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Trabajo grupal N° 1

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS ´´Decana de América´´ Curso: Variable Compleja Título: Trabajo grupal N°1 Docente: Castro Vidal Raúl Facultad: Ingeniería Electrónica y Eléctrica Ciclo: 2019-1 Integrantes: Grupo 7 De la cruz Arana Fidel Fausto

17190237

Miranda Velita Pedro Anthony

17190076

Ramirez Fernandez Rocky

17190168

Salas Curo Jorge Leonardo

17190294

Sanchez Ramos Richard Gerson

17190278

Trabajo grupal N° 1

Indice: Introducción Sistema de números complejos 1. Ejemplos Aplicaciones en la Ingeniería 1. Resumen 2. Ejemplos 3. Importancia Funciones complejas elementales

Trabajo grupal N° 1

TRABAJO GRUPAL N°1 I.

Introducción

A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Él sugirió que el número 40 podía escribirse como: 40= (5+√−15) (5−√−15). Se intentaron dar solución a ecuaciones tales como: x^2+1=0, entonces surge la necesidad de ampliar a un nuevo sistema que resolviera estas situaciones. Así comienza el conjunto de números complejos El matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo “i” y formuló la expresión: x^2=−1 que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas. El Matemático alemán Carl F. Gauss (1799), demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que afirma que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. “a” es la parte real de z y “b” es la parte imaginaria, se representará por: a= Re(z) b= Im(z)

II.

Sistema de números complejos

Es el conjunto formado por todos los números complejos, junto con las operaciones básicas que cumplen ciertas propiedades. Simbólicamente se escribe C = (a+, …. =√-1) Ejemplo son números complejos Z= 2+ 5i Z=-7 Z= -6-5i Z=10i A continuación, citamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: ix-3y =-7+2i ……i)

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4x+(1-i)y = 10+2i……ii) Procedemos a resolver -4ix+12y= 28-8i

multiplicamos x(-4) en i)

4ix + (i- i 2 )y = 10i + 2i 2

multiplicamos x(i) en ii)

-4ix+12y = 28-8i 4ix+(1+i)y= -2+10i (13+i)y = 26+2i 26 +2i 13+i

Y=

=

2(13+i) 13+i

.

−i −i

ix-3.2= -7+2i ix =-7+6+2i ix=-1+2i −1+2 i i

x=

x = 2+i Ejemplo 2: Resolver (2+i)x+2y=1+7i….i) (1-i)x + iy = 0…….ii) Procedemos a resolver (2+i)x+2y= 1+7i 2y =1+7i – x(2+i) y=

1+7 i−2 x−xi 2

……iii)

Luego remplzamos iii) en ii) (1-i)x+iy= 0 (1-i)x+i(

1+7 i−2 x−xi )=0 2

=2

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−i+7+2 xi−x 2(1−i)

X=

X=1+i…iv) Remplazamos iv) en i) (2+i)x+2y = 1+7i (2+i)(1+i) + 2y = 1+7i 2y = 1+7i -3i -1 2y =4i Y=2i, Entonces los valores que toma son: x=1+i, y = 2i.

III.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS EN LA INGENERIA

1. RESUMEN:

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real, y la parte imaginaria. Estos números sirven para resolver determinados problemas de la vida real en los que aparecen intermediarios con raíces negativas y cuyo uso de los números imaginarios consigue resolver ecuaciones. Estos casos son muy frecuentes en los campos de la electricidad y la telemática, aunque también aparecen a menudo en mecánica cuántica y en general en los sistemas que describen un movimiento sinusoidal. 2. EJEMPLOS: • Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. • En ingeniería química se usa el número i ya que aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la explicación de la teoría cuántica del átomo.

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• En ingeniería aeronáutica el análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado para el diseño de alas de avión. Y en aerodinámica para hallar la cantidad de velocidad de una corriente, Se utilizan los números complejos en todas las ingenierías que usan ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficiente constante, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas). • En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y para poner en números el comportamiento de los fluidos. • Los ingenieros industriales hacen uso de una gran cantidad de números complejos, que se aplican en comunicaciones alámbricas e inalámbricas, ya que las soluciones a las ecuaciones envuelven números imaginarios. • En ingeniería en sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta herramienta se emplea para las aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos. • En ingeniería civil las componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas, estudio de ondas y además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor. Además, permiten calcular y las distintas variables o valores de diseño con los que se va a construir un proyecto, como, por ejemplo, cálculos de estructuras, resistencia de materiales a utilizar. 3. IMPORTANCIA: La importancia de los números complejos radica en sus variadas aplicaciones en diversas áreas como las Matemáticas, la Física, la Ingeniería y la Tecnología. El uso de números complejos es fundamental para la resolución de ecuaciones algebraicas en las que la solución es la raíz de un número negativo. La implementación de los números complejos tiene gran relevancia en todas las áreas ya mencionadas, ya que te proporciona herramientas de trabajo para resolver ecuaciones que no tenían solución en el dominio de los números reales. Sin estos números complejos o imaginarios nos sería imposible resolver problemas a los que nos enfrentamos los ingenieros y el avance tecnológico, la fabricación, elaboración y producción de diversos objetos y artefactos que nos son útiles habrían sido improbables de realizar.

IV.

FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES

En este capítulo se abordan las funciones exponenciales y logarítmicas, así como las funciones trigonométricas e hiperbólicas sin olvidar tampoco a las funciones inversas cuyo papel es importante.

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En los capítulos anteriores se definió a las funciones por clases, la cuál es interesante en el análisis de los números complejos, pero ahora se definen a todas las funciones y se trata demostrar tanto a las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas, trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas. Todas estas funciones se trataron de mostrar que deben ser analíticas en un dominio adecuado y sus derivadas se deben encontrar para estar de acuerdo con sus partes reales de la función. También se examinó cómo estas funciones actúan como asignaciones del plano complejo. El conjunto de funciones elementales fue una útil fuente para resolver varios ejercicios dentro del capítulo. A continuación, daré una breve explicación y reflexión personal de cada uno de los puntos dentro del capítulo que se estudiaron a lo largo del curso: Funciones exponenciales y logarítmicas. La funciones logarítmicas y exponenciales reales juegan un papel importante en el estudio del análisis real y ecuaciones diferenciales, en otras palabras, la función exponencial compleja es la función que podemos definir como la serie de potencias que extiende la función exponencial real al plano complejo. 1. FUNCIÓN LOGARITMICA

Las funciones exponenciales complejas comparten propiedades diferenciales importantes de la parte real de la función. 2. FUNCIÓN EXPONENCIAL

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A manera de conclusión las funciones exponenciales y logarítmicas tienen una amplia variedad de aplicaciones, gracias a las fórmulas mostradas anteriormente es posible establecer relación con algunos tipos de situaciones que se presenten, tal es el caso de el gasto en servicios de salud, el uso del internet o la población mundial, todos son claros ejemplos o comportamientos que suceden en nuestro entorno hablado de estas dos funciones en específico. 3. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Funciones trigonométricas, hiperbólicas, inversas trigonométricas e inversas hiperbólicas. En esta parte se definen las funciones complejas trigonométricas e hiperbólicas. Análogas a las funciones complejas (e^z) y (Ln z), estas funciones estarán de acuerdo con sus aportaciones reales dentro de la parte real de la función. Además, se demostró que las funciones complejas trigonométricas e hiperbólicas tienen las mismas derivadas y satisfacen muchas de las mismas identidades trigonométricas como la parte real y funciones hiperbólicas.

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• • • • • • • • La Fórmula de Euler

exp(ix) = cos(x) + i sen(x) Idea: usar las series de Taylor (reales) en 0 (series de MacLaurin):

¿Qué puede producir este patrón de signos? Las potencias de i! in =1 ,i, −1, −i, 1,i, −1, −i, . . . luego al sustituir ix por x en la serie de exp(x) aparece cis(x).

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• La identidad de Euler eiπ + 1 = 0 Aparecen las cinco constantes “universales”: 1, 0, π, e, i.

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La trigonometría (real) es álgebra compleja con exponenciales. “Una de las más notables fórmulas, casi asombrosa, de todas las matemáticas” – Richard Feynman. • La Exponencial Para que exp (z + w) = exp(z) exp(w), solo se puede definir como

exp(x + iy) = ex cis(y)

x, y ∈ R

ex para x ∈ R es la exponencial real “habitual.” Notación: ez, exp(z).

Como todavía no hemos definido una potencia compleja, ez es solo notación, de momento. • La serie de Taylor compleja

• Propiedades Básicas  ez nunca es 0. De hecho

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Resumen: ez : C → C∗ es un morfismo de grupos. • Periodicidad

ez = ew ⇐⇒ z ≡ w mo´d 2πiZ Primero, ez = ew ⇐⇒ ez−w = 1, luego basta con demostrar que ez = 1 ⇐⇒ z ∈ 2πiZ. Calculando, se ve que e2πin = 1 para todo n ∈ Z. Además

ez = 1 =⇒ |ez| = eRe z = 1 =⇒ Re z = 0 =⇒ z = iθ, =⇒ eiθ = cis θ = 1 =⇒ θ ∈ 2πZ =⇒ z = iθ ∈ 2πiZ

θ∈R

• Geometría de la exponencial

•La imagen de una recta vertical es una circunferencia de centro 0. ex0

+iR

= ex0 eiR = ex0 T = C(0, ex0 )

 La imagen de una recta horizontal es una semirrecta desde 0. ex+iy0 = exeiy0 = R+eiy0 = Sy0

donde Sα es la semirrecta desde 0 (sin incluir) con ángulo polar α. • Logaritmos complejos

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• Conjunto de logaritmos

{log w} = {z : exp(z) = w} • Fórmula para los logaritmos complejos {log w} = logR |w| + i{arg w} o sea, si λ es un logaritmo particular (solución de exp(λ) = w) {log w} = λ + 2πiZ la parte real de un logaritmo es siempre el logaritmo real del módulo, y la parte imaginaria es un argumento.

Demostración. {log w} ⊆ logR |w| + i{arg w} • Escribir w en forma polar: w = |w| cis(θ), por tanto θ ∈ {arg w} • Escribir z en forma rectangular: z = x + iy con x, y ∈ R

w = exp(z) ⇐⇒ |w| cis(θ) = ex cis(y) =⇒ |w| = ex

al tomar módulos. Por tanto x = logR |w|. Cancelando |w| = ex, cis(θ) = cis(y) ⇐⇒ y ≡ θ mo´d 2πZ ⇐⇒ y ∈ {arg w} {log w} ⊇ logR |w| + i{arg w} Sea z = x + iy con x = logR |w|, y ∈ {arg w}.

Entonces exp(z) =ex cis(y) = |w| cis(y) = w.

• Interpretación algebraica

exp: C → C∗ ,

ker exp = 2πiZ =⇒ C/2πiZ ∼= C∗

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luego induce una inversa al cociente log : C∗ → C/2πiZ. El conjunto de logaritmos es una clase de equivalencia.

• Ramas (determinaciones) del logaritmo • regiones de inyectividad de exp(z), eliminando la periodicidad: Bα = R + i(α, α + 2π)

• •

(banda horizontal)

+ ∗ Imagen: exp(Bα) = eRei(α,α+2π) = R (T \ eiα) = C \ Sα

La inversa es una rama o determinación del logaritmo ∗ log : C \ Sα → Bα

(selecciona un logaritmo del conjunto total de logaritmos)

• Fórmula para una rama del logaritmo La inversa de exp : Bα → C∗ \ Sα es el logaritmo logα : C∗ \ Sα → Bα, lo cual require que tomemos para la parte imaginaria del logaritmo el argumento y ∈ (α, α + 2π).

• Inclusión de la semirrecta cortada

logα(w) = logR |w| + i argα(w) “Cerrando” la banda Bα por un lado con (α, α + 2π] o con [α, α + 2π), la imagen de exp es todo C∗, por tanto el logaritmo está definido en todo C∗, pero es discontinuo en Sα al serlo el argumento.

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• El Logaritmo principal Log w = logR |w| + i Arg w recordando que: Arg w ∈ (−π, π]

Es útil entre otras razones porque satisface

Log z¯ = Log z

ya que

Arg(z¯) = − Arg z •

Ejemplos

Log(x) = logR(x)

(x > 0),

Log(−1) = πi

• Relación de inversas exp(logα(w)) = w,

w ∈ C∗

La exponencial de un logaritmo siempre es la identidad, por definición

pero en general:

logα(exp(z)) = z cuando z ∈ Bα,

logα(exp(z)) = zj donde zj es el único zj ∈ Bα con zj ≡ z mo´d 2πiZ (sumar o restar múltiplos enteros de 2πi á z hasta entrar en la banda). La rama en α del logaritmo compuesta con la exponencial selecciona el representante con α < Im z ≤ α+2π ó α ≤ Im z < α+2π de la clase de equivalencia de z m´od 2πiZ

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•

Potencias

• Conjunto de Potencias Para z ƒ= 0, a ∈ C, consideramos

Sea λ ∈ {log z} un logaritmo particular de z, o sea, z = exp(λ). Entonces wλ = exp(aλ) es una potencia particular de z con exponente a. Se tiene

{za} = exp(a(λ + 2πiZ)) = exp(aλ) · exp(2πiaZ) = wλ · exp(2πiaZ) . Esto indica que la elección de potencia particular no altera el conjunto. Algebraicamente, significa que el conjunto de potencias es una clase equivalencia en C∗/ exp(2πiaZ)

• Casos particulares a=m∈Z

,(potencias algebraicas)

En este caso exp(2πiaZ) = {1}, o sea, sólo hay un elemento. ¿Cuál es? Pues basta con encontrar una potencia particular y ésa será. Elegimos un logaritmo particular λ ∈ {log z}. Como z = exp(λ) y m ∈ Z, la propiedad de homomorfismo de exp(z) significa que

wλ = exp(mλ) = exp(λ)m = zm

donde se trata de la potencia en sentido algebraico, es decir

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Este conjunto es precisamente el de raíces en el sentido habitual:

Si z

está en forma polar, z = reiθ, usando el logaritmo particular

λ = logR r + iθ tenemos la raíz particular correspondiente

donde r1/m es raíz m–ésima real del módulo r = |z|.

la única

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z = x ∈ R +, a ∈ R

(potencias reales de reales positivos)

Tomando λ = logR x ∈ R tenemos x

x

a

2πiaZ

eaλ = ea logR = elogR

a=

(xa)

R

(potencia real

usual) por tanto a

aλ

2πiaZ

{x } = e · e

= (x )R · e

• El subgrupo exp(2πiaZ) ⊆ C∗

Poniendo ωa = exp(2πia), vemos que se trata del subgrupo de C∗ generado por ωa, es decir, sus potencias (algebraicas):

exp(2πiaZ) = {ωn : n ∈ Z} := (ωa) a

por la propiedad de homomorfismo de exp(z).

• Si Im a ƒ= 0, | exp(2πiaZ)| es infinito, por tanto exp(2πiaZ) también: Pongamos a = α + iβ con α, β ∈ R y sea n ∈ Z. Tenemos exp(2πian) = exp(2πi(α + iβ)n)

= exp(2πinα) · exp(−2πnβ) = e−2πnβ cis(2πnα) donde ex denota la exponencial real. Tomando módulos,

| exp(2πiaZ)| = e−2πZβ con lo cual si β ƒ= 0, esto es una sucesión infinita de reales positivos.

• Si Im a = 0, es a = α ∈ R, con exp(2πiaZ) ⊆ T. Para a ∈ R, # exp(2πiaZ) < ∞ ⇐⇒ a ∈ Q

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siendo entonces exp(2πiaZ) = Tm un grupo de raíces de la unidad Por tanto en general, para cualquier potencia, #{z a} < ∞ ⇐⇒ a ∈ Q siendo entonces {za} = Tm para algún m = 1, 2, 3, . . . . • De hecho exp(2πiaZ) está equidistribuido en T si a ∈ R \ Q • Ramas de la Potencia

za = ea log z donde log z es una rama del logaritmo. La rama principal corresponde al logaritmo principal. Si a = m ∈ Z, zm siempre es la potencia algebraica.

Si a = 1/m, m ∈ Z \ 0, entonces z1/m es una raíz m–ésima de z Si z = x > 0 y a ∈ R, la rama principal de xa es la potencia real usual, ya que Arg x = 0.

• La potencia principal de ea es exp(a) Efectivamente, ea = exp(a Log e) y Log e = logR e = 1. Por eso podemos escribir ez en vez de exp(z) a partir de ahora.

• Propiedades generales de las potencias complejas

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• Cualquier otra propiedad de la potencia real es falsa para potencias complejas en general • Trampas (fórmulas que en general son falsas) log(zw) ƒ= log z + log w Rama (π, 3π), z = w = 1 ó rama prin- cipal, z = w = e2πi/3, ó rama principal, z = −1, w = i. 1a ƒ= 1

Rama (π, 3π),

11/m = e

1

log m 1

= e2πi/m.

Con la rama principal, si se tiene 1 a = 1. log za ƒ= a log z

Rama principal, z = i, a = 3

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b

Rama principal, z = i, a = 3, b = 1/3

(z ) ƒ= z a

ab

(zw)a ƒ= zawa

Rama (π, 3π), z = w = 1, a = 1/m

• Fórmulas de Conjuntos que “arreglan” lo anterior {log zw} = {log z} + {log w} {1a} = e2πiaZ {log{za}} = a{log z} + 2πiZ {(zw)a} = {za} · {wa}

Ejercicio Sea el número complejo z expresado en forma binomia: z=2+

2 i √3

El número complejo dado en su forma binomial, está localizado en el primer cuadrante del plano de Gauss puesto que sus dos componentes, real e imaginaria, son positivas. Para obtener su forma trigonométrica tenemos que calcular su módulo y su argumento, de acuerdo a las expresiones siguientes: ρ=

√ a2 +b2

θ=arctan(

Ya que se cumple:

b )+2kπ=α+2kπ a

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z=ρ(cosθ+i⋅sinθ) Y sustituyendo valores numéricos:

ρ=

√

22+(

ρ=

√

16 3

√

tanα= α=

π 6

2 2 ) √3

1 3

rad →θ=

π 6

+2kπ

con lo cual:

z=

√

16 3

[cos(

π 6

+2kπ)+i⋅sin(

π 6

+2kπ)]

Ejercicio Calcular la sexta potencia del número complejo dado por: 2

z=2+ √3 i

Para calcular la potencia del número complejo dado a partir de su forma binomia, hacemos:

6

z =( 2+

2 6 i) √3

Y desarrollando: 2

3

2 2 2 z 6=26 + 6 25 i+ 6 24 ( ) i 2 + 6 23 ( ) i 3 1 3 √3 2 √3 √3 4 5 6 6 22 ( 2 ) i 4 + 6 21 ( 2 ) i5 + 6 2 0 ( 2 ) i 6 +…+ 4 √ 3 5 6 √3 √3

() ()

() ()

() ()

Agrupando, por una parte, los términos reales y por otra los términos imaginarios y teniendo en cuenta que se verifica axiomáticamente i·i = -1, nos queda finalmente:

z 6=

−4.096 + 0.i 27

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Y resulta que la sexta potencia del número complejo dado es un número real. Para obtener la sexta potencia del número complejo dado en forma trigonométrica, tenemos en cuenta el resultado del ejercicio número 1:

√

π 16 [cos( 6 3 y aplicamos la fórmula de Moivre:

z=

+2kπ)+i⋅sin(

π 6

+2kπ)]

z n=( cos θ+ i. sinθ )n =cos n θ+i .sin nθ con lo cual: z

z

V.

e

6

6

= =

(

√ [

)]

6

16 π π cos +2 kπ +i ⋅sin +2 kπ ) 3 6 6

(

)

(

4096 (cosπ + i. sinπ ) 27

z

La función exponencial compleja es la función que podemos definir como la serie de potencias que extiende la función exponencial real al plano complejo.

Esta serie converge en todo el plano complejo. La función exponencial verifica:

La función exponencial es periódica con periodo 2πi.

1. Propiedades: La definición antes vista, que no es otra que la relación entre las representaciones exponencial y trigonométricas de los complejos, cumple todas las propiedades que cumplía en los reales, excepto

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aquellas relacionadas con el ordenamiento porque los números complejos no son un conjunto ordenado. A saber: ex está definida para todos los complejos.

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2. Importancia: La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1. Esta es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.

VI.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: 1. Introducción Se estudian en este tema las relaciones que se puedan establecer entre conjuntos de números complejos, extendiendo a C el concepto de función, como aplicación entre conjuntos. Se definirá el concepto de función de variable compleja, su continuidad, su derivabilidad y su relación con las funciones reales de variable real que el alumno ha realizado en cursos anteriores. 2. Definición

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Se utiliza la exponencial compleja e^z, para definir otro tipo de funciones complejas, entre ellas las trigonométricas: Definimos a) Seno Trigonométrico Complejo: eiz −e−iz ( ) sen z = 2i

b) Coseno Trigonométrico Complejo: iz

Cos(z) =

−iz

e +e 2

Las funciones trigonométricas complejas cumplen las siguientes propiedades:  sen (z) , cos (z) ∈ C (C) 

sen (z) , cos (z) ∈ H (C), es decir, son funciones enteras. Además o [sen z]´ = cos z o [cos z]´ = − sen z  Relación trigonométrica fundamental

sen2 z + cos2 z = 1  Los ceros de sen (z) y cos (z) son números reales

 Sen z y cos z son funciones periódicas de periodo 2π

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VII.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CIRCULARES Las conocidas funciones trigonométricas circulares con argumento real x: • sen(x) • cos(x) • tan(x) • cot(x) pueden ser evaluadas sobre los números complejos usando la función exponencial compleja con las expresiones que siguen:

Ejemplo: Separar la parte real e imaginaria de la función siguiente w=senz jz

− jz

e −e 2j

=

e

j( x+ jy )

− j(x+ jy)

−e 2j

=¿

−y y e−y e jx −e y e− jx e ( cosx+ jsinx )−e (cosx − jsinx ) = 2j 2j

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e e e e (¿ ¿− y +e y ) 2j (¿ ¿−y −e y ) + jsinx ¿ 2j (¿ ¿− y +e y ) cosx(¿ ¿−y−e y )+ jsinx =cos x ¿ 2j ¿ ¿ e cosx (¿ ¿− y−e y ) + j2 ¿

e (¿ ¿− y +e y ) 2 sinx ¿

= -jcosx(-sinhy)+sinx(cosh y)

Sinxcosh y+jcosx.sinh y ; u =sinx.cosh y, v = cosx.sinh y .

VIII.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS COMPLEJAS

De forma similar a las funciones trigonométricas complejas, se definen las funciones hiperbólicas.

Las funciones trigonométricas complejas cumplen las siguientes propiedades  senh (z) , cosh (z) ∈ C (C)  senh (z, cosh (z) ∈ H (C), es decir, son funciones enteras. Además [senh z]´ = cosh z [cosh z]´ = senh z  Relación hiperbólica fundamental cosh2z − senh2z = 1  Relación con las funciones trigonométricas senh (iz) = i sen z cosh (iz) = cos z

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 Son funciones periódicas de periodo 2 πi  Los ceros de senh (z) y cosh (z) son números imaginarios puros senh (z) = 0 ⇔ z = k πi , k ∈ Z cos (z) = 0 ⇔ z = (2k + 1) π/2i k∈Z

A partir de las funciones hiperbólicas, podemos definir las funciones tangente y cotangentes hiperbólicas. -

Tangente hiperbólica compleja = senh/cosh

-

Cotangente hiperbólica compleja= cosh/senh

Ejemplo: Demostrar que, si z=x+iy, entonces: 2

¿ senz∨¿ ¿

= sen 2 x + senh2 y

y

2

¿ cosz∨¿ ¿

= cos 2 x+ senh 2 y

Teniendo en cuenta que: senz=senx.cosh y + i.cosx.senh y cosz = cosx .cosh y –i.senx . senh y se tiene 2

¿ senz∨¿ ¿

= sen 2 x . cosh 2 y

+ cos 2 x . senh 2 y

sen 2 x . cosh2 y +(−sen2 x . senh 2 y + sen2 x . senh 2 y ) + cos 2 x . senh2 y = sen 2 x ( cosh 2 y −senh 2 y ) + ( sen 2 x+ cos2 x ) . senh2 y=sen2 x + senh2 y De forma análoga ¿ cosz∨¿ ¿

2

= cos 2 x . cosh 2 y + sen 2 x . senh 2 y =

2 2 2 2 2 2 2 2 cos x . cosh y +(- cos x . senh x + cos x . senh y )+ sen x . senh y

= cos 2 x (cosh 2 y −senh 2 y ) 2 senh y

+( sen 2 x

+

2 2 cos x ). senh y

=

2

cos x

+