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Universidad Nacional Abierta y a Distancia Curso: Teoría de Números Grupo: 551120_14

ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO _4

PRESENTADO POR:

ADISSON JENNY ALFONSO MONTAÑEZ Código 46682199 ANDREA JULIETH MACIAS LESMES CÓDIGO 1013589127 YURLEY ESMERALDA GUERRERO ACEROS CÓDIGO: 63.550.390 Grupo: 551120_14

TUTOR RUBÉN HERRERA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ESCUELA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ECEDU PROGRAMA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS 2019 Actividad Colaborativo paso _4

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INTRODUCCION El presente trabajo muestra soluciones a diversas situaciones, aplicando conceptos de Relaciones y Funciones. Producto cartesiano. Relaciones. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia y a la vez lograr sacar conclusiones a partir de dicho conocimiento. Es así como la estrategia ABP, permite explorar, investigar y dar respuesta, favoreciendo los procesos educativos significativos.

Actividad Colaborativo paso _4

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Unidad 2: Relaciones y Funciones

¿Qué es un conjunto contable? Si un conjunto tiene una cantidad finita de elementos, entonces es definitivamente numerable, pero ser infinito no implica necesariamente que el conjunto no es numerable. Con los conjuntos N y E a la izquierda, podemos establecer una correspondencia (1-1) así: a cada número natural se le puede asignar el doble del mismo, y a cada número par se le puede unívocamente asignar la mitad de él. Así, el conjunto de todos los números pares es infinitamente numerable En matemáticas, un conjunto numerable es un conjunto con la misma cardinalidad que algún subconjunto de los números naturales. Un conjunto numerable puede ser finito o un infinito. Más concretamente, un conjunto se dice que es numerable (o contable) cuando existe una biyección entre este conjunto y un subconjunto de los números naturales ¿Qué es un conjunto incontable? Por otro lado - y en contrario a las fracciones - el conjunto de todos los números reales es verdaderamente innumerable. En términos generales, podemos decir que hay "más" números reales que fracciones. A los números que no se pueden reducir a fracciones se les llaman números irracionales, el conjunto de todos los números irracionales no es numerable

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¿Qué es un homomorfismo y un isomorfismo? Función que se establece entre grupos para conservar la estructura de Ejemplos El concepto de homomorfismo aparece al estudiar toda estructura algebraica. La idea que hay detrás es encontrar la esencia algebraica de una estructura dejando a un lado su apariencia concreta. Dados dos grupos (G1, ∗1) y (G2, ∗2) y una aplicación T entre ellos: T: (G1, ∗1) → (G2, ∗2) Decimos que A. : que T es un homomorfismo si para todo g, h, ∈ G1 se tiene que T (g ∗1 h) = T (g) ∗2 T (h). (La aplicación preserva las operaciones) B. : que T es un monomorfismo si T es un homomorfismo inyectivo. C. : que T es un epimorfismo si T es un homomorfismo suprayectivo. D. : que T es un isomorfismo (de grupos) si T es un homomorfismo biyectivo. Explique brevemente los números de Fibonacci y de Lucas. Dé un ejemplo de cada ítem. Para quienes no conozcan la sucesión de Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que comienza con los números 1 y 1, y a partir de ellos, cada término se obtiene sumando los dos anteriores: Actividad Colaborativo paso _4

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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597… A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. El nombre de sucesión de Fibonacci se lo debe a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Esta sucesión no tendría nada de particular sino fuera porque aparece repetidamente en la naturaleza y, además, tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos, entre otras. Regla La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla": la regla es xn = xn-1 + xn-2 donde: xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2) Por ejemplo el sexto término se calcularía así: X6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8 Los números de Lucas De manera similar a los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos inmediatos anteriores, formando así una secuencia de enteros de Fibonacci. Los dos primeros números Lucas son L0 = 2 y L1 = 1 en contraposición a los dos primeros números de Fibonacci que son F0 = 0 y F1 = 1. Aunque estrechamente relacionado en la definición, los números de Lucas y de Fibonacci presentan propiedades distintas Actividad Colaborativo paso _4

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Los números de Lucas pueden así ser definidos como sigue 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, etc. Taller 1. Sean J= {0, 1, 2, 3,4} y defina la función F: J→J de la siguiente manera: Para cada x que pertenece a J 𝐟(𝐱) = 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟒 𝐦𝐨𝐝𝟐. Encuentre lo siguiente: a) F (0) b) F (2) c) F (4)

SOLUCION (a)

F (0)

f(x) = x 2 + 2x + 4 mod2 f(x) = 02 + 2(0) + 4

mod2

=0+0+4

(b)

F (2)

f(x) = (2)2 + 2(2) + 4 mod2 = 4 + 4 + 4 = 16

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(c)

F (4) f(x) = (4)^2 + 2(4) + 4 mod2

= 16 + 8 + 4 = 28 2. Escribir cada relación en una tabla y dibuje la gráfica. Solución (a) Relación R en {1, 2, 3,4} definida por (x, y)ϵR si x 2 ≥ y.

X 1 2 3 4 Y 1 4 9 16

(b) La relación R= {(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,3), (3,1)} sobre X= {1, 2,3}

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3. Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia en el conjunto de personas: Inicialmente sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir, ∀x ∈k∶xRx Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir, ∀ x ,y ∈ k ∶ x R y → y R x Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, ∀ x , y, z ∈ k ∶ x R y ∧ y R x → x R z Así las cosas (x , y) |x y y tienen los mismos padres Si es relación de equivalencia Reflexividad ∀x ∈k∶xRx Actividad Colaborativo paso _4

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Simetría ∀ x ,y ∈ k ∶ x R y → y R x Transitividad ∀ x , y, z ∈ k ∶ x R y ∧ y R x → x R z (x , y)|x y y tienen el mismo apellido Reflexividad ∀x ∈k∶xRx Simetría ∀ x ,y ∈ k ∶ x R y → y R x Transitividad (NO CUMPLE) ∀ x , y, z (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ∧ (x, z)R No es una relación equivalente (x, y)|x es más alto que y Reflexividad (NO CUMPLE) ∀ x, x ∈ A ∧ (x, x) R Simetría (NO CUMPLE) ∀ xy, x ∈ A ∧ y ∈ B → (x, y) ∈ R ∧ (y, x)R

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Transitividad (NO CUMPLE) ∀ x , y, z (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ∧ (x, z)R No es una relación equivalente (x, y)|x y y viven en el mismo barrio Reflexividad ∀x ∈k∶xRx Simetría ∀ x ,y ∈ k ∶ x R y → y R x Transitividad ∀ x , y, z ∈ k ∶ x R y ∧ y R x → x R z Si es una relación equivalente (x, y)|x y y son de la misma edad Reflexividad ∀x ∈k∶xRx

Simetría ∀ x ,y ∈ k ∶ x R y → y R x Actividad Colaborativo paso _4

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Transitividad ∀ x , y, z ∈ k ∶ x R y ∧ y R x → x R z Si es una relación equivalente 4. Determine cuáles de las siguientes relaciones de congruencia son verdaderas y cuáles son falsas: Definición de congruencia Dado un numero entero fijo p > 1 y dos números enteros cualesquiera a, b ∈ Z, se dice que a es congruente con b modulo p, y se indica a ≡ b (mod p), si p |(a − b). Es fácil ver que a ≡ b (mod p) si y solo si coinciden los restos de dividir los números a y b por p, que se llaman residuos modulo p. En modulo p los posibles residuos son: 0, 1, 2,..., p − 1 10 ≡ 3 mod 2 10 = 5 Residuo 0 2

10 = 3.333 Residuo 1 3

No es congruente por que no coinciden los residuos 12 ≡ 3 mod 10 12 = 4 Residuo 0 3

12 = 1,2 Residuo 2 10

No es congruente por que no coinciden los residuos Actividad Colaborativo paso _4

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20 ≡ 40 mod 12 20 = 0.5 Residuo 0 40

20 = 1,66 Residuo 8 12

No es congruente por que no coinciden los residuos 5.

Encuentre si la relación es una relación de equivalencia. {(1,1,),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}. {(x,y)|2 divide a x+y}. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(5,1),(3,5),(5,3),1,3),(2,1)} {(x,y)|1≤x≤6 ∧1≤y≤6}.

6. Sea X= {1,3,5} y Y={a,b,c,d}. Defina la función dada en el diagrama de flechas: Por ser una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

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𝐀) 𝐄𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐚 𝐞𝐥 𝐝𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 𝐲 𝐞𝐥 𝐜𝐨𝐝𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐠 Dominio g = {1,3,5} Codominio de g = {a, b, c, d }

𝐁) 𝐄𝐧𝐜𝐮𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐠(𝟏), 𝐠(𝟑), 𝐠(𝟓) Las imagenes de los elemetos 1,3,5 son respectivamente: g(1) = b g(3) = b g(5) = b

𝐂) ¿ 𝐂𝐮𝐚𝐥 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐫𝐚𝐧𝐠𝐨 𝐝𝐞 𝐠? El rango de g: {b}

𝐃) ¿ 𝐞𝐬 𝟓 𝐮𝐧𝐚 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐞𝐧 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐚? No por que no hay f −1 (a)

𝐄) ¿ 𝐞𝐬 𝟏 𝐮𝐧𝐚 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐞𝐧 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐛? Si. por que f −1 (b) = 1

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𝐅) ¿ 𝐜𝐮𝐚𝐥 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐞𝐧 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐛? Elemento b posee tres imagnes inversas f −1 (b) = {1,3, 5}

𝐠) 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐚 𝐠 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐮𝐧 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐨𝐬 g como un conjunto de pares ordenados g = {(1, b), (3, b), (5, b)}

7. Halle las funciones compuestas dadas según el siguiente gráfico: Sea X={a,b,c}, Y={x,y,z}, Z={u,v,w}. Se define 𝐟: 𝐗 → 𝐘, 𝐠: 𝐘 → 𝐙. a) g ∘ f b) (g ∘ f)−1 c) g −1 d) f −1 e) f −1 ∘ g −1 f) Establezca como están relacionadas (g ∘ f)−1 y f −1 ∘ g −1 .

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𝐚) 𝐠 ° 𝐟 Los conjuntos de pares ordenados de la funcion son: f = {(a, y), (b, x), (c, z)} g = {(x, v), (y, w), (z, u)} Verificamos si existe g ° f Dominio g = {x, y, z} Rango de f = {a, b, c } → dominio g ∩ rango def = ∅ ∴ g °f no Existe

𝐛) (𝐠 ° 𝐟)−𝟏 Como g °f no Existe, por tanto tampoco tiene inversa (g °f )−1 no Existe

𝐂) (𝐠 )−𝟏 Como la funcion g es: g = {(x, v), (y, w), (z, u)} la inversa de la funcion g es g −1 , y sera: g −1 = {(v, x), (w, y), (u, z)} Actividad Colaborativo paso _4

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𝐝) (𝐟)−𝟏 Como la funcion f es: f = {(a, y ), (b, x), (c, z)} la inversa de la funcion f es f −1 , y sera: f −1 = {(y, a), (x, b), (z, c)}

𝐞 ) (𝐟)−𝟏 ° (𝐠 )−𝟏 los conjuntos de pares ordenados de las funciones invesas (f)−1 y (g )−1 son: f −1 = {(y, a), (x, b), (z, c)} g −1 = {(v, x), (w, y), (u, z)} Verificamos si existe (f)−1 ° (g )−1 Dominio f −1 = {x, y, z} Rango de g −1 = {x, y, z } → Dominio f −1 ∩ Rango g −1 = {x, y, z} ≠ ∅ ∴ (f)−1 ° (g )−1 si existe Luego: (v, x) ∈ g −1 ⋀(x, b) ∈ f −1 → (v, b) ∈ (f)−1 ° (g )−1

(w, y) ∈ g −1 ⋀(y, a) ∈ f −1 → (w, a) ∈ (f)−1 ° (g )−1

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(u, z) ∈ g −1 ⋀(z, c) ∈ f −1 → (u, c) ∈ (f)−1 ° (g )−1 (f)−1 ° (g )−1 = {(u, b), (w, a), (u, c)}

𝐟) 𝐄𝐬𝐭𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬𝐜𝐚𝐧 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐧 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐝𝐚𝐬 (𝐠 ° 𝐟)−𝟏 ° 𝐠 −𝟏 ° 𝐟 −𝟏 (g °f )−1 no Existe

Mientras que f −1 ° g −1 si existe

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REFERENCIAS

Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, ´ Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain E-mail address: Cesar [email protected]

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia

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