Trabajo Final Calculo Integral
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana TRABAJO FINAL CÁLCULO INTEGRAL Macol Liliana
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Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana
TRABAJO FINAL CÁLCULO INTEGRAL Macol Liliana Montenegro Gutiérrez 507091015
Resumen-Este trabajo muestra la forma de cómo hallar el volumen de un toro por el método de las arandelas, que es uno de los tantos procedimientos que se pueden hacer por el cálculo integral.
La formulación del problema: Al obtener la grafica de un toro con R exterior y r interior el cual se encuentra limitado por r y 0. Se debe aplicar el
Palabras claves- Método de las arandelas, integración, sustitución, volumen, toro.
método
más
conveniente
para hallar su volumen. y
INTRODUCCIÓN En este trabajo se muestra como hallar el volumen de un toro con R y
R
r
X
r por el método de arandelas. Para lograr
esto,
se
debe
tener
conocimiento de la ecuación de una
-
La solución del problema:
circunferencia los puntos de corte o
Aplicando el método de las
de evaluación; que en este caso
arandelas
fueron r y 0.
función
nos que
queda hace
la más
volumen menos la función Al tener planteada la integral se
que hace menos. Pero para
resuelve, teniendo en cuenta los
poder obtener la integral,
pasos por arandelas y aplicando
debo aplicar la formula de la
algebra.
circunferencia.
integrar
Finalmente por
el
se
método
debe mas
adecuado, y evaluarlo, de esta manera se obtiene el volumen de un
𝑥²+y²+= 𝑅² Donde la primera ecuación será:
toro. F 𝑥 =
𝑟²-𝑥² + 𝑅
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana
Para la segunda ecuación será g(x)
Para integrar se utilizara el método
quedando:
de sustitución trigonométrica de la siguiente manera.
g 𝑥 = 𝑅 − 𝑟 ²-𝑥² 8𝑅 Ahora planteamos nuestro método de arandelas ya que el diferencial
𝑟 0
8𝑅𝑟²
𝑟² cos² 𝛳. d 𝛳 𝑟 0
es perpendicular al eje de rotación. Donde se multiplicara por 2 debido a que solo tome la mitad y al multiplicarlo por 2 me da el volumen
cos² 𝛳 . 𝑑 𝛳
𝑟
1 + cos2𝛳 𝑑𝛳 2
8𝑅𝑟² 0
8 𝑅𝑟² 2
completo del toro.
𝑟
1 + cos2 𝛳 . 𝑑 𝛳 0 𝑟
𝑣=2𝜋
𝑟 [ 0
𝑣=2𝜋
𝑟 (𝑟²-𝘹2) +2 0
𝑟²-𝑥²+ 𝑅]²-[(R- 𝑟²-𝑥²]² dx. 𝑟²-𝑥²∗ 𝑅+ 𝑅²- [(R²-
2R 𝑟²-𝑥²+(𝑟 2 -𝑥 2 )] dx. 𝑟 (𝑟²-𝘹2 )+2𝑅 0
𝑣=2𝜋
𝑟²-𝑥²∗+ 𝑅²-
R²+2R 𝑟²-𝑥²-(𝑟 2 -𝑥 2 )] dx. 𝑟 0
𝑣=2𝜋 +𝜋
𝑟 0
𝑣=𝜋8𝑅
2𝑅 𝑟²-𝑥²dx 2R 𝑟²-𝑥²] dx. 𝑟 0
𝑟²-𝑥 ²dx
𝑥= 𝑟 sin 𝛳
Integramos 𝑣=𝜋4𝑅𝑟²(𝛳 + En esta parte
2
)
sin 2𝛳 2 sin 𝛳 cos 𝛳
=
2
2
𝑣 = 𝜋4𝑅𝑟²(𝛳 + sin 𝛳 cos 𝛳) 𝑥
𝑥
𝑟
𝑣=𝜋4𝑅𝑟² sin−1 𝑟 +(𝑟 ∗ 𝑟² − 𝑥²)⃒ 0 0 0
𝑣=𝜋4𝑅𝑟²( 2 +𝑟 𝑟² − 𝑟²)- (2+𝑟 𝑟² − 0²) 𝑣=2𝑅𝜋²𝑟²
El método de las arandelas se
𝑟²-𝑟² sin² 𝛳. 𝑟 cos 𝛳. d 𝛳
basa en que el diferencial debe ser
X
sin 2𝛳
CONCLUSIONES
dx= 𝑟 cos 𝛳. d 𝛳 𝑟 0
1 + cos2 𝛳 . 𝑑 𝛳 0
𝜋 𝑟
Desarrollo la integral:
8𝑅
4𝑅𝑟²
r 𝑟² − 𝑥²
perpendicular
rotación.
al
eje
de
Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana
El
cálculo
integral
fundamental volúmenes
para y
es hallar
encontrar
la
solución exacta, del ejercicio planteado.
REFERENCIAS [1] Stewart James, 2001, 2 edición, sólidos de revolución pág. 453.