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• Dayana Diaz Martinez

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Trabajo 2 Probabilidad Juan Carlos Tipo de ejercicios 1 - Distribución Binomial. b. De todas las Tablet de cierto tipo llevadas a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía el 70% pueden ser reparadas, mientras el 30% restante deben ser reemplazadas con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estas Tablet, ¿Cuál es la probabilidad de que: 1) Exactamente dos sean reemplazadas bajo garantía? 2) Ninguna sea reemplazada bajo garantía? 3) Al menos 4 sean reemplazadas bajo garantía?

Solución: Datos: n=10

Probabilidad de ser reparadas 70%→ 0,7 Probabilidad de ser reemplazadas 30%→ 0,3

p ( reparadas )=0,7 p ( reemplazadas )=0,3

1) Exactamente dos sean reemplazadas bajo garantía? P ( X=x )= n ( p ) x ( 1− p )n− x x

()

n! ( nx)= x ! ( n−x )! P ( X=2 )=( 10 ) ( 0,3 ) (1−0,3 ) 2 2

10−2

Resolvemos 10 ! 10 ! 10 × 9× 8 ! 10 ×9 90 = = = = =45 (102 )= 2 ! ( 10−2 2 ×1 2 ) ! 2! ( 8 ) ! 2 ! (8) !

¿ ( 45 )( 0,09 ) ( 0,7 )8 ¿ ( 45 )( 0,09 ) ( 0,057 ) ¿ 0,23

2) Ninguna sea reemplazada bajo garantía? P ( X=0 )= 10 ( 0,3 )0 ( 1−0,3 )10−0 0

( )

Resolvemos 10 ! 10 ! 10 ! = = =1 (100 )= 0 ! ( 10−0 ) ! 0! (10 ) ! 10 ! 10

¿ ( 1 ) (1 ) ( 0,7 )

¿ ( 1 ) (1 ) ( 0,028 ) ¿ 0,028

3) Al menos 4 sean reemplazadas bajo garantía? P ( X ≥ 4 ) =( 1−X < 4 )=1−( P ( X=0 )+ P ( X =1 ) + P ( X=2 ) + P ( X =3 ))

Entonces P ( X=0 )=

(100)( 0,3 ) ( 1−0,3) 0

10−0

Resolvemos 10 ! 10 ! 10 ! = = =1 (100 )= 0 ! ( 10−0 ) ! 0! (10 ) ! 10 !

¿ ( 1 ) (1 ) ( 0,7 )10 ¿ ( 1 ) (1 ) ( 0,028 ) ¿ 0,028

(101) ( 0,3 ) (1−0,3 )

P ( X=1 ) =

1

10−1

Resolvemos 10 ! 10 ! 10 × 9! 10 = = = =10 (101 )= 1 ! ( 10−1 ) ! 1! ( 9 ) ! 1 ! ( 9 ) ! 1! ¿ ( 10 ) ( 0,3 ) ( 0,7 )9 ¿ ( 10 ) ( 0,3 ) ( 0,040 ) ¿ 0,12

(102) ( 0,3 ) (1−0,3 )

P ( X=2 )=

2

10−2

Resolvemos 10 ! 10 ! 10 × 9× 8 ! 10 ×9 90 = = = = =45 (102 )= 2 ! ( 10−2 2 ×1 2 ) ! 2! ( 8 ) ! 2 ! (8) ! ¿ ( 45 )( 0,09 ) ( 0,7 )8 ¿ ( 45 )( 0,09 ) ( 0,057 ) ¿ 0,23

( 103) ( 0,3) ( 1−0,3 )

P ( X=3 )=

3

10−3

Resolvemos 10 ! 10! 10 ×9 × 8× 7 ! 720 = = = =120 (103 )= 3 ! ( 10−3 6 )! 3 ! (7) ! 3 ! (7) ! ¿ ( 120 ) ( 0,027 ) ( 0,7 )7 ¿ ( 120 ) ( 0,027 ) ( 0,082 ) ¿ 0,26

Entonces P ( X ≥ 4 ) =( 1−X < 4 )=1−( P ( X=0 )+ P ( X =1 ) + P ( X=2 ) + P ( X =3 ))

¿ 1−(0,028+0,12+0,23+ 0,26) ¿ 1−0,638 ¿ 0,362

Ejercicio 2. Distribución Poisson. b. El número de Tecnólogos en sistemas que gradúa la UNAD es en promedio de 30 al año. Calcula la probabilidad de que este año gradúe: 1) ocho tecnólogos en sistemas. 2) Mas de 40 tecnólogos en sistemas.

Solución: 1) ocho tecnólogos en sistemas. e−ℷ ℷ x P ( X= X )= x!

P ( X=8 )=

11 e−30 308 (9.357622969× 10¿¿−14)(6.561 ×10 ) = ¿ 8! 40320

¿ 1,522702488× 10−6 La probabilidad de que este año gradúen 8 tecnólogos en sistemas es 1,522702488 ×10−4 % 2) Mas de 40 tecnólogos en sistemas.

P ( X > 40 )=1−P ( X ≤ 40 ) λ=30 X =41,42,43 …

Usamos la tabla de distribución de Poisson para conocer la suma de 0 a 40

¿ 1−P ( X ≤ 40 )=1−0,9677=0,0323 Ejercicio 3. Distribución Hipergeométrica. b. Suponga que una familia tiene 6 hijos, 2 niños y 4 niñas y se gana un viaje para 3 niños a Disney por tanto decide elegir al azar cuales tres niños enviarán al viaje. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que envíe a 3 niñas? N=6 M= 2(niños) M=4(niñas) n=3

P ( X=b )=P ( X =3 )

M N−M 4 6−4 4 2 ( )( ) ( )( ) ( X n−X 3 3−3 3 )( 0 ) P ( X=3 )= = = ( Nn ) (63) ( 63) ¿

4∗1 4 = =0,2 20 20 2) ¿Cuál es la probabilidad de que envíe entre 1 y 3 niñas? P ( 1< x