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• Jesus Lizardo

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UNIVERSIDAD ABIERTA PARA ADULTOS UAPA DEPARTAMENTO DE CICLO BASICO MATEMATICA BASICA MATERIAL PARA EL TRABAJO FINAL DE MATEMATICA BASICA TEMA I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS GENERALIDADES I. Conceptos claves, contesta:  Expresión algebraica: Conjunto de números y de símbolos ligados entre sí por los signos de las operaciones del álgebra y que no contiene más funciones que aquéllas que pueden calcularse con las operaciones del álgebra (suma, multiplicación y sus inversas).



Términos Semejantes: Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente.





Clasificación de las expresiones algebraicas: Son combinaciones de letras y números que podemos encontrar en cualquier tipo de operación, es de suponer que exista una clasificación de expresiones algebraicas preestablecida. Esta ordenación está definida en base a unos criterios de clasificación que debemos conocer para resolver los ejercicios de expresiones algebraicas de manera correcta. Valor numérico de una expresión algebraicas: Es el número que se obtiene al sustituir las letras de la expresión por números determinados y realizar las operaciones correspondiente que se indican en tal expresión



Polinomio Expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.



Construcción de expresiones algebraicas.



¿Cuál es la estructura de un término? Suele ser definida como el conjunto de los elementos importantes de un cuerpo, un edificio u otra cosa. Suele relacionarse con la armadura que sirve de soporte para ese determinado cuerpo, edificio, entre otros. El término proviene del latín structūra.



Cuadrado de un binomio Es una suma algebraica que se suma por sí misma, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2.



Cubo de un binomio El cubo de la suma de dos cantidades ((a + b) 3) es igual al cubo de la primera (a3) más el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda (3a2b) más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda (3ab2) más el cubo de la segunda (b3).







Potenciación. Es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o también «a elevado a la n». Hay algunos números especiales como el 2, que se lee al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene por qué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero. Radicación Es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por sí mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado. Descomponer en dos factores. Es descomponer un número en factores más pequeños de modo que al multiplicarlos obtengo el número.





Ecuación lineal Es una igualdad que tiene una o más variables elevadas a la primera potencia, resolverlas significa encontrar el valor de las variables con los que se cumple la igualdad. Ecuación Cuadrática.

Es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una incógnita, tratada con anterioridad. Encontrar la solución de una ecuación cuadrática es más difícil de abordar y se necesitan nuevos métodos, así, como el conocimiento previo de álgebra elemental en especial de expresiones algebraicas. II. Complete cada espacio en blanco con la respuesta correcta: 1. ¿Cuántos términos tiene un binomio? 2 términos 2. ¿Cuántos términos tiene un monomio? Este solo posee 1 término 3. Resultado de reducir los términos semejantes –m2n + 6m2n = 5m2n 4. Ordena en orden ascendente 7x4 + 4x – 7 + 5x2 – x3 = -7 + 4X + 5X2– X3 + 7X4 5. Ordene en orden descendente 5 - 3x2 + 7x = 5 – 7X + 3X2

6. Halle el valor numérico de -11x3-2x2-7x+x4, para x=1/3 −239/81 7. Calcula el valor numérico de del polinomio P(x)= 5x3-x+7x3-x2+8x-2 Para x=-3

III.

-356

Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes en la expresión:

2a 2b 2a -2b 2b 3x+y 5m-5n

IV. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) La mitad de un número. x/2

b) Añadir 5 unidades al doble de un número. 2x+5

c) La suma de un número y el doble del mismo. X+2x

h b

d) El área de un triángulo de base b y altura h. (bxh)/2 e) La resta de un número par y su siguiente. 2-3 f) La suma de dos números consecutivos es 21. 10+11 g) Dos números pares consecutivos suman 10. 4+6 h) El producto de tres números consecutivos es 120. 4*5*6 i) El producto de dos números pares consecutivos es 48. 6*8 j) Unos pantalones y una camisa cuestan en total 12000 PTA. La camisa cuesta 6000 PTA menos que los pantalones. La camiseta cuesta 3.000 PTA y los pantalones cuestan 9.000 PTA esto da último total de 12.000 PTA. 9.000-3.000 IGUAL A 6.000 PTA

k) Al aumentar el lado de un cuadrado en 2 cm su superficie aumenta en 24 cm2. Lado original L=5, área A=25 (L+2)2 = 72 = 49 49-25 = 24

l) La diferencia entre los cuadrados de un número y el número anterior a éste es 21. 10 y 11 10*10 = 100

11*11 = 121 m) La suma de dos números es 22 y su diferencia es 8.

13 cm

15 y 7 n). La raíz cúbica de la cuarta parte de m

o) La raíz cuadrada del doble de una cantidad. 18 ya que: 18 el doble= 36, raíz cuadrada= 6

V. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando: Expresión algebraica

5a 2  2bc  3d

Reemplazar: a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0 5(2)2 – 2(5)(-3) – 3(-1)

Resultado

53

5 x 4 + 30 + 3 20 + 30 + 3 4 ab – 3 bc – 15d 4(2)(5) – 3(5)(-3) – 15(-1)

100

40 + 45 + 15

6a 3 f

6(2)3(0) 0 6*8*0

2a 2  b 3  c 3  d 5

2(2)2 – (5)3 – (-3)2 – (-1)5 (2)3 – 125 + 27 +1 8 – 125 + 27 + 1

-89

3(a  b)  2(c  d )

3(2 – 5 ) + 2 ( -3 – ( -1) ) 3 (-3) + 2(-3 + 1) -9 + 2 * ( -2)

-13

-9 - 4

c b a   3 5 2

-3/3 + 5/5 – 2/2

-1

-1/1 + 1 – 1/1

(b  c ) 2 (5 + (-3))2 4 (5 –

VI.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas cuando x = 3:

a) 2x +1 f)

3)2

x 2 3 · ( x  3)

A) 2(-3) +1= -5 B) 2(-3)2 -1= 17 C) (2(-3) + 3)2 = 9 D) 2 (3(-3))2= 162 E) 2 + 3(-3) = 2 – 9 = 7 6 – (-3) F) -3 – 2

6+3 9

= -5

=5

b) (2x)2 – 1

c) (2x + 3)2

d) 2 (3x)2

e)

2  3x 6x

3 . (-3 – 3)

-18

18

VII. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las letras que se indican: a) 23x, para x = 4 b) a + b2 - 3ab, para a = -2 y b = -3 c) n + (n + 1)3 - 3n + 2, para n = 3 d)

x  ay + 3x2 - 1, para x = 0, y = 2 y a = -1 2

e) x2 + 2xy + y2, para x = 5, y = -2 f) g)

x 2  y 2 , para x = 4, y = 3 x2

+

y 2 , para x = 4, y = 3

a) b) c) d)

23(4) = 92 2+ (-3)2 – 3(-2)(-3) = -2 + 9 -11 = -11 3+ (3+1)3 – 3(3) + 2 = 3 + 64 – 9 +2 = 60 0 + (-1)(2) + 3(0)2 -1 = -2 – 1 = -1-1 = -2 2 2 e) (5)2 + 2(5)(-2) + (-2)2 = 25 + (-20) + 4 = 9 f) √42+32 = √16+9 = √25 = 5 g) √42 + √32 = 4+3 = 7

TEMA II. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

VIII.

REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Realiza las siguientes operaciones con términos semejantes. a) 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = -3a – 2b + 5c

b) 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 11x - 13y c) 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 29a – b – c d) 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p = 8m – 11n e) 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r = 6p – 29q +17r f)

2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 = -18a2 – 8b2

g) 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b = -3.2a + 4.1b + 5c h) 28a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a = 26.9a + 14.3b

i) 3m -

2 1 2 n + 5m - 7n + 5 n + 3n - p - 5n + 8p = 8m – 39/10n + 38/5p 2 5 5

2. Efectúa las siguientes sumas y restas: a) (2a  3b  5ab)  (5a  4b  2ab)  (7a  b  ab)  b) ( x 3  5 x 2  3)  (2 x 2  3x  7)  (8 x  2)  c) (2 x 2 y  3xy 2  5 xy)  (6 xy  2 x 2 y  3xy 2 )  (5 xy 2  3xy  4 x 2 y ) 

d) (2ab-5a+3b) - (-2a-5b+3ab)-(b-a + ab). e) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = f) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = g) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) a) b) c) d) e) f) g)

-2b – 2ab X3 – 7X2 – 11X + 8 5xy2 + 3xy -2ab – 2a + 7b 3x + 9 6x – 2 23x – 17

3. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) (5 x  2)·(x 3  4 x 2  2 x  1)  b) (2a  3b  5)·(6a  4b  2)  c) (2 x 2  4 x  3)·(4 x 2  3x  6)  d ) (5 x  3 y  z )·(2 x  4 y  9 z ) 

a) 5x4 – 22x3 + 18x2 – 9x + 2 b) 12a2 – 10ab + 34a – 12b2 14b + 10 c) -8x4 – 10x3 + 36x2 + 15x – 18 d) 10x2 + 14xy – 43xz – 12y2 + 31yz – 9z2

4. Efectúa las siguientes divisiones de monomios (indicando si en algún caso el resultado no es un monomio):

10 x 3 y 4 z a)  2 xyz

a) 5x4y5z2

3a 5 b 2 b)  2a 4 b

12 x 4 a 5 b c)  4 xa2 b 3

15 x 4 y 6 a 3 d)  3x 2 y 4

b) 3a7b3 2

c) 3a7b4x5

d) 5a3x6y10

5. Efectúa las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:

a)

5 x 2 y 4  10 x 5 y 6  25 x 3 y  5 xy

XY3 – 2X2Y5 + 5X2 b)

12a 5 b 2  10a 4 b 3  8a 6 b 7  6a 2 b 5 2a 2 b 2

6a7b4 – 5a6b5 + 4a8b9 – 3a4b7 6. Realiza las siguientes divisiones de polinomios.

a) (2x2-6x+3) entre(x-2) b) (7x3-5x2+3x-2) entre (x2-2x-1) c) (4x2-x+5) entre (x+4) d) (x3-2x2+x-3) entre (x2-3x-2) e) (2x4-3x2+5x+2) entre (x2+x-3) f) (3x4+2x3-x2+5) entre(x2-x+2)

a) -2x + 3 X–2 b) – 14x – 2 -1 c) 7x + 5 X+4 d) – 3 -x – 2 e) 7x + 2 3x – 3 f) 16x + 5 X+2

TEMA III. POTENCIACION Y RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA. i) Encierre en un círculo la letra de la respuesta que complete correctamente cada operación: 1) A) B) C) D) E)

k 3  k 4   C) = K11 2

k9 k 10

k 11 k 14 k 24

2) El cociente entre p2x y p3-x es equivalente a:

A) p x 1 B) p nx C) x  p x D) x p 1 E) p 3 x 3 0

1 7  3)  3x  2    1  x 2   E) = 2 –X2 8 

A) B) C) D) E)

x2 2x x–1 2 2 – x2

4) Si x = 5  10 3 , entonces x2 = A) B) C) D) E)

5) A) B) C) D) E)

5  10 6

25  10 6 10  10 3 5  10 1

25  10 6







12 0 ¿Cuál es el valor de 4  5  3  3  0  5 0  30 4 4 1 -2 7 D) = 7 0 0

0

0

3

6) A) B) C) D)

 1 ¿Cuál es el valor numérico de    ?  3 1/27 27 B) = 27 -1/27 -27

7) El resultado de 32 + 32 + 32 es: A) 92



B) 36 C) 33 D) 27

D) = 27

8) – 62 = A) 12 B) 36 C) -36 -12 D) -1/36

C) = -36

9) A) B) C) D) E)

El cuadrado de -3m3 es: -9m6 9m6 9m3 -9m9 9m9

10)

3 2  3 2  32

A) -9 B) -2 C) 0

A) = -9

80 81 E) 1/9

D) 

ii) Calcula: 2 a)  x  2  d) x  3

2

c) (x +y)3 2

f) 3x  5

2

e) 2 x  2 

2

2

g) 2a  1

2

h) a  2b 

i)  a  2b 

j) (5 -4b) 3

k)  x  7 y 

l) (3m-2n2) 3

16a 6  8 m) 81b n).

b)  x  4 

49m10 y12

2

2

a) X2 + 4x + 4 b) X2 – 8X + 16 c) X3+3X2Y+3XY2+Y3 d) X2-6X+9 e) 4X2+8X+4 f) 9X2-30X+25 g) 4a2+4a+1 h) A2+4ab+4b2 i) 4b2-4ab+a2 j) 64b3+240b2-300b+125 k) X2 – 14xy + 49y2 l) 27m3+54m2n2+36mn4-8n6 m) 4a3/9b4 n) 7m5y6 TEMA IV. DESCOMPOSICION FACTORIAL DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS I. Factorice las siguientes expresiones: 1) a 2  13a  40 2) n 2  28n  29 3) n 2  6n  40 4) m 2  13m  30

5) 25 y 2- 30 y + 9 6) 9m2-1 7) Y2 + 50 y + 336 8) n2 + 6n – 16 9) 16M2 - 81 10) 121b4 – 64h6 11) 3m2 – 7m – 6 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

(a - 5) x (a - 8) (n + 29) x (n - 1) (n + 4) x (n - 10) (m + 15) x (m - 2) (5y – 3)2 (3m – 1) x (3m + 1) 2(169 + 25y) (n + 8) x (n – 2) (4M – 9) x (4M + 9) ( 11b2 – 8h3) x 11b2 + 8h3) (3m + 2) x (m – 3)

TEMA V. ECUACIONES LINEALES y TEMA VI. ECUACIONESCUADRATICAS I. Resuelve las ecuaciones lineales: 1.

8x – 4+3x=7x+x+14 = X= 6

2.

11x + 5x – 1 = 65 x – 36 = X= 5/7

3.

x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3) = X= 6

4.

x + 16 = 41 = X= 25

5.

9x – 45 + 4x – 16 = 4 = X= 5

6.

2x – 3 + x – 35 = 2 – 9x – 4 = X= 3

7.

3 · (x – 2) + 9 = 0 = X=14

8.

8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30) = X= 10

9.

x + (x + 2) = 36 = X= 17

10.

2 · (3x – 2) – (x + 3) = 8 = X=3

11.

2 · (13 + x) = 41 + x = X=15

12.

2 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x = X= -4

II. Resuelve las ecuaciones cuadráticas: Formula General 𝑥 =     

X2 – 13x + 30 =0 6x2 – x- 2 =0



 2x 2  3x  5  0



2  3x  4 x 2



2 x  3  4 x 2  5x  1

1) X=3, x = ½

−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

2) 3) 4) 5)

X = 2, x = 5 X = 3, x = 2 X = 10, x = 3 X = 2/3, x = -1/2

III.Resuelva correctamente las siguientes aplicaciones con ecuaciones 1.- El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es 51 años. ¿Qué edad tiene Lucía? 2x + 25 = 51 2x= 51 - 25 x= 26/2 x = 13

Por lo tanto, la edad de Lucía es 13 años.

2.- Los tres lados de un triángulo equilátero vienen expresados en metros. Si su perímetro es 27 metros, halla la longitud de cada lado. La longitud de cada lado es 9m. Porque el perímetro lo divides en 3, porque son 3 lados.

3.- Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno. X=4(X-30) X=4X-120 120=3X 40=X El padre tiene 40 años y Javier solo 10

4.- La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro números.

Primer número = x Segundo número = 2x Tercer número = 2(2x) = 4x Cuarto número = 2(4x)= 8x X+ 2x +4x +8x = 90 15x=90 x=6 Los cuatro números 6, 12, 24, 48

5.-En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta sabiendo que en total son 156 las personas que hay en ella.

Sea "x" la cantidad de hombres: De acuerdo con el problema: • Cant. De Mujeres= 2x • Cant. De niños = 3(x+2x) = 3*3x = 9x En total son 156, por tanto: X + 2x + 9x = 156 12x = 156 x = 156/12 x = 13 Por lo tanto, hay 13 hombres.