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COSTOS DE AJUSTE

Universidad Nacional del Altiplano FACULTAD DE INGENIERIA EONOMICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ECONOMICA

TEMA:

MODELO DE COSTOS DE AJUSTE DEL MERCADO LABORAL

CURSO: MACROECONOMIA II DOCENTE: ING. FAUSTINO FLORES LUJANO PRESENTADO POR:  LUJANO SUAÑA, Yunior.

SEMESTRE: IV

Puno- Perú 2016

MACROECONOMIA II

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COSTOS DE AJUSTE

RESUMEN EJECUTIVO El objetivo del presente trabajo es identificar los aspectos más relevantes del modelo matemático del planteamiento de Hamermesh y sus implicancias en los costos de los agentes productivos. Además se busca realizar y analizar algunas variantes a la formulación original de la función planteada por Hamermesh. A través de una técnica de optimización dinámica y el uso de operaciones matemáticas se concluye que es relevante la afirmación realizada por Hamermesh en el sentido de que los ajusten en la demanda de factores están directamente relacionados a la magnitud del shock. Respecto a las variantes del modelo se puede decir que tanto en condiciones explicitas e implícitas los resultados no difieren. Además en el caso particular del modelo de ajuste en la demanda de trabajo el valor residual no tiene ningún efecto en los ajustes de demanda laboral. No se puede decir lo mismo cuando se manipula el factor de descuento las respuestas difieren entre si lo que tendría una repercusión importante a la hora de tomar decisiones.

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INTRODUCCION Tomando como referencia el estudio realizado por Hamermesh (1988), este, nos muestra una mirada diferente de los ajustes de la demanda laboral en que incurren las empresas debido shocks externos los cuales provocan costos que no son considerados por otros modelos. Mediante un estudio empírico realizado en una planta con información de series de tiempo Hamermesh busca identificar cual sería la magnitud de ajuste de la demanda de trabajo frente a un shock externo, asimismo, cuál sería su velocidad de ajuste. Bajo estas premisas el presente trabajo tiene como objetivo identificar los aspectos más relevantes del modelo matemático del planteamiento de Hamermesh y sus implicancias en los costos de los agentes productivos. Además se busca realizar y analizar algunas variantes a la formulación original de la función planteada por Hamermesh lo que nos dará una idea más clara sobre la idea subyacente del estudio en referencia. En ese sentido creemos que primero: la afirmación realizada por el autor del estudio citado es verdadero a pesar de que el autor se plantea una función de beneficio implícita esta se puede cumplir reemplazando esta con una función explicita. Para este fin iniciaremos con un breve marco teórico partiendo de la formulación primaria de Hamermesh y presentaremos algunas variantes de la misma con el fin de analizarlo y culminar con los resultados y discusiones que incumben al tema.

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1. MARCO TEORICO 1.1. MODELO DE COSTE DE AJUSTE Considerando que los costos de ajuste de una variable económica son costos en que incurre el agente que modifica la variable bajo su control y que no son capturados por los costos económicos habituales. Este tipo de análisis tiene sus inicios en el trabajo realizado por Eisner y Strotz (1963) en la cual desarrollan la estructura de ajuste en los costos internos que provoca una variación en el stock de capital; sin embargo, en el presente trabajo centraremos nuestro atención y análisis a la aplicación del modelo de costo de ajuste al mercado de trabajo desarrollado ampliamente por Hamermesh (1988). A continuación presentamos en primer lugar el modelo básico presentado por Hamermesh 𝑇

𝑧 = ∫ [𝜋(𝐿) − 𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘]𝑒 −𝜌𝑡 + 0

𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝜌

En su planteamiento se puede observar que la función de beneficio está implícitamente representado debido a que el objeto de estudio de análisis de Hamermesh es el costo ajuste que sufren las empresas debido a shock externo que se puedan presentar, razón por la cual la función costo se trabaja explícitamente. A partir del modelo básico que nos presenta Hamermesh presentamos algunas de sus variantes explicita e implícitamente

1.1.1. MODELO IMPLICITO CON VALOR RESIDUAL Y FACTOR DE DESCUENTO La siguiente ecuación representa una función que incluye un valor residual que indica que después de un tiempo dado (T) queda aún un residual que el factor trabajo ha generado. 𝑇

𝑀𝑎𝑥 𝑣[𝐿𝑡 ] = ∫ [𝜋(𝐿) − 𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘]𝑒 −𝜌𝑡 + 0

𝑠. 𝑎. 𝐿(0): 𝑑𝑎𝑑𝑎,

𝐿(𝑇): 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒,

𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝜌

𝑇: 𝑙𝑖𝑟𝑒

Desarrollando: Aplicación de problema de Bolsa 𝜕{

{

𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 } 1 𝜕𝜋(𝐿𝑡 ) 𝜕𝐿𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 𝜌 = {−𝜌𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 + . } 𝜕𝑡 𝜌 𝜕𝐿𝑡 𝜕𝑡

𝑇 𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝜕𝜋 𝜋 𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 (𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝜕𝑡 + ( 𝐿0 )𝑒 −𝜌(0) + }=∫ 𝜌 𝜌 𝜌 0 𝜕𝑡

Reemplazando 𝑇 1 𝜋(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝑀𝑎𝑥 𝑣[𝐿𝑡 ] = ∫ [𝜋(𝐿𝑡 ) − 𝑐(𝐿´𝑡 ) − 𝜋(𝐿𝑡 ) + 𝜋´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 ] 𝑒 −𝜌𝑡 + 𝜌 𝜌 0

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Simplificando 𝑇

1 𝑀𝑎𝑥 𝑣[𝐿𝑡 ] = ∫ [−𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘 + 𝜋´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 ] 𝑒 −𝜌𝑡 + 𝑐𝑡𝑒 𝜌 0 Identificar el funcional 1 𝐹 = [−𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘 + 𝜋´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 ] 𝑒 −𝜌𝑡 𝜌 Aplicar la ecuación de Euler 𝐹𝐿´𝐿´ 𝐿´´𝑡 + 𝐹𝐿´𝐿 𝐿´𝑡 + 𝐹𝐿´𝑡 − 𝐹𝐿 = 0 𝑭𝑳 =

1 𝜋´´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 , 𝜌

1 𝑭𝑳´ = [−2𝑏𝐿´𝑡 + 𝜋´(𝐿𝑡 )] 𝑒 −𝜌𝑡 𝜌

𝑭𝑳´𝒕 = [2𝜌𝑏𝐿´𝑡 − 𝜋´(𝐿𝑡 )]𝑒 −𝜌𝑡 ,

𝑭𝑳´𝑳 =

1 𝜋´´(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝜌

𝑭𝑳´𝑳´𝒕 = −2𝑏𝑒 −𝜌𝑡 Reemplazamos en la ecuación de Euler 1 1 −2𝑏𝑒 −𝜌𝑡 𝐿´´𝑡 + 𝜋´´(𝐿𝑡 )𝑒 −𝜌𝑡 𝐿´𝑡 + [2𝜌𝑏𝐿´𝑡 − 𝜋´(𝐿𝑡 )]𝑒 −𝜌𝑡 − 𝜋´´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 𝜌 𝜌 1 1 −2𝑏𝐿´´𝑡 + 𝜋´´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 + 2𝜌𝑏𝐿´𝑡 − 𝜋´(𝐿𝑡 ) − 𝜋´´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 = 0 𝜌 𝜌 Simplificando −2𝑏 −2𝜕𝑏 𝜋´ (𝐿 ) = 0 𝐿´´𝑡 + 𝐿´𝑡 − −2𝑏 −2𝑏 −2𝑏 𝑡 1 𝐿´´𝑡 = −𝜌𝐿´𝑡 + 𝜋´(𝐿𝑡 ) = 0 2𝑏 NOTA: No se presenta de manera explícita la función de beneficio 𝜋(𝐿𝑡 ) = 𝑚𝐿𝑡 − 𝑛𝑡 𝐿𝑡 2 por lo que no es factible encontrar las raíces características de la senda óptima. Evaluando las condiciones de transversalidad a) Si ∆𝑇 ≠ 0 → [𝐹 − 𝐿´𝑡 𝐹𝐿´ ]𝑡=𝑇 = 0 Reemplazando 1 1 [−𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘 + 𝜋´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 − 2𝑏𝐿´𝑡 + 𝜋´(𝐿𝑡 )] 𝑒 −𝜌𝑡 = 0 𝜌 𝜌 𝑡=𝑇 1 1 [−𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘 + 𝜋´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 + 2𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝜋´(𝐿𝑡 )𝐿´𝑡 ] =0 𝜌 𝜌 𝑡=𝑇

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Simplificando [−𝑏(𝐿´𝑡 )2 − 𝑘 + 2𝑏(𝐿´𝑡 )2 ]𝑡=𝑇 = 0 𝑏(𝐿´𝑡 )2 = 𝑘 𝑘 𝐿´𝑡 = ±√ 𝑏 b) Si ∆𝐿𝑡 ≠ 0 → [𝐹𝐿´ ]𝑡=𝑇 = 0 Reemplazando 1 [−2𝑏𝐿´𝑡 + 𝜋´(𝐿𝑡 )] 𝑒 −𝜌𝑡 =0 𝜌 𝑡=𝑇 1 −2𝑏𝐿´𝑡 + 𝜋´(𝐿𝑡 ) = 0 𝜌 𝑘

Si 𝐿´𝑡 = ±√𝑏, De la ecuación anterior podemos deducir que la tasa de ajuste de la demanda de trabajo en el último periodo está directamente relacionado con k por lo que se puede afirmar que ante un incremento en k la tasa de ajuste en el periodo final también se incrementa; lo contrario sucede con b 𝑘 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜋´(𝐿𝑡 ) = 2𝜌𝑏 √ 𝑏 Analizando: Costos: 𝐶(𝐿´𝑡 ) = 𝑏(𝐿´)2 + 𝑘 Beneficio: 𝜋(𝐿𝑡 ) ; 𝜋´(𝐿𝑡 ) > 0 ; 𝜋´´(𝐿𝑡 ) < 0

1.1.2. MODELO EXPLICITO CON VALOR RESIDUAL Y FACTOR DE DESCUENTO El siguiente modelo se desarrolla explícitamente, es decir reemplazando las funciones de beneficio y costo por sus respectivo valores que cumplen con los criterios de concavidad y convexidad respectivamente. 𝑇

𝑀𝑎𝑥𝑉[𝐿𝑡 ] = ∫ [𝑚𝐿𝑡 + 0

𝑛𝐿2𝑡

− (𝑏𝐿̇2𝑡 + 𝑘̅)]𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 +

[𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 ]𝑒 −𝜌𝑡 𝜌

𝑠. 𝑎: 𝐿(0) = 0 ˄ 𝐿(𝑇) = 𝐴

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Aplicando problema de Bolsa Con la finalidad de introducir el valor residual al funcional objetivo. 𝑇 [𝑚𝐿(0) + 𝑛𝐿2(0) ]𝑒 −𝜌(0) [𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 ]𝑒 −𝜌𝑡 1 𝑑[[𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 ]𝑒 −𝜌𝑡 ] =∫ 𝑑𝑡 + 𝜌 𝑑𝑡 𝜌 0 𝜌 𝑇 [𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 ]𝑒 −𝜌𝑡 𝑚𝐿̇𝑡 − 2𝑛𝐿̇𝑡 𝐿𝑡 − 𝜌𝑚𝐿𝑡 + 𝜌𝑛𝐿2𝑡 −𝜌𝑡 =∫ [ ] 𝑒 𝑑𝑡 𝜌 𝜌 0

Reemplazando el equivalente del valor residual en el funcional objetivo 𝑇 𝑇 𝑚𝐿̇𝑡 − 2𝑛𝐿̇𝑡 𝐿𝑡 − 𝜌𝑚𝐿𝑡 + 𝜌𝑛𝐿2𝑡 −𝜌𝑡 𝑀𝑎𝑥𝑉[𝐿𝑡 ] = ∫ [𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 − (𝑏𝐿̇2𝑡 + 𝑘̅)]𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 + ∫ [ ] 𝑒 𝑑𝑡 𝜌 0 0 𝑇

𝑀𝑎𝑥𝑉[𝐿𝑡 ] = ∫ [ 0

𝜌𝑚𝐿𝑡 − 𝜌𝑛𝐿2𝑡 − 𝜌𝑏𝐿̇2𝑡 − 𝑘̅𝜌 + 𝑚𝐿̇𝑡 − 2𝑛𝐿̇𝑡 𝐿𝑡 − 𝜌𝑚𝐿𝑡 + 𝜌𝑛𝐿2𝑡 −𝜌𝑡 ] 𝑒 𝑑𝑡 𝜌

𝑇

𝑀𝑎𝑥𝑉[𝐿𝑡 ] = ∫ [−𝑏𝐿̇2𝑡 − 𝑘̅ + 0

𝑚𝐿̇𝑡 2𝑛𝐿̇𝑡 𝐿𝑡 −𝜌𝑡 − ] 𝑒 𝑑𝑡 𝜌 𝜌

Identificando el funcional 𝐹=[

𝜌𝑚𝐿𝑡 − 𝜌𝑛𝐿2𝑡 − 𝜌𝑏𝐿̇2𝑡 − 𝑘̅𝜌 + 𝑚𝐿̇𝑡 − 2𝑛𝐿̇𝑡 𝐿𝑡 − 𝜌𝑚𝐿𝑡 + 𝜌𝑛𝐿2𝑡 −𝜌𝑡 ]𝑒 𝜌

Aplicando la ecuación de Euler 𝐹𝐿̇𝐿̇𝐿̈𝑡 + 𝐹𝐿̇𝐿𝐿̇𝑡 + 𝐹𝐿̇𝑡 − 𝐹𝐿 = 0 𝒅𝑭 −2𝑛𝐿̇𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 𝐹𝐿 = 𝒅𝑳 𝜌 𝒅𝑭 𝑚 2𝑛𝐿𝑡 −𝜌𝑡 𝑑𝐹𝐿̇ 𝑚 2𝑛𝐿𝑡 −𝜌𝑡 = 𝐹𝐿̇ = [−2𝑏𝐿̇𝑡 + − ]𝑒 ; = 𝑭𝑳̇𝒕 = −𝜌 [−2𝑏𝐿̇𝑡 + − ]𝑒 𝜌 𝜌 𝑑𝑡 𝜌 𝜌 𝒅𝑳̇ 𝒅𝑭𝑳̇ −2𝑛 −𝜌𝑡 = 𝐹𝐿̇𝐿 = 𝑒 , 𝒅𝑳 𝜌

𝑑𝐹𝐿̇ = 𝐹𝐿̇𝐿̇ = −2𝑏𝑒 −𝜌𝑡 ̇ 𝑑𝐿

Reemplazando en la ecuación de Euler −2𝑏𝑒

−𝜌𝑡

𝐿̈𝑡 −

−2𝑛 −𝜌𝑡 𝑚 2𝑛𝐿𝑡 −𝜌𝑡 2𝑛𝐿̇𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 ̇ ̇ 𝑒 𝐿𝑡 − −𝜌 [−2𝑏𝐿𝑡 + − ]𝑒 + =0 𝜌 𝜌 𝜌 𝜌

−2𝑏𝐿̈𝑡 2𝜌𝑏𝐿̇𝑡 𝑚 2𝑛𝐿𝑡 + − + =0 −2𝑏 −2𝑏 −2𝑏 −2𝑏 𝑛 𝑚 𝐿̈𝑡 − 𝜌𝐿̇𝑡 − 𝐿𝑡 = − 𝑏 2𝑏 De la ecuación diferencial de segundo orden

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 Solución complementaria (solución de la ecuación homogénea) 𝑛 𝐿̈𝑡 − 𝜌𝐿̇𝑡 − 𝐿𝑡 = 0 𝑏 𝑛

Ecuación característica: 𝑟 2 − 𝜌𝑟 − 𝑏 = 0 𝜌

Raíces características: 𝑟1 = 2 +

√𝜌2 +4(𝑛⁄𝑏) 2

… … … . 𝑟1 > 𝜌 > 0 … 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑟1 > 0

𝜌 √𝜌2 + 4(𝑛⁄𝑏) 𝑟2 = − … … … . 𝑟2 < 𝜌 < 0 … 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑟2 < 0 2 2 𝐿𝐶 = 𝐶1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 𝑡  Solución particular(solución de la ecuación no homogénea) 𝑛 𝑚 𝐿̈𝑡 − 𝜌𝐿̇𝑡 − 𝐿𝑡 = − 𝑏 2𝑏 𝐿𝑃 =

𝑚 2𝑛

Senda factible: 𝑳∗𝒕 = 𝑳𝑪 + 𝑳𝑷 𝐿∗𝑡 = 𝐶1 𝑒 𝑟1𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 𝑡 +

𝑚 2𝑛

Caso 1: L(0)=0, L(t)=A Evaluando en la condición inicial: 𝑳(𝟎) = 𝟎 𝐿∗0 = 𝐶1 𝑒 𝑟1 (0) + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 (0) + 𝐶1 = −𝐶2 −

𝑚 =0 2𝑛

𝑚 2𝑛

Evaluando en la condición terminal: 𝑳(𝑻) = 𝑨 𝐿∗𝑇 = 𝐶1 𝑒 𝑟1 (𝑇) + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 (𝑇) + 𝐴 = [−𝐶2 − 𝐶2 =

𝑚 =𝐴 2𝑛

𝑚 𝑟 (𝑇) 𝑚 ] 𝑒 1 + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 (𝑇) + 2𝑛 2𝑛

(2𝐴𝑛 − 𝑚) 2𝑛(𝑒 −𝑟2 (𝑇) − 𝑒 𝑟1 (𝑇) )

Reemplazando (5), (6) en (4) encontramos la senda óptima 𝐿∗𝑡 = 𝐶1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑟2 𝑡 +

𝑚 2𝑛

(2𝐴𝑛 − 𝑚) (2𝐴𝑛 − 𝑚) 𝑚 𝑟𝑡 𝑚 1 +[ 𝐿∗𝑡 = − [ + ] 𝑒 ] 𝑒 −𝑟2𝑡 + (𝑇) (𝑇) (𝑇) (𝑇) −𝑟 𝑟 −𝑟 𝑟 2𝑛 2𝑛(𝑒 2 − 𝑒 1 ) 2𝑛 2𝑛(𝑒 2 − 𝑒 1 ) MACROECONOMIA II

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(2𝐴𝑛 − 𝑚) 𝑚 (1 − 𝑒 𝑟1 𝑡 ) 𝐿∗𝑡 = [ ] (𝑒 −𝑟2 𝑡 − 𝑒 𝑟1 𝑡 ) + (𝑇) (𝑇) −𝑟 𝑟 2 1 ) 2𝑛 2𝑛(𝑒 −𝑒 De la senda factible anterior podemos afirmar que explícitamente ha sido posible encontrar las raíces características y por ende la solución complementaria y particular

Caso II 𝑳(𝑻): 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒆 𝒐 𝑻 Condición de transversalidad 𝐹 − 𝐿´´𝑡 = 0 {{−𝒃𝐿´𝑡 2 − 𝑘 +

𝑚(𝐿𝑡 ) 2𝑛(𝐿´𝑡 )(𝐿𝑡 ) −𝝆𝒕 𝑚 −2𝑛(𝐿𝑡 ) − − }𝒆 − 𝐿´𝑡 [−2𝑏(𝐿´𝑡 ) + − ]𝑒 } = 𝜌 𝜌 𝜌 𝜌

{{−𝒃𝐿´𝑡 2 − 𝑘 +

𝑚(𝐿𝑡 ) 2𝑛(𝐿´𝑡 )(𝐿𝑡 ) 𝑚 − } + (−𝐿´𝑡 )𝟐 2𝑏 − (𝐿´𝑡) } 𝒆−𝒊 = 0 𝜌 𝜌 𝑝

𝑏(𝐿´𝑡 ) − 𝑘 −

2𝑛(𝐿´𝑡 )(𝐿𝑡 ) 2𝑛(𝐿´𝑡 )(𝐿𝑡 ) + =0 𝜌 𝜌

𝑏((𝐿´𝑡 ) − 𝑘 = 0 𝑘 𝑳´𝒕 = ±√ 𝑏 Caso III 𝑇

𝑀𝑎𝑥𝑉[𝐿𝑡 ] = ∫ [𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 − (𝑏𝐿̇2𝑡 + 𝑘̅)]𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 + 0

[𝑚𝐿𝑡 + 𝑛𝐿2𝑡 ]𝑒 −𝜌𝑡 𝜌

𝑠. 𝑎: 𝐿𝑡 : 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 = ˄ 𝐿(𝑇) = 𝐴 SOLUCION Aplicando condición de transversalidad [𝐹𝐿̇]𝑡=𝑇 = 0

Cuando: ∆𝐿𝑡 ≠ 0 [[−2𝑏𝐿̇𝑡 + Simplificando 𝑚 2𝑛𝐿𝑡 [[−2𝑏𝐿̇𝑡 + − ]] 𝜌 𝜌

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𝑚 2𝑛𝐿𝑡 −𝜌𝑡 − ]𝑒 ] 𝜌 𝜌

=0 𝑡=𝑇

=0 𝑡=𝑇

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𝐿𝑇 =

𝑚 𝜌𝑏 − 𝐿̇ 2𝑛 𝑛 𝑡

𝑘̅ 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝐿̇𝑡 = √ , 𝑏

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,

𝐿(𝑇) =

𝑚 𝜌𝑏 𝑘̅ √ − 2𝑛 𝑛 𝑏

1.1.3. MODELO SIN VALOR RESIDUAL EXPLICITO CON FACTOR DE DESCUENTO Imaginaremos ahora que el factor trabajo que se contrata no genera un valor residual, es decir solo compensa sus remuneraciones por el periodo de tiempo que está a disposición de la empresa. Aunque este no es un caso típico sería factible simular este contexto considerando por ejemplo un escenario donde el factor trabajo cuente con una baja productividad principalmente en sectores como construcción civil u otros sectores que demandan trabajadores sin un alta preparación más por fortaleza física se puede esperar que su valor residual luego de que el vínculo laboral sea nulo 𝑇

Max 𝑣[𝐿1 ] = ∫0 [𝑚𝐿𝑡 − 𝑛𝐿2𝑡 − 𝑏(𝐿1𝑡 )2 − 𝑘]𝑒 −𝑝𝑡 El funcional 𝐹 = [𝑚𝐿𝑡 − 𝑛𝐿2𝑡 − 𝑏(𝐿1𝑡 )2 − 𝑘]𝑒 −𝑝𝑡 Ecuación de Euler 𝑭𝑳 = [𝑚 − 2𝑛𝐿𝑡 ]𝑒 −𝑝𝑡 𝑭𝑳´ = [−2𝑏𝐿1𝑡 ]𝑒 −𝑝𝑡 𝒅𝒇𝑳´ −𝜌𝑡 = −2𝑏 ⌈𝐿1𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 ⌉ = −2𝑏𝐿11 + 2𝑏𝑃𝐿1𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 𝑡 𝑒 𝒅𝒕 𝐹𝐿 =

Igualamos

𝜕𝐹 ´ 𝐿 𝑑𝑡

[𝑚 − 2𝑛𝐿𝑡 ]𝑒 −𝑝𝑡 = −2𝑏𝐿´´𝑡 𝑒 −𝑝𝑡 + 2𝑏𝜌𝐿´𝑡 𝑒 −𝑝𝑡 𝑚 − 2𝑛𝐿𝑡 = −2𝑏𝐿´𝑡 + 2𝑏𝜌𝐿´𝑡 𝑛 𝑚 𝐿´´𝑡 − 𝜌𝐿´𝑡 − 𝐿𝑡 = − 𝑏 2𝑏 𝑟1 =

4𝑛 𝑏

𝜌+√𝜌2 + 2

𝑟2 =

𝑟1 > 0

𝜌−√𝜌2 −

4𝑛 𝑏

2

𝑟2