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Cálculo Integral Ing. Araceli Jiménez Mendoza APLICACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL A LA ING. ELECTRONICA Diana Karen Aguilar Alfaro Ing. Electrónica Curso de Verano 2014

INTRODUCCION En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el cálculo integral es utilizado en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) para analizar su comportamiento dentro del circuito. Esto sin contar el cálculo de volúmenes que son fundamentales para calcular el núcleo de un transformador, para estimar el campo magnético producido. O las series y sucesiones que son importantes para estimar las dimensiones de una señal o pulso eléctrico, medido con el osciloscopio.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL El flujo de electrones por un conductor a través del tiempo, se emplea la siguiente ecuación: ( )

∫

( )

Siendo: Q = carga; i = corriente; Desde un tiempo t1 a t2. La energía que posee un circuito, basta con integrar la potencia del circuito de un tiempo (t1) a un tiempo (t2) de la siguiente manera: ( )

∫

( )

Siendo: W = energía; P = potencia; Desde un tiempo t1 a t2 El voltaje en un condensador en un tiempo determinado se tiene: ( )

∫

( )

Siendo: Vc= voltaje en el condensador; C= valor del condensador; Ic= corriente en el condensador Con respecto al tiempo (t), desde un tiempo t1 a t2 La corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado se tiene: ( )

∫

( )

Siendo: IL= corriente en la bobina; L= valor de la bobina en (mH); VL= voltaje en el inductor; con respecto al tiempo (t) Hallar potencia a partir de un valor de resistencia y una corriente determinada, basta con hallar la integral del producto entre la resistencia por la corriente al cuadrado, así: ( ) Siendo:

∫

( )

W (t)= potencia en el tiempo; R= resistencia en Ohmios; I= corriente en amperios.

EJEMPLOS DE APLICACIONES POSIBLES EN LA ELECTRONICA El circuito RLC en serie sin fuente Considere el circuito RLC en serie. Lo está excitando la energía almacenada inicialmente en el capacitor y en el inductor. Ésta se representa por medio del voltaje inicial a través del capacitor y de la corriente inicial en el inductor . De tal manera, a t = 0,

Al aplicar de la LKV alrededor en la malla del circuito RLC serie.

Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden. Nuestra meta es resolver la ecuación. Para eliminar la integral, diferenciamos con respecto a t y reordenamos los términos. Obtenemos:

Utilizando métodos matemáticos para solución de ecuaciones diferenciales, sustituimos la diferencial por la variable S:

La ecuación anterior es una ecuación de segundo grado que puede resolverse por la fórmula general

Entonces podemos igualar algunos términos por constantes conocidas y

Ejemplo: para un arreglo serie de C=1mF, R=100Ω y L=5H determine a, w, s1 y s2

El circuito RLC en serie sin fuente Sobreamortiguado ( > w) La respuesta para un circuito RLC en serie sin fuente donde el valor de a es mayor que w se conoce como respuesta RLC Sobreamortiguado. Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que: Donde ,

Y el valor de las condiciones iniciales se calcula

Ejemplo: para un arreglo serie de C=1mF, R=100Ω y L=5H determine i(t) si VL(0)=5V

El circuito RLC en serie sin fuente Subamortiguado ( = w) La respuesta para un circuito RLC en serie sin fuente donde el valor de a igual que w se conoce como respuesta RLC Subamortiguado Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que:

Donde ,

Y el valor de las condiciones iniciales se calcula

Ejemplo: para un arreglo serie de C=1mF, R=50 y L=5H determine el valor

El circuito RLC en serie sin fuente críticamente amortiguado ( < w) La respuesta para un circuito RLC en serie sin fuente donde el valor de a menor w se conoce como respuesta RLC Subamortiguado Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que: Donde ,

Y el valor de las condiciones iniciales se calcula

Ejemplo: para un arreglo serie de C=5mF y L=5H determine el valor de R para un circuito Subamortiguado. Calcule también

El circuito RLC en paralelo sin fuente Considere el circuito RLC en paralelo. Lo está excitando la energía almacenada inicialmente en el capacitor y en el inductor. Ésta se representa por medio del voltaje inicial a través del capacitor y de la corriente inicial en el inductor . De tal manera, a t = 0,

Al aplicar de la LKC en el nodo del circuito

RLC paralelo

Nuevamente nos encontramos una ecuación diferencial de segundo orden. Nuestra meta es resolver la ecuación. Para eliminar la integral, diferenciamos con respecto a t y reordenamos los términos. Obtenemos:

Utilizando métodos matemáticos para solución de ecuaciones diferenciales, sustituimos la diferencial por la variable S:

La ecuación anterior es una ecuación de segundo grado que puede resolverse por la fórmula general

Entonces podemos igual algunos términos por constantes conocidas y

Ejemplo: para un arreglo paralelo de C=0.1mF, R=100Ω y L=5H determine i(t) si VL(0)=5V

El circuito RLC en paralelo sin fuente Sobreamortiguado ( > w) La respuesta para un circuito RLC en paralelo sin fuente donde el valor de a es mayor que w se conoce como respuesta RLC Sobreamortiguado. Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que:

Donde ,

Y el valor de las condiciones iniciales se calcula

El circuito RLC en paralelo sin fuente Subamortiguado (a = w) La respuesta para un circuito RLC en paralelo sin fuente donde el valor de a igual que w se conoce como respuesta RLC Subamortiguado. Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que: Donde ,

Y el valor de las condiciones iniciales se calcula

Ejemplo: para un arreglo paralelo de C=1mF, R=100 y L=5H determine el valor

El circuito RLC en paralelo sin fuente críticamente amortiguado (a < w) La respuesta para un circuito RLC en paralelo sin fuente donde el valor de a menor w se conoce como respuesta RLC Subamortiguado. Este tipo de circuito obedece a un comportamiento tal que:

Donde,

Y el valor de las condiciones iniciales se calcula

Ejemplo: para un arreglo serie de C=5mF y L=5H determine el valor de R para un circuito Subamortiguado. Calcule también

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES Me di cuenta que se usan integrales definidas y en su mayoría formulas ya propuestas. En base a lo anterior puedo ver la utilidad de integrales en mi carrera de las cuales no tenía idea, además de que las formulas y uso. Sin embargo también existen ya instrumentos que nos facilitan el uso de estas (osciloscopio).

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. (2004). Introducción al análisis de circuitos. Décima Edición. México.: Pearson Educación Alexander, Charles K. Fundamentos de circuitos eléctricos. Tercera Edición. México: McGraw-Hill, 2002