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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION U.E.P COLEGIO “SAN JOSE” GUATIRE ESTADO BOLIVARIANO DE MIRANDA 5° AÑO SECCION “A”

TRABAJO ESCRITO ACERCA DE LAS SECCIONES CONICAS EN GENERAL

Autor: Guanipa Gabriel C.I 30062880 Docente: Karen Rivero

Guatire, mayo de 2020

INTRODUCCION Las secciones cónicas o simplemente cónicas, son un grupo de curvas muy interesantes, resultantes de la intersección de un plano a través de un cono, solo si dicho plano no pasa por el vértice de este. Estas secciones cónicas están dividas en un conjunto de cuatro curvas, denominadas: parábola, elipse, hipérbola y circunferencia. Estas cónicas son curvas que se pueden apreciar en la vida cotidiana y hasta en la forma de cómo giran los planetas alrededor del sol, pues, en la primera se puede apreciar que es utilizada en los faros de los automóviles para así reflejar la luz hacia la carretera, o como en el segundo, en donde las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. Para su mejor entendimiento se desarrollaron así nuevas propiedades y ecuaciones en función de estas. ORIGEN Fueron muchos los matemáticos que a portaron al descubrimiento o desarrollo de las cónicas en el plano, sin embargo, el matemático griego Menecmo descubrió estas curvas, pero fue el matemático griego Apolonio el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio fue el responsable de clasificar a estas cónicas. Así mismo, este matemático fue el responsable de desarrollar una de las propiedades más interesantes y útiles llamadas “propiedades de la reflexión”, en el cual define que si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. En donde si se coloca un punto de luz en el foco de esto se refleja de manera distinta dependiendo de cuál sea el usado. De esta manera, en el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En esta, las curvas cónicas se pueden representar en ecuaciones de segundo grado con las variables “X” y “Y”. DEFINICION Las secciones cónicas son un conjunto de curvas las cuales son el resultado de las diferentes intersecciones existentes entre un cono y un plano. Solo si este plano no atraviesa el vértice del cono.

¿COMO SE OBTIENEN? Para definir a cual clasificación corresponde una cónica, esta debe cumplir el requisito de que exista una intersección entre un cono y un plano, sin pasar por el vértice, dependiendo de cómo esté el plano es como se clasificarán. Dependiendo de esto se utiliza la ecuación correspondiente a ella. PLANO EN QUE SE UBICAN Según la clasificación de las secciones cónicas: - La sección producida por un plano perpendicular al eje es una circunferencia. - La sección producida por un plano paralelo a una de las generatrices es una parábola. - La sección producida por un plano que interseca a todas las generatrices de un mismo lado del vértice es una elipse. - La sección producida por un plano que interceda a todas las generatrices pero no en un mismo lado del vértice es una hipérbola. CLASIFICACION Se clasifican dependiendo de la ubicación o corte del cono con el plano, según ello podemos decir que estos son la circunferencia, la parábola, la hipérbole y la elipse. DEFINICION DE CADA CONICA Círculo Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano de coordenadas que se encuentran a una distancia fija r dada, denominada radio, a partir de un punto fijo dado (h, k), llamado centro. Parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano que son equidistantes de una línea fija L, llamada directriz, y un punto fijo F, llamado foco. Elipse Una elipse es un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. Los puntos fijos F1 y

F2 se llaman focos. El punto medio del segmento de recta que une a F1 y F2 se denomina centro de la elipse. Hipérbola Una hipérbola es un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la diferencia de las distancias entre P y los puntos fijos F1 y F2 es constante. Los puntos fijos F1 y F2 reciben el nombre de focos. El punto medio del segmento de recta que une los puntos F1 y F2 se denomina centro de la hipérbola. ELEMENTOS Distancia Focal: En el caso de elipses e hipérbolas, es la distancia entre sus dos focos. Focos: El foco de una curva es un punto (o puntos) singular, respecto del cual se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con los puntos de dicha curva. Radio Vector: Es la distancia desde un punto de la cónica hasta su respectivo foco. Centro: Es el punto que se encuentra en medio de una cónica. Eje Focal: Es la recta que pasa por el foco (o focos). Vértice: En cónicas son los puntos de intersección de la cónica con su eje focal. Eje Mayor: Es el segmento que tiene por extremos a los vértices. Eje Menor: Es la recta mediatriz del eje mayor a cuyos extremos se les suele llamar a covértices. Diámetro: El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Excentricidad: La excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia

GRAFICOS, SEÑALANDO SUS PARTES Y FORMULAS Hipérbola Focos: Son los puntos fijos F y F’ Radio vectores: Son los segmentos PF’ y PF Centro de la hipérbola: Punto O donde se cortan los ejes

Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’. A y A’ A y A’ son los puntos de corte del eje real con la hipérbola. Sus coordenadas son (a,0) y (-a,0) respectivamente. B y B’ son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro en el punto A y radio «c». Sus coordenadas son (b,0 ) y (-b,0) respectivamente. Eje real: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a Eje imaginario: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c Semieje real: Es la longitud «a» Semieje imaginario: Es la longitud «b» Semidistancia focal: Es la longitud «c» Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje real Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’

Elipse Focos: Son los puntos fijos F y F’ Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF’ El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes.

La distancia del punto P al punto F más la distancia del punto P al punto F’ es igual a la longitud del eje mayor (2a): Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’ Eje mayor: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a Eje menor: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c Semieje mayor: Es la longitud «a» Semieje menor: Es la longitud «b» Semidistancia focal: Es la longitud «c» Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje mayor Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’

Excentricidad de la elipse: Las elipses pueden ser más redondeadas o más alargadas o achatadas. Esta característica de ser más o menos redondeada se mide con un número llamada excentricidad que es el cociente entre la semidistancia focal «c» y el semieje mayor «a»: La excentricidad es un número comprendido entre 0 y 1.

Parábola Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz. Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco. Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz Vértices: es el punto V de la intersección del eje y la parábola. Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).

La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente.

Eje Vertical La ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje vertical es:

Circunferencia

Centro: «O», es el centro de la circunferencia. Radio: «R», es el radio de la circunferencia y está definido como la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. Cuerda: es el segmento que intercepta a la circunferencia en dos puntos, de la figura 01, una cuerda será «MN». Si la cuerda contiene al centro de la circunferencia, dicha cuerda se le llamará diámetro. Diámetro: «AB», es la cuerda máxima en la circunferencia y necesariamente debe pasar por el centro. El diámetro divide a la circunferencia en dos partes congruentes, llamado semicircunferencia. Arco:

El Arco se considera como una porción de la circunferencia

Recta Tangente: «Rt», es la recta que intercepta a la circunferencia en un punto, llamado punto de tangencia. Punto de Tangencia: «T», es el punto producto de la intercepción de la recta tangente con la circunferencia. Recta Secante: «Rs», es aquella recta que corta a la circunferencia en dos puntos. En la figura 01, aquellos puntos son: «P» y «S». Ecuación de la circunferencia en función de las coordenadas del centro y el radio. Consideremos un punto P(x,y) de la circunferencia de centro C(h,k) y de radio r. Por definición, la distancia desde C (h,k) al punto P(x,y) es siempre constante e igual al radio r, pudiéndose escribir:

( x−h )2+ ( y −k )2=r 2 , donde ( h , k ) es el centro y r es el radio . Ecuación canónica de la circunferencia o ecuación reducida. Si el centro de la circunferencia coincide con el origen se tendrá que h = k = 0, pudiéndose escribir: x 2+ y 2=r 2

Ecuación general de la circunferencia. Partiendo de la ecuación de la circunferencia en función de las coordenadas del centro y radio y desarrollando el producto notable cuadrado de una diferencia queda expresado así: ( x−h )2 +( y−k )2=r 2

PROGRAMA QUE SE PUEDE UTILIZAR PARA LA GRAFICA DE CONICAS. Un programa el cual puede llegar a ayudar mucho en la grafica de secciones cónicas es el programa Winplot, que es un programa de graficación en 2 y 3 dimensiones, de uso gratuito, escrito por el doctor Richard Parris. Características: Grafica funciones explícitas, funciones implícitas, ecuaciones paramétricas ecuaciones polares en 2 y 3d Calcula áreas bajo y entre curvas Calcula longitudes de arco Calcule volúmenes de sólidos de revolución Gráfica de secciones cónicas (ecuación de forma implícita) Se llama implícita a una ecuación donde las variables están combinadas y no existe una variable en función de otra. Las secciones cónicas tienen ésta característica.

Al dar click en la pestaña ECUA y seleccionar Implícita, aparece el siguiente cuadro de diálogo. Ejemplos: Es una circunferencia con centro en el origen y radio=5

Por supuesto el centro puede estar en cualquier punto (h,k)

Elipse: 2x2+3y2+2x-3y=10

Parábola: X= (Y2+2) ésta es una parábola horizontal con vértice en (0,2)

También existe la posibilidad de combinar gráficas. Es posible combinar varias gráficas en un mismo plano. Para cada ecuación se da clic en ECUA y se ingresan los datos. Ejemplo: Grafique en el mismo plano: x2+y2=16, (x+3)2+(y-5)2=10, x=y2

APLICACIÓN DE CÓNICAS EN LA VIDA COTIDIANA En la arquitectura se puede observar como en los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy se sabe que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

También se construyen techos elipsoides, en tres dimensiones, emitiendo un sonido desde uno de los focos, ese sonido se oirá de igual forma desde el otro foco (las ondas sonoras rebotan en las paredes y se reflejan en el otro foco; incluso el tiempo que tardan es el mismo, sea cual sea la dirección inicial).

Así mismo en el arte se aplican las propiedades de las cónicas, como puede ser el uso de los arcos parabólicos utilizados por los hititas primordialmente y siendo recuperados por Antonio Gaudí, siendo estas creadas solo para el uso artístico.

De igual forma en diseño artístico es común cuadrar retratos y fotografías en un marco de forma elíptica. La mayoría de los dispositivos usados para recortar figuras elípticas están basados en las ecuaciones de la elipse. También las cónicas son usadas en la medicina, una técnica muy revolucionaria que se basa en el tratamiento los cálculos renales utilizando propiedades reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas

sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, solo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. Este aparato es llamado litotriptor

En la órbita de las cometas A cierta distancia del Sol, existe una velocidad umbral llamada velocidad de escape, v. Cuando un cometa tiene una velocidad igual o mayor que v, escapa del sistema solar. Si su velocidad es menor permanece dentro del campo gravitacional del Sol. Trayectoria del cometa Elíptica si su velocidad es menor que v. Hiperbólica si es mayor que v. Parabólica si es igual a v. Así mismo, en 2004, se propone la trayectoria de un vuelo hacia el espacio en el cual se plantea por lo tanto, la hipótesis de una trayectoria elíptica de impacto como la que tendría un misil intercontinental tierra-tierra. De igual forma Cuando sobre un proyectil tan solo actúa la gravedad, la trayectoria balística es una parábola. Sin embargo, la presencia de otras fuerzas, tales como la resistencia aerodinámica (atmósfera), la fuerza de sustentación, la fuerza de Coriolis (efecto de la rotación terrestre) hacen que la trayectoria real sea algo diferente. También en el calibre de las pistolas se habla de por ejemplo 6.35mm, lo cual se refiere al tamaño del agujero del arma por donde se dispara la bala, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimétrica para lograrlo.

Conclusión Para finalizar, se podría decir que las cónicas, son un grupo de curvas las cuales han servido desde su descubrimiento, no solo para la resolución de problemas matemáticos y la creación de ecuaciones, sino también se descubrió el uso de estas en la vida cotidiana y que diversas cosas que nos rodean estaban basadas en ello. Ubicando a estas en un plano para su buena resolución. Ayudando así en tantas áreas, como lo puede ser la medicina, que se empleó el uso de una cónica para curar una enfermedad; o tan solo para el crecimiento de la creatividad humana, utilizando estas para el arte y el mejoramiento del sonido en una sala o un estudio. La aplicación de cónicas es algo impresionante, unas curvas matemáticas ocasionadas por la elaboración y resolución de unas ecuaciones las cuales ayudaran a la práctica de estas en la vida común del ser humano y la compresión de varias interrogantes que los rodean. Siendo estas no solo un descubrimiento más de la ciencia, sino que explica diversos fenómenos o propiedades de la vida común del ser humano, sirviendo para desarrollar en un futuro más nuestros concomimientos y tecnología.

BIBLIOGRAFIA Alegría, P (s/f). Las Cónicas Y sus Aplicaciones. http://www.ehu.eus/~mtpalezp/conicas.pdf. [Consulta: 14/05/2020] CEDAITT. TEMA P-XVI. PARÁBOLA. https://sites.google.com/site/cedaitt/tema-oxvi-parbola. [Consulta: 09/05/2020] Conicas.solomatematicas. Historia de las Cónicas. https://conicas.solomatematicas.com/historia.aspx. [Consulta: 09/05/2020] Ekuatio. Elipse: Elementos, ecuación de la elipse y rectas tangente y normal. https://ekuatio.com/elipse-elementos-ecuacion-de-la-elipse-y-rectas-tangente-ynormal/. [Consulta: 09/05/2020] Ekuatio. Hipérbola: Elementos, ecuación de la hipérbola, rectas tangente y normal. https://ekuatio.com/hiperbola-elementos-ecuacion-de-la-hiperbola-rectas-tangente-ynormal-ejercicios-resueltos/. [Consulta: 09/05/2020] Matemáticas Digitales. Cónicas: ¿Cómo se originan? http://www.matematicasdigitales.com/conicas-como-se-originan/. [Consulta: 09/05/2020] Monografías. Secciones Cónicas y sus Aplicaciones. https://www.monografias.com/trabajos82/conicas-y-aplicaciones/conicas-yaplicaciones.shtml. [Consulta: 09/05/2020] Portafolio Digital Erick Sc. Secciones Cónicas. https://sites.google.com/site/portafolioericksc/secciones-conicas. [Consulta: 09/05/2020] Reyesestadistic. Estadística, Matemática y Computación: GRÁFICAS DE SECCIONES CÓNICAS USANDO WINPLOT. http://reyesestadistica.blogspot.com/2014/10/graficas-de-secciones-conicasusando.html. [Consulta: 09/05/2020] Secciones Cónicas. Cálculo Vectorial. https://sites.google.com/site/saurontealabamos/parcial-1/resumenes/seccionesconicas. [Consulta: 09/05/2020]