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1 UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

´

TRABAJO DE INVESTIGACION “ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UN PÓRTICO MEDIANTE EL MÉTODO

MATRICIAL DE RIGIDEZ” CURSO: “RESISTENCIA DE MATERIALES II” DOCENTE: ING. WILBER MENDOZA RAMIREZ INTEGRANTES: Condori Ramos, Oliver - Gil Velasquez, Salma - Morales Huaman Mariel - Tejada Pare, Eduin - Vichata Chique, Ronaldo Mihael GRUPO: “A” TACNA – PERU 2020

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Tabla de Contenidos

Introducción.....................................................................................................................................1 Capítulo 1 Planteamiento del problema...........................................................................................2 1.1 Descripción del problema......................................................................................................2 1.2 Formulación del problema.....................................................................................................3 1.3 Justificación e importancia de la investigación.....................................................................3 1.4 Objetivos................................................................................................................................3 1.4.1.........................................................................................................................................3 Objetivo general.......................................................................................................................3 1.4.2.........................................................................................................................................3 Objetivos específicos...............................................................................................................3 1.5 Hipótesis................................................................................................................................4 Capítulo 2 Marco Teórico................................................................................................................5 2.1 Antecedentes..........................................................................................................................5 2.2 Bases teóricas.........................................................................................................................7 2.2.1 Matriz de rigidez local....................................................................................................9 2.2.2.Matriz de transformación de coordenadas....................................................................11 2.2.3 Matriz de rigidez global de los elementos....................................................................13 2.3 Definición de términos.......................................................................................................14 carga muerta:.............................................................................................................................14 carga viva:..................................................................................................................................15 Capítulo 3 Resultados....................................................................................................................18 METRADOS DE CARGAS..................................................................................................20 3.1 Grados de Libertad :............................................................................................................22 3.2 Matriz Rigidez:....................................................................................................................25 3.3 Vector de fuerza:..................................................................................................................26 3.4 Vector de desplazamiento:...................................................................................................26 3.5 Análisis de barras:................................................................................................................27 3.6 Cálculo de reacciones:.........................................................................................................29 3.7 Desarrollo de las matrices en Excel:....................................................................................30 3.8 Comprobación en SAP2000................................................................................................30 Capítulo 4 Discusión.....................................................................................................................31 4.1 Conclusiones........................................................................................................................31 4.2 Recomendaciones................................................................................................................31 4.3 Referencias Bibliográficas...................................................................................................32

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Índice de figuras Figura 1 – referencia de plano........................................................................................................................................2 Figura 2 elemento tipo pórtico.......................................................................................................................................9 Figura 3 Matriz de rigidez...............................................................................................................................................9 Figura 4 Elemento tipo pórtico.....................................................................................................................................10 Figura 5 Matriz de rigidez.............................................................................................................................................10 Figura 6 Rotación del sistema de coordenadas local.................................................................................................11 Figura 7 Matriz de transformación de coordenadas...................................................................................................13 Figura 8 Desplazamientos unitarios.............................................................................................................................18 Figura 9 Momentos de empotramiento.......................................................................................................................19 Figura 10 comprobación sap-2000...............................................................................................................................31

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1 Introducción

El análisis de estructuras viene a ser una parte muy importante al momento del planteo y/o construcción de una edificación, por este motivo la resistencia de materiales es una parte fundamental para el planteo de estructuras y análisis. La finalidad del análisis global de pórticos es obtener la distribución de los esfuerzos y los correspondientes desplazamientos de la estructura sometida a una carga dada. Para conseguir este propósito es necesario adoptar modelos adecuados, basados en varias suposiciones que incluyen tanto el comportamiento geométrico de la estructura y sus elementos como el comportamiento de las secciones y las uniones. Para el análisis del siguiente pórtico no solo se puede usar los métodos ya mencionados existen diversos métodos para resolver y plantear el problema, pero en este caso usaremos un método sencillo para poder determinar la solución.

2 Capítulo 1 Planteamiento del problema 1.1 Descripción del problema Se pretende dar a conocer una herramienta básica en la solución de pórticos, vigas y armaduras estructurales mediante la aplicación del método matricial de rigidez. Para eso utilizaremos el plano de una vivienda unifamiliar, el cuál se aprecia en la figura 1.

Figura 1 – referencia de plano

1.2 Formulación del problema

3 ¿Cuál es el proceso para aplicar el método matricial de rigidez en el cálculo de reacciones y desplazamiento? 1.3 Justificación e importancia de la investigación El método matricial de rigidez, es un método que evoluciono tanto, que en la actualidad tiene una teoría ampliamente fundamentada con unas bases definidas y estructuradas lo cual hace de este método un camino para la implementación de software de modelamiento estructural. También es de vital importancia desarrollar este tipo de análisis ya que en un futuro al momento de plantear un proyecto y realizarlo está en nuestras manos, los ingenieros la seguridad de muchas personas de acuerdo a esto nuestros cálculos deben ser precisos y así no se tendrá ningún tipo de falla que ocasione algún problema. 1.4 Objetivos 1.4.1. Objetivo general

Realizar una guía básica para la interpretación, análisis y aplicación del método matricial de rigidez para el cálculo de las reacciones y desplazamientos. 1.4.2. Objetivos específicos

-

Plantear teoría de cómo calcular paso a paso las reacciones y desplazamientos mediante el método matricial de rigidez.

-

Desarrollar el cálculo de las reacciones y los desplazamientos por el método matricial.

-

Comprobaremos nuestros resultados con el programa SAP2000 el cual nos brindara un cálculo exacto en el planteo del problema.

4 1.5 Hipótesis -

Al aplicar este método se logra obtener los resultados de las reacciones y desplazamientos en un pórtico de una vivienda unifamiliar mediante el método matricial de rigidez.

-

Al desarrollar el cálculo de las reacciones y desplazamientos en un pórtico en una vivienda unifamiliar mediante el método matricial de rigidez tiene resultados favorables para seguridad de la vivienda.

-

El pórtico es capaz de soportar todas las cargas vivas y muertas aplicadas sobre el, para garantizar la seguridad de las personas que habitaran en la vivienda.

5 Capítulo 2 Marco Teórico

2.1 Antecedentes Desde los comienzos de la humanidad, la ingeniería estructural ha estado ligada a su historia. Pero sólo fue hasta mediados del siglo XVII que los ingenieros empezaron a aplicar los conocimientos de la mecánica, en el análisis y diseño de estructuras y máquinas. Las primeras máquinas simples como el plano inclinado, la rueda, la polea, el tornillo y la cuña sirvieron para construir algunas de las magníficas estructuras antiguas. Podemos distinguir algunos períodos importantes de esta historia y en ellos algunos pueblos, construcciones, personajes y descubrimientos importantes. Henry Manderla fue el primero en utilizar los desplazamientos (∆); y rotaciones (Ѳ) en los nudos como incógnitas en el análisis de una estructura hiperestática. En 1880 analizo un pórtico de nudos rígidos tomando en consideración las deformaciones producidas en los elementos de la estructura por la acción de los momentos flectores y las fuerzas axiales. Esta técnica no resulto apropiada para la época por la complejidad del sistema resultante de ecuaciones, expresado en términos de la translación y rotación desconocidas de los nudos y que pretende describir el efecto de la flexión y de la fuerza axial sobre cada elemento. Posteriormente en 1892 Otto Mohr quien había contribuido al desarrollo del método de flexibilidad para estructuras hiperestáticas, propuso un método aproximado para el cálculo de los esfuerzos producidos por la flexión en un pórtico de nudos rígidos. La

6 técnica de Mohr requería la solución de un sistema de ecuaciones expresado únicamente en términos de las rotaciones (Ѳ) de los nudos. En 1914 Alex Bendixen propuso el método pendiente-deflexión para el análisis de estructuras que requieren la solución de un sistema de ecuaciones expresado en términos de los desplazamientos (∆) y rotaciones (Ѳ) de los nudos. En 1915 G. A. Maney dio a conocer el desarrollo formal de las ecuaciones pendientedeflexión. El método pendiente-deflexión propuesto por Bendixen y Maney es semejante al método propuesto anteriormente por Mohr. En 1930 Hardy Cross difundió el método de distribución de momentos, este método aproxima progresivamente el valor de los momentos no equilibrados en los nudos permitiendo de esta forma analizar estructuras planas con nudos rígidos esta técnica tuvo gran aceptación por cuanto elimino la necesidad de resolver el sistema de ecuaciones simultaneas lineales requerido en el método pendiente –deflexión. E método pendiente – deflexión para el análisis de estructuras hiperestáticas es el predecesor del método más generalizado de análisis que se utiliza actualmente. El advenimiento del computador digital para realizar operaciones matemáticas elimino a la solución de ecuaciones simultáneas como una restricción u obstáculo para el análisis estructural. Esta ha permitido la utilización de un método muy general para el análisis de estructuras reticulares (formada por barras esqueletales). Las incógnitas de su formulación son los desplazamientos y las rotaciones de los nudos. Este método de análisis se llama METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ.

7 2.2 Bases teóricas Comenzaremos conociendo que significa grado de libertad (GDL): Un grado de libertad es un posible movimiento de un nudo en una estructura. De este significado se desglosa: -

Grados de libertad restringidos (GDR): Son aquellos que impiden el movimiento de los nudos. Estos no lo dan por general los apoyos de la estructura.

-

Grados de libertad libres (GDL): Son aquellos que se desplazan libremente por lo general son los que no tienen apoyo.

Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas- Pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada). Las barras son rectas y de sección constante. Para estudiar una estructura por el método de la rigidez, al igual que en cualquier otro problema elástico, disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse. -

Ecuaciones de compatibilidad

-

Ecuaciones constitutivas

-

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales Introduciendo estas últimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un

8 conjunto de ecuaciones de fuerzas nodales en función de desplazamientos nodales, que pueden ser consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en función de desplazamientos. La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite obtener el valor de las incógnitas (desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras de la estructura, así como las reacciones. Cuando se van a calcular las relaciones esfuerzos de extremo de barra desplazamientos, es natural escoger un sistema de coordenadas que haga estas ecuaciones lo más sencillas posible. Tomaremos por lo tanto como eje x el que coincide con el eje geométrico de la pieza y los ejes y y z coincidentes con los ejes principales de la sección transversal. Tal sistema pertenece a la barra, y no depende de la orientación de la misma en la estructura y lo denominaremos sistemas de ejes locales. Por el contrario, cuando las piezas se unen entre sí para formar la estructura, es necesario tener un sistema de coordenadas común para todos los movimientos y esfuerzos de extremo de barras para poder aplicar las condiciones de equilibrio y compatibilidad. A dicho sistema lo denominaremos sistema de ejes globales. Dichos esfuerzos de extremos de barras y desplazamientos dependerán del tipo de estructura que estamos resolviendo. Este capítulo presenta la matriz de rigidez local de los elementos planos tipo cercha, viga y pórtico con la representación de los grados de libertad para cada elemento.

9 Se incluye la matriz de transformación de coordenadas locales a globales con su respectiva demostración la cual se utilizará en la resolución de los diferentes ejercicios. 2.2.1. Matriz de rigidez local

-

Elemento tipo pórtico

La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1) sin la consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 2.

Figura 2 elemento tipo pórtico

Figura 3 Matriz de rigidez

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Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas, Para facilitar las operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas locales del elemento como se aprecia en las figuras 3 y 4.

Figura 4 Elemento tipo pórtico

Figura 5 Matriz de rigidez

11 2.2.2. Matriz de transformación de coordenadas

La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales establecidas X, Y y Z, por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de cada elemento al global. Para este fin, se dará uso de la matriz de transformación de coordenadas obtenida de la figura 5

Figura 6 Rotación del sistema de coordenadas local

Matricialmente se obtiene

Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del sistema, se concierne que el giro del eje local coincide con el global, de esta manera se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad (caso elemento de pórticos).

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Despejando en coordenadas locales, resulta

Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema

Matriz de rotación por lo tanto, la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo pórtico mostrado en la Figura 6 será:

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Figura 7 Matriz de Figura transformación de coordenadas 7 2.2.3. Matriz de rigidez global de los elementos

La matriz de rigidez global de un elemento está dada por:

Dónde: [T]: es la matriz de rotación del sistema [T’]: es la transpuesta de T [k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio.

2.3 Definición de términos

14 Según el REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES NORMAS LEGALES EL PERUANO “NORMA E 020 CARGAS” Carga: Fuerza u otras acciones que resulten del peso de los materiales de construcción, ocupantes y sus pertenencias, efectos del medio ambiente, movimientos diferenciales y cambios dimensionales restringidos. Carga Muerta: Es el peso de los materiales, dispositivos de servicio, equipos, tabiques y otros elementos soportados por la edificación, incluyendo su peso propio, que sean permanentes o con una variación en su magnitud, pequeña en el tiempo. Carga Viva: Es el peso de todos los ocupantes, materiales, equipos, muebles y otros elementos movibles soportados por la edificación. CARGA MUERTA: -

MATERIALES

Se considerará el peso real de los materiales que conforman y los que deberán soportar la edificación, calculados en base a los pesos unitarios que aparecen en el Anexo 1, pudiéndose emplear pesos unitarios menores cuando se justifiquen debidamente. El peso real se podrá determinar por medio de análisis o usando los datos indicados en los diseños y catálogos de los fabricantes. -

DISPOSITIVOS DE SERVICIO Y EQUIPOS

Se considerará el peso de todos los dispositivos de servicio de la edificación, incluyendo las tuberías, ductos, equipos de calefacción y aire acondicionado, instalaciones eléctricas, ascensores, maquinaria para ascensores y otros dispositivos fijos

15 similares. El peso de todo este material se incluirá en la carga muerta. El peso de los equipos con los que se amueble una zona dada, será considerado como carga viva. -

TABIQUES

Se considerará el peso de todos los tabiques, usando los pesos reales en las ubicaciones que indican los planos. Cuando exista tabiquería móvil, se aplicará lo indicado en el Artículo 6. CARGA VIVA: -

CARGA VIVA DEL PISO

Carga Viva Mínima Repartida. Se usará como mínimo los valores que se establecen en la Tabla N°01 para los diferentes tipos de ocupación o uso, valores que incluyen un margen para condiciones ordinarias de impacto. Su conformidad se verificará de acuerdo a las disposiciones en Artículo 6 (6.4). a) Cuando la ocupación o uso de un espacio no sea conforme con ninguno de los que figuran en la Tabla 1, el proyectista determinará la carga viva justificándola ante las autoridades competentes. b) Las cargas vivas de diseño deberán estar claramente indicadas en los planos del proyecto.

TABLA N°01: CARGAS VIVAS MÍNIMAS REPARTIDAS

16

17 FUENTE: Reglamento Nacional de Edificaciones “NORMA E.020” Norma de Cargas TABLA N°02: PESOS UNITARIOS PESOS UNITARIOS MATERIALES

PESO (Kg.f/m3)

CONCRETO SIMPLE DE: Grava

2300

CONCRETO ARMADO

Añadir 100 al peso del concreto simple

FUENTE: Edición Propia 2019 TABLA N°02: En la siguiente tabla observaremos los pesos unitarios de los materiales a usar en nuestro análisis de cargas los cuales se presentan con sus respectivos pesos.

Capítulo 3 Resultados A continuación mostramos el procedimiento realizado junto a los resultados, para obtenerlos utilizamos la figura 8 que nos indica los desplazamientos unitarios para un pórtico plano:

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Figura 8 Desplazamientos unitarios Y también la figura 9 que nos indica los desplazamientos unitarios para un pórtico plano:

19

Figura 9 Momentos de empotramiento

20 METRADOS DE CARGAS

Factores: -Peso propio de la viga (principal): -Peso propio de la losa (20cm): 300 kgf/m2

(Norma E0.20 Anexo 01: Pesos unitarios) -Peso de tabiquería: 50kgf/m2 (Peso considerado por experiencia laboral) -Peso de acabados, piso terminado: 100kgf/m2 (mitad de s/c de vivienda por ser azotea) CÁLCULO DE CARGAS MUERTAS: -Peso propio de la viga (principal): ¿ b∗h∗γc ¿ 0.25 m∗0.40 m∗2.4 Tnf / m3 ¿ 0.24 Tnf /m -Peso de la losa como carga distribuida: P losa=factor de losa∗ancho tributario de losa 300 kgf P losa= ∗1.80 m m2 0.3Tnf P losa= ∗1.80 m m2 P losa=0.54 Tnf /m -Peso de tabiquería (parapetos): P tabiquería=factor de tabiquería∗ancho tributario total

21 50 kgf ∗2.05 m m2 0.05Tnf P tabiquería= ∗2.05 m m2 P t abiquería=0.1025 Tnf /m -Peso de acabados: P tabiquería=

P acabados=factor de acabados∗ancho tributario total 100 kgf ∗2.05 m m2 0.1Tnf P acabados= ∗2.05 m m2 P acabados=0.205 Tnf /m P acabados=

TOTAL DE CARGA DISTRIBUIDA DE CARGA MUERTA: ¿ 0.24 Tnf /m+054 Tnf /m+0.1025 Tnf /m+ 0.205Tnf /m=1.0875 Tnf /m

METRADO DE CARGA VIVA: Cv=s/c∗anchotributario total 100 Kgf Cv= ∗2.05 m2 0.1Tnf Cv= ∗2.05 m2 0.205Tnf Cv= m

NOTA: La norma E0.60 de concreto armado establece lo siguiente, con el fin de realizar la amplificación de cargas Wu=1.4 CM + 1.7CV Wu=1.4∗( 1.0875 ) +1.7∗( 0.205 )=1.871 Tnf /m

22 Pre dimensionamiento por comparación de inercias de las vigas que llegan a las columnas: VP b= h= I= 2I=

25x40 25.00 40.00 133333.3 266666.7

C1= b= h= I=

45x45 45.00 45.00 341718.8

VS b= h= I= 2I=

25x30 25.00 30.00 56250.0 112500.0

C2= b= h= I=

40x40 40.00 40.00 213333.3

Se cumple que la sumatoria de las vigas que llegan a la columna C1 es menor que la misma.

Datos:

Seccionde columna: 45 x 45

Seccionde viga :25 x 40

Icol=341718.75cm 4

Iv=133333.33 cm 4

E=15000 √210=217370.651

3.1 Grados de Libertad :

23 3.2 Matriz Rigidez: Y 1=1

Viga:

A:

4 EI 4(1) = =1.12 L 3.58

B:

2 EI 2(1) = =0.559 L 3.58

Columna:

4 EI 4( 2.56) = =2.926 L 3.5

Y 2=1

6 EI 6 ( 2.56 ) = =1.254 L2 3.5 2

24

D 1=1 Columna 12 EI 12(2.56) = =0.717 L3 3.53

6 EI 6(2.56) = =1.254 L2 3.52

Ensamble de matriz de

3.3 Vector de fuerza:

Rigidez:

25

BARRA 1 2 3

−1.998 [F ]= 1.998 0

[ ]

3.4 Vector de desplazamiento:

[ ∆ ] =[ K ]−1∗[ F ]

4.046 0.559 1.254 [ ∆ ] = 0.559 4.046 1.254 1.254 1.254 0.717

[

−1

−1.998 ∗ 1.998 0

][ ]

MA 0 1.998 0

MB 0 -1.998 0

26 −0,573 [ ∆ ] = 0.573 0

[ ]

3.5 Análisis de barras: - BARRA 1 Y 3 (SIMETRICOS) (L =3.5)

4 2 ∗EI [ 2 4] * k ´= L

4 2 ∗EI Ɵ [ 2 4] *[ ] Ɵ k ´= L A B

27 4 2 ∗2.56 [ 2 4] M 0 = ∗[ [ M ] 3.5 −0.573 ] A B

[ [ -

MA 2.925 1.463 0 = 1.463 2.9254 −0.573 MB

][ ][

MA −O.838 = −1.675 MB

][

]

BARRA 2 (L=3,58)

]

28 4 2 ∗EI Ɵ [ 2 4] *[ ] Ɵ k ´= L A B

4 2 ∗1 [ 2 4] M = [ M ] 3.58 ∗[−0.573 0.573 ] A B

MA 1.117 0.559 −0.573 = 0.559 1.117 0.573 MB

[ ][ [ ][

MA −0.3197 = 0.3197 MB

][

]

]

Estado Final: BARRA 1 2 3

EST 1 M A MB 0 0 1.998 −1.998 0 0

EST2 M A MB −0.838 −1.676 −0.3197 0.3197 −0.838 −1.676

EST FINAL M A MB −0.838 −1.676 1.678 −1.678 −0.838 −1.676

29 3.6 Cálculo de reacciones:

∑ M a=0 −1.676−0.838+ X ( 3.5 )=0 X =0.718 Tn f

∑ M A BARRA=0 1.678−1.678−6.698 Y =3.349Tn f

( 3.582 )+Y (3.58)=0

30 3.7 Desarrollo de las matrices en Excel: Se adjunta en la figura 10 desarrollo de las matrices en una hoja de cálculo Excel

Figura 10 3.8 Comprobación en SAP2000 Se adjunta en la figura 11 la comprobación en el programa SAP2000, la cuál coincide con los cálculos realizados.

Figura 10 comprobación sap-2000

31 Capítulo 4 Discusión. 4.1 Conclusiones -

Se explicó y además se aplicó el método matricial de rigidez para el cálculo de las reacciones y desplazamientos.

-

Mediante el método matricial pudimos calcular los desplazamientos que nos ayudaron a obtener las reacciones deseadas, utilizando una hoja de cálculo.

-

De acuerdo al programa de SAP2000 comprobamos nuestras reacciones mediante el método matricial el cual nos dio una respuesta significativamente igual a la del programa.

4.2 Recomendaciones -

PARA LA UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA, promover más proyectos en base al análisis estructural así los estudiantes tendrán mayor conocimiento sobre el planteo de estructuras de esta forma se desarrollaran mejores edificaciones.

-

PARA EL LECTOR Y PÚBLICO EN GENERAL, es importante conocer las diferentes herramientas y softwares como en este caso el Excel, porque actualmente es indispensable tener un manejo básico, sobre todo si es un profesional en formación.

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4.3 Referencias Bibliográficas •

Ballio, G. y Mazzolani, F. M., `Theory and Design of Steel Structures’, Chapman

and Hall, 1983. •

Alvarez, Edicson. `Ejercicios Paso A Paso Del Metodo Matricial De Rigidez Para

El Cálculo De Estructurales Esqueletales`, 2009. •

U.N.E. Análisis Matricial de Estructuras por el Método de la Rigidez. diciembre

03, 2019, de Universidad Nacional del Nordeste, Argentina. Sitio web: http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap4.pdf •

Dowling, P. J., Knowles, P. R., y Owen, S. G. W., “Structural Steel Design”,

Butterworths, 1988. •

Hart, F., Henn, W. and Sontag, H.: “MultiStorey Building in Steel” (second

edition), Collins, London, 1982. •

Iyengar, S. H., Baker, W. F. and Sinn, R.: “Multi-Storey Buildings”, from

Constructional Steel Design, Elsevier, London, 1992. •

REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES