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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA, Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tarea 4 - Ejercicios de Geometría Analítica, Sumatoria y Productoria PRESENTADO POR: JHON JANER VEGA ASENCIO CÓDIGO: 1096213612 GRUPO: 301301_326 TUTORA JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA FECHA 08/11/2018

Introducción

En este trabajo se dan a conocer distintos elementos geométricos tales como la recta, la circunferencia, la parábola y la hipérbola, permitiéndonos por medio de problemas de la vida cotidiana encontrar las funciones que las representan y de esta manera resolver los problemas planteados.

A su vez en la última parte del trabajo se tratan los temas de sumatoria y productoria que son dos procesos matemáticos de gran uso para fines estadísticos, económicos entre otros. Son procesos en los que sus usos son muy particulares por eso se tratan estos temas con problemas que nos permiten abordar estas temáticas y donde se hacen necesarias estas aplicaciones.

Ejercicio 1: La Recta 1. El administrador de una planta encuentra que el costo total necesario para manufacturar 50 unidades de cierto producto es de $500 y de 100 unidades es de $900. Suponiendo que la relación entre ambas variables es lineal, encontrar la ecuación que relaciona el costo y la producción. P (50,500) Q (100,900) 𝑦 −𝑦

𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 2

1

𝑚=

900−500 100−50

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 500 = 8(𝑥 − 50) 𝑦 = 8𝑥 − 400 + 500 𝑦 = 8𝑥 + 100

=8

4. Te asocias con un amigo y pones un negocio para renta de películas en DVD. Observas, al término del primer mes, que cuando el precio del alquiler es de $ 26 pesos por película, la renta promedio diaria es de 60 películas, y cuando es de $ 31 pesos, el alquiler disminuye a 30 películas. a) Escribe un modelo que relacione precio de alquiler y con número de x de videos alquilados P (26,60) Q (31,30) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 60 = −6(𝑥 − 26) 𝑦 = −6𝑥 + 156 + 60 𝑦 = −6𝑥 + 216

b) Determina la pendiente: ¿Qué significado tiene en este modelo? 𝑚=

30 − 60 31 − 26

𝑚 = −6 Como la pendiente es negativa indica la ecuación es decreciente por lo que a medida que aumente el valor de alquiler disminuirá la renta promedio.

c) ¿A partir de qué precio nadie rentaría películas en tu negocio? X=0 𝑦 = −6(0) + 216 𝑦 = 216

Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse 5. Un servicio sismológico de Cali detectó un sismo con origen en el municipio de Pradera a 5km este y 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? ¿Utilizando esta ecuación, indica si afectó al municipio de Pradera? P (5 , -3)

h=5 k=-3r=4

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 3)2 = 16 (0 − 5)2 + (0 + 3)² ≤ 16 34 ≤ 16

r²=16

Vemos que 34 es mayor que 16 por lo que se puede concluir que no afecto el municipio de pradera. Dado que el valor se sale del radio del epicentro del terremoto que afecto la ciudad

7. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 40𝑥 + 30𝑦 = 975 (𝑥 2 + 40𝑥) + (𝑦 2 + 30𝑦) = 975 (𝑥 2 + 40𝑥 + 202 ) + (𝑦 2 + 30𝑦 + 152 ) = 975 + 202 + 152 (𝑥 + 20)2 + (𝑦 + 15)2 = 1600

Dibuje la curva de transformación de productos de esta empresa. Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola 10. Un túnel con arco parabólico en la carretera Cali – Buenaventura, tiene una altura máxima en su centro de 6,4 metros en su centro y su anchura al nivel del suelo es de 5,6 metros. h=0

k=6,4

a) ¿A qué distancia del punto más bajo del cable se ubica el foco? (Distancia Focal) (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) (2,8 − 0)2 = 4𝑝(0 − 6,4) (2,8)2 = 4𝑝(−6,4) 7,84 = −25,6𝑝

𝑝=

𝑝 = −0,30625

7,84 −25,6

6,4 − 0,30625 = 6,09375 6,09375 mts

b) Escriba la ecuación del perfil parabólico de acuerdo con el bosquejo realizado

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) (𝑥 − 0)2 = 4(−0,30625)(𝑦 − 6,4) 𝑥 2 = −1,225(𝑦 − 6,4)

c) ¿A qué distancia del centro la altura del túnel es de 4 metros? 𝑥 2 = −1,225(4 − 6,4) 𝑥 = √2,94 𝑥 = 1,71

12. Una de las aplicaciones importantes de las parábolas en la física se encuentra en la descripción de las trayectorias de objetos que siguen un curso parabólico. Objetos lanzados desde cierta altura, como guijarros, balones, proyectiles de armas de fuego, etc; describen en su movimiento una curva en forma de parábola. El movimiento parabólico está compuesto por dos movimientos rectilíneos: uno que impulsa al objeto en la dirección horizontal x, y otro en la dirección vertical y (en un mismo instante ocurren simultáneamente ambos). Así en este tipo de movimiento el desplazamiento, puede obtenerse con las fórmulas siguientes:

Componente Horizontal

Componente Vertical (caída libre)

Desplazamiento

x = xo + Vxo t

y = y0 + vy0 t + gt2 / 2

Velocidad

Vx0 = V0 cos θ

Vy0 = v0 sen θ

Aceleración

a=0

a = -g

Un jugador de béisbol batea un lanzamiento a 50 cm del piso, con un ángulo de 30° y una velocidad inicial de 45 m/seg. ¿Cuáles son la altura y distancia horizontal máximas que alcanza la pelota antes de tocar el piso? Altura Maxima

𝑦 = 0,5𝑚 + (45𝑚⁄𝑠)(𝑠𝑒𝑛(30°)𝑡) −

10𝑚⁄ (𝑡 2 ) 𝑠 2

𝑦 = 0,5𝑚 + (22,5𝑚⁄𝑠) 𝑡 − (5𝑚⁄𝑠)𝑡² 𝑡 2 − 4,5𝑡 = 0,1 −

𝑦 5

𝑦 𝑡 2 − 4,5𝑡 + 5,0625 = − + 0,1 + 5,0625 5 1

(𝑡 − 2,25)2 = − (𝑦 − 25,8125) 5

ecuación de la parábola

(2.25 , 25.8125) Vértice de la Parábola La altura máxima que alcanza la pelota es de 25,8125 metros Desplazamiento horizontal 𝑥 = 0 + (45𝑚⁄𝑠)(cos(30))𝑡 Tiempo en el que 𝑦 = 0

0 = 0,5𝑚 + (22,5𝑚⁄𝑠) 𝑡 − (5𝑚⁄𝑠)𝑡² Aplicando Cuadrática obtenemos

𝑡=

−22,5 ± √(22,5)2 − 4(−5)(0,5) 2(−5) 𝑡1 = −0,02

𝑡2 = 4,52

Usamos 𝑡2 ya que es la que nos dio positiva 𝑥 = 0 + (38,97𝑚⁄𝑠) (4,52𝑠) 𝑥 = 176,14 𝑚 La distancia horizontal máxima que alcanza la pelota es de 176,14 metros

Ejercicio 4: Sumatoria 13. Una empresa tiene 6 sedes en cada una de 5 ciudades, la producción se realiza en una única ciudad y todas las sedes piden su producto estrella desde esta ciudad. En la tabla se muestran los productos pedidos por cada sede para un mes. ciudad(i)\Sede (j)

1

2

3

4

5

6

1

63

56

65

43

69

90

2

50

51

58

57

90

86

3

111

80

70

91

66

106

4

62

72

52

82

62

51

5

115

102

44

45

70

78

a) El número total de productos solicitados en la ciudad 4, se representa por:

6

D j 1

4j

Utilice la definición de sumatoria para calcular este número de productos. 6

∑ 𝐷4𝑗 = 62 + 72 + 52 + 82 + 62 + 51 𝑗=1

6

∑ 𝐷4𝑗 = 381 𝑗=1

b) Según los resultados de un estudio, las sedes número 1 son las que más venden entre todas las ciudades. Represente en notación de sumatorias, el número de productos solicitados por todas las sucursales número 1 5

∑ 𝐷1𝑖 = 63 + 50 + 111 + 62 + 115 𝑖=1 5

∑ 𝐷1𝑖 = 401 𝑖=1

15. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes. Curso (i) /sección (j)

1

2

3

4

5

1

30

25

22

42

31

2

31

23

36

20

37

3

34

30

34

31

27

4

25

34

28

20

31

5

23

20

35

36

26

6

23

25

29

39

33

a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es: 5

n j 1

2j

Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria. 5

∑ 𝑛2𝑗 = (31 + 23 + 36 + 20 + 37) 𝑗=1

5

∑ 𝑛2𝑗 = 147 𝑗=1

b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. 6

∑ 𝑠4𝑖 = (42 + 20 + 31 + 20 + 36 + 39) 𝑖=1 6

∑ 𝑠4𝑖 = (188) 𝑖=1

Ejercicio 5: Productoria

18. Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa. Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto? {a,b,c,d} » n:4 elementos Cant. De elementos que se toman del conjutno » K:3 elementos

𝑃=

𝑛! (𝑛 − 𝑘)! 𝑘!

𝑃=

4! (4 − 3)! 3!

𝑃=

24 (1)! 6

𝑃=4 19. Una aplicación de la productoria en la estadística indica que, para eventos con ciertas características, la probabilidad de que se presenten algunos resultados simultáneamente se puede calcular multiplicando las probabilidades de que se presenten dichos resultados por separado. En notación de productorias esto se representa así: n

P (Ocurra A1 y A2 y A3,….. y An) =

P i 1

i donde Pi = P (Ai)

Una gran casa de apuestas ha sacado al mercado un nuevo producto, en el cual el cliente puede tener entre 1 y 8 premios simultáneamente. Los cuales entre si no afectan sus probabilidades. Además para cada posible premio determinó las siguientes probabilidades de obtención.

Premio

1

2

3

4

5

6

7

8

Pi = P(Ai)

0,004

0,003

0,001

0,002

0,003

0,009

0,006

0,001

a) De acuerdo a la información anterior la probabilidad de que un cliente obtenga simultáneamente los premios del 3 al 6 se representa usando productorias por: 6

P

i

i 3

Encuentre dicha probabilidad de acuerdo a la definicion de productorias. 6

∏ 𝑃𝑖 = (0,001)(0,002)(0,003)(0,009) 𝑖=3 6

∏ 𝑃𝑖 = 5,4 ∗ 10−11 𝑖=3

b) Represente usando productorias la probabilidad de que un cliente gane simultáneamente todos los premios. Además, encuentre dicha probabilidad. 6

∏ 𝑃𝑖 = (0,004)(0,003)(0,001)(0,002)(0,003)(0,009) 𝑖=1 6

∏ 𝑃𝑖 = 6,48 ∗ 10−16 𝑖=1

Conclusión Por medio de este trabajo se lograron plantear alternativas de solución en problemas con rectas, secciones cónicas, sumatorias y productoria. Identificar cada uno de los fundamentos en las áreas de estudios para su posterior análisis, y se adquirieron habilidades operativas para la resolución de problemas de cada uno de los temas que contiene la unidad 3 tarea 4 del curso.