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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA FACULTAD DE ENERGÍA, LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES Ingeniería en sistemas

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

TRABAJO A DESARROLLAR Tema: Concepto modelamiento matemático, investigación sobre ecuaciones para el cálculo y diseminación de enfermedades y Resolución de ejercicios.

NOMBRE: Angel Quizhpe NOMBRE: Ing. Jhon Pauta CURSO: 9no

“B”

FECHA: 13/ 08/ 2018

1. INTRODUCCIÓN Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. En el presente trabajo se dará la definición de un modelo matemático, características, clasificación, también se desarrollará ejercicios y aplicaciones, ecuaciones del cálculo de la población y diseminación de enfermedades.

2. DESCRIPCIÓN MODELO MATEMÁTICO 2.1 Definiciones

 Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las matemáticas. las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos, por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. su éxito o fracaso depende de la precisión con la que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en forma de variables relacionadas entre sí [1].  Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático. Estamos familiarizados con las previsiones del tiempo, las cuales se basan en un modelo matemático meteorológico; así como los pronósticos económicos, basados éstos en un modelo matemático referente a la economía. 2.2 Fases Básicamente, en un modelo matemático advertimos 3 fases: 1) La construcción, proceso en el que se convierte el objeto a lenguaje matemático. 2) El análisis o estudio del modelo confeccionado. 3) La interpretación de dicho análisis, donde se aplican los resultados del estudio al objeto del cual se partió.

2.3 Clasificación

3. Interpretación de ejemplos del libro de funciones elementales para construir modelos matemáticos Ejemplo Funciones Reales Ejemplo 1. Preparándose para recorrer la maratón Un maratón es una prueba atlética de resistencia que consiste en correr a pie la distancia de 42,195 km. Un atleta que se está preparando para participar de una maratón ha registrado en su último entrenamiento las velocidades (en km/h) en cada una de las tres horas en que realizó su práctica. Los registros se pueden observar en el gráfico 2.2, donde en el eje horizontal se detallan los tiempos t y en el eje vertical la velocidad v.

De acuerdo al gráfico 1 se puede conocer que el corredor va aumentando su velocidad durante la primera hora y media de entrenamiento y, luego, sigue corriendo a velocidad constante. Cuatro horas después de comenzar a correr empieza a disminuir su velocidad hasta finalizar dicho entrenamiento a la hora 5. A partir del gráfico 2.2, ¿es posible contestar las siguientes preguntas? 1) ¿Cuál es la velocidad del atleta después de correr una hora? De acuerdo a la gráfica la velocidad dentro de una hora es 3.4 Km/h

DATOS Tiempo

Velocidad

0

0

1.5

5

4

5

5

0 Tabla 1: Datos entrenamiento de un Atleta

2) ¿Cuándo alcanza por primera vez la velocidad de 5 km/h? El atleta alcanza una velocidad de 5 km/h cuando han trascurrido 5 horas. 3) ¿En qué intervalo de tiempo mantiene el corredor la velocidad de 5 km/h? Este intervalo es de 1.2≤t≤4 close all clc, clear tiempo=[0,1.5,4,5]; velocidad=[0,5,5,0]; hold on plot(tiempo,velocidad) xlabel('Tiemp(h)') ylabel('Velocidad (km/h)') grid on title('Velociadades de entrenamiento de un Atleta') hold off

Grafico 1: Entrenamiento de un atleta.

Ejemplo 2. La siguiente tabla es una representación f.

ALUMNOS MATRICULADOS EN EL NIVEL POLIMODAL/MEDIO EN ARGENTINA Año

Total de alumnos

2001

1.640.278

2002

1.649.332

2003

1.644.694

2004

1.575.653

2005

1.545.992

Tabla 2. Alumnos matriculados en el nivel polimodal/medio en Argentina

1. Bibliografía

close all clc, clear Ano=[2001,2002,2003,20 04,2005]; TotalAlumno=[1640.278, 1649.332,1644.694,1575 .653,1545.992]; hold on plot(Ano,TotalAlumno) xlabel('Añio') ylabel('Total Alumno f(x)') grid on title('ALUMNOS MATRICULADOS EN EL NIVEL POLIMODAL/MEDIO EN ARGENTINA') hold off

Grafica 2. Alumnos matriculados en el nivel polimodal/medio en Argentina Interpretación: A partir de la gráfica 2 podemos obtener:  El conjunto Dom f = {2001, 2002, 2003, 2004, 2005};  El conjunto Img f = {1.640.278, 1.649.332, 1.644.694, 1.575.653, 1.545.992}  En este problema ambas variables son cuantitativas, es decir se expresan mediante cantidades numéricas.  El número de alumnos que se matricularon en el polimodal en 2003, que es 1.644.694 representa la imagen por la función de x = 2003.  En el año 2005 se registró el menor número de matrícula en este nivel de enseñanza.  La imagen del número 2001 es f (2001) = 1.640.278  La matrícula en el nivel polimodal en Argentina fue decreciente en el primer quinquenio de este siglo.

Ejemplos Funciones Lineales Ejemplo 3. El trigo (Triticum spp) es una gramínea, que además de ser un alimento para consumo humano se destina a la alimentación animal. La propiedad más importante del trigo es la capacidad de cocción de la harina debida a la elasticidad del gluten que contiene. Si completamos con trigo un recipiente contenedor que mida un metro de lado en cada una de sus bases y un metro de alto, es decir 1 m3 de volumen, el peso neto de dicho contenedor es de 800 kg (figura 1).

Figura 1. Volumen m3 y Peso del trigo en Kg

La función P = f (x) que para cada medida x (m3) de volumen del contenedor le asigna el peso P del mismo cuando se completa con trigo se define como: 𝑃(𝑥) = 800𝑥 close all clc, clear Volumen=1:0.1:10; Peso=800.*Volumen; hold on plot(Volumen,Peso) xlabel('Volumen Trigo m3') ylabel('Peso del trigo en Kg f(x)=800x') grid on title('Volumen y Peso del Trigo') hold off Grafica 3. Volumen m3 y Peso del trigo en Kg

Interpretación De acuerdo al grafico realizado podemos decir:  A medida que incrementa el volumen el peso también incrementa.  Cuando el volumen de 5 m3 el peso equivale a 4000kg.  Cuando el Volumen es de 1 m3 el peso equivale a 1000kg

Ejemplo 4. Graficas de las rectas mediante las siguientes ecuaciones lineales. a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥-3

close all clc, clear x=-10:0.1:10; hold on y1=2*x; y2=2*x+1; y3=2*x-3; plot(x,y1,x,y2,x,y3) legend ('y1=2*x', 'y2=2*x+1','y3=2*x3'); xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráficas de funciónes lineales') hold off Grafica 4. Funciones lineales.

Interpretación:  En este caso todas las funciones lineales tienen igual pendiente (a = 2).  Por ser esta pendiente positiva, ¿son crecientes o decrecientes estas funciones lineales?  En todos los gráficos se observa que el valor de b corresponde a la imagen del origen x = 0 (f (0) = b).  Para valores positivos b, la recta y = ax + b corta al eje y positivo.  Para valores negativos b, la recta y = ax + b corta al eje y negativo.  Si b = 0, la recta y = ax + b pasa por el origen de coordenadas.

Ejemplos Funciones Cuadráticas Ejemplo 5. Se dispone de 40 m de alambre para rodear un cantero rectangular donde se va a realizar la plantación de rosales en un parque público. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cantero para que la superficie con césped resulte la máxima posible? A través de la función cuadrática S(x) = -x2 + 20x, obtenemos:

Largo x del 0 cantero (m) Superficie S 0 ocupada (𝑚2 )

5

8

10

14

17

20

75

96

100

84

51

0

Tabla 3. Valores de la superficie.

close all clc, clear x=0:0.1:20; hold on y=(-x.^2)+(20*x); a=[0,5,8,10,14,17,20]; b=[0,75,96,100,84,51,0] ; plot(x,y,a,b,'r*') xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráfica de la función cuadratica') hold off Grafica 5. Grafica función cuadrática

Interpretación:  Cuando los del largo son de 0 m y 20 m el área de la región ocupada es de 0 m2 ya que en ese caso no estaríamos conformando ningún rectángulo, sólo sería una línea de 40 m de alambre.  Como cualquier valor de número real entre 0 y 20 sería posible para el largo del cantero, es correcto conectar los puntos con una curva continua, todos los puntos de esta función cuadrática pertenecen a la curva que se denomina parábola.  Si ubicamos en un sistema de coordenadas los pares ordenados (x, y) que verifican esta función cuadrática S, y adicionamos algunos más para ayudarnos a determinar la forma, obtenemos el gráfico 5. Ejemplo 6. El origen de los juegos de pelota, entre los que se encuentran el tenis, se remonta a las culturas griega, romana y egipcia. De hecho, la palabra raqueta surge del término árabe rahat, que quiere decir palma de la mano. Hay registros del siglo XI en que los monjes jugaban en los monasterios a algo parecido al tenis. En poco tiempo se pasó de los claustros a los palacios. Un fabricante de raquetas de tenis ha determinado que el costo unitario C(x) (en dólares) por la producción de x raquetas por día se puede modelizar por: 𝐶(𝑥) = 0.01𝑥 2 − 4𝑥 + 500

Donde C(x) representa los costos unitarios en $ y la capacidad de producción del fabricante es de 300 raquetas diarias. close all clc, clear x=0:0.1:350; hold on y=((0.01*x.^2)(4*x)+500); plot(x,y) xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráfica de la función cuadratica') hold off Grafica 6. Grafica costo raqueta de tenis.

Interpretación:  Para esta situación, el conjunto Dom C(x) = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 300} y la unidad de medida de la variable independiente es el número de raquetas diarias producidas.  Este valor nos indica que para la venta le conviene en realidad realizar solamente 200 raquetas, de este modo el costo unitario de las mismas era menor.

Ejemplos Funciones Exponenciales Ejemplo 7. Graficas de funciones exponenciales en base a las siguientes expresiones algebraicas. a) 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 𝟏 𝒙

b) 𝒚 = ( ) 𝟑

c)

𝒚 = −𝟐 + 𝟓𝒙 close all clc, clear x=0:0.01:3; hold on y1=(5.^x); y2=((1./3).^x); y3=(-2+((5).^x)); plot(x,y1,x,y2,x,y3) legend ('y1=(5.^x)', 'y2=((1./3).^x)','y3 =(-2+(5.^x))'); xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráficas de funciónes lineales') hold off Grafica 7. Graficas de ecuaciones exponenciales.

La función exponencial es un modelo válido para crecimientos o decrecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables o desfavorables. Ejemplo 8. Graficamos 𝑓(𝑥) = 2𝑥 close all clc, clear x=0:0.01:3; hold on y=(2.^x); plot(x,y) xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráficas de la función cuadratica') Grafica 8. Representación ecuación diferencial.

Interpretación:  Por la definición de potencias para distintos exponentes, se puede obtener 2𝑥 para cualquier número real x entonces Dom f = R.  También por la definición de potencia de base 2 para distintos exponentes x se verifica que f (x) > 0 entonces Img f = (0, +∞).  El punto (0;1) pertenece al gráfico de la función ya que f (0) = 20 = 1

Ejemplos Funciones Logarítmica Ejemplo 9. Graficamos y 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 como inversa dela función exponencial 𝑦 = 2𝑥 , utilizando las propiedades de los gráficos de dos funciones inversas. close all clc, clear x=-3:0.01:3; hold on y=(2.^x); y1=log2(x); plot(x,y1,x,y) legend ('y1=logx', 'y=(2.^x)'); xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráficas de funciónes Logarítmica y Exponencial') hold off

Grafica 9. Función exponencial y logarítmica.

Interpretación:  Dom f = (0 , +∞) e Img f = R;  el punto (1,0) pertenece al gráfico de la función ya que f (1) = 𝑙𝑜𝑔2 1 = 0. Por adiiotra parte este par ordenado es simétrimaico del (0,1) que pertenece al gráfico de asldla función exponencial inversa 𝑦 = 2𝑥 .  El gráfico de la función logarítmica y = 𝑙𝑜𝑔2 x es creciente para todo valor positivo de la variable independiente 1

Ejemplo 10. Graficamos 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 x como inversa de la función exponencial 𝑦 = (2 )𝑥 2

close all clc, clear x=-3:0.01:10; x1=0:0.01:10; hold on y=(1./2).^x; y1=log2(x1); plot(x1,y1,x,y) legend ('y1=log2','y=(1./2).^x'); xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráficas de funciónes Logarítmica y Exponencial') hold off

Grafica 10. Función exponencial y logarítmica.

Interpretación:  Dom f = (0 , +∞) e Img f = R.  El punto (1,0) pertenece al gráfico de la función ya que Graficamos 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 1=0, por 2

otra parte este par ordenado es simétrico del (0,1) que pertenece al gráfico de la función 1 exponencial inversa 𝑦 = (2 )𝑥

 El gráfico de la función logarítmica 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 x es decreciente para todo valor positivo de 2

la variable independiente x.

Ejemplos Funciones Trigonométricas Ejemplo 11. En el gráfico 7.1 vemos cómo varía la profundidad del agua de un puerto a lo largo de un día. close all clc, clear x=0:0.01:10; y=sin(x)+4; hold on plot(x,y) xlabel('horas') ylabel('Prof. de agua') grid on title('Profundidad del agua') hold off

Grafica 11. Profundidad del agua.

Interpretación:  La pleamar se produce, aproximadamente, dos veces al día: a las 1.50 h de la mañana y a las 7.9 h.  la bajamar se produjo durante el día registrado aproximadamente a las 4,7 h  el nivel del agua está subiendo desde la medianoche hasta alcanzar la primera pleamar, a las 3h.

Ejemplo 12. A partir del gráfico de la función y = cos t, y utilizando las propiedades del gráfico de la suma de funciones ¿Cuál es el gráfico de la función y = cos t + 2? close all clc, clear x=0:0.01:10; y=cos(x); y1=cos(x)+2; hold on plot(x,y,x,y1) legend ('y=cos(x)','y1=cos(x)+2' ); xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Funciones trigonometricas') hold off

Grafica 12. Funciones trigonométricas cos (t) y cos(t)+2.

Interpretación:  La función y = cos t + 2, es una función que resulta de sumar dos unidades a la función y = cos t, entonces su gráfico se obtendrá desplazando cada valor de la curva que representa al gráfico de y = cos t dos unidades hacia arriba.  el conjunto dominio de la función f (t) = cos t + 2 es Dom f = R y el conjunto imagen es Img f = [1;3];  El conjunto dominio de esta función f (t) = cos t + 2 es igual al dominio de la función y = cos t;

4. Resolución de ejercicios del libro de funciones elementales para construir modelos matemáticos

Ejercicio 1. Modelizar, mediante una función que describa el precio P de un kilogramo de manzana en función del día x del año, el siguiente informe brindado desde la provincia de Río Negro. Informe • En el primer mes del año el precio se mantuvo estable en $1,00 por kilogramo. • En la última quincena del mes de febrero comenzó a bajar hasta que el día 10 de abril, cuando alcanzó un precio de $0,50 por kg. • El precio de $0,50 por kg se mantuvo constante hasta finalizar el mes de mayo. • A partir de junio se registró un aumento sostenido en el precio que permitió vender la manzana a $2,00 el kg el 15 de octubre. • A fines de noviembre nuevamente el precio comenzó a decrecer, siendo a fin de diciembre de $1,20 por kg. Solución DATOS Tiempo

Velocidad

30

1.00

45

0.50

150

0.50

300

2.00

330

1,20

Tabla 4. Precio de un kilo de manzana en días.

close all clc, clear mes=[0,0,30,45,150,300,330]; Precio=[0,1.00,1.00,0.50,0.50,2. 00,1.20]; hold on plot(mes,Precio) xlabel('Tiempo en dias') ylabel('Presion en $') grid on title('Precio de un kilogram de manzanas') hold off

Figura 1. Precio de un kilo de manzana en días.

Ejercicio 2. En un mismo sistema de coordenadas, graficar las siguientes funciones lineales:     

𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏 close all clc, clear x=-10:1:10; hold on y1=2; y2=2*+x; y3=(2*x)+3; y4=(2*x)-1; plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4 ) legend ('y2=2x','y2=2x','y3=2x+ 3','y4=2x-1'); xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Gráficas de funciónes Lineales') hold off

Figura 2. Funciones lineales. Interpretación: 

Las rectas 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙, 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑, 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏, tienen la misma pendiente ya que todas ellas son rectas paralelas.



Con la primera función no es posible f(x)=2 La pendiente es cero.

Ejercicio 3. La siguiente es información que publica la Secretaría de Agricultura, Ganadería, Pesca y Alimentos en su página web http://www.sagpya.gov.ar/ La trucha arco iris (cuyo nombre científico es Oncorhynchus mykiss) pertenecente a la familia salmonidae y en Argentina se encuentra en ríos y lagos de la Patagonia, redes hidrográficas de Cuyo y NOA; son poblaciones provenientes de siembras. Se trata de una especie exótica, nativa de la costa este del Pacífico y fue introducida en el país durante los primeros años del siglo XX, por acciones emprendidas por el gobierno nacional, que creó para la obtención de desoves y alevinos, una Estación Base en San Carlos de Bariloche. Se la considera una especie carnívora, siendo su alimentación de tipo variado y consistente principalmente en invertebrados, fundamentalmente larvas de insectos y crustáceos. Como su manutención es por siembras, su pesca comercial está prohibida. Dentro del proceso iniciado de sembrado de truchas, en 1990 se introdujeron 100 individuos de esta especie en un lago ubicado en la zona cordillerana de Argentina, en el cual no había registros de su existencia. Al principio la población comenzó a crecer rápidamente, pero luego distintos factores, entre ellos la falta de alimentos, determinó un decrecimiento. El número de estos salmónidos para cada año t si consideramos t = 0 al año 1990, se puede modelizar por: S (t) = -1(t + 5)(t - 20) a) Graficar la función desde t = -10 hasta t = 30

close all clc, clear t=-10:0.01:30; hold on s=((-1).*(t+5)).*(t20); plot(t,s) xlabel('Valores en t') ylabel('Valores en s') grid on title('Gráficas de función pesca y alimentos') hold off

Figura 3. Producción de truchas. b) Indicar, a partir del gráfico, el dominio de la función S para este problema

El dominio de la función corresponde: -10 ≤ 𝑡 ≤ 30 c) ¿En qué año la población de truchas fue máxima? En dicho año, ¿cuántos ejemplares había? Como se puede observar la producción de truchas fue máxima de 5 a 10 años. d) ¿En qué año comenzó a decrecer la población de truchas? La producción de truchas empezó a decrecer en el año 10.

Ejercicio 4. La función que representa el crecimiento del peso de un pollo en los primeros 50 días de vida, si se conoce que el peso del mismo en el momento de su nacimiento es de 50 g y que el aumento diario del peso es de un 8%, se escribe como P(x) con: 𝑃 (𝑥) = 50. (1,80)𝑥 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 50 Graficar e interpretar. close all clc, clear x=0:0.01:50; hold on y=50*((180).^x); plot(x,y,'r') xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Crecimiento peso de un pollo') hold off

Figura 4. Crecimiento de un pollo.



La base de la función exponencial que modeliza el aumento de peso del pollo es a = 1,08, entonces es una función exponencial creciente;  La base de la función exponencial que modeliza el aumento de peso del pollo es a = 1,08, entonces es una función exponencial creciente;  Por definición, este modelo sólo es válido para 0 £ x £ 50, entonces podemos predecir que después de 50 días de su nacimiento el pollo alcanzará un peso de 2.345g. Ejercicio 5. Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento f (t) después de un tiempo t en años, satisface la fórmula 𝑓(𝑡) = 60.2−0.02∗𝑡 close all clc, clear t=100:0.01:2500; hold on y=(60.2).^((-0.02)*t); plot(t,y,'r') xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Decrecimiento de un elemento radiactivo') hold off

Figura 5. Decrecimiento de un elemento radiactivo.

a) ¿Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso? 2.7594e-04 b) ¿Qué cantidad queda después de 500 años? 1.5997e-18 c) ¿Qué cantidad queda después de 1.000 años? 2.5590e-36 Ejercicio 6. Una aplicación de la física: Movimiento armónico simple. Si un cuerpo está vibrando verticalmente, la función f (t) que mide (en cm) la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, que consideramos el origen, después de t segundos, siempre que el sentido positivo sea considerado hacia arriba es: 𝝅 𝒇(𝒕) = 𝟖𝒄𝒐𝒔 ( 𝒕) 𝟑 close all clc, clear t=-6*pi:0.01:6*pi; hold on y=8*cos((pi./3)*(t)); plot(t,y,'r') xlabel('Valores en x') ylabel('Valores en y') grid on title('Decrecimiento de un elemento radiactivo') hold off

Figura 7. Movimiento armónico simple

 La amplitud del movimiento es 8 cm, lo que indica que será el máximo desplazamiento;  El período es

2𝜋 𝜋 3

, es decir 6, lo que indica que se requiere que transcurran 6 segundos

para una vibración completa del cuerpo;  inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm sobre el origen, que es la posición central, en el primer segundo baja 𝝅 𝒇(𝒕) = 𝟖𝒄𝒐𝒔 ( 𝒕) 𝟑

esto significa que la altura del cuerpo es de 4 cm sobre el origen, aproximadamente.

5. Modelos matemáticos de poblaciones y diseminación de enfermedades MODELO CÁLCULO DE POBLACIÓN La dinámica de poblaciones es uno de los temas de mayor importancia para entender el desarrollo temporal y espacial de los grupos de organismos de la misma especie que se desarrollan en distintos ambientes. En términos prácticos, interesa para el manejo de plagas agrícolas, para comprender la epidemiologia de numerosas enfermedades, para estimar densidades pesqueras, para manejar poblaciones silvestres, etc. Para realizar este estudio, en primer lugar, definimos lo que es una población [2]. Una población es un grupo de organismos de la misma especie, que habitan un lugar determinado, en el cual utilizan recursos y se reproducen. Este grupo de organismos está caracterizado por una serie de propiedades que son propias. Ejemplo:  Una población de 1000 individuos. se han producido en una unidad de tiempo 20 nacimientos y por tanto la natalidad del grupo es 20/1000. También se puede hablar de otras propiedades de la población como: densidad, tasa de crecimiento, tasa de mortalidad y natalidad, distribución espacial, distribución por sexo, por edades, tipo de crecimiento, variabilidad genética, etc. Natalidad y Mortalidad: La natalidad y mortalidad son características propias de cada población y se miden en tasas que corresponden al número de nacimientos y muertes que se producen en una población por unidad de tiempo. Esta unidad de tiempo es distinta de toda población, y se conoce como tiempo característico. Denominamos por 𝒃 y 𝒅 la tasa de natalidad y mortalidad, respectivamente. Estos parámetros son propios de cada población. La expresión de b y d en función del número total (N) de individuos del grupo y de un periodo de tiempo ∆𝒕, es: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 ∗ ∆𝑡 ∗ 𝑁 = 𝑏 ∗ ∆𝑡 ∗ 𝑁 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 ∗ ∆𝑡 ∗ 𝑁 = 𝑑 ∗ ∆𝑡 ∗ 𝑁 Si denotamos por 𝑁𝑏 y por 𝑁𝑑 el número de nacimientos y muertes respectivamente, entonces 𝑁

𝑏 𝑏 = 𝑁∆𝑡

𝑁

𝑑 𝑑 = 𝑁∆𝑡

Estos parámetros son fundamentales para usar en algunos modelos.

Modelo exponencial o Modelo de Mathus La ley de Malthus (o de crecimiento exponencial) dice que el número de individuos de la población en el instante t, P(t) verifica la ecuación diferencial: 𝑃′ (𝑡) = 𝑘𝑃(𝑡) La solución general de esta ecuación viene dada por 𝑃(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 (de aquí el nombre exponencial con que también se conoce al modelo). En esta expresión hay dos constantes que no se conocen (de momento): k y C.

Ejemplo 1: El crecimiento de una ciudad, es proporcional al número de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la población inicial es de 400.000; y al cabo de tres años es de 450,000. ¿Cuánto tardará en duplicarse? ¿Qué población habrá en 10 años? Solución: Obedece a una ecuación diferencial de este tipo: 𝑑𝑃 = 𝐾𝑃 𝑑𝑡 Como se trata de crecimiento poblacional la solución a esta ecuación diferencial va a estar dada por la función: 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜 𝑒 𝑘𝑡 como es crecimiento la exponencial es positiva Datos del ejercicio: 𝑃𝑜 = 400000 habitantes 𝑡 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠  P=450.000 habitantes 𝑎) 𝑡 =? → 𝑃 = 800000 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑏) 𝑃 =? → 𝑡 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 1. Calculamos la constate k 450000 = 𝑒 𝑘(3) 450000 40000

9

= 𝑒 𝑘(3)  8=𝑒 𝑘(3)

Despejamos k 9

𝐼𝑛 (8) = 𝐼𝑛𝑒 3𝑘 −→ 𝑖𝑛(1.125) = 3𝑘 𝑘=

ln(1.125) 3

 𝑘 = 0.03926

𝑃(𝑡) = 400000𝑒 0.03926𝑡 a) 800000=400000𝑒 0.03926𝑡

2=𝑒 0.03926𝑡 𝐼𝑛(2) = 𝐼𝑛𝑒 0.03926𝑡 𝐼𝑛(2)

𝑖𝑛(2) = 0.03926𝑡 𝑡 = 0.03926 𝑡 = 17.655 𝑎ñ𝑜𝑠 Rta. b) 𝑡 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 → 𝑃 =? 𝑃(𝑡) = 4000000𝑒 0.03926𝑡 𝑃(𝑡) = 4000000𝑒 0.03926(10) 𝑃(𝑡) = 4000000𝑒 0.3926 𝑃(𝑡) = 4000000(1.4808) → 𝑃 = 592330 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. close all clc, clear t=0:0.01:15; t1=10; hold on p=400000*exp((0.03 926)*t); p1=(400000)*exp(0. 03926*t1); plot(t,p,t1,p1,'r* ') xlabel('Tiempo en Años') ylabel('Población' ) grid on title('Crecimiento de una ciudad') hold off

Figura ejercicio1: Crecimiento poblacional

Ejemplo 2: En un modelo de crecimiento poblacional se encontró que la función que define dicho crecimiento es: 𝑃 = 500𝑒 2𝑡 Donde P es el número de individuos y t en años. La población se habrá duplicado al cabo de: a) b) c) d)

0.5 años 0.35 años 3.5 años 2 años

Solución: 𝑃 = 500𝑒 𝑡

100 = 500𝑒 𝑡

𝑃 = 𝑒 2𝑡 500

100 = 𝑒 2𝑡 500

𝐼𝑛

𝑃 = 𝐼𝑛𝑒 2𝑡 500

𝐼𝑛

𝑃 = 2𝑡𝐼𝑛𝑒 500

2 = 𝑒 2𝑡 𝐼𝑛(𝑒 2𝑡 ) = 𝐼𝑛2 2𝑡𝐼𝑛𝑒 = 𝐼𝑛2 2𝑡 = 𝐼𝑛2 𝑡=

𝐼𝑛2 = 0.35 2

close all clc, clear t=0:0.01:10; t1=0.5; t2=0.35; t3=3.5; t4=2; hold on p=500*exp(t); p1=500*exp(t1); p2=500*exp(t2); p3=500*exp(t3); p4=500*exp(t4); plot(t,p,t1,p1,'r*') plot(t2,p2,t3,p4, 'r*') plot(t4,p4,'r*') xlabel('Tiempo en Años') ylabel('Población') grid on title('Crecimiento de una ciudad') hold off

Figura ejercicio 2: Crecimiento población.

DISEMINACIÓN DE ENFERMEDADES El objetivo que perseguimos ahora es determinar qué proporción de la población total será infectada y por cuánto tiempo, usando un modelo matemático que incorpore en su estructura los mecanismos de transmisión que consideramos importantes. Iniciamos la formulación del modelo dividiendo a la población en tres subclases que serán designadas con las letras S, I y R. S(t) denotará el número de individuos susceptibles de contraer la enfermedad al tiempo t, I(t) el número de individuos capaces de transmitirla; es decir, individuos infecciosos, y R(t) el número de individuos que han perdido la posibilidad de ser infectados; ya sea por haber sido convenientemente aislados del resto, por haber sido inmunizados o por haber fallecido a consecuencia de la enfermedad. R(t) es, pues, el número de individuos removidos o retirados de la población al tiempo t. Aunque los factores por los cuales un individuo entra a este último compartimiento son diversos desde un punto de vista epidemiológico, todos son matemáticamente equivalentes ya que en nuestro modelo los individuos en R(t) no contribuyen a la posterior trasmisión de la enfermedad. Como se observó anteriormente, uno de los primeros modelos elaborados para tratar de explicar los rápidos cambios (incrementos y decrementos) en las tasas de enfermos durante brotes epidémicos, fue propuesto por Kermack y McKendrick.

El modelo en cuestión es el siguiente:

El modelo SIR se basa además en las siguientes hipótesis: La población se mantiene constante, es decir, no se tienen en cuenta los nacimientos y muertes que se producen a lo largo del desarrollo de la enfermedad. Si denotamos por N a la población total de individuos tenemos que la suma del número de individuos de cada uno de los 3 grupos es igual al total de la población:

La enfermedad se transmite por contacto directo entre las personas. En cuanto un individuo es infectado pasa a estar en el grupo de los infectados. Los individuos del grupo I(t) se acaban recuperando de la enfermedad y adquieren la inmunidad o mueren (pasando en ambos casos al grupo R(t)). La tasa de infección, que determina el número de individuos por unidad de tiempo que se transaron del compartimento de susceptibles al de infectados, es proporcional al producto S(t) *I(t) [3].

Para empezar, despejamos I(t) de (4.2):

Ejemplo: En una población de 5000 personas, se cuenta con 10 enfermedades. Si la constante de propagación es de 0.2 infectados, calcule el tiempo en el que tardaría en propagarse la enfermedad. Solución: Obtención de la formula. En una determinada población está dada por la siguiente ecuación diferencial: 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑘𝑥(𝑛 + 1 − 𝑥)

Despejando 𝑑𝑥 = 𝑘𝑑𝑡 𝑥(𝑛 + 1 − 𝑥)

Integrando por fracciones parciales tenemos ∫

1 1 − 𝑑𝑥 (𝑛 + 𝑎)(𝑥 − 𝑛 + 1) (𝑛 + 1)𝑥 = ∫ 𝑘𝑑𝑡

Entonces nos queda 𝐼(|𝑥|) − 𝐼𝑛(|𝑥 − 𝑛 − 1|) + 𝐶 = 𝑘𝑡 𝑛+1

Datos del problema: N=5000 X=10

Utilizando la fórmula: 𝐼(|𝑥|)−𝐼𝑛(|𝑥−𝑛−1|) + 𝑛+1

𝐶 = 𝑘𝑡 

𝐼(|20|)−𝐼𝑛(|20−15000−1|) + 15000+1

𝐶=

(0.2)(50)

K=0.2

−4.41 ∗ 10−9 + 𝑐 = 10

t=?

𝑐 = 10

Condiciones iniciales

Por lo tanto:

N=15000 X=20

𝐼(|10|)−𝐼𝑛(|10−5000−1|) + 10 5000+1

K=0.2

9.998 =𝑡 0.2

t=50

𝑡 = 50

= (0.2)(50)

close all clc, clear x=0:0.01:30; x1=10; k=0.2; hold on t=(((log(x)-log(x-50001))./(x+1))+x)./k; t1=(((log(x1)-log(x1-50001))./(x1+1))+x1)./k; plot(x,t,x1,t1,'r*') xlabel('Tiempo') ylabel('Población') grid on title('Propagacion de Enfermedad') hold off

Figura: Diseminación de enfermedades

6. Bibliografía: [1]

J. P. P. y A. Gardey, “MODELO MATEMÁTICO,” Definición.DE, 2012. [Online]. Available: https://definicion.de/modelo-matematico/.

[2]

Mármol Gómez M., “Modelos Matemáticos de Poblaciones,” Univ. Sevilla, p. 19, 2007.

[3]

F. Brauer et al., “Modelos de la Propagación de Enfermedades Infecciosas,” no. November, pp. 1–180, 2014.