diferencial y sus condiciones de frontera sin resolver el problema. q" =
s
e
hT
h
L
T~
1
T~
y
x lE
Aislante
W
)1
Figura P.3.13.
14. Se tiene una barra muy larga de sección transversal cuadrada de 2L metros por lado (fig. P.3 .14). Dos de sus superficies opuestas se encuentran a una temperatura To, mientras que las otras dos opuestas están expuestas a un medio refrigerante cuya temperatura es Toc y un coeficiente de transferencia de calor muy grande.
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111
Problemas
Determine la temperatura de la barra como función de x y de y, y calcule la temperatura en el centro de la barra, es decir, (T - Too)/(To - Too) en x = 0, y = O.
y~
T~
x
To
lE--
2L
T~
---.J
------'J\
Figura P.3.14.
Respuesta: T - Too To - Too
=2
donde AL= 2n+l n; 2
f (-Ir AL
COsAx
= 0,
1,2, ...
n=O
n
coshAy coshAL
T(O,O)- Too To -Too
= 0.5
15. Imagínese una viga 1 de duraluminio (k = 164 W/m°C) como se muestra en la figura P.3 .15. Todas sus superficies, con excepción de la superior y la inferior, están perfectamente aisladas. La superficie de arriba se mantiene a 40 oC, mientras que la de abajo se conserva a 15 oc. Determine el flujo de calor por unidad de profundidad que se transmite a lo largo de la viga. Observe que debe cumplirse la primera ley de la termodinámica al seleccionar el espaciamiento entre los nodos .
.Figura P.3.15.
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3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
16. Se tiene una pieza como la que se muestra en la figura P.3.16. Calcule el calor en W1m que se transfiere desde su interior hacia el exterior.
T
0.20 m
1,-----~
0.20
m---7j
Figura P.3.16.
17. ¿Cuántas condiciones de frontera para x y para y requiere la ecuación diferencial siguiente, donde a, b y e son constantes?
18. Un fabricante de chimeneas de ladrillo desea predecir las pérdidas de calor a través de las paredes de una chimenea cuya sección transversal se muestra en la figura P.3.18. El coeficiente de transferencia de calor por el interior se estima en 116 W /m 20 C. Debido a la posibilidad de tener vientos con distintas velocidades, se calcula que el coeficiente de transferencia de calor por el exterior puede variar entre 15 y 285 W /m 20 C. Los gases de combustión al entrar en la chimenea se encuentran a 350 OC Y 1.05 bar. El flujo de masa es de 0.6 kg/min. Así, el análisis volumétrico de los gases de combustión es: CO 2 : 9.51 %, H 20: 19.01% Y N 2 : 71.48%. Se sabe además que la conductividad térmica del ladrillo es de 0.72 W /moC, el área de sección transversal de la chimenea por donde pasan los gases de combustión es de 0.2 x 0.2 m, y la temperatura del aire ambiente exterior es de 25 oc. Como una primera aproximación, se estima que la altura de la chimenea es de5m. a) Calcule las pérdidas de calor en la chimenea, en W. b) Mencione si hay condensación de agua en algún punto del interior de la
chimenea. e) Indique dónde se presenta la temperatura mínima y cuánto vale.
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113
Problemas
ti) Trace la variación de la temperatura de los gases de combustión como fun-
ción de la altura de la chimenea.
D T
Viento ~ ~
O.6m
'------11 ~O .6 m-----7\
Figura P.3.18.
19. Considérese una barra de sección transversal rectangular de dos materiales A y B. La sección A es de 300 mm de ancho por 50 mm de alto, y tiene una conductividad térmica de 15 W/m°C. La sección B mide también 300 mm de ancho, 100 mm de alto, y tiene una conductividad térmica de 1 W/moC (fig. P.3 .19). Toda la barra está expuesta a aire caliente a 100 oC con un coeficiente de transferencia de calor de 30 W/m2 °C, con excepción de la base que se desea mantener a O oC mediante un refrigerante que se hace circular a través de un serpentín. a) Calcule el calor por unidad de profundidad que debe disiparse a través de
la base de la barra. b) Determine los valores para la temperatura máxima en la sección A y la mínima en la sección B. Aire a 100 oC 300 mm--~)I
lE
A
50 mm
Aire a 100 oC
Aire a 100 oC
B
1
100mm
Superficie a O oC ~~
Figura P.3.19.
Respuestas: a) Tmáxima"" 90.6 oC b) Tmínima "" 17.4 oC
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114
3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones
20. Determine el flujo de calor por unidad de profundidad en el segmento circular de la figura P.3.20. Supóngase que la conductividad térmica del material es de 0.7 W/m°C. Una de las superficies isotérmicas se encuentra a 100 oC y la otra a 25 oC.
Diámetro interior = 18 cm Diámetro exterior = 54 cm
Figura P.3.20.
Bibliografía Alan J. Chapman, Heat Transfer, Macmillan Publishing, 4a. ed., 1984. H. S. Carslaw y J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press, 2a. ed.,1986. Lindon C. Thomas, Heat Transfer, PTR Prentice Hall, 1993. M. Necati Ozisik, Heat Conduction, John Wiley & Sons, Nueva York, 2a. ed., 1993. Tien-Mo Shih, Numerical Heat Transfer, Hemisphere Publishing Corporation, 1984.
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4. Conducción de calor en estado transitorio Al rey la hacienda y la vida se ha de dar; pero el honor es patrimonio del alma, y el alma sólo es de Dios. PEDRO CALDERÓN DE LA BARCA
En diferentes procesos de la transferencia de calor, la temperatura del sistema depende del tiempo. Es el caso del calentamiento y enfriamiento del techo de una casa expuesta a la radiación solar; de los refractarios que componen la matriz de un regenerador, durante el proceso de templado de un cristal para automóvil o de una pieza de acero; en el proceso de cocción de un pastel; en fin , hay un sinnúmero de situaciones de este tipo. En todos esos casos la temperatura no sólo está condicionada por la distancia, sino también por el tiempo. A diferencia de los procesos de conducción de calor en estado estable, en los de tipo transitorio hay un aumento o una disminución en la energía interna del sistema mientras ocurre el proceso. El tratamiento analítico de los procesos transitorios ha encontrado distintas aplicaciones mediante la simulación de sistemas por computadora. Con un análisis de este tipo puede predecirse su comportamiento sin necesidad de recurrir a la experimentación, que con frecuencia es muy costosa. En este capítulo se describen algunas de las técnicas más comunes para resolver una amplia variedad de problemas transitorios.
4.1. Análisis de parámetros concentrados En diversas circunstancias la temperatura de un sistema durante un proceso de calentamiento o enfriamiento está sujeta casi de manera exclusiva al tiempo, no a la distancia. Podría suponerse que en estos casos la conductividad térmica del material que compone el sistema es suficientemente alta para que los gradientes de temperatura en su interior resulten insignificantes. Del mismo modo podría pensarse que el sistema es lo suficientemente pequeño para que las diferencias de temperatura en su interior no sean considerables. Por último, también podría conjeturarse que el coeficiente de transferencia de calor en la interfase sistema-fluido 115
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116
4. Conducción de calor en estado transitorio
es lo suficientemente pequeño, y que la diferencia de temperaturas entre el fluido y el sistema es relevante en dicha interfase y no en el interior del sistema. Con la intención de cuantificar esas ideas, imagínese un sistema que experimenta un proceso de enfriamiento o calentamiento en presencia de un fluido. El cociente de la resistencia térmica por conducción a la de convección puede escribirse como L Rconducción
R
convección
k "" _1
hL
=T
h
El parámetro adimensional hL/k se conoce como número de Biot. En este número adimensional, h es el coeficiente de transferencia de calor en la interfase, k la conductividad térmica del sistema y L una longitud característica para la conducción de calor. A guisa de ejemplo, L es igual al radio de una esfera; como también es el radio en el caso de una barra cilíndrica de gran longitud. De manera análoga, la longitud característica L es igual al semiespesor en una placa plana expuesta a un fluido que disipa o toma calor por ambas superficies, etcétera. De lo anterior se desprende que las diferencias de temperatura en el interior de un sistema son pequeñas en relación con la caída de la temperatura en la interfase cuando el número de Biot es pequeño. Por el momento, baste decir que si el número de Biot es menor a 0.1, aproximadamente, la temperatura en el interior de un cuerpo depende fundamentalmente del tiempo. Más adelante se justificará tal afirmación. El análisis de la transferencia de calor en estado transitorio en estos sistemas es muy sencillo y se conoce como análisis de pa,:ámetros concentrados. Considérese un sistema como el que se muestra en la figura 4.1, el cual se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme To. Supóngase que de pronto se sumerge el cuerpo en un fluido a una temperatura Too que es constante. Si pensamos que la resistencia interna a la conducción es insignificante respecto a la externa de convección, la temperatura del cuerpo está determinada sólo por el tiempo, es decir, T = T(t). Si aplicamos la primera ley de la termodinámica a todo el cuerpo, el calor disipado por convección en cualquier instante se refleja en una disminución de su energía interna. En forma analítica, (4.1) donde h = coeficiente promedio de transferencia de calor A = área del cuerpo donde intercambia calor por convección
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117
4.1. Análisis de parámetros concentrados T To 1-- - - - 1= 0 1- - - - - 1,
1- - --
- 12
T_ I- - - - Distancia
Figura 4.1. Sistema con parámetros concentrados.
p = densidad del material que constituye el sistema V = volumen del sistema e = calor específico del material que constituye el sistema Nótese que el producto pVes igual a la masa del sistema. La expresión anterior puede también escribirse como dT
hA
- +(T-Too ) = O dt peV
(4.2)
Para hacer homogénea esta ecuación diferencial puede definirse la diferencia de temperaturas como 8 = T - Too, que constituye la diferencia de potencial para transferencia de calor por convección. En términos de esta nueva variable,
d8 + hA 8=0 dt peV
(4.3)
Esta ecuación diferencial homogénea de primer orden requiere una condición inicial para obtener su solución particular. Puesto que la temperatura inicial del cuerpo es igual aTo,
T = To en t
=O
o 8 = 80 en t = O
(4.4)
De las ecuaciones 4.3 y 4.4 puede determinarse la temperatura como función del tiempo. La solución general de la ecuación 4.3 es de la forma hA
- -1
8 = C1e
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pcV
118
4. Conducción de calor en estado transitorio
En virtud de que 8 = 80 en t
= 0, se tiene que el = 80, En consecuencia, hA --t
8 =80 e
pcV
o 7'
T-
.L oo
To -
--
hA
= e pcV
t
(4.5)
T oo
La ecuación anterior permite determinar la temperatura T del cuerpo en cualquier instante t. Esta variación de temperatura se ilustra en el diagrama de la figura 4.2. Como cabía esperar, la temperatura del sistema disminuye aproximándose a la del medio ambiente a medida que transcurre el tiempo. Obtendremos mayor información de este proceso transitorio si definimos las variables adimensionales siguientes:
y
t*
t
(pcV/hA)
t r
Así, en forma adimensional, la ecuación 4.5 puede escribirse como
8* = e -t'
(4.6)
En la figura 4.3 se muestra esta respuesta de temperatura en coordenadas adimensionales.
T To
T
Figura 4.2. Variación de la temperatura de un cuerpo como función del tiempo cuando Bi ~ O .
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4.1. Análisis de parámetros concentrados O'
0.368
~---~~
OL-_-~----=~----
t'
O
Figura 4.3. Respuesta adimensional de temperatura.
Obsérvese que cuando t* = 1, e* = 0.368; Y cuando t* = 4, e* = 0.018 . Dicho de otro modo, cuando t = r, la temperatura del sistema ha alcanzado 63.2% de su valor de estado estable. De forma semejante, cuando t = 4r, la temperatura del sistema ha alcanzado 98.2% de su valor de estado estable. El parámetro r se conoce como constante de tiempo del sistema y constituye un índice de la rapidez con que varía la temperatura de éste al someterse a una perturbación. Es, pues, interesante analizar las diferentes propiedades que componen la constante de tiempo, la cual puede expresarse como
1
r = -pcV = RC hA t t
(4.7)
donde Rt es una resistencia térmica a la convección y Ct una capacitancia térmica. Es decir, el sistema que se muestra en la figura 4.1 también tiene una analogía eléctrica, como se aprecia en el esquema de la figura 4.4.
T~
L -______-,~____~
Figura 4.4. Analogía eléctrica de un análisis de parámetros concentrados.
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4. Conducción de calor en estado transitorio
~-%
.
~ r:
Figura 4.5. Respuesta de temperatura en coordenadas semilogarítmicas.
El análisis de parámetros concentrados también es útil para la determinación experimental del coeficiente de transferencia de calor en un cuerpo de geometría dada en condiciones específicas de temperatura. Si la ecuación 4.5 se grafica en coordenadas semilogarítmicas, como se observa en la figura 4.5, se obtiene una línea recta cuya pendiente es proporcional al recíproco de la constante de tiempo. Con una medición experimental de la temperatura del cuerpo como función del tiempo puede determinarse el coeficiente promedio de transferencia de calor h a través de la pendiente de la recta. Desde luego, esta determinación experimental supone que se conocen las otras variables del sistema (A, p, Vy e).
Ejemplo 4.1.
Una esfera de aluminio de 3 cm de diámetro se encuentra inicialmente a una temperatura de 200 oC y de repente se expone al aire a una temperatura de 100 oC. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 20 W/m2 oC, calcule el tiempo necesario para que el interior de la esfera alcance una temperatura de 150 oc. Supóngase las propiedades del aluminio siguientes: k = 210 W/moC, e = 0.895 kJ/kgOC y P = 2720 kg/m 3 .
Solución Antes de intentar el análisis de parámetros concentrados se determina si es válido en estas condiciones. A partir de las propiedades que se dan, Bi = hR k
= (20)(0.015) = 1.43 x 10-3 210
Puesto que el número de Biot es mucho menor que 0.1, la temperatura en el interior de la esfera es uniforme y sí se apega a la ecuación 4.5. Por consiguiente, hA
3h
pcV
pcR
(3)(29) (2720)(895)(0.015)
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= 16.43 X 10-4 s-l
121
4.1. Análisis de parámetros concentrados
y
T - Too = 150 - 100 =0.5 To - Too 200 - 100
Sustituyendo en la ecuación 4.5 se deduce que
Por tanto, t = 419.96, s
Ejemplo 4.2.
= 7 minutos
Una esfera de cobre inicialmente a una temperatura To se sumerge en un fluido. Mediante calentadores eléctricos colocados en este último se modifica en forma periódica su temperatura de acuerdo con la relación Too
= Tm + Ta sencot
donde Tm es la temperatura media del fluido, Ta la amplitud de la onda de temperatura y co la frecuencia. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es h, determine la historia de temperatura de la esfera de cobre suponiendo que se cumple con el análisis de parámetros concentrados.
Solución Según la ecuación 4.3,
-dT + - hA[ T - (Tm +Tasencot) ] =0 dt
pcV
o dT 1 1 - +-T= - (Tm + Tasencot) . d t 1" 1"
(a)
La solución general de la ecuación homogénea es de la forma
(h)
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4. Conducción de calor en estado transitorio
Por otra parte, si recurrimos al método de variación de parámetros, (e)
Al sustituir esta solución particular en la ecuación (a) se deduce que
Igualando términos semejantes,
Por consiguiente,
Tp
= Tm +
T
a 2 (senrot -ro'l"cosro'l") 1+ro 2 'l"
y
T = ele
-~ 1"
+ Tm +
T
a 2 (senrot -ro'l"cosro'l") 1+ro 2'l"
Como T = To en t = 0,
y t
rr --;;; + Ta2 2 (senrot-ro'l"Cosro'l") T =( .lo - Tm + Taro'l") 2 2 e 1+ro 'l" 1+ro 'l"
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4.1. Análisis de parámetros concentrados
Ejemplo 4.3.
Una corriente eléctrica de 100 A se pasa repentinamente a través de un alambre de cobre (k = 386 W/mK, p = 8950 kg/m3 , Pe = 1.8 X 10-8 Qm, e = 0.383 kJ/ kg°C) de 1 mm de diámetro a 25 oC (fig. E.4.3). Determine la temperatura del alambre después de 100 s. Supóngase que la temperatura del ambiente es de 25 oC y el coeficiente de transferencia de calor es de 25 W/m2 °C. D = 1 mm T = 25 oC en t = O s
Figura E.4.3.
Solución Antes de intentar el análisis de parámetros concentrados se determina si es válido en las condiciones mencionadas. A partir de las propiedades descritas, Bi = hR
= (25)(0.0005) = 3.24 x 10- 5
k
386
Puesto que Bi « 0.1 se concluye que la temperatura del alambre sólo depende del tiempo, no del radio. Así, mediante un balance de energía, q '" V - hA ( T - T~ ) = pVe dT dT
Al definir
e= T -
T~ se obtiene
hA q'" -de +e=o dt peV pe
La condición inicial es
eco) = o. La solución general de la ecuación homogénea es de la forma - -
a Uh
hA
= ele pcV
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/
(a)
4. Conducción de calor en estado transitorio
124
Para obtener la solución particular se supone que
Si sustituimos esta expresión en la ecuación (a) se obtiene C4 = O Y C3 = q'/I V/hA, por lo que "'V eP =-qhA Así, hA - -1
e= C¡e
Pcv
"'V +-qhA
Al recurrir a la condición inicial se encuentra que C¡
= - q/l' V/hA.
Sustituyendo valores,
y 3
q"'V = 730 X 10- 0.001 = 7.3 oC hA 25 4
1, hA
pcV
25 4 (8950)(383) 0.001
= 0.0292 S-1
De este modo, la temperatura instantánea del alambre es T
= 25 + 7.3[1- e -O.0292/ ]
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Por tanto,
125
4.1. Análisis de parámetros concentrados
I Ejemplo 4.4.
Para t = 100 s se tiene que T = 31.9 oc. La temperatura del alambre alcanza un valor de estado estable de 32.2 oC después de 160 s, aproximadamente.
Una plancha eléctrica tiene base de acero (k = 70 W/moC, p = 7840 kg/m 3 y e =450 J/kg0C) Y pesa 1 kg (fig. EAA). La base tiene una superficie de 0.025 m2 y se calienta internamente con una resistencia que toma 250 W. Inicialmente la plancha se encuentra a 20 oC. Cuando comienza a calentarse disipa calor hacia el medio ambiente con un coeficiente de transferencia de calor de 50 W/m 20 C. a) Calcule la temperatura de la plancha después de 5 minutos. b) ¿Qué temperatura alcanzará la plancha si no se tiene ningún control?
20 oC
A = 0.025 m
2
Figura E.4.4.
Solución a) El espesor de la base puede determinarse como
m
1
L=- = pA (7840)(0.025)
= 0.0051 m
En este caso, el número de Biot es Bi = hL = (50)(0.0051) k . 70
= 0.0036
por lo que el análisis de parámetros concentrados sí es aplicable. Un balance de energía en la base de acero de la plancha indica que
(a)
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4. Conducción de calor en estado transitorio
con la condición inicial t =O
en
(b)
Al resolver las ecuaciones (a) y (b) se obtiene
T
= T. + !L =
= 20 +
250 [ 1- e (50)(0.025)
y, en equilibrio, cuando t
~
50 300] (7840)(450)(0.0051)
= 133 oC
00,
q
T
(1 _e- P~L t]
= 300 s,
Sustituyendo valores, para t
T
hA
250
= T= + hA = 20 + (50)(0.025) = 220
°
C
4.2. Placa infinita En varios problemas de tipo transitorio no puede despreciarse la resistencia interna a la conducción, ya que la temperatura del sistema no sólo depende del tiempo sino también de la distancia. A diferencia del análisis de parámetros concentrados recién descrito, la solución de problemas relacionados con la conductividad térmica finita es más compleja, pues implica el análisis de ecuaciones diferenciales parciales. Considérese como ejemplo el caso de una placa infinita de espesor 2L, la cual se encuentra a una temperatura inicial uniforme Ti, como se observa en el esquema de la figura 4.6a. Supóngase que de pronto se pone en contacto con un fluido a una temperatura constante T= Y se desea conocer la historia de temperatura de la placa como función de la distancia y el tiempo. El problema descrito es equivalente, por simetría, al de una placa de espesor L perfectamente aislada en una de sus superficies, como se ilustra en la figura 4.6b. Con el fin de obtener la historia de temperatura en la placa considérese un volumen de control de dimensiones Lh, ~y Y & dentro del material. Al aplicar la primera
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4.2. Placa infinita
Flu ido a T= h
Fluido a T=
Fluido a T=
h
h
L
2L
(b)
(a)
Figura 4.6. (a) Placa infinita de espesor 2L, y (h) placa infinita de espesor L aislada por uno de sus lados.
ley de la termodinámica a este sistema se obtiene que el flujo neto de calor por conducción es igual al incremento de energía interna que experimenta. Analíticamente,
q"i1y& I
x
- q"i1y& I
L
.
X+ Lli
= pci1xi1y& dT dt
Dividiendo esta expresión entre &i1y& y haciendo que & tienda a cero, se obtiene dq" _ dT -- pc -
dX
. dt
Al introducir la ley de Fourier de conducción de calor y suponiendo que la conductividad térmica es constante,
Definiendo la difusividad térmica como a
= k/ pc se obtiene (4.8)
De esta expresión se observa que la difusividad térmica afecta la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo. Así, dicha razón es más rápida si el material tiene una gran difusividad térmica, y viceversa. Nótese que a diferencia de la conductividad térmica k de un material, que permite o no el paso del calor por conducción, la difusividad térmica consta de tres propiedades físicas , una de transporte y dos termodinámicas: la conductividad térmica k, la densidad del material
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4. Conducción de calor en estado transitorio
p y el calor específico e. El producto pe (J/m3 K) es un indicador de la capacidad del material para almacenar energía. Por consiguiente, las sustancias con gran densidad como los sólidos y los líquidos suelen constituir excelentes medios para almacenar energía (pe> 1 MJ/m:K), en tanto que los gases (pe"" 1 kJ/m3K) prácticamente no tienen capacidad para ello. De lo anterior se desprende que la difusividad térmica (m2/s) es un indicador de la capacidad que tiene un material para conducir el calor con respecto a su capacidad para almacenar energía interna. A guisa de ejemplo, la difusividad térmica del aluminio a 300 K es de 9.71 x 10-5 m2/s, mientras que la parafina tiene una difusividad térmica de 7.7 x 10-9 m2/s a la misma temperatura. Estos dos valores numéricos concuerdan perfectamente con la experiencia diaria. La ecuación 4.8 requiere tres condiciones, dos de frontera y una inicial, para especificar por completo la variación de la temperatura con respecto a la distancia y al tiempo. Si se supone que la placa está sujeta a un proceso de enfriamiento (o calentamiento), la condición inicial puede establecerse fácilmente a partir de la uniformidad inicial de la temperatura en la placa. Es decir, T(x, O)
= Ti
(4.9)
Una de las condiciones de frontera se establece muy pronto mediante la condición de simetría en la placa de espesor 2L de la figura 4.6a. Puesto que ésta pierde (o gana) calor por ambas superficies, el máximo (o mínimo) de temperatura durante el enfriamiento (o calentamiento) debe ocurrir en el centro mismo de la placa, esto es,
~: (O,t) = O
(4.10)
Por último, la segunda y última condición de frontera puede obtenerse notando que el calor transportado por conducción en la interfase debe ser igual al que se cede (o gana) de forma convectiva al fluido. Analíticamente, ()T
- k-
()x
(L,t) = h[T(L,t) - T=]
(4.11)
De la ecuación 4.8 a la 4.11 describen por completo el problema de transferencia de calor en la placa. De esas mismas expresiones se observa que la temperatura de la placa en cualquier posición y en cualquier instante depende de varios parámetros, en particular de T= T(x, t, Ti, T=, L, k, a, h)
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1 129
4.2. Placa infinita
Para resolver el problema en forma general se definirán las variables adimensionales siguientes: (4.12)
x*
x L
(4.13)
y
t * =Fo= -al2
L
(4.14)
El tiempo adimensional t* se denomina número de Fourier, Fo. Sustituyendo estas nuevas variables en la ecuación diferencial 4.8 y sus condiciones inicial y de frontera 4.9 a 4.11 se deduce que (4.15)
=1
(4.16)
a;*(O,t*)=O
(4.17)
(1, r*) = - BiT*(l, t)
(4.18)
T *(x*, O)
a;;**
Ahora, en forma adimensional, T'
= T' (x' , Fo, Bi)
(4.19)
es decir, la distribución adirnensional de temperatura para una placa plana es una función universal de x*, Fo y Bi, Y no depende de los valores particulares de TiJ T~, L, k, a o h. Para obtener la relación funciona14 .19 supóngase que la solución es de la forma T*
= X(x*)'l(t*)
Así, la ecuación 4.15 se convierte en Xi = rX"
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130
4. Conducción de calor en estado transitorio
donde el apóstrofo, " denota la derivada total. Separando variables se tiene
r' r
X"
X
La única manera de que una función de t* sea siempre igual a una función de x * es que cada función sea equivalente a la misma constante, es decir,
r' X" 2 - = - =-A: r X La selección de una constante positiva con signo negativo en esta expresión es evidente: para que la solución tienda a cero conforme transcurre el tiempo se requiere que la constante A:2 tenga un signo positivo en la ecuación diferencial ordinaria l' + A:2 r = O. El que A: esté elevada al cuadrado es por mera conveniencia algebraica. A la luz del razonamiento anterior se tienen ahora las dos ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: (4.20) con las condiciones de frontera homogéneas
=O
(4.21)
= -BiX(1)
(4.22)
X' (O) y X' (1)
y
(4.23) La solución general de la ecuación 4.20 es de la forma X = Cl
COSAx*
+ C2 senAx*
Al aplicar la condición de frontera 4.21 se obtiene
En forma similar, al aplicar ahora la condición 4.22, A: senA: = Bi cosA: o A: cotA: = Bi
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(4.24)
131
4.2. Placa infinita
En la figura 4.7 se muestra esta expresión de forma gráfica. Los valores de A, que satisfacen la relación 4.24 están indicados por las intersecciones de las curvas de cotA, y AlBi. Obsérvese que existe un número infinito de valores de A,n (valores característicos) que satisfacen la ecuación 4.24. Para el caso en que Bi ~ 0, los valores de A,n que satisfacen dicha relación son: 0, n, 2n, 3n, ... como puede observarse en la figura 4.7. Del mismo modo, para el caso en que Bi ~ 00, los valores de An que satisfacen la ecuación 4.24 son: (ll2)n, (3 /2)n, (512)n, ... En la tabla 4.1 se muestran las primeras cinco raíces de la ecuación trascendental A,ntanA,n = e, donde e es una constante. Así, para un valor del número de Biot igual a la unidad se tiene: A,l = 0.8603, ~ = 3.4256, As = 6.4373, etcétera. Una vez determinados los valores de A,no la solución a las ecuaciones 4.20 a 4.22 es Xn(X *)
= e In COSA,nX*
(4.25)
Del mismo modo, para la ecuación 4.23, (4.26) Al combinar las expresiones 4.25 y 4.26 de acuerdo con la solución producto propuesta y observar que la suma de soluciones es también una solución, (4.27)
Figura 4.7. Representación gráfica de la ecuación cotAn = A.,,/Bi.
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4. Conducción de calor en estado transitorio
Las constantes en en esta serie infinita pueden obtenerse sustituyendo la condición inicial 4.16, es decir, = 1= ¿enCOSAnX*
n=l
Además, por la teoría de series de Fourier, 4senAn
En consecuencia, T
*
-;¡? Fo =~ ~e "
n=l
4senAn 2An + sen 2An
~
COSA X
*
(4.28)
n
donde los valores característicos An satisfacen la ecuación 4.24. De la ecuación 4.28 se observa que la temperatura adimensional en la placa depende de las variables x' , Fo y Bi. Para valores del número de Fourier mayores o iguales a 0.2, es decir, Fo 2': 0.2, la serie infinita de la ecuación 4.28 puede aproximarse con el primer término. De este modo, T * = ele -;¡?I Fo cosA¡x *
(4.29)
o (4.30) donde To* representa la temperatura en el plano central de la placa, esto es, '1"' * -
LO -
ele -ATFo
(4.31)
De la ecuación 4.30 se observa que la dependencia de la temperatura en cualquier posición de la placa es la misma que la del plano central. En la tabla 4.2 se presentan los valores de el y Al para distintos valores del número de Biot.
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4.2. Placa infinita
Tabla 4.1. Primeras cinco raÍCes de la ecuación AntanAn
e 0.000 0.002 . 0.004 0.006 0.008 0.010 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 1.500 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 15.000 20.000 30.000 40.000 50.000 10.000
= C.
Al
A2
A3
A4
A5
0.0000 0.0447 0.0632 0.0774 0.0893 0.998 0.1410 0.1987 0.2425 0.2791 0.3111 0.4328 0.5218 0.5932 0.6533 0.7051 0.7506 0.7910 0.8274 0.8603 0.9882 1.0769 1.1925 1.2646 1.3138 1.3496 1.3766 1.3978 1.4149 1.4289 1.4729 1.4961 1.5202 1.5325 1.5400 1.5552
3.1416 3.1422 3.1429 3.1435 3.1441 3.1448 3.1479 3.1543 3.1606 3.1668 3.1731 3.2039 3.2341 3.2636 3.2923 3.3204 3.3477 3.3744 3.4003 3.4256 3.5422 3.6436 3.8088 3.9352 4.0336 4.1116 4.1746 4.2264 4.2694 4.3058 4.4255 4.4915 4.5615 4.5979 4.6202 4.6659
6.2832 6.2835 6.2838 6.2841 6.2845 6.2848 6.2864 6.2895 6.2927 6.2959 6.2991 6.3148 6.3305 6.3461 6.3616 6.3770 6.3923 6.4074 6.4224 6.4373 6.5097 6.5783 6.7040 6.8140 6.9096 6.9924 7.0640 7.1263 7.1806 7.2281 7.3959 7.4954 7.6057 7.6647 7.7012 7.7764
9.4248 9.4250 9.4252 9.4254 9.4256 9.4258 9.4269 9.4290 9.4311 9.4333 9.4354 9.4459 9.4565 9.4670 9.4775 9.4979 9.4983 9.5087 9.5190 9.5293 9.5801 9.6296 9.7240 9.8119 9.8928 9.9667 10.0339 10.0949 10.1502 10.2003 10.3898 10.5117 10.6543 10.7334 10.7832 10.8871
12.5664 12.5665 12.5667 12.5668 12.5670 12.5672 12.5680 12.5696 12.5711 12.5727 12.5743 12.5823 12.5902 12.5981 12.6060 12.6139 12.6218 12.6296 12.6375 12.6453 12.6841 12.7223 12.7966 12.8678 12.9352 12.9988 13.0584 13.1141 13.1660 13.3142 13.4078 13.5420 13.7085 13.8048 13.8666 13.9981
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134
4. Conducción de calor en estado transitorio
Tabla 4.2. Constantes empleadas en las ecuaciones 4.30 y 4.31 ¡zara una Elaca.
Bi
= hLlk (rad) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 100.00
Al
el
0.0998 0.1410 0.1732 0.1987 0.221 7 0.2425 0.2615 0.2791 0.2956 0.3111 0.3779 0.4328 0.4801 0.5218 0.5932 0.6533 0.7051 0.7506 0.7910 0.8274 0.8603 1.0769 1.1925 1.2646 1.3138 1.3496 1.3766 1.3978 1.4149 1.4289 1.4961 1.5202 1.5325 1.5400 1.5552
1.0017 1.0033 1.0049 1.0066 1.0082 1.0098 1.0114 1.0130 1.0145 1.0160 1.0237 1.0311 1.0382 1.0450 1.0580 1.0701 1.0814 1.0919 1.1016 1.1107 1.1191 1.1795 1.2102 1.2287 1.2402 1.2479 1.2532 1.2570 1.2598 1.2620 1.2699 1.2717 1.2723 1.2727 1.2731
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13S
4.2. Placa infinita
Una vez que se conoce la historia de la temperatura en una placa es conveniente conocer el calor que disipa entre t = O Y cualquier instante t. Aplicando la primera ley de la termodinámica para el proceso de enfriamiento supuesto, Q = U(O) - U(t)
o Q = - 2foL pc[T(x,t) - :Z;]Adx
Obsérvese que Q representa la magnitud del calor disipado, en joules. Para normalizar esta expresión se definirá ahora el parámetro Qo
= 2pcAL(Ti -
T~)
que representa la energía interna inicial de la placa con respecto a la temperatura del fluido o la transferencia máxima de energía que puede ocurrir en el proceso desde t = O hasta t = oo . En forma adimensional,
'i
I
I
¡,
" Con la ecuación 4.30 para la solución aproximada se obtiene 7'* -Q -_ 1 - -senA¡ -.Lo Qo Al
(4.32)
Las gráficas de Heisler constituyen una representación gráfica de la solución aproximada para la distribución de la temperatura en una placa y su calor disipado. Estas gráficas se han empleado por mucho tiempo y aquí se presentan de la figura 4.8 a la 4.10. En la figura 4.8 se presenta la variación de la temperatura adimensional en el centro de la .placa (To - T~)/(Ti - T~) como función del número de Fourier, para distintos valores del recíproco del número de Biot. To representa la temperatura T(O, t). Por otra parte, en la figura 4.9 se muestra la temperatura en cualquier plano de la placa con respecto a la del centro (T - T~)/(To - T~), para diferentes valores del recíproco del número de Biot. De la figura se desprende que para valores de 1IEi > 10 (Bi < 0.1) la diferencia de temperaturas en cualquier
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136
4. Conducción de calor en estado transitorio
plano de la placa es menor a 5%. Es decir, la temperatura depende fundamentalmente del tiempo como se supuso en el análisis de parámetros concentrados. La figura 4.10 corresponde al calor transferido en la placa. El cociente Q/Qo está expresado en términos de Bi y Fa.
Figura 4.8. Gráfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de una placa de espesor 2L a una temperatura inicial Ti, que intercambia calor con un medio a temperatura T=- (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating, Trans. ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)
0.9
H-HttHtttttt-H+rt\I;Il-lTIttIt::K~ffiH1t+tttltItH.¡¡j
0.8 0.7
f-+HttHtttltt-f-:Pf
004
f-+Htttlltlllf-/--II.-HIHI-IttIttt++ttH1ttH1I1t+++t1f1tH1fttl
0.3 0.8
02 0.1 H-H+l+ll-J,tffi-H+HIHl-I++Hl-l++++I+H-H+Il+++f+flH+fjjj
o
1.0 0.010.02 0.05 0.1 0.2
0.5 1.
2 3 5
10 20
50 100
Bi - 1
Figura 4.9. Gráfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de una placa. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Chartsfor Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)
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137
4.2. Placa infinita 1.0 0.8
~
0.6
¡Ir
0.4 0.2
0.1
o10-5
1/
/
1/ '" / 'iS 'o>'-J' 01 ~ ~, $1 P', O·J l'Or ," 0'
'-
" CJ?
"-
"\.
~oó' "-
."\.
\.
'\..
"'" "'"'"\. O
"\.
f\-
'\
~
0.01
"\.
~
\
\
""
1.0
x / 2{(rt
\ .\
\\ \
"\.
0.5
\.\.
\
\ \\
1.5
Figura 4.20. Distribución de la temperatura en un sólido semiin:finito con frontera convectiva.
En la figura 4.20 se presenta una gráfica de distribución de la temperatura para el caso de un sólido semiinfinito con convección en la superficie. Cabe apuntar que este análisis es muy útil en el estudio de una placa infinita cuando los tiempos de exposición son relativamente pequeños.
4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión En ciertas situaciones de interés práctico la transferencia de calor se lleva a cabo en varias direcciones y además depende del tiempo. La distribución de la temperatura en estos casos puede obtenerse sin dificultad mediante el producto de las soluciones para los problemas unidimensionales descritos previamente. Para ilustrar este método de análisis considérese la barra de sección transversal rectangular que se muestra en el esquema de la figura 4.21. Supóngase que es infinitamente grande en la dirección axial, de manera tal que T = T(x, y, t) . La barra tiene una temperatura inicial constante Ti y súbitamente se coloca en un medio cuya temperatura es T=La ecuación diferencial que gobierna este proceso transitorio es
¡;2T
¡;2T
Jx
Jy2
-
1 aT a
-2 + - - = - -
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at
(4.52)
151
4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión
2H
2W
1
00
Figura 4.21. Barra infinita.
con las siguientes condiciones inicial y de frontera:
= Ti
(4.53)
ax (O,y,t)=O
(4.54)
- k-(W, y, t) = h[T(W, y, t) - T~ ]
(4.55)
aT ay (x,O,t) = o
(4.56)
T(x, y, O)
aT aT
ax
aT (x, H, t) = h[ T(x, H, t) ay
-k -
T~ ]
(4.57)
En términos de la temperatura adimensional T* = (T - T~)I(Ti - T~), las expresiones anteriores adquieren la forma siguiente:
a ax
a
2 2 T* T* 1 aT* -+ -=- 2
ay2
a
at
(4 .52a)
=1
(4.53a)
aT* (O,y,t) = O
(4.54a)
aT* h * (w,y,t)=- - T (W,y,t) k
(4.55a)
T* (x, y, O)
ax
ax
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152
4. Conducción de calor en estado transitorio
aT* (x,O,t)=o
(4.56a)
aT* . h * (x,H,t) =- -T (x,H,t) k
(4.57a)
ay
ay
Supóngase ahora que
= TxCx,
T*(x, y, t)
t)Ty(y, t)
(4.58)
es la solución de la ecuación diferencial. Al sustituir esta expresión en la ecuación 4.52 se obtiene (4.59)
Del mismo modo, al sustituir la solución 4.58 propuesta en las condiciones inicial 4.53a y de frontera 4.54a a 4.57a se obtiene (4.60)
aa; (O, t) = °
(4.61)
aTx(W t) =- ~T(W t) ax' k x '
(4.62)
aT
a; (O,t)=o
y aT (H
ay'
t) =- ~T (H t) k y ,
(4.63)
(4.64)
Al examinar de la ecuación 4.59 a la 4.64 se observa con claridad que serán satisfechas si, a su vez, las funciones TxCx, t) y Ty(y, t) satisfacen los dos problemas adimensionales siguientes: i) Placa infinita de espesor 2W
J 2 Tx _ 1 aTx
ax2 - a Tt
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153
4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión
Il
~
a:; (o, t) =°
!.
1~
aTx (W t) =-'2T (W t)
ax'
k
x
d
'
'~
j
ii) Placa infinita de espesor 2H
I
¡PTy
_! aTy
al - a at
aT
a; (o, t) =°
aTy (H t) = - '2 T (H t) k
ay'
y
,
De lo anterior se desprende que la solución del problema transitorio bidimensional de conducción de la barra de la figura 4.21 puede obtenerse mediante el producto de las soluciones de dos placas infinitas, una de espesor 2W y otra de 2H. La forma de estas soluciones Tx Y Ty coincide precisamente con la de la ecuación 4.28. Es decir, para la barra de nuestro ejemplo,
-~-=-?=-I 1
00
Barra2Wx2H
=
~=? I 1
00
Placa2W
x
~=? I 1
00
(4.65)
Placa 2H
Aun cuando el desarrollo anterior sólo contempló la transferencia de calor bidimensional en estado transitorio, el producto de soluciones también puede aplicarse a problemas tridimensionales. En consecuencia, la solución de un paralelepípedo de dimensiones 2W x 2H x 2L puede obtenerse mediante el producto de las soluciones de tres placas infinitas, cada una de espesor 2W, 2H y 2L, respectivamente. El análisis transitorio de un cilindro finito de radio ro y altura 2L puede obtenerse con el producto de las soluciones de una placa infinita de espesor 2L y de un cilindro infinito de radio ro. En la figura 4.22 se muestra un esquema de tal solución.
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154
4. Conducción de calor en estado transitorio
Figura 4.22. Cilindro finito.
Ejemplo 4.9.
En un horno cuya temperatura es de 400 oC se introduce un paralelepípedo de 0.61 X 0.61 X 1.22 m, como se muestra en la figura E.4.9. El cuerpo tiene una temperatura inicial de 20 oC, y es menester que todo el cuerpo alcance una temperatura por lo menos de 370 oc. La circulación de gas inerte en el horno es tal que el coeficiente de transferencia de calor es de 565 W/m2 K. Determine el tiempo mínimo que debe permanecer el paralelepípedo en el horno. Supónganse las siguientes propiedades físicas para el material: k = 43 W/moC ya = 0.053 m 2/h.
Solución Para el centro del paralelepípedo, T - T= I = 370 - 400 T¡ - T= Paralelepípedo 20 - 400
T-TI X T-T= T-T= Placa 0.61 m T-T=
= 0.079 = X
- -=1
1
T
1.22 m
1
L
r
~
S·61
0.61 m-
T Figura E.4.9.
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m
Placa 0.61 m
T-T= T-T= 1
Placa 1.22 m
155
4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión
Puesto que se desconoce el tiempo que debe permanecer el cuerpo en el horno, el problema requiere varios tanteos. Para las placas de 0.61 m de espesor, k hW
1 Biw
43 = 0.25 (565)(0.305)
Del mismo modo, para la placa de 1.22 m de espesor,
k
1
43 = 0.125 (565)(0.61)
Después de algunos cálculos, supóngase un tiempo de permanencia de 1.53 h: Fo = at = (0.053)(1.53) = 0.872 w W2 (0.305)2 y
Fo = at = (0.053)(1.53) = 0.218 L L2 (0 .61)2 Con estos parámetros se deduce de la figura 4.8 que
T-Tool
T. - T. ,
00
= 0.315 Placa2W
y
T-
Too I
T. - T. ,
00
= 0.80
Placa 2L
Por consiguiente, (0.315)2 (0.80) = 0.079 De lo anterior se deduce que el tiempo mínimo de permanencia en el horno para que el paralelepíp'edo alcance una temperatura de 370 oC en su centro es igual a 1.53 horas.
Ejemplo 4.10.
Un pequeño cilindro de latón de 10 cm de diámetro y 12 cm de altura tiene una temperatura inicial de 120 oC y expone al aire ambiente a 25 oC. El coeficiente de transferencia de calor entre el cilindro y el aire se estima en 60 W/m20 C. http://gratislibrospdf.com/
156
4. Conducción de calor en estado transitorio
Calcule la temperatura (supónganse las propiedades siguientes para el latón: k = 110 W/moC y a = 33.9 x 10-6 m 2/s). a) En el centro del cilindro. b) En el centro de las superfiéies planas después de 15 minutos.
Solución a) Es posible analizar el cilindro mediante la intersección de una placa infinita
con un cilindro infinito. Para la placa, at (3.39 x 10-6)(900) Fo== 8.48 2= L
(0.06)2
~ _ ~= Bi
kL
110
= 30.6
(60)(0.06)
Al recurrir a la figura 4.8 se obtiene
T(O,t) - T~1 T- T
~
1
= 0.8 Placa 12 cm
De forma similar, para el centro del cilindro, at (3 .39 x 10-6)(900) Fo= 2' = 2 =12.2
ro
(0.05)
_1 _ _k = 110 = 36.7 Bi hrO (60)(0.05)
Si nos apoyamos en la figura 4.11 obtenemos
T( O, t) ~
-
T~
T~ I
= 0.5
Cilindro de 10 rnm
En consecuencia,
T(O, O~t)- T~ I = (0.8)(0.5) = 0.40 ~ T C'I' d 11nro 00
Por tanto, la temperatura en el centro del cilindro es
T(O, O, t) = 25 + 0.40 (120 - 25) = 63 oC
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157
4.6. Diferencias finitas. Método explícito
b) Para evaluar la temperatura en las superficies planas del cilindro se requiere
corregir la temperatura de la placa infinita. Con base en la figura 4.9, para = 1 Y l/Bi = 30.6, se obtiene
x/L
T - T~ I o - T~
T,
= 0.98
Placa 12 cm
Por consiguiente, para la placa infinita
t) - T~ Ti - T~
T(L,
= (0.98)(0.8) = 0.784
Por último,
T(L,
Ti
O~t) - T~ I T~
= (0.784)(0.5) = 0.392
Cilindro
y
T(L, O, t)
= 25 + 0.392 (120 -
25) = 62.2 oC
4.6. Diferencias finitas. Método explícito Aun cuando las técnicas analíticas descritas son muy útiles en el estudio de sistemas cuya configuración geométrica es relativamente sencilla, no siempre resultan prácticas al analizar sistemas de geometría compleja o cuando las condiciones de frontera dependen del tiempo. El método numérico de solución con diferencias finitas es aún más útil en tales casos. Como el tema va más allá del propósito de esta obra, considérese a guisa de ejemplo el planteamiento en diferencias finitas de un c alentador eléctrico de placa de espesor 2L, como se muestra en la figura 4.23. Supóngase que se desea conocer la distribución de temperatura después de que se interrumpe la énergía eléctrica. MediAcLlx Tl ,}+ · I-Tl,}. Llx
q
I1t
P
Al reacomodar la expresión, T¡,j+1
] = I1Fo[ T¡-I,j + T¡+I,j + q"'(Llx)2 k + (1- 211Fo )T¡,j
(a)
Como se dijo con anterioridad, esta expresión puede emplearse para el nodo O con Ti-l> j = T i+ l , j' así como para los nodos 1, 2, 3 Y 4. Con un balance de energía en el nodo 5, ubicado sobre la superficie, hA (T - 'F. . ) + kA = S,}
T4 · -'F.S· Llx ,} ,} + "'A Llx q 2
S,}· = p>A -Llxc 'F.S·I-'F. ,}+
2
I1t
Acomodando la expresión,
(h)
o
1
2
3
4 5
T~ = 250 o c h = 1100 W/m 2 °C
1+--10 mm ~
Figura E.4.11.
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162
4. Conducción de calor en estado transitorio
Al analizar las ecuaciones (a) y (b) se desprende que es la última la que determina el criterio de estabilidad, esto es, L1Fo(1 + ilBi) :::;
.
!2
Así, ilBi = hL1x
= (1100)(0.002) = 0.073
k
30
y L1Fo:::; 0.466
o ilt = ilFo(L1x)2 :::; (0.466)(0.002)2 :::; 0.373s a 5xlO-6 Para simplificar el análisis numérico se seleccionará ilt = 0.3 s, valor que satisface el criterio de estabilidad. De este modo, L1Fo =
(5 X 10-6 )(0.3) 2 x 10-3 )
(2
= 0.375
Sustituyendo valores numéricos en las ecuaciones (a) y (b) con q'" W/m3 se obtienen las expresiones siguientes:
= 0.375(2T1,j + 2.67) + 0.250TO,j T1,j+l = 0.375(To,j + T 2 ,j + 2.67) + 0.250Tl,j T2 ,j+l = 0.375(T1,j + T 3,j + 2.67) + 0.250T2 ,j T 3 ,j+l = 0.375(T2 ,j + T 4 ,j + 2.67) + 0.250T3 ,j TO,j+l
T4 ,j+l = 0.375(T3 ,j + TS ,j + 2.67) + 0.250T4 ,j TS ,j+l = 0.750(T4 ,j + 19.67) + 0.195Ts,j
Además, para q'"
= 107 W/m 3 , "'L
T.s,o = T.= + L= 250 + h
7
(10 )(0.01) 1100
= 340
Por tanto,
T(x, O) = 340.91 + 16.67[1-
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~:)
=2 X
10-7
163
4.7. Método gráfico de Schmidt
A continuación se presentan las temperaturas en los distintos nodos como función del tiempo: j
t, s
O 1 2 3 4 5
O 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
00
00
To
357.58 358.08 358.58 359.08 359.58 360.08 465 .15
TI
T2
T3
T4
Ts
356.91 357.41 357.91 358.41 358.91 359.41 463.82
354.91 355.41 355.91 356.41 356.91 357.41 459.82
351.58 352.08 352.58 353.08 353.58 354.07 453.15
346.91 347.41 347.91 348.41 348.89 349.37 443.82
340.91 341.41 341.88 342.35 342.82 343.27 431.82
Para obtener mayor información sobre los métodos numéricos el lector debe remitirse a la obra de Minkowycz (véase la bibliografía más adelante).
4.7. Método gráfico de Schmidt La solución rápida de un cuerpo semiinfinito o una placa infinita puede lograrse con el método gráfico propuesto por Schmidt. Si LlFo = 1/2, la ecuación 4.66a se reduce a Ti , j+1
=
Ti+I , j
+ Ti-I , j 2
(4.70)
De esta expresión se observa que la distribución de la temperatura en cualquier instante puede obtenerse mediante el trazo de líneas rectas entre los nodos cuyas temperaturas son Ti _ 1, j Y Ti + 1, j. La intersección de tales rectas con el nodo i, j determina el valor de la temperatura buscado Ti, j + l después de un intervalo I'1t = (/'u)2/2a, como se ilustra en el esquema de la figura 4.26.
Distribución inicial de temperatura
T1 = constante
Figura 4.26. Construcción del método de Schmidt para un incremento de tiempo.
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164
4. Conducción de calor en estado transitorio
Problemas 1. Considérese el proceso de calentamiento de unas placas planas de bronce de 4 cm de espesor que originalmente se encuentran a una temperatura uniforme de 20 oC y que se introducen verticalmente a un horno cuya temperatura es de 500 oC, permanecen dentro por 7 minutos y luego se extraen. El coeficiente de transferencia de calor se estima en 120 W/m2o C. Determine la temperatura en la superficie de las placas cuando están a punto de salir del horno. Supónganse las propiedades siguientes para el bronce: k = 110 W/moC, p = 8530 kg/m3 , cp = 380 J/kg0c.
Placa de bronce
4 cm
I Figura P.4.1.
2. Considérese el enfriamiento de trozos de carne en una planta procesadora de alimentos, los cuales tienen un espesor promedio de 2 cm (k = 0.45 W/inK y a = 1.28 x 10-7 m2/s). Originalmente se encuentran a 25 oC y se enfriarán en un cuarto frío cuya temperatura ambiente es de -10 oC hasta que sus superficies alcancen los 3 oC. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor por ambos lados de la carne es de 9 W/m2 oc. Calcule en minutos el tiempo de enfriamiento en el cuarto frío. 3. Una flecha cilíndrica muy larga de 20 cm de diámetro y de acero inoxidable AISI 304 se extrae de un horno cuya temperatura es de 600 oc. La flecha se coloca -inmediatamente después de extraerla del horno- en otra cámara con una temperatura de 200 oC para permitirle tener un enfriamiento gradual. El coeficiente de transferencia de calor es igual a 80 W/m2°C en estas condiciones. Determine la temperatura en el centro de la flecha luego de 45 minutos de que empezó el enfriamiento. Las propiedades del acero inoxidable son: k = 14.9 W/mK, P = 7900 kg/m 3, cp = 477 J/kgOC, a = 3.95 x 10- 6 m2/s. 4. Para calentar la leche del biberón que necesita un bebé, la mamá vierte la que extrae del refrigerador en un vaso de vidrio de 6 cm de diámetro y de pared muy delgada. El nivel del contenido es de 7 cm. Después, la señora sumerge
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165
Problemas
el vaso en un recipiente con agua caliente a 60 oc y mueve constantemente la leche para que su temperatura sea uniforme. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el agua y el vidrio es de 120 W/m 2°C, determine cuánto tiempo se precisa para entibiar la leche de 3 a 38 oc. Supónganse las propiedades siguientes para la leche: k = 0.598 W/mK, p = 998.0 kg/m 3 , cp = 4182 J/kgOC, a = 1.43 x 10-7 m2/s. 5. La unión de un termopar - la cual puede aproximarse a una esfera de 0.71 mm de diámetro- va a colocarse en un gas a 200 oC para registrar su temperatura. La temperatura inicial del termopar es de 25 oc. Calcule el tiempo que demora en alcanzar 199 oC en su centro. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 400 W/m20 C. Supónganse las propiedades siguientes de la unión: k = 20 W/mK, cp = 400 J/kgOC, P = 8500 kg/m 3 . Respuesta: 5.19 s
6. Se tiene un plato de acero inoxidable de 3 mm de espesor que se desea enfriar suspendiéndolo en forma vertical en el aire ambiente después de haber estado en un horno a 152 oc. El plato tiene una superficie de 40 cm2 por ambos lados. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor -según la ecuación de Langmuir- es variable y obedece a la expresión
donde T es la temperatura instantánea en la superficie del plato, y Too la temperatura ambiente, que en este caso es de 25 oc. Calcule el tiempo que ha de transcurrir desde que el plato se extrae del horno para que la temperatura en la superficie alcance los 40 oc. Supónganse las propiedades siguientes para el acero: k = 14.9 W/mK, p = 7900 kg/m 3 y cp = 477 J/kgK. Respuesta:· 0.67 h
7. U na placa de aluminio de 3 cm de espesor tiene una temperatura uniforme de 225 oC. Repentinamente se sumerge en un baño de aceite a 25 oC, con un coeficiente de transferencia de 'calor de 320 W/m2 K. Determine el tiempo necesario para que la temperatura en el centro de la placa alcance los 50 oC. Supónganse las propiedades siguientes para el aluminio: k = 160 W/moC, p = 2790 kg/m3 y cp = 0.88 kJ/kgK. Respuesta: 4 min http://gratislibrospdf.com/
,~
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4. Conducción de calor en estado transitorio
8. Considérese una flecha cilíndrica de transmisión de 10 cm de diámetro y muy larga en la dirección axial, construida de acero AISI 1010 (k = 64 W/moC, cp = 434 J/kgK Y P = 7832 kg/m 3) . La flecha se introduce en un horno con una temperatura de 925 oc. El coeficiente de transferencia de calor se estima en 100 W/m 2 °C. Si la temperatura inicial de la flecha es de 25 oC, calcule el tiempo que es menester para que su centro alcance una temperatura de 525 oc. Respuesta: t = 11 .5 min 9. Se tiene una tubería de acero de 2 m de diámetro exterior cuyas paredes son de 40 mm de espesor y se encuentra perfectamente aislada en el exterior. Toda la tubería se encuentra a - 20 oc. De pronto se inicia un flujo de aceite caliente por el interior a una temperatura de 60 oc. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 500 W/m 2 K. Calcule la temperatura en la superficie exterior a los 8 minutos de comenzado el flujo de aceite. Supónganse las propiedades siguientes para el acero: k = 63.9 W/moC, cp = 434 J/kgK y P = 7824 kg/m 3 . 10. Se desea determinar el coeficiente de transferencia de calor alrededor de una esfera en el aire. Para tal fin se construye una de cobre de 12.7 mm de diámetro. Antes de introducirla en la corriente de aire, cuya temperatura es de 27 oC, la temperatura en el centro de la esfera era de 66 oc. A los 69 segundos de comenzado el proceso de enfriamiento en el aire el termopar registró 55 oc. Las propiedades del cobre son: k = 401 W/moC, cp = 385 J/kgK Y P = 8933 kg/m 3 . . Respuesta: 33.14 W/m 2K 11. Considérese un refresco en lata (8 cm de diámetro por 12 de alto) a 27 oc. Se introduce en un refrigerador con una temperatura ambiente de 4 oc. El coeficiente de transferencia de calor entre la lata y el aire ambiente se estima en 5 W/m 2K. Tras seis horas se saca del refrigerador y se vierte en un vaso. Estime la temperatura del refresco. Supónganse las propiedades siguientes para éste: k = 0.6 W/m oC, cp = 4178 J/kgK Y P = 996 kg/m 3 .
Respuesta: 8.1 oC 12. Una caja fuerte rectangular de gran tamaño tiene un aislamiento de asbesto (k = 0.07 W/moC, a = 0.4 x 10--6 m 2/s) de 10 cm de espesor. Se estima que en un incendio la temperatura en la superficie exterior del asbesto se mantiene a 800 oC, aproximadamente. Si antes de ocurrir el siniestro la temperatura de la
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Problemas
caja era de 20 oC, calcule el tiempo que puede durar el incendio sin que se dañen los documentos que se encuentran en el interior. 13. Considérese el proceso de refrigeración de la carne en una planta procesadora. Los cortes tienen 2.5 cm de espesor y van a refrigerarse en los anaqueles de un cuarto frío donde se les hará pasar aire a una temperatura de - 15 oc. Los trozos se hallan juntos uno con otro, de manera tal que la transferencia de calor por sus cantos es despreciable. La carne se enfriará de tal modo que debe estar a 7 oC o menos, pero en ningún momento la temperatura podrá ser inferior a 1.5 oC para evitar que se congele. El coeficiente de transferencia de calor y, por consiguiente, la razón de enfriamiento puede modificarse ajustando la velocidad del aire que pasa por los cortes de carne durante el enfriamiento. Determine el coeficiente de transferencia de calor que satisfaga tales restricciones de temperatura y al mismo tiempo permita que el tiempo de enfriamiento sea mínimo. Supónganse las propiedades siguientes para la carne: k = 0.471 W/moC, cp = 3540 J/kgK Y P = 1090 kg/m 3 . 14. Se desea analizar el proceso de horneado del esmalte de unos platos de porcelana fina en un horno. Se encuentran suspendidos dentro del horno en posición horizontal mediante unos pequeños amarres. Por la cara superior de cada uno se hace incidir un flujo de radiación infrarroja de 5000 W/m 2 . El coeficiente de transferencia de calor para ambos lados - superior e inferior- es de 25 W/m 2 °C (fig. P.4.14). Se desea conocer: a) La variación de temperatura en los platos con relación al tiempo en ambas superficies para evaluar los parámetros de diseño y determinar la velocidad
con la que se desplazarán. b) La temperatura de estado estable en ambas superficies. c) El tiempo que debe transcurrir para alcanzar el estado estable. Los platos tienen una temperatura ambiente inicial de 25 oc. El aire que los rodea se encuentra a la misma temperatura.
Radiación infrarroja
'111111 11111115
mm
Aire a 25 °C
h
====h================~i ~ ~--------30 cm--------~~ Figura P.4.14.
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4. Conducción de calor en estado transitorio
Supóngase que los platos miden 30 cm de diámetro y 0.5 cm de espesor. Las propiedades de la porcelana son: k = 0.35 W/moC, e = 1250 J/kgOC y P = 1900 kg/m 3 . 15. En un día muy soleado una carretera de concreto alcanza temperaturas del orden de 45 oc. Por otra parte1 una tormenta reduce la temperatura de la superficie a 17 oc. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el concreto alcance una temperatura de 28 oC a 2 cm de profundidad? Las propiedades del concreto pueden suponerse como: k = 1.04 W/moC, e = 880 J/kgOC y P = 2500 kg/m 3 . 16. Se desea evaluar un tratamiento térmico para un material especial. Para tal fin se tiene una esfera de 5 mm de radio en un horno a 400 oc. Repentinamente se extrae la esfera y se somete a dos procesos de enfriamiento: i) Se enfría en aire a 20 oC por un periodo ta hasta que el centro alcanza una
temperatura crítica de 335 oC. En este caso, el coeficiente de transferencia de calor es igual a 10 W/m 2 °C. ii) Después de que la esfera logra esta temperatura crítica, se enfría en agua a 20 oC con un coeficiente de transferencia de calor igual a 2000 W/m 2 °C, hasta que su centro alcanza 50 oc. Las propiedades del material son: k = 20 W/moC, e = 1000 J/kgOC Y P = 3000 kg/m 3 . a) Calcule el tiempo que debe permanecer la esfera en el aire. b) Estime el tiempo que debe permanecer la esfera en el agua.
17. Se hace pasar repentinamente una corriente eléctrica de 5 A por un conductor eléctrico de cobre de 1 mm de diámetro con una temperatura ambiente de 25 oC. Calcule la temperatura en la superficie del conductor a los 40 s, suponiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de 25 W/m 2 °C. Las propiedades del conductor son: k = 386 W/moC, e = 383 J/kgOC Y P = 8950 kg/m 3 , Pe = 1.8 X 10- 8 Qm. 18. Se desea templar un cristal de 4 mm de espesor y 0.5 m 2 de superficie. Este material tiene una temperatura inicial de 650 oc. Para templarlo es preciso que su plano central se encuentre a 425 oC y su superficie a 300. El aire para el templado se halla a 50 oc. a) Calcule el coeficiente de transferencia de calor requerido para lograr el
templado. b) Estime el tiempo para lograrlo.
Supónganse las propiedades siguientes para el vidrio: k e = 1100 J/kgOC Y P = 2500 kg/m 3 .
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=
1.326 W/moC,
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Bibliografía
Bibliografía Bejan, Adrian, Heat Transfer, John Wiley & Sons, 1993. Minkowycz, W. J., E. M. Sparrow, G. E. Schneider y R. H. Pletcher, Handbook of Numerical Heat Transfer, John Wiley & Sons, 1988.
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5. Fundamentos de convección forzada Nunca están solos aquellos a quienes acompañan pensamientos nobles. PHILLlP SIDNEY
Hasta ahora se ha supuesto conocido el coeficiente de transferencia de calor h en todos los análisis que hemos realizado. Sin embargo, con frecuencia la mera determinación de tal coeficiente implica un problema complejo. Por ello en este capítulo se examinan algunos métodos para predecir en una situación concreta el valor del coeficiente de transferencia de calor en convección forzada. En primer lugar, se destacará la relación física que hay entre el proceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido. Como resultado de este análisis de tipo fundamental podremos desarrollar correlaciones analíticas para la determinación del coeficiente h. No obstante, posteriormente será obvio que, dada la complejidad que implican los procesos, no siempre pueden obtenerse soluciones analíticas para numerosos problemas de interés práctico. Por consiguiente, en estos casos es menester recurrir a diferentes correlaciones experimentales para obtener la información necesaria. Tales correlaciones empíricas se expresan en forma de gráficas o de expresiones matemáticas. Aquí sólo presentaremos algunas de las correlaciones más comunes; sin embargo, para una mayor información el lector podrá acudir a bibliografía especializada.
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar Considérese el flujo de un fluido sobre una placa plana como se muestra en el esquema de la figura 5.1 . Ahí se observa que, como resultado de los efectos viscosos, la velocidad relativa del fluido en la interfase es igual a cero. Por otra parte, esta velocidad aumenta én forma progresiva conforme se incrementa la distancia y, hasta un punto en que las fuerzas viscosas de corte son prácticamente insignificantes. La región próxima a la placa en donde se experimentan los efectos viscosos se conoce como capa límite hidrodinámica. Por lo general, su espesor, que
171
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5. Fundamentos de convección forzada
es muy pequeño, lo especifica la coordenada y, donde la velocidad del fluido alcanza 99% de la velocidad de corriente libre U ooo Este concepto de capa límite fue una aportación de Prandtl y en esencia divide el campo de flujo en dos regiones: una capa muy delgada en donde las fuerzas viscosas de corte son significativas y úna región exterior donde los efectos viscosos son prácticamente despreciables. Como en el caso de la capa límite hidrodinámica, los gradientes de temperatura en el fluido también se hallan confinados a una región próxima a la superficie de la placa, por lo que puede definirse en forma análoga una capa límite térmica como se muestra en la figura 5.2. Inicialmente, el desarrollo de la capa límite a lo largo de la placa es laminar, es decir, el fluido se desplaza a lo largo de láminas y sus partículas siguen una sucesión ordenada y continua sin cruzarse unas con otras. Sin embargo, a cierta distancia crítica Xc> que depende del campo de flujo y de las propiedades del fluido , empiezan a experimentarse pequeñas perturbaciones que se amplifican a medida que aumenta la distancia. Como consecuencia, se presenta un proceso de transición hasta que el flujo se toma completamente turbulento. Esta transición de régimen laminar a turbulento no es abrupta y depende de las condiciones de rugosidad de la superficie y del nivel de turbulencia en la corriente libre del fluido. Por lo general, para una placa plana se establece como criterio de transición para propósitos de análisis el que xcu~ pi J1 sea aproximadamente igual a 5 x lOs. Este grupo adimensional de variables que constituye un cociente de fuerzas inerciales a fuerzas viscosas recibe el nombre de número de Reynolds. Esto es, (5.1)
u (x, y)
Figura 5.1. Capa límite hidrodinámica.
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-"
--- -- -
--- ~-~~- -~~-
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
173
T~
Figura 5.2. Capa límite térmica.
Debe hacerse hincapié en que la transición de régimen laminar a turbulento se lleva físicamente a cabo en un amplio rango del número de Reynolds y no de manera drástica. En contraste con el flujo laminar que nos ocupa por el momento, donde la transferencia de calor y la cantidad de movimiento se realizan por difusión molecular entre láminas, en el régimen turbulento se presenta en forma irregular a través de elementos macroscópicos de fluido que se desplazan de manera errátifa. En virtud de la relación física tan estrecha que guardan el movimiento del fluido y la transferencia de energía que ocurre, la determinación analítica del coeficiente de transferencia de calor en régimen laminar implica conocimiento pleno de la distribución de la velocidad y de la temperatura en el fluido que rodea al sistema. Con este fin, a continuación se desarrollan las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía para una placa plana con régimen laminar.
5.1.1. Ecuación de continuidad Considérese un volumen de control dentro de la capa límite como se muestra en la figura 5.3. Un balance de materia indica que, en estado estable, el flujo de masa que entra en el sistema es igual al que se sale de él. Si se denota con u y v las componentes horizontal y vertical de la velocidad, respectivamente, se obtiene
Al dividir esta expresiól! entre fu:i1y&, hacer que fu: y i1y tiendan a cero y suponiendo que la densidad del fluido es constante se obtiene (5.2)
La anterior constituye la ecuación de continuidad.
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5. Fundamentos de convección forzada pt3.xt3. zV ly + t.y
.
Mul
pt3.y
x
pt3.yt3.z
t3.y t3.x pt3.Xt3.ZVly
Figura 5.3. Balance de materia en un volumen de control.
5.1.2. Ecuación de movimiento Considérese ahora el mismo volumen de control como se muestra en el esquema de la figura 5.4. Para obtener la ecuación de movimiento en la dirección x debemos recurrir a la segunda ley de Newton, que establece que la suma de fuerzas que actúa sobre el sistema debe ser igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento. Es decir,
donde los primeros dos términos del miembro izquierdo de la ecuación se refieren a la cantidad de movimiento en la dirección x que entra y sale del sistema por las superficies izquierda y derecha, respectivamente. Los términos tercero y cuarto denotan la cantidad de movimiento que entra y sale del sistema por las superficies inferior y superior correspondiente. De forma similar, los dos últimos términos denotan las fuerzas viscosas de corte que actúan sobre el sistema, en donde r yx se refiere al esfuerzo viscoso de corte que actúa sobre el sistema en la dirección x y en un plano perpendicular a la coordenada y . Si dividimos la expresión anterior entre LULly& y hacemos que LU y Lly tiendan a cero se obtiene 2
ar =ü p-auax +p-auv +-ay ay yX
Reordenando la expresión anterior y sustituyendo la ecuación de continuidad 5.2 tenemos que
p(u au +vau) =_ ar ax
ay
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yx
ay
5.1. Transferencia de calor en una p laca plana con convección fo rzada en régimen laminar
175
El esfuerzo de corte 'fyx puede relacionarse con el gradiente de velocidad dU/dy mediante la ley de Newton de viscosidad, esto es, para un fluido newtoniano,*
(5.3) donde f.1 es la viscosidad del fluido . Si suponemos que es constante,
dU dU d2 U u- + v - = v - -2 dX dy dY
(5.4)
donde v = J.1Ip es la viscosidad cinemática del fluido . La ecuación anterior constituye la ecuación de movimiento. Las ecuaciones 5.2 y 5.4 representan dos expresiones que permiten determinar las incógnitas u(x, y) y v(x, y). Las condiciones de frontera correspondientes a estas ecuaciones de cambio pueden escribirse como:
=O = u"" =O u(O, y) = u""
U(x, O) u(x, 00) v(x, O)
(5.5) . (5.6) (5.7) (5.8)
Antes de intentar resolver este conjunto de ecuaciones es oportuno examinar las expresiones para familiarizarse con el fenómeno físico . Aun cuando las fuerzas de fricción pueden despreciarse con respecto a las inerciales fuera de la capa límite, son del mismo orden de magnitud en el interior. Al analizar la ecuación de movimiento se observa que la fuerza inercial por unidad de volumen es igual a pUdU/dX, y para una placa de longitud L el gradiente dU/dX es proporcional a uJL. En consecuencia, la fuerza inercial es proporcional a pu",,2/L. Por otra parte, la fuerza de fricción es igual a f.1d 2U/dy2. Como el gradiente de velocidad dU/dY en la dirección perpendicular a la placa es del orden de uJ 8, donde 8 es el espesor de la capa límite hidrodinámica, la fuerza de fricción es del orden de f.1uJ8 2 . Puesto que ambas fuerzas, la de inercia y la de fricción, son del mismo orden de magnitud, 2
p -u"" - f.1 -u"" L 8 o, resolviendo para el espe§or de la capa límite hidrodinámica,
8-
~
~ u""
(5.9)
* Un fluido newtoniano es el que cumple con la ley de Newton de viscosidad. Todos los gases y la mayor parte de los líquidos obedecen a la ecuación 5.3. Sin embargo, fluidos como pastas, polímeros, etc., son no-newtonianos.
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5. Fundamentos de convección forzada
pAxAzuVl y+",y /'I.x
/'1. Y f-------+
pAx AZUVly+ "'y
Figura 5.4. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control.
En forma adimensional, (5.10)
donde ReL se refiere al número de Reynolds basado en la longitud L de la placa. Si en vez de la longitud L se usa la distancia x, se observa que el espesor de la capa límite hidrodinámica 8 es proporcional a x l /2 • Por otra parte, al examinar la ecuación de continuidad se obtiene v Uoo
8 L
(5 .11)
5.1.3. Ecuación de energía Consideremos el volumen de control que se muestra en el esquema de la figura 5.5. Para simplificar el análisis supóngase que la conducción de calor en la dirección x y la disipación viscosa son despreciables. Por la primera ley de la termodinámica se obtiene
donde H es la entalpía del fluido. Los primeros cuatro términos corresponden a la energía acarreada por el fluido al entrar y salir del sistema. Del mismo modo, los dos últimos términos se refieren al calor conducido a través del fluido en la dirección perpendicular a la placa. Si dividimos la expresión entre LUL1y& y hacemos que LU y L1y tiendan a cero se obtiene
a a aqN p - (uH) + p - (vH)+ -Y =0
ax
ay
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ay
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5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
Con la ecuación de continuidad 5.2 y notando que dH/dX cpdT/dy,
dT dT d2 T u- +v- - a - dX dy - di
= cpdT/dX
y dH/dy
=
(5 .12)
La expresión anterior constituye la ecuación de energía. Sus condiciones de frontera correspondientes son:
T(x, O) = Ts T(x,~)
= T~
T(O , y )
= T~
(5.13) (5.14) (5.15)
Conocer la distribución de la temperatura en el fluido es de suma importancia para determinar el coeficiente de transferencia de calor, ya que
h
= - kdTjdy ly=ü
x
(5.16)
Cabe destacar la semejanza entre las ecuaciones de movimiento y energía. Al comparar las ecuaciones 5.4 y 5.12 se observa que la solución de ambas debe ser de la misma forma cuando la viscosidad cinemática es igual a la difusividad térmica, por lo que se espera que estas propiedades de transporte tengan gran influencia en las magnitudes relativas de la transferencia de calor y de la cantidad de movimiento.
xóz y+ll.y
pvHÓXÓZly +Il.y
puHóy
p uH óyózl x
~y
•
q "yóxózl y
~x
pvHÓXÓZl y
Figura 5.5. Balance de energía en un volumen de control.
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5. Fundamentos de convección forzada
5.1.4. Método integral Hay numerosas técnicas matemáticas para resolver las ecuaciones de cambio descritas, por lo que se recomienda al lector la obra de Schi1cting para ampliar la información. Sin embargo, las soluciones exactas presentan una dificultad matemática considerable aun en el caso de geometrías sencillas, como la de la placa plana que estamos analizando. En consecuencia, a menudo hemos de utilizar métodos aproximados que nos llevan cuanto antes a una solución, pese a que su exactitud sea inferior. A continuación se describe el método integral de Von Karman. Considérese ahora el sistema que se muestra en la figura 5.6. Un balance de materia indica que
JIro(x) pu( X, y)&dy I - JIro( x ) pu( X, y)&dy I o
x
o
x +Ax
+ meo = o
(5 .17)
donde meo denota el flujo de masa que entra por la parte superior del sistema. Del mismo modo, un balance de cantidad de movimiento en el volumen de control que se ilustra en la figura 5.7 nos dice que ro(x)
JI
O
2
I
rO(x)
pU &dy - JI x
2
pU &dy
I
O
x+Ax
+ meoueo + r sAx& = O
(5 .18)
Al combinar las ecuaciones 5.17 y 5.18, dividir entre Ax& y hacer que Ax tienda a cero se obtiene (5.19)
m~
j!-- - I:!x- ---li
Figura 5.6. Balance de materia en un volumen de control.
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5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
179
ó
Tsl!.xl!.z IE--- - l!.x--
------>I
Figura 5.7. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control.
La expresión anterior constituye la ecuación integral de movimiento. Al examinar esa relación se deduce que, si se conociera el perfil adimensional de velocidad u/u=, la relación funcional para este perfil podría sustituirse en la ecuación 5.19, con el resultado de que podría determinarse el espesor de la capa límite hidrodinámica. Para el análisis aproximado en estudio supóngase el perfil de velocidad siguiente: (5.20) donde a, b, c y d son constantes desconocidas por el momento. No obstante, este perfil de velocidad debe satisfacer ciertas condiciones físicas. Por ejemplo, puesto que la velocidad relativa del fluido es igual a cero en la interfase, u=O
en
y =O
(5.21)
Por otra parte, la condición de continuidad en la velocidad al pasar del perfil dentro de la capa límite a la velocidad de corriente libre requiere que u
= u=
(5.22)
en
Otra condición podría incluir la continuidad de la tangente en el extremo de la capa límite, es decir,
au = 0
ay
(5 .23)
en
Es posible obtener otra condición de importancia al analizar la ecuación de movimiento 5.4. Puesto que u = v = O en y = O, en
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y =O
(5.24)
~'
180
5. Fundamentos de convección forzada
Al sustituir las condiciones 5.21 a 5.24 en el perfil de velocidad supuesto (ecuación 5.20) se obtiene que a = O, b = 3/2, e = O Y d = -112. Por tanto, (5 .25) Si introducimos esta relación funcional en la ecuación integral de movimiento se obtiene que, tras realizar la integración,
Separando variables,
Integrando,
Puesto que 8 = O cuando x
= O, se obtiene que el = O. Por tanto,
8=4.64~ VX
(5 .26)
u""
o, en términos del número de Reynolds local, 8
4.64
x
~Rex
(5 .27)
donde Rex = u""x/ v. Cabe apuntar que las ecuaciones 5.25 y 5.26 especifican por completo la distribución de velocidad u(x, y). Por otra parte, la relación funcional de la ecuación 5.27 es de la misma forma que la de la ecuación 5.10 que se obtuvo antes con el análisis de orden de magnitud. Como referencia histórica resulta interesante mencionar la solución numérica que desarrolló Blasius a principios del siglo XX para su tesis doctoral en Gotinga y que se muestra en la figura 5.8. En ella se observa que la velocidad adimensional u/uoo alcanza un valor de 0.99 cuando la variable y(uoo /VX)1I2 es equivalente a 5.0. Por consiguiente, el valor de la constante en la ecuación 5.27 que se obtiene mediante
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181
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
" 1.0
... .
x.d'l ~+
x:J'-
u~
+
x
••
[l/-o 0+
ir: I
0.5
O O
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+
....
~~.+ ~B~asius I
x"
0.332
1.~
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r ~
~x=1cm_
/
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• ..... o.,.(j'
1.4~vv
= 8 mis
2 2.5 4.05.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5-
l'J
~
'.
"
r lit
~¡'oo
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2
3
4
7
6
5
r ~ puooX X
J1.
Figura 5.8. Distribución de velocidad en la capa límite. (Fuente: A. J. Chapman, Heat Transfer, Macmillan, 1984.)
una solución exacta es de 5.0. Pese a que el perfil de velocidad propuesto en la ecuación 5.25 es hasta cierto punto arbitrario, el espesor de la capa límite obtenido difiere en magnitud con el resultado exacto sólo por 7%. Gracias a la extraordinaria simplicidad del método integral respecto a la complejidad del método exacto, el resultado es satisfactorio. Una vez calculada la distribución de la velocidad u(x, y) en el fluido, ahora podemos determinar el perfil de la temperatura T(x, y). A fin de hacer más sencillo el estudio, supondremos que /) > ~. Mediante un balance de energía en el volumen de control de la figura 5.9 se obtiene
r o
PUH&dY !
-
x
donde mT =
r o
r o
PUH&dY !
PU&dY !
x+~
x +~
-
+ mTH= + q;fu& = O
r o
PU&dY !
x
(5.28)
(5 .29)
Al combinar las ecuaciones 5.28 y 5.29, dividir entre && y hacer que & tienda a cero se obtiene
~ r~ pu(H= -H)dy = _q;l = kaT I dxJo ay y=o http://gratislibrospdf.com/
182
5. Fundamentos de convección forzada
.'
I
~
!'
., ji
l'
1, ji j'
,"
~I:
l.
I
~i
nnnnn Figura 5.9. Balance de energía en un volumen de control.
Puesto que H~ - H = cp(T~ - T),
-d
iD. u(T~ - T)dy = aaTIay y=o
dx o
(5.30)
La expresión anterior constituye la ecuación integral de energía. Ahora, para el análisis térmico aproximado supóngase la distribución de la temperatura siguiente en la capa límite térmica:
T__T;;T;; =A+B(L)+c(L)2 +D(L)3 L1 L1 L1
T~
(5.31)
donde A, B, C y D son constantes. El perfil supuesto debe satisfacer ciertas condiciones coherentes con el problema físico; por ejemplo, T = Ts T = T~
aT = 0
ay
en en en
y= O y = L1
y
= L1
(5 .32) (5.33)
\z34)
y si recurrimos a la ecuación 5.12,
aT =0 ay 2
-2
en
y=O
Al sustituir las ecuaciones 5.32 a 5.35 en el perfil 5.31 se obtiene que A C = O Y D = - 112. Por consiguiente,
(5.35)
= O, B = 3/2, (5 .36)
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5.1 . Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
183
Tal distribución de temperatura adimensional se muestra en el esquema de la figura 5.10. Para calcular el espesor de la capa límite térmica ahora debemos remplazar las distribuciones de velocidad y temperatura en la ecuación integral de energía. Sustituyendo entonces las ecuaciones 5.25 y 5.36 en la 5.30 y realizar la integración se obtiene U
_
-
~ [8(~~2 ~~4)] ~
~ dx
20
280
2~8
(5.37)
donde ~ = I:!J 8. Puesto que ~ < 8, el término que contiene ~ es insignificante en comparación con el que contiene f . Por tanto,
Al hacer la diferenciación,
~u (28~d~ + ~2 d8) = ~ 10
~
dx
dx
~8
o
Al sustituir el valor de 8 suministrado por la ecuación 5.26,
~3 + 4X~2 d~ =.!.i a dx
(5.38)
14 v
Pr> 1 u* =
u
Figura 5.10. Distribuciones adimensionales de temperatura y velocidad en la capa límite.
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184
5. Fundamentos de convección forzada
Si observamos que
la ecuación anterior se simplifiéa a (5.39) Si empleamos el factor de integración 1 = x - 3/4, (5040)
Como la placa en cuestión no necesariamente se encuentra a una temperatura Ts a lo largo de toda su superficie, supóngase que el calentamiento no principia sino hasta una distancia Xo, como se muestra en la figura 5.11. Entonces, al integrar la ecuación 5040 en estas condiciones se obtiene (5041)
En caso de que Xo
= 0, (5042)
donde
v a
cJl k
Pr=-= - P -
(5043)
~---=~
L2:
~~
•
Superficie a Ts
Figura 5.11. Placa plana en la que el calentamiento principia a una distancia xo.
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(
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar
185
se conoce como el número de Prandtl. Este parámetro relaciona las magnitudes relativas de la transferencia de cantidad de movimiento y de calor en el fluido. Es decir, asocia los espesores relativos de las capas límite hidrodinámica y térmica. Así, para Pr ::::: 1 se obtiene que 8 ::::: Ll. Por otra parte, para Pr > 1 se tiene que 8 > Ll, Y para Pr < 1, 8 < Ll. Cabe mencionar que un análisis exacto de la capa límite da como resultado un valor de 1 en la constante de la ecuación 5.42. El coeficiente de transferencia de calor h puede obtenerse a partir de la ecuación 5.16 después de que se conoce la distribución de la temperatura en el fluido, esto es, h
= - kdT/ dy! y =0 ~ _ T~
x
3k
3k
2Ll
2~8
--- -
-
(5.44)
donde hx denota el coeficiente local de transferencia de calor. Sustituyendo las ecuaciones 5.42 y 5.27 en la expresión anterior tenemos que' hx
= 0.332~ Re~2 Prl/3 x
(5.45)
o, en forma adimensional, (5.46) donde Nu x = hxxlk se conoce como el número de Nusselt. Para obtener el coeficiente promedio de transferencia de calor (5.47)
y por consiguiente, (5.48) Aun cuando la expresión anterior se dedujo para Pr > 1 (o 8> Ll), satisface para cualquier fluido cuyo número de Prandtl sea aproximadamente mayor a 0.7. Por fortuna, la mayor parte de los gases y líquidos pertenece a esta categoría, excepto los metales líquidos, que tienen números de Prandtl del orden de 0.01. En la figura 5.12 se ilustra una comparación de la ecuación 5.48 con datos experimentales ' El valor exacto de la constante en la ecuación 5.45 es 0.3312. Sin embargo, el análisis exacto de la capa límite aporta un valor de 0.332, el cual es esencialmente igual.
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186
5. Fundamentos de convección forzada
... . .
1000
,/
.
/ icuación 5.48
v .....
100
Pr == 0.73
•Dat!" 10
exrrrrn
10'
10'
Figura 5.12. Comparación de la ecuación 5.48 con datos experimentales. (Fuente: A. J. Chapman, Heat Transfer, Macmillan, 1984.)
obtenidos con aire para Pr = 0.73 . En virtud de que el análisis anterior supuso propiedades constantes, es recomendable que estas últimas se evalúen a la temperatura de película Tf , definida como el promedio aritmético de la temperatura de la superficie y del fluido. Es decir, (5.49)
Ejemplo 5.1.
Imagínese una placa de 0.1 m de longitud por 0.1 m de ancho a una temperatura de 80 oc. Se hace pasar agua sobre su superficie a una velocidad de 0.1 mis y 40 oC. Calcule el calor disipado por la placa. Supónganse las propiedades del agua siguientes a 60 oC: k = 0.651 W/mK, Pr = 3.02 Y v = 0.478 X 10-6 m2/s.
Solución Con objeto de determinar si el régimen es laminar, Re = u=L = (0.1)(0.1) = 2.09 X 10 4 L v 0.478 X 10-6 Puesto que el régimen es laminar, ahora puede emplearse la ecuación 5.48. Según esta relación,
NUL
=138.70
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(
187
5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción
Por consiguiente, hL
= NULk = (138.70)(0.651) = 902.94 W/ m 2 K L
(0.1)
y
q
= hA(Ts -
T~)
q
Ejemplo 5.2.
= (902.94)(0.01)(80 -
40)
= 361.18 W
Calcule el espesor de la capa límite hidrodinámica en x del ejemplo anterior.
= 0.1 m para la placa
Solución Según la ecuación 5.27,
5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción El análisis anterior demuestra con claridad la estrecha relación física entre el proceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido, por lo que puede intuirse que la transferencia de calor también se relaciona con la fricción de éste. Con el propósito de determinar esta posible relación física es conveniente definir el coeficiente local de fricción fx como fx
= r02
pu~
(5.50)
2
.
donde ro es el esfuerzo viscoso de corte sobre la superficie de la placa. Al insertar la ley de Newton de viscosidad en la expresión anterior tenemos que
f = ,udujayly=o x
pu;, 2
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188
5. Fundamentos de convección forzada
Por otra parte, si usamos la expresión para la distribución de la velocidad (ecuación 5.25) en combinación con la del espesor de la capa límite hidrodinámica (ecuación 5.26) se obtiene
Ix = 0.647Re~1/2 o, por conveniencia,
Ix = 0.323Re~1/2
(5 .51)
2
Definiendo ahora el número de Stanton como (5.52)
la ecuación 5.46 puede escribirse como (5.53) Si se compara el miembro derecho de las ecuaciones 5.51 y 5.53, se observa la gran similitud que existe. Nótese que las constantes difieren entre sí por menos de 3%, una pequeña diferencia que obedece a la naturaleza aproximada del método integral. Ante este hecho, ambas expresiones pueden igualarse, lo cual da como resultado St Pr 2/ 3 x
= Ix 2
(5 .54)
~
Esta relación entre la transferencia de calor y la fricción del fluido se conoce como analogía de Reynolds. Al examinar la ecuación 5.54, se observa que el coeficiente de película en una placa también puede determinarse en forma experimental sin que haya transferencia de calor mediante una medición de la fuerza de arrastre. Cabe apuntar que la analogía de Reynolds también es válida para el régimen turbulento en una placa.
Ejemplo 5.3.
Calcule la fuerza de arrastre en la placa del ejemplo 5.1 mediante la analogía de Reynolds. Supóngase que la densidad del agua es de 985.46 kg/m 3 y el calor específico de 4.1843 x 103 JlkgK.
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5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento
189
Solución Según los resultados del ejemplo 5.1 StL = ~ = 902.94 = 2.2 x 10-3 pCpu= (985.46)(4184.3)(0 .1) u opcionalmente,
Por otra parte,
= 9.19xlO-3 En consecuencia, 3
F = fLApU: = (9.19 x 10- )(0.01)(985.46)(0.1)2
2
2 F = 4.53xlO-4 N
5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento Como ya se dijo, el flujo dentro de la capa límite permanece laminar por una cierta distancia que depende de las propiedades y la velocidad del fluido. Sin embargo, el cociente de fuerzas viscosas a fuerzas inerciales disminuye conforme aumenta el espesor de la capa límite y el campo de flujo se hace turbulento. Aun en esas condiciones persiste un movimiento casi laminar en la vecindad inmedia-
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190
5. Fundamentos de convección forzada
ta de la superficie, como se observa en la figura 5.13. Esta porción de la capa límite turbulenta se conoce como subcapa laminar. Por otra parte, adentrándose más en el campo del flujo, se observa una capa de transición entre la subcapa laminar y la región turbulenta ~n donde se experimenta cierta turbulencia, pero la transferencia de calor y cantidad de movimiento en el nivel molecular aún son importantes. Aunque varias investigaciones han contribuido de manera considerable a un entendimiento fundamental del fluido turbulento, no han tenido éxito en la predicción analítica de los coeficientes de transferencia de calor y de fricción sin recurrir a la experimentación. Esta incapacidad estriba en la enorme complejidad del flujo turbulento, pues las fluctuaciones irregulares de velocidad sobrepuestas al movimiento principal del fluido no pueden describirse en forma analítica; precisamente estas fluctuaciones son las principales responsables de la transferencia de calor y de la cantidad de movimiento en este régimen. El coeficiente local de fricción para flujo turbulento en una placa plana está dado por la expresión empírica siguiente:
Ix = O.0592Re ~J/5
(5.55)
que concuerda con los resultados experimentales en el rango de números de Reynolds de 5 x 105 a 5 x 107.* El coeficiente de transferencia de calor puede calcularse
Subcapa laminar (a)
Id =
c:=Jc=2 ==:;~~~~00~t§capa
Régión turbulenta de transición
Subcapa laminar
(b)
Figura 5.13. Ca) Distintos regímenes de flujo en la capa límite de una placa plana. Ch) Perfil de velocidad en la capa límite turbulenta.
* Una ecuación más complicada propuesta por Schultz-Grunow que cubre todos los números Reynolds es de la forma:
f
= x
0.370 (loglO Re x )2.584
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5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento
191
con facilidad mediante la analogía de Reynolds. Si se supone que la capa límite turbulenta empieza en el extremo de la placa por donde el fluido incide u, opcionalmente, se desprecia la existencia de la capa límite laminar, es decir, L» XC' mediante la ecuación 5.54 se obtiene Nu
x
= Ix2
Re Pr 1/ 3 x
(5.56)
(5.57) En la ecuación 5.56 se observa que el coeficiente local de transferencia de calor en régimen turbulento disminuye proporcionalmente a lIxO. 2 con la distancia X, mientras que en el régimen laminar disminuye proporcionalmente a lIx°.5. Esto es, el coeficiente de transferencia de calor disminuye más rápido en el flujo laminar. Por otra parte, para un valor determinado del número de Reynolds, el coeficiente de transferencia de calor en régimen turbulento es mayor que en régimen laminar. Cabe recordar que las ecuaciones 5.56 y 5.57 ignoran la existencia de la capa límite laminar. Empero, ésta puede incluirse combinando las expresiones 5.51 y 5.55 en la analogía de Reynolds, es decir,
Al sustituir el valor de Xc
=5 x
105 v/u= y hacer la integración se obtiene (5.58)
Esta expresión es válida para 0.6 < Pr < 60, 5 X 105 < ReL < 108 . Debe apuntarse que las propiedades físicas del fluido en las ecuaciones 5.56 a 5.58 se evalúan a la temperatura de película T¡El espesor de la capa límite hidrodinámica puede calcularse fácilmente mediante la ecuación integral de movimiento (5.19). Si se supone que la porción laminar es insignificante, el perfil de velocidad (véase Shubauer, en la sección de bibliografía)
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192
5. Fundamentos de convección forzada
es de la forma u/uoo = (y/8)ln y el esfuerzo viscoso de corte en la interfase es de 0.0233puoo2 (v/uoo 8)114. El resultado que se obtiene es
(5 .59)
Queda como ejercicio que el lector demuestre esta expresión.
Ejemplo 5.4.
Imagínese una placa de 1 m de longitud por 1 m de ancho a una temperatura de 80 oc. Se pasa agua sobre su superficie a una velocidad de 1 mis con una temperatura de 40 oc. Calcule el calor que disipa por la placa. Supónganse las propiedades siguientes del agua a 60 oC: k = 0.651 W/mK, Pr = 3.02, v = 0.478 x 1(Yí m2/s.
Solución La expresión siguiente determina el número de Reynolds Re = uoo L V
=
(1)(1) 0.478 X 10-6
= 2.09 x 106
Puesto que el régimen es turbulento,
NUL
= 4825.08
Por tanto, h
L
= NuLk = (4825 .08)(0.651) = 3141.13 W/m2 K L
1
Por último, q
= hA (Ts -
Too)
q
= (3141.13)(1)(80 -
= 126 kW
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40)
5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante
193
5.4. Transferencia de calor en un dudo circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante El calentamiento o enfriamiento de un fluido al circular por el interior de un tubo constituye uno de los procesos de transferencia de calor más importantes. Normalmente los tubos se emplean en intercambiadores de calor, condensadores, evaporadores, colectores de energía solar, etcétera. Como se ilustra en la figura 5.14, el problema consiste en determinar mediante un análisis el coeficiente de transferencia de calor en un tubo de sección transversal circular donde el régimen es laminar y el campo de velocidad se ha desarrollado por completo, es decir, el perfil de velocidad u(x, r) que se establece de manera gradual a partir de la entrada del dueto como consecuencia de la capa límite, ya ha alcanzado una forma tal u(r) que no varía con la distancia axial x . Por otra parte, se supondrá que el flujo de calor por unidad de área en la superficie del tubo es constante y el perfil de temperatura también se ha desarrollado en su totalidad. En tales condiciones, un balance de cantidad de movimiento en el volumen de control que se muestra en la figura 5.15 indica que, en estado estable,
Al dividir esta expresión entre 2nl1rl1x y hacer que I1r y l1x tiendan a cero, se obtiene
.!!..-(rr ) = -r dp dr
dx
rx
(5.60)
Integrando esta expresión con respecto al radio, r
rx
dp r el = --+-
dx2
r
q~ = constante
1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
rhx
¡R
1 1 111 I 1 III I Figura ?14. Ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante.
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194
5. Fundamentos de convección forzada
/).x
Figura 5.15. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control.
Puesto que el esfuerzo viscoso de corte es de cero en el centro del tubo, o análogamente la velocidad es máxima, la constante el debe ser igual a cero. Por tanto, r
dp r
rx
=- - dx 2
(5.61)
En la figura 5.16 se muestra un esquema de la variación del esfuerzo viscoso de corte como función de la distancia radial. En esa figura se observa que el esfuerzo es máximo en la interfase sólido-fluido. La variación de la velocidad u con respecto al radio puede obtenerse sustituyendo la ley de Newton de viscosidad en la ecuación 5.61, esto es du dp r - J.l- =- - dr dx 2
Al integrar esta expresión con respecto al radio, dp r 2 u= - -+C dx 4J.l 2
Puesto que u
= O en r = R se obtiene __ dp R 2 C2 dx 4J.l
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5.4. Transferencia de calor en un ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante
'tmáx
195
= _ dp!i dx 2
Figura 5.16. Variación del esfuerzo viscoso de corte como función de la distancia radial.
En consecuencia, (5.62)
Como la velocidad del fluido es máxima en el centro del tubo,
(5.63) Una expresión para la velocidad promedio del fluido u puede obtenerse con sencillez mediante un balance macroscópico de materia en el tubo. Puesto que la densidad del fluido es constante,
rR
2
nR U = Jo u2nrdr
Al hacer la integración y simplificar se obtiene -
Umáx
u = ~-
2
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(5 .64)
196
5. Fundamentos de convección forzada
Figura 5.17. Perfil de velocidad del fluido en el interior de un tubo.
En la figura 5.17 se muestra un diagrama del perfil de velocidad del fluido en el interior del tubo. Hay que señalar que para tubos largos, donde los efectos de la entrada no son importantes, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es inferior a 2100, aproximadamente, esto es, Re = Dlil v < 2100 Y D es el diámetro interior del tubo. Una vez que se ha determinado la distribución de la velocidad, se procede a realizar un balance de energía en el volumen de control que se ve en el esquema de la figura 5.18. Recurriendo a la primera ley de la termodinámica,
p2rc!1ruH Ix - p2rcr!1ruH IX+UA A ~ + q;'2rcr!1x 1r - q;2rcr!1x 1r +ur A
=O
donde H es la entalpía del fluido y q ~ el calor por unidad de área conducido en la dirección radial. En este balance de energía se ha supuesto que la conducción de calor en la dirección axial, q~, es insignificante en comparación con la energía acarreada por el fluido como consecuencia de su velocidad, puB. Esta suposición no es cierta en el caso de fluidos lentos, cuando la conductividad térmica del fluido es muy alta o cuando se presentan ambas condiciones, como en el caso de los metales líquidos. Al dividir la expresión de arriba entre 2rc!1r!1x y hacer que !1r y !1x tiendan a cero, se obtiene
aH - -a (rqr") =O ax ar
- pru -
Puesto que aHlax = cpaTlax y
q; = - kaT/ ar , (5 .65)
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5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante
197
., q'''brrl'lxl r r+D.r
p2:rr.rl'l ruH lx
I'lx
Figura 5.18. Balance de energía en un volumen de control.
Puesto que el flujo de calor por unidad de área en la superficie del tubo q ~ es constante y se ha supuesto que el perfil de temperatura está desarrollado por completo,
dI' dx
= constante
(5.66)
lo que indica que laforma del perfil radial de temperatura no experimenta ningún cambio a medida que se incrementa la distancia axial. Integrando la ecuación 5.65 con respecto al radio se obtiene
dT = umáx R dT dr 2a dX Puesto que dT/dr
=
[(!.-) _!2 (!.-)3] + Cl R R R
°
en r = 0, la constante Cl debe ser igual a cero. Así,
dT dr
= umáx R 2a
dT dX
[(!.R-)_!2 (!.-)3] R
(5.67)
Al integrar de nuevo con respecto al radio, (5.68)
La ecuación anterior expresa la variación de la temperatura del fluido como función de la distancia radial r, en una posición x dada. Aun cuando se desconocen
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198
5. Fundamentos de convección forzada
las constantes aTlax y C2 , el coeficiente de transferencia de calor puede determinarse mediante la relación
(5.69)
donde Ts es la temperatura del fluido en la superficie interior del tubo y Tm es una temperatura media definida con la expresión
T
iR uTrdr
=-,-,0"--;0-_ _
(5.70)
SOR urdr
m
Esta temperatura media corresponde físicamente al valor de la temperatura que se obtendría en un recipiente si se encontrara el tubo en una posición x y el fluido que saliera se almacenara y mezclara perfectamente. Obsérvese que este valor de temperatura difiere del valor promedio en cualquier sección transversal del tubo. Al sustituir las ecuaciones 5.63 y 5.68 en la 5.70 y hacer las integraciones requeridas, se obtiene que la temperatura promedio está dada por la expresión siguiente: T = 7 um áx m 96 a
Por otra parte, al sustituir r
R2
aT + C ax 2
(5.71)
= R en la ecuación 5.68 se obtiene T s
=
3 um áx 16 a
R2
aT +c ax 2
(5.72)
De manera similar, si sustituimos r = R en la ecuación 5.67 tenemos umáxR aT -aT) _ -( ar R 4a ax
(5.73)
Por último, al sustituir las ecuaciones 5.71, 5.72 Y 5.73 en la 5.69 obtenemos
h=24 ~ 11R
o, en función del diámetro D del tubo, Nu = hD = 48 =4.364 k 11
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(5.74)
5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante
199
Cabe recordar que la expresión anterior implica que el régimen es laminar y que tanto el perfil de velocidad como el de temperatura se encuentran completamente desarrollados. Por otra parte, y como se mostró antes, el desarrollo de la capa límite térmica es muy diferente del de la hidrodinámica en el caso de fluidos cuyo número de Prandtl difiere de manera considerable de la unidad. Así, en el caso de fluidos viscosos en los que dicho número es muy superior a 1.0, la capa límite térmica se desarrolla lentamente con la distancia x del tubo, lo cual da como resultado que el perfil de temperatura se establezca en forma completa sólo a través de una parte significativa de la longitud total del ducto. En consecuencia, la ecuación 5.74 no concuerda de forma apropiada con los resultados experimentales en estas circunstancias. Un análisis detallado de la transferencia de calor en un tubo (véase Sellars, en la sección de bibliografía) indica que la solución asintótica 5.74 es válida para valores de xlRPe mayores o iguales a 0.25, donde la coordenada x se mide a partir del punto en que se aplica el flujo de calor y Pe = RePr es el número de Pedet. En la tabla 5.1 se muestran diferentes valores del número de Nusselt local para un ducto circular. Para valores pequeños de x/RPe, Knudsen y Katz (véase Knudsen, en la sección de bibliografía) sugieren la aproximación para el número de Nusselt local que se presenta en seguida: Nu x
=1.639(~)-1/3, ~ < 0.01 RPe
RPe
(5.75)
Del análisis anterior se desprende que la determinación analítica del coeficiente de transferencia de calor en un sistema dado constituye una tarea compleja en extremo.
Tabla 5.1. Números de Nusselt para un tubo circular (q~ x/RPe
O 0.002 0.004 0.010 0.020 0.040 0.100 00
= C).
Nux = hxD/k 00
12.00 9.93 7.49 6.14 5.19 4.51 4.36
(Fuente: W. M. Kays y M. E. Crawford, Convective heat and mass transfer, 3a. ed., McGraw-HiJl, Nueva York, 1993).
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200
5. Fundamentos de convección forzada
En virtud de que ya se tienen los fundamentos para determinar mediante análisis el coeficiente de transferencia de calor en geometrías relativamente sencillas, a continuación se presenta una síntesis de fórmulas prácticas de trabajo para el cálculo del coeficiente de película, las s;uales se basan primordialmente en observaciones experimentales.
5.5. Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos 5.5.1. Régimen laminar En el caso de un tubo circular donde la temperatura de la pared es constante, Hausen (véase sección de bibliografía) recomienda la expresión empírica siguiente para calcular el valor promedio del número de Nusselt: Nu = hD = 3.66 + k
0.0668(DIL)Pe 1 + 0.04[( DI L )Pe ]2 /3
(5.76)
donde D es el diámetro interior del tubo y L su longitud. Obsérvese que la solución asintótica para longitudes suficientemente grandes es igual a 3.66. Las propiedades físicas en la ecuación 5.76 se evalúan a la temperatura media del fluido.
5.5.2. Régimen turbulento Para un flujo turbulento desarrollado por completo en tubos lisos, Dittus y Boelter (véase sección de bibliografía) sugieren la correlación siguiente: hD 08 Nu = - = 0.023Re . Pr n k
(5.77)
Las propiedades en esta expresión se evalúan a la temperatura media del fluido y el exponente n adquiere un valor de 0.4 para calentamiento o 0.3 para enfriamiento. De la ecuación 5.77 se observa que el coeficiente de transferencia de calor es directamente proporcional a la velocidad pr.omedio del fluido elevada a la poten- ' cia 0.8, e inversamente proporcional al diámetro del tubo elevado a la 0.2. De aquí que para un flujo de masa dado, un incremento en el diámetro del tubo reduce el coeficiente de transferencia de calor proporcionalmente a l/D1.8. De lo anterior se concluye que el uso de tubos de diámetro pequeño conduce a valores altos del coeficiente de transferencia de calor. Sin embargo, los costos de bombeo también son elevados en tales circunstancias.
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201
5.5. Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos
La ecuación 5.77 es aplicable a fluidos cuyos números de Prandtl varían entre 0.6 y 160, aproximadamente, yen situaciones donde la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido es moderada. En la figura 5.19 se muestra una comparación de datos experimentales con los resultados aportados por la ecuación 5.77. Para tener en cuenta las variaciones en las propiedades físicas del fluido cuando la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido es grande, Sieder y Tate (véase sección de bibliografía) recomiendan la expresión siguiente: (5.78)
donde todas las propiedades se evalúan a la temperatura media del fluido, con excepción de la viscosidad Jis' la cual se evalúa a la temperatura del tubo. Esta relación es válida para ReD> 10 000 Y 0.7 < Pr < 16700. En el rango de números de Prandtl para gases, 0.5 a 1.0, Rohsenow y Hartnett (véase sección de bibliografía) presentan las dos expresiones siguientes para situaciones donde el flujo de calor por unidad de área o la temperatura de la superficie del tubo son constantes. Respectivamente, (5.79) (5.80)
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Figura 5.19. Correlación de datos experimentales para convección forzada en tubos lisos y con régimen turbulento. (Fuente: J. P. Holman, Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1986.)
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.'
202
5. Fundamentos de convección forzada
Obsérvese que en este rango de números de Prandtl empieza a experimentarse una diferencia susceptible de medir entre las dos condiciones de frontera, esto es, qs "= e o Ts = C. Por otra parte, para metales líquidos (números de Prandtl muy pequeños), dos expresiones muy populares so~ la ecuación de Lyon paraflujo de calor constante y la de Seban-Shimazaki para temperatura constante en la superficie del tubo. Éstas son, respectivamente, -
Nu q;'= e = 7.0 + 0.025Pe .
08
(5.81)
-
08
(5.82)
NuT, = e = 4.8 + 0.025Pe .
. /
En esas expresiones se evalúan las propiedades físicas del fluido a la temperatura media. Cabe mencionar que si el fluido fluye por un ducto de sección transversal no circular, las correlaciones de transferencia de calor para un ducto circular de diámetro interior D pueden extenderse con frecuencia a tales ductos si se emplea el diámetro hidráulico D h , definido como
_ 4A Dh P
(5.83)
don de A es el área de sección transversal al flujo y P es perímetro mojado por el fluido.
Ejemplo 5.5.
Haciendo circular agua por el interior de un tubo de cobre de 5 cm de diámetro interior se desean calentar 100 kg/min de agua hasta 60 oc. El agua tiene una temperatura de 20 oc. La superficie del tubo se mantiene a 100 oC condensando vapor por el exterior. Determine la longitud necesaria del tubo. Las propiedades del agua a 40 oC son: p = 994.59 kg/m 3, cp = 4.1784 X 103 J/kg K, V = 0.658 X 10-6 m2/s, k = 0.628 W/mK y Pr = 4.34.
Solución Aplicando la primera ley de la termodinámica a todo el tubo,
Despejando la longitud L ,
(a)
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203
5.6. Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos
Para determinar si el régimen es laminar o turbulento, Re = Dii = 4m = (4)(100/ 60) v nDpv (n)(0.05)(994.59)( 0.658 x 10-6 ) Re = 64851.33 Según la ecuación 5.77,
= 0.023(64851.33 )0.8(4.34 )0.4 Nu=292.59 Por tanto,
h = Nuk D
= (292.59)(0.628) = 3674.93 W/m2 K 0.05
Al sustituir valores en la expresión (a) ,
L
(100/ 60)(4.1784 x 103 )(60 - 20)
= - - --'---------'--- -
(n)(0.05)(3674.93)(100 - 40) L = 8.04 m
5.6. Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos En el caso de gases y líquidos que fluyen en forma transversal por un cilindro de diámetro exterior D, Hólman (véase sección de bibliografía) indica que el coeficiente promedio de transferencia de calor puede determinarse mediante la relación siguiente: (5.84)
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204
5. Fundamentos de convección forzada
donde Re = uooD/v; las constantes e y n aparecen tabuladas en la tabla 5.2. Las propiedades físicas del fluido se evalúan a la temperatura de película. En la figura 5.20 se muestra la variación del número de Nusselt como función del número de Reynolds para el aire. Tabla 5.2. Constantes para usarse con la ecuación 5.84.
Re
e
n
- 4 0.4 4 40 - 4000 40 40000 4000 40000 400000
0.989 0.911 0.683 0.193 0.0266
0.330 0.385 0.466 0.618 0.805
Debido a la enorme cantidad de fórmulas empíricas de las que dispone el ingeniero para calcular el coeficiente de transferencia de calor en una situación concreta, se sugiere consultar las referencias que aparecen al final del capítulo para obtener una información detallada. En particular se recomiendan las obras de
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0.7 0.6 -R= T,
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0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
p = 12 - 1, T, -I,
Figura 8.8. Factor de corrección para un intercambiador de calor con dos pasos de coraza y 4, 8, etc., pasos de tubos.
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239
8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas 1.0
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p= 12 - 11 T1 -I,
Figura 8.9. Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales y ambos fluidos sin mezclar.
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0.9 0.8 F
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0.4
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o
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\ 0.3
\
\ 1\
\
0.5
0.6
0.7
0 .8
0.9
1.0
p_ 12 - 1, - T, - 1,
Figura 8.10. Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales con un fluido mezclado y otro sin mezclar.
Ejemplo 8.1.
Determine el área de transferencia de calor necesaria en un intercambiador de calor de flujos en paralelo y un paso de tubos de cobre de 2.54 cm de diámetro exterior y calibre 18 BWG, si se desea enfriar 1000 kg/h de aceite (cp = 2 J/gK) de 80 a 60 oc. Para lograr el enfriamiento se dispone de 1 000 kg/h de agua (cp = 4.18 J/gK) a 25 oC. Supóngase que el coeficiente total de transferencia de calor basado en el área exterior de los tubos es de 500 W/m2K.
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240
8. Intercambiadores de calor
Solución Según los datos del problema,
q=11111.1W
Por otra parte, puesto que el calor que cede el aceite se transfiere al agua de enfriamiento,
y
Sustituyendo valores, T f2
= 25+ (1000)(2) (80 - 60) = 34.57 0 C (1000)(4.18)
Según la ecuación 8.12, ¡}.T = (60 - 34.57) - (80 - 25) = 38 33 oC Rn (60 - 34.57) . (80 - 25)
Por tanto, al aplicar la ecuación 8.1, A=
Ejemplo 8.2.
q = 11111.11 = 0.58 m 2 U¡}.T (500)(38.33)
Supóngase que en vez de emplear el intercambiador de calor del ejemplo 8.1 se emplea uno de: a) Flujos opuestos. b) Tipo de coraza y tubo con dos pasos de tubos por donde circula el agua.
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241
8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas
Si el coeficiente de transferencia de calor se mantiene en 500 W/m2K, determine el área de transferencia de calor necesaria en ambas geometrías.
Solución a) Si el intercambiador de calor es de flujos opuestos la ecuación 8.12 indica que I1T log
= (60 - 25) - (80 - 34.57) = 40 12 oC (60 - 25) .
.en..,-'--_-"--:(80 - 34.57)
Por tanto, de acuerdo con la ecuación 8.1, A=
=
q U I1Tl og
11111.11
= 0.55m 2
(500)( 40.12)
b) Ahora el problema puede resolverse mediante la ecuación 8.14 determinando el factor de corrección F apropiado. Según los parámetros de la figura 8.7 se
tiene que:
= 80 oC T2 = 60 oC t i = 25 oC t2 = 34.57 oC
TI
p = 34.57- 25 = 0.17
80 - 25 R = 80 - 60 = 2.09 34.57 - 25
Por consiguiente, de la figura citada se obtiene que F = 0.99, Y al aplicar la ecuación 8.14, A=
q UFI1Tl og
=
11111.11 = 0.56m 2 (500)(0 .99)(40.12)
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242
8. Intercambiadores de calor
8.2. El método efectividad-número de unidades de transferencia El método de análisis térmico recién 'descrito, con frecuencia conocido sencillamente como método de la diferencia media logarítmica de temperaturas, es de suma utilidad cuando se conocen todas las temperaturas de los fluidos en las entradas y salidas del intercambiador de calor o cuando pueden calcularse sin problema con un balance de energía. En estas condiciones la diferencia media logarítmica de temperaturas puede evaluarse sin ninguna dificultad, pudiéndose así determinar fácilmente el área de transferencia de calor que se requiere, el flujo de calor transferido, o el coeficiente total de transferencia de calor. Sin embargo, en ciertas circunstancias las temperaturas de los fluidos en las salidas constituyen las incógnitas en un intercambiador de calor determinado, por lo que el análisis térmico mediante la diferencia media logarítmica de temperaturas es de naturaleza repetitiva y requiere tanteos. En estos casos es más conveniente emplear un niétodo de análisis térmico basado en la efectividad que tiene un intercambiador de calor para transferir energía. Tal método se conoce como el método efectividad-número de unidades de transferencia y se describe a continuación. Para este fm debemos defmir la efectividad de un intercambiador de calor como: Flujo real de calor transferido Efectividad = - -- - -=------ - -- - - - - Máximo flujo de calor que podría transferirse
o E= - q-
(8.15)
qmáx
El flujo real de calor transferido en el intercambiador puede calcularse con facilidad mediante balances de energía en los fluidos caliente y frío. Así, para un intercambiador de calor conflujos en paralelo: (8.16) Del mismo modo, para el de flujos opuestos: (8.17) Con objeto de determinar el máximo flujo de calor que podría transferirse, considérese el intercambiador de calor de flujos opuestos cuyos perfiles de temperatu-
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8.2 El método efectividad-número de unidades de transferencia
243
ra se muestran en el esquema de la figura 8.6, donde la producción de entropía puede hacerse mínima (véase sección de bibliografía). Una inspección de la figura citada revela que el máximo flujo de calor podría transferirse si uno de los dos fluidos, el caliente o el frío, sufriera un cambio de temperatura igual a la máxima diferencia de temperaturas presente en el intercambiador de calor. Esa diferencia máxima corresponde justamente a la diferencia de temperaturas con que entran ambos fluidos en el intercambiador de calor. Por otra parte, el fluido que podría experimentar tal diferencia máxima de temperaturas sería el que tuviera la capacidad calorífica C mínima entre los dos. Este valor debe ser el mínimo, puesto que un balance de energía precisa que el flujo cedido por uno de los fluidos sea absorbido por el otro. Por consiguiente, el máximo flujo de calor que podría transferirse en un intercambiador está dado por la expresión siguiente: qmáx = Cmin (I;;,ent - T¡ ,en!)
(8.18)
Así, para un intercambiador de calor con fluidos en paralelo donde el fluido caliente o frío tiene la capacidad calorífica mínima, (8.19)
(8 .20)
En forma semejante, para un intercambiador de calor conflujos opuestos donde el fluido caliente o frío tiene capacidad calorífica mínima, (8 .21)
(8 .22) Nótese que las efectividades E e y E ¡ se relacionan entre sí a través del cociente de capacidades caloríficas C* = Cmín/Cmáx. Por otra parte, la efectividad de un intercambiador de calor no es efectividad de temperaturas sino para transferir calor. Este parámetro depende del tamaño del intercambiador de calor o de su área de transferencia, de la resistencia térmica entre ambos fluidos y de las capacidades
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244
8. Intercambiadores de calor
caloríficas de éstos. Estas variables pueden agruparse en forma adimensional mediante el número de unidades de transferencia de calor en el intercambiador, esto es, N
:!:
UA
C.
ut
(8.23)
mm
A la luz de las variables anteriores conviene ahora establecer una relación entre la efectividad E, el número de unidades de transferencia N ut Y el cociente de capacidades caloríficas C*. Una ventaja de una correlación de este tipo se evidenciaría en el hecho de que, para una geometría determinada de intercambiador de calor en la que se conocieran los flujos de masa de cada uno de los fluidos y sus capacidades caloríficas correspondientes, área y coeficiente total de transferencia de calor, las temperaturas de los fluidos a su descarga podrían obtenerse fácilmente con sólo conocer las de entrada, sin tener que recurrir a ningún proceso de cálculo tedioso. Si se toma como referencia un intercambiador de calor de flujos en paralelo donde arbitrariamente Ce = Cmín (suposición carente de trascendencia en la generalización de los resultados), la ecuación 8.8 puede rescribirse como
o ~2
-
~l
- Tfl
Tf2
= e -NuJl+C' )
(8.24)
Por otra parte, al combinar las ecuaciones 8.16 y 8.19 se obtiene
_~_2_-_T-,-f_2 = 1- E (1 + C* ) ~l
- Tfl
(8.25)
Al sustituir esta última expresión en la ecuación 8.24 vemos que, para un intercambiador de calor conflujos en paralelo,
E
= 1-e
-Nu,(l+C' )
- - -- : ¡ ; - - -
l+C*
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(8.26)
245
8.2 El método efectividad-número de unidades de transferencia
En la figura 8.11 se muestra en forma gráfica la ecuación 8.26. En el caso en que C* = O, que corresponde físicamente a un condensador o un evaporador, el valor asintónico de la efectividad máxima es de 100%. En estas circunstancias la ecuación 8.26 se reduce a: E=l-e- Nu,, C* =0
(8.27)
Por otra parte, cuando ambos fluidos tengan la misma capacidad calorífica, es decir, C* = 1, la efectividad máxima del intercambiador de calor tiene como límite máximo un valor de 50%. En este caso la ecuación 8.26 se reduce a:
E=
1- e-2Nu ,
2
(8.28)
, C* = 1
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Figura 8.11. Efectividad para un intercambiador de calor con flujos en paralelo.
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246
8. Intercambiadores de calor
Mediante un análisis similar al antes descrito puede mostrarse que, para un intercambiador de calor conflujos opuestos,
-Nu,(l-C*) 1- e -------,---,-,-1- C* e- N u, (l-C')
(8.29)
E= -· -
En la figura 8.12 se muestra en forma gráfica la ecuación 8.29. Obsérvese que para todos los valores del cociente C* la efectividad tiende a la unidad (o 100%) cuando el número de unidades de transferencia es grande. Ésta es una consecuencia directa, por supuesto, de la definición de la efectividad. Cuando C* = O, la ecuación 8.29 se reduce a
E= l - e- Nu , , C* = 0 Del mismo modo, cuando C*
(8 .30)
= 1, la ecuación 8.29 se simplifica a E=
N ut l + N ut
C*
=1
(8.31)
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Figura 8.12. Efectividad para un intercambiador de calor con flujos opuestos.
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247
8.2 El método ef ectividad-número de unidades de transferencia
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Figura 8.13. Efectividad para un intercambiador de calor de flujos transversales con un fluido mezclado y el otro sin mezclar.
Nótese que, como era de esperarse, las ecuaciones 8.27 y 8.30 son idénticas. Pueden desarrollarse expresiones similares a las ecuaciones 8.26 y 8.29 para otras geometrías de intercambiadores de calor (véase la sección de referencias más adelante). En las figuras 8.13 a 8.16 se muestran ejemplos típicos de la variación de la efectividad como función del número de unidades de transferencia para distintos valores del cociente de capacidades caloríficas en diferentes intercambiadores de calor.
Ejemplo 8.3.
Considérese un intercambiador de calor del tipo de coraza y tubo donde se tienen dos pasos de tuDOS. El área de transferencia de calor es de 5 m2 y se sabe que el coeficiente total de transferencia de calor es de 1200 W/m2 K. Si entran por los tubos 10 000 kg/h de agua a 25 oC, mientras por la parte de la coraza entran 5000 kg/h de agua a 90 oC, determine las temperaturas del agua a la salida del intercambiador de calor. Supóngase que el calor específico del agua es de 4.18 J/gK.
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248
8. Intercambiadores de calor
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Figura 8.14. Efectividad para un intercambiador de calor de flujos transversales con fluidos sin mezclar.
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Una coraza 2. 4.6 etc., pasos de tubos 100
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Figura 8.15. Efectividad para un intercambiador de calor de coraza y tubo.
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8.2 El método efectividad-número de unidades de transferencia
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Figura 8.16. Efectividad para un intercambiador de calor de coraza y tubo.
Solución Según los datos del problema, Crnín = (5 000/3 600)(4.18 x 103)
= 5 805.56 W/K
Cmáx = (10 000/3600)(4.18 x 103) = 11 511.11 W/K C*
= 0.5
Por otra parte, N
ut
=
VA
= (1
Crnín
200)(5) 5 805.56
De acuerdo con la figura 8.15 se obtiene que 0.54 =
E
90-T
= 0.54 (54%). Por tanto,
c,sal
90-25
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= 1.03
250
8. Intercambiadores de calor
o ~ sal
= 54.9 oC
Mediante un balance de energía,
c* = TI, sal ~, ent
TI,ent
-
~,sal
Sustituyendo valores, 25 90-54.9
TI
sal -
0.5 = --"-'...'~-
o TI , sal
= 42.55 oC
8.3. Diseño o 'selección de un intercambiador de calor La decisión sobre la selección o diseño de un intercambiador de calor es particularmente compleja al haber distintas opciones. Las soluciones de los ejemplos 8.1 y 8.2 evidencian el hecho de que diferentes geometrías de intercambiadores de calor pueden realizar la misma función térmica específica. Por otro lado, y como se comentó antes, la decisión final depende de numerosos factores ajenos a la transferencia de calor en sí, por ejemplo, el costo, el espacio, las caídas de presión, etcétera. Con objeto de que el ingeniero pueda tener acceso a todas estas variantes y factores, la simulación por computadora del comportamiento de un intercambiador de calor es muy atractiva. Mediante una simulación matemática de tal naturaleza puede predecirse un sinnúmero de opciones, sin necesidad de recurrir a la experimentación, lo cual proporciona la selección más apropiada. Sin embargo, sólo es posible predecir con exactitud el comportamiento de un intercambiador libre de depósitos o suciedad, ya que estas variables hacen que la resistencia térmica entre los fluidos o el coeficiente total de transferencia de calor varíe con el tiempo. La resistencia térmica que originan estos depósitos sólo puede determinarse de forma experimental mediante pruebas específicas. En ausencia de estos datos experimentales puede estimarse la resistencia a través de datos aproximados. En la tabla 8.1 se enumeran algunos factores de suciedad para fines de estimación.
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251
Problemas
Tabla 8.1. Factores de suciedad.
Tipo de fluido
Factores de suciedad x
Agua de mar por debajo de 52 oC Agua de mar por encima de 52 oC Agua tratada de alimentación a una caldera por encima de 52 oc Aceite combustible Aire industrial Líquido refrigerante
0.88 1.76
]04,
m2KJW
1.76 8.81 3.52 1.76
Problemas 1. Se desea calentar 75 kg/min de agua de 50 a 80 oc mediante un aceite con un calor específico de 1.9 J/gK. El intercambiador de calor que va a usarse es de doble tubo con flujos opuestos. El aceite debe entrar a 110 oC y salir a 70 oc. Se estima que el coeficiente total de transferencia de calor es de 350 W/m2 K. Calcule el área de transferencia de calor. 2. Se calienta agua a razón de 15000 kg/h de 38 a 55 oC en un intercambiador de calor de coraza y tubo. El fluido caliente que circula por la coraza es agua que entra en el intercambiador a una temperatura de 94 oC y a una razón de 7500 kg/h. El coeficiente total de transferencia de calor basado en el diámetro interior de los tubos se estima en 1400 W/m2K y la velocidad promedio del agua en el interior de los tubos de 1.91 cm de diámetro interior es de 0.37 mis. Debido a limitaciones de espacio el intercambiador de calor no debe tener una longitud superior a 2.5 m. Calcule el número de pasos de tubos, el número de tubos por paso y la longitud de los tubos. 3. Se desea calentar 250 kg/h de agua de 50 a 90 oC con aceite (cp = 2 J/gK). Para este proceso se dispone de aceite a 180 oC con un flujo de masa de 250 kg/h, así como de dos intercambiadores de calor de doble tubo: a) A
= 0.50 m2
u= 570W/m2K b) A = 1.00 m2 U= 370W/m2K
¿Qué intercambiador de calor seleccionaría? 4. Derive la ecuación 8.12 suponiendo que el intercambiador de calor es de doble tubo con flujos opuestos.
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8. Intercambiadores de calor
5. A partir de principios básicos obtenga la ecuación 8.29. 6. Se diseña un condensador de vapor con las especificaciones siguientes: a) Tipo de coraza y tubo. b) Dos pasos de tubos.
c) Tubos de cobre, calibre 18 BWG de 19 mm de diámetro exterior. á) Longitud = 2.5 m. e) 220 tubos/paso. 1) Velocidad promedio del agua = 1.5 mis. g) Temperatura del agua a la entrada = 22 oc. ¿Cuántos kilogramos por hora de vapor saturado seco a 0.05 bar se condensarán? 7. Se desea calentar 4500 kg/h de benzeno (cp = 1.78 J/gK) de 27 a 50 oC con tolueno (cp = 1.84 J/gK), que se enfría de 71 a 38 oc. Si se emplea un intercambiador de calor de doble tubo con flujos opuestos, a) Determine la diferencia media logarítmica de temperaturas. b) ¿Es posible usar el intercambiador con flujos en paralelo?
Bibliografía Jakob, M., Heat Transfer, vol. 2, Wiley, Nueva York, 1957. Kays, W. M. y A. L. London, Compact Heat Exchangers, McGraw-Hill, Nueva York, 1984. Kem, D. Q., Process Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1950. Manrique, J. A. Y R. S. Cárdenas, Digital Simulation of a Regenerator, Proceedings of the Fifth International Heat Transfer Conference, Tokyo, 1974. - -, Termodinámica, Oxford University Press, México, 2000.
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9. Principios de radiación _ _ _ _ __ El calor del universo es producido por el Sol. LEONARDO D A V INe!
A diferencia de los mecanismos de transferencia de calor por conducción y convección en los que el transporte de energía requiere de un medio para llevarse a cabo, el calor puede propagarse por radiación incluso en el vacío. Aun cuando no se entiende por completo el mecanismo físico de la radiación en cuanto a si ésta es transportada por ondas electromagnéticas o por fotones, sí se sabe que viaja en el vacío a la velocidad de la luz. La radiación térmica se define como la energía radiante emitida por un medio como consecuencia de su temperatura, y la escala de longitudes de onda, como se muestra en el espectro de la figura 9.1, usualmente está comprendida entre 0.1 y 100 11m. En esta escala se encuentra parte del ultravioleta (A, < 0.38), la región visible (0.38 < A, < 0.78) Y parte del infrarrojo (A, > 0.78).
9.1. Radiación de un cuerpo negro Un cuerpo negro es el que emite y absorbe la máxima cantidad posible de radiación a cualquier temperatura y en cualquier longitud de onda. Dicho de otro modo, es un estándar con el que pueden compararse las características de radiación de otros cuerpos. Puesto que un cuerpo negro es por definición un absorbedor perfecto, toda la radiación que incide sobre él es absorbida sin importar la longitud de onda. En consecuencia, ninguna fracción de tal radiación se refleja o transmite a través del cuerpo negro. Precisamente esta ausencia de reflexión es la que da origen a su nombre de cuerpo negro, pues aunque es un estándar teórico, el ojo humano lo percibiría como tal. Sin embargo, debe hacerse hincapié en que el ojo humano no es de ninguna manera un indicador confiable de la capacidad de absorción de radiación que tiene un medio; por ejemplo, la pintura blanca es un buen reflector de la radiación en la escala visible, pero también un buen absorbedor de la radiación en el infrarroj('), y el ojo humano, debido a sus limitaciones, es incapaz de identificar ese fenómeno. A mayor abundamiento sobre las propiedades del cuerpo negro, Max Planck desarrolló en 1900, mediante principios de teoría cuántica, una relación para la
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9. Principios de radiación 10-7
10--6
I
I
10-5 I
10""
10- 3
I
I
10-2 I
10-1
Ultra-I violeta
Rayos y
10 I Infrarrojo
I
Microondas
I
Visible Rayos X
1--1
I
Radiación térmica
I
Figura 9.1. Espectro de radiación.
potencia emisiva espectral, o monocromática, de un cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas temperaturas. Según la ley de Planck, (9.1)
donde ebJe
= potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro a una temperatura T, en W/m 2J.Lm
A = longitud de onda, en J.Lm T = temperatura absoluta del cuerpo negro, en K C l = 3.742 X 108 WJ.Lm4/m 2 C2 = 1.439 X 104 J.LmK En la figura 9.2 se muestra la variación de la potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas temperaturas. A partir de la distribución de Planck puede determinarse a cada temperatura la longitud de onda donde la potencia emisiva monocromática es máxima. Según la ley de desplazamiento de Wien,
Amáx T = 2897.8 J.LmK
(9.2)
En la figura 9.3 se ilustra la misma distribución espectral de la figura 9.2, excepto que la ordenada se encuentra normalizada. Obsérvese que a una temperatura de 6000 K, la cual representa una aproximación de la temperatura de la superficie del Sol, alrededor de 47% de la energía radiante se ubica en el rango visible (0.38 a 0.78 J.Lm). Por otra parte, a bajas temperaturas prácticamente toda la radiación cae dentro del infrarrojo. En las figuras 9.2 y 9.3 se muestra claramente la sensación óptica de diferentes colores producida por los metales en tratamientos térmicos.
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9.1. Radiación de un cuerpo negro 10' E
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Figura 9.2. Potencia emisiva espectral de un cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas temperaturas.
Así, a temperaturas del orden de 1000 K, la cantidad de radiación emitida es suficiente para que a la vista el color del metal aparezca rojizo. Por otra parte, a medida que la temperatura aumenta, cae más radiación en el rango visible y el metal cambia su color, tomándose cada vez más brillante. La potencia emisiva total emitida por un cuerpo negro a lo largo de todo el espectro de longitudes de onda puede calcularse integrando la ley de Planck, es decir, oo
= fo eh;" dA
eh
(9.3)
= CJT 4
eh 1.0 0.8
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