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SECCIONES CÓNICAS

La Elipse Documento preparado por. Yulissa T. Restrepo Aguilera

La Elipse La elipse es un lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos F1 y F2 denominados focos es constante.

Es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría.

Construcción de una elipse Para construir una elipse se procede según los siguientes pasos: 1.

Sobre una hoja de papel se ubican dos puntos F1 y F2 que son los focos de la elipse.

2. Se toma una cuerda de longitud mayor que la distancia entre F1 y F2, se fijan sus extremos sobres los focos.

3. Con la punta de un lápiz se mantiene tensa la cuerda, luego se desliza el lápiz alrededor de F1 y F2 sin dejar de tensar la cuerda.

4. Se continua deslizado el lápiz hasta obtener la elipse completa.

Elementos de la elipse Los elementos de la elipse: Eje focal

Eje normal

Los focos: son los puntos fijos F1 y F2 del plano. El eje focal o eje principal: es la recta que pasa por los dos focos. Centro: es el punto medio del segmento que une los dos focos.

Eje normal o secundario: es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse. Los vértices: en los puntos A y B donde la elipse corta al eje focal.

Elementos de la elipse

Eje focal

Eje normal

Los elementos de la elipse: El eje mayor: es el segmento que une los vértices sobre es eje focal A y B.

Lado recto

El eje menor: es el segmento que une los puntos de intersección de la elipse con el eje normal.

El lado recto: es el segmento perpendicular al eje focal que pasa por uno de los focos y que une a dos puntos de la elipse.

Ecuación canónica de la elipse con centro ( 0,0 ) Cuando la elipse está ubicada en el plano cartesiano, con centro en el origen, su ecuación se determina analizando dos casos:

 La elipse con eje focal igual al eje x  La elipse con eje focal igual al eje y.

La elipse con eje focal igual al eje x Para un punto P( x , y ) de la elipse se cumple que: d ( P , F1 ) + d ( P , F2 ) = 2 a La distancia del punto C a cada foco es a, ya que la suma de las distancias a los dos focos es 2 a como se aprecia en la figura

La ecuación canónica de una elipse con centro ( 0 , 0 ) es: 1 y donde a > b > 0 y

=

+

La elipse con eje focal igual al eje y Para hallar la ecuación es análogo al procedimiento para determinar la ecuación con eje focal igual a x. La ecuación canónica de una elipse con centro ( 0 , 0 ) es:

1 donde a > b > 0 y

=

+

Lado recto y excentricidad de una elipse Para las elipses con centro ( 0 , 0 ) se cumple que: La longitud del eje mayor es 2 a La longitud del eje menor es 2 b Las distancias a, b y c se relacionan mediante la formula

=

+

Lado recto y excentricidad de una elipse Como a > c > 0, la excentricidad de una elipse siempre es mayor que 0 y menor que 1. Cuando el valor de c se aproxima a 0, es decir, se aproxima cada vez más. Si c llega a ser igual a 0, los focos coinciden con el centro de la elipse y la representación gráfica es una circunferencia.

Ecuación canónica de la elipse con centro (h , k ) Cuando la parábola está ubicada en el plano cartesiano, con el vértice en (h , k ), su ecuación se determina analizando dos casos

 La elipse con eje focal paralelo al eje x  La elipse con eje focal paralelo al eje y.

La elipse con eje focal paralelo al eje x Para una elipse con eje focal paralelo al eje x y centro en (h , k ) se tiene que: • Centro: (h , k ) • Focos: F1 (h – c, k) y F2 (h + c, k) • Vértices sobre el eje focal: V1 (h – a, k) y V2 (h + a, k) • Vértices sobre el eje menor: B1 (h, k – b) y B2 (h, k + b) • Longitud del lado mayor: 2 a • Longitud del lado menor: 2 b • Ecuación del eje focal: y = k

La elipse con eje focal paralelo al eje x En este caso, para deducir la ecuación de la elipse con centro en (h , k ), se realiza una traslación de ejes. Se obtiene que: La ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k ) y eje focal paralelo al eje x es: = 1,

donde a > b > 0 y

=

+

La elipse con eje focal paralelo al eje y En una elipse con eje focal paralelo al eje y y centro en (h , k ), se tiene que: • Centro: (h , k ) • Focos: F1 (h, k – c) y F2 (h, k + c) • Vértices sobre el eje focal: V1 (h, k – a) y V2 (h, k + a) • Vértices sobre el eje menor: B1 (h – b, k) y B2 (h + b, k) • Longitud del lado mayor: 2 a • Longitud del lado menor: 2 b • Ecuación del eje focal: x = h

La elipse con eje focal paralelo al eje y En este caso, para deducir la ecuación de la elipse con centro en (h , k ), se realiza una traslación de ejes. Se obtiene que: La ecuación canónica de la elipse con centro en (h , k ) y eje focal paralelo al eje y es: = 1, donde a > b > 0 y

=

+

Ecuación general de la elipse La ecuación general de una elipse se puede determinar a partir de la ecuación canónica. La ecuación anterior se puede expresar como : La ecuación general de la elipse, con eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados es con A ≠ C, diferentes del cero y con el mismo signo.

Fin del documento

Fuente: Libro HIPERTEXTO Santillana Matemáticas 10º