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• Lucy Terrones

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA

ESTUDIO DE UNA TORMENTA DEFINICION.Es el conjunto de lluvias que obedecen a una misma perturbación meteorológica y de características bien definidas. 

Una tormenta puede durar desde minutos hasta días



Y puede abarcar diferentes extensiones de terrenos desde pequeñas zonas hasta vastas regiones.

IMPORTANCIA DEL ANALISIS DE LAS TORMENTAS El análisis de las tormentas está íntimamente relacionado con los cálculos o estudios previos, al diseño de obras de ingeniería hidráulica, como son: 

Estudio de Drenaje.



Cálculo del diámetro de alcantarillas.



Determinación de la luz del puente.



Determinación de Caudales máximo :aliviadero de una represa, encauzamiento, Para impedir inundaciones.



Conservación de suelos

Las dimensiones de estas obras, dependen principalmente de la magnitud que las tormentas tengan, y de la frecuencia o periodo de retorno, esto a su vez determina el coeficiente de seguridad que se da a la obra, o los años de vida probable de la misma. Se comprenden que lo mejor sería diseñar una obra para la tormenta de máxima intensidad y de duración indefinida, pero esto significa grandes dimensiones de la misma y lógicamente hay un límite, después del cual, los gastos ya no compensan el riesgo que se pretende cubrir . Entonces, en la práctica, no se busca una protección absoluta, si no la defensa contra una tormenta de características bien definidas, o de una determinada probabilidad de ocurrencia.

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA ELEMENTOS FUNDAMENTALES DEL ANALISIS DE LA TORMENTAS Durante el análisis de las tormentas hay que considerar: a) La Intensidad:

cantidad de agua caída durante un periodo de tiempo.

Lo que interesa particularmente de cada tormenta, es la intensidad máxima que se haya presentado, ella es la altura máxima de agua caída por unidad de tiempo. De acuerdo a esto la intensidad se expresa así: 𝒊𝒎á𝒙 = 𝑷/𝒕 Dónde: 𝑖𝑚á𝑥 = intensidad máxima, en mm/hora P = Precipitación en altura de agua, en mm t = tiempo en horas. b) La duración, corresponde al tiempo que transcurre entre el comienzo y el fin de la tormenta. Aquí conviene definir el periodo de duración, que es un determinado periodo de tiempo, tomando en minutos u horas, dentro del total que dura la tormenta. Tiene mucha importancia en la determinación de las intensidades máximas.

c) La frecuencia (𝒇), es el número de veces que se repite una tormenta, de características de intensidad y duración definidas en un periodo de tiempo más o menos largo, tomando generalmente en años.

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA d) Periodo de retorno (𝑻𝒓 𝒐 𝑻), intervalo de tiempo promedio, dentro del cual un evento de magnitud 𝒙 puede ser igualado o excedido, por lo menos una vez en promedio. Representa el inverso de la frecuencia, es decir: 𝑇=

1 𝑓

Así se puede decir por ejemplo, localidad A , se presentará una tormenta de intensidad máxima igual a 60 mm/hr, para una duración de 30 min, y un período de retorno de 10 años. EL HIETOGRAMA Y LA CURVA MASA DE PRECIPITACIÓN La intensidad de la precipitación, varía en cada instante durante el curso de una misma tormenta, de acuerdo a las características de esta. Es absolutamente indispensable, cuando se hace el análisis de las tormentas, determinar estas variaciones, porque de ellas dependen muchas de las condiciones, que hay que fijar para las obras hidráulicas, para las que se hacen principalmente esta clase de estudios. Esto se consigue mediante dos gráficos: el hietograma y la curva masa de precipitación. HIETOGRAMA Es un gráfico de forma escalonada como un histograma, que representa la variación de la intensidad expresada en mm/hora de la tormenta, en el transcurso de la misma expresada en minutos u horas. Se puede ver esta relación que corresponde a una tormenta registrada por un pluviograma. Permite apreciar más objetivamente como varia la intensidad durante la tormenta.

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA Mediante este hietograma es muy fácil decir a qué hora, la precipitación adquirió su máxima intensidad y cuál fue el valor de está. En la figura se observa que la intensidad máxima de la tormenta, es de 6 mm/hr, y se presentó a los 500 min, 700 min y 800 min, de iniciada la tormenta.

Matemáticamente este gráfico representa la relación: 𝑖=

𝑑𝑃 𝑑𝑡

Donde: 𝑖 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 HISTOGRAMA Un histograma es una representación gráfica de datos agrupados mediante intervalos. Los datos provienen de una variable cuantitativas. Gracias a él puedes hacerte rápidamente una idea de la distribución de los datos o muestra.

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POLÍGONO DE FRECUENCIA Polígono de frecuencia es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma. El polígono de frecuencia es realizado uniendo los puntos de mayor altura de estas columnas.

CURVA MASA DE PRECIPITACIÓN La curva masa de precipitación, es la representación de la precipitación acumulada vs el tiempo. Se extrae directamente del pluviograma. La curva masa de precipitación, es una curva no decreciente, la pendiente de la tangente en cualquier punto, representa la intensidad instantánea en ese tiempo.

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Matemáticamente la curva masa de

precipitación, representa la función

P = f (t), expresada por 𝑡

𝑃 = ∫ 𝑖𝑑𝑡 0

Que se deduce de la relación: 𝑖=

𝑑𝑃 𝑑𝑡

PROCESO PARA EL ANÁLISIS DE UNA TORMENTA REGISTRADA POR UN PLUVIOGRAMA Para realizar el análisis de una tormenta, registrada por un pluviograma, hacer lo siguiente: 1. Conseguir el registro de un pluviograma. 2. Realizar una tabulación con la información obtenida del pluviograma, en forma similar a la mostrada en la tabla 3.4. donde sus columnas son: a. Hora: Se nota las horas en que cambia la intensidad, se reconoce por el cambio de la pendiente, de la línea que marca la precipitación. b. Intervalo de tiempo: Es el intervalo de tiempo entre las horas de la columna (a) c. Tiempo acumulado: Es la suma sucesiva de los tiempos parciales de la columna (b) d. Lluvia parcial: Es la lluvia caída en cada intervalo de tiempo. e. Lluvia acumulada: Es la suma de las lluvias parciales de la columna (d) f. Intensidad: Es la altura de precipitación referida a una hora de

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA duración, para cada intervalo de tiempo. Su cálculo se realiza mediante una regla de tres simple, obteniéndose: 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 (𝑑)𝑥60 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛 (𝑏) 3. Dibujar el hietograma (figura 3.14), esto se consigue ploteando las columnas ( c ) vs ( f) El hietograma permite apreciar más objetivamente como varía la intensidad durante la tormenta 4. Dibujar la curva masa de precipitaciones (figura 3.15), esto se consigue ploteando las columnas ( c ) vs ( e ) 5. Calcular la intensidad máxima para diferentes períodos de duración. Los períodos de duración más utilizados son: 10 min, 30 min, 60 min, 90 min, 120 min y 240 min.

Ejemplo 3.2: A partir del registro del pluviograma que se muestra en la figura 3.16, se realiza el análisis de la tormenta, y obtener: 

El hietograma.



La curva masa de precipitación.



Las intensidades máximas, para duraciones de 10 min, 30 min. 60 min, 90 min, 120 min y 240 min

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Solución: 1. La tabulación de los datos del pluviograma, se muestran en la tabla 3.5, en ellas se muestra: 

Columna (a): horas en que cambian las intensidades.



Columna (b): intervalo de tiempo de las horas de la columna (a).



Columna (c): Suma sucesiva de los tiempos de la columna (b).



Columna (d): altura de lluvia caída en cada intervalo de tiempo.



Columna (e): suma sucesiva de las lluvias parciales de la columna (d)



Columna (f ): intensidades en mm/hr, que se encuentra de: 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 (𝑑)𝑥60 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 (𝑏)

2. Ploteando la columna (b) vs la (f), se obtiene el hietograma, que se muestra en la figura 3.17. 3. Ploteando la columna (b) vs la (e), se obtiene la curva masa de precipitación, que se muestra en la figura 3.18.

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4. Cálculo de las intensidades máximas, para diferentes duraciones 4.1. De la tabla 3.5 y del hietograma de la figura 3.17, se observa que la intensidad máxima es de 6 mm/hr. La cual tiene una duración de 60 min, por lo que para duraciones entre 0 y 60 min, este valor sería la intensidad máxima. ∴ Imáx10 = 6 mm/hr Imáx30 = 6 mm/hr Imáx60 = 6 mm/hr 4.2.

Para duraciones mayores que 60 min, el hietograma de la

figura 3.17, se pueden tomar intervalos consecutivos que tengan las mayores intensidades. 

Intensidad máxima para una duración de 90 min: Para calcular la intensidad máxima correspondiente a 90 min. Se realiza el siguiente análisis:  Durante 60 min, la intensidad máxima fue 6 mm/hr.  Para 90 min, faltan 30 min; entonces hay que buscar antes o después del período anterior de 60 min; la intensidad máxima inmediata inferior es 4 mm/hr por lo que se observa que la intensidad máxima para 60 min será:

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA 60 30 𝑥6 + 𝑥4 = 5.33 𝑚𝑚/ℎ𝑟 90 90 ∴ Imáx90 = 5.33 mm/hr Análogamente: 

Intensidad máxima para una duración de 120 min. 60 60 𝑥6 + 𝑥4 = 5 𝑚𝑚/ℎ𝑟 120 120 ∴ Imáx120 = 5 mm/hr



Intensidad máxima para una duración de 240 min.

60 60 60 60 𝑥6 + 𝑥4 + 𝑥6 + 𝑥4 = 5 𝑚𝑚/ℎ𝑟 240 240 240 240 ∴ Imáx240 = 5 mm/hr Tabulando este resultado, se tiene:

Nota: Observar que a mayor período de duración, menor es el valor de la intensidad máxima Ejemplo 3.3 Para una tormenta, del registro de un pluviómetro, se obtuvo la información de la tabla 3.6

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Dibujar: 

La curva masa de precipitación



Hietogramas de altura de precipitación para duraciones de 2 hr, 4 hr, 6 hr y 12 hr. Solución: 1. Plateando los pares de datos de la tabla 3.6 se obtiene la figura 3.19

2. Calculando las alturas para cada intervalo de tiempo, se obtiene la tabla 3.7. Estas alturas se obtienen restando la precipitación acumulada del tiempo r, menos la del tiempo t-Δt. 3. Dibujo del hietograma para Δt= 2 hr. Ploteando las columnas 1 y 2, se obtiene la figura 3.20. 4. Análogamente: 

Para Δt= 4 hr, ploteando las comunas 1 y 3 se obtiene la figura 3.21

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

Para Δt= 6 hr, ploteando las comunas 1 y 4 se obtiene la figura 3.22



Para Δt= 12 hr, ploteando las comunas 1 y 5 se obtiene la figura 3.23

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Observaciones: 

Conforme disminuye el intervalo de tiempo Δt, el hietograma se aproxima más ala variación real de la lluvia.



Al calcular el hietograma para un intervalo, igual a la duración de la tormenta (en este caso de = 12 ht), se tendrá la misma información que si solo se dispusiera de un pluviómetro.

ANÁLISIS DE FRECUENCIA DE LAS TORMENTAS Para el análisis de las frecuencias de las tormentas, hacer lo siguiente: 1. Analizar todas las tormentas caídas en el lugar, siguiendo el proceso ya indicado, es decir, para cada tormenta hallar la intensidad máxima, para diferentes duraciones. 2. Tabular los resultados en orden cronológico, tomando la intensidad mayor de cada año para cada periodo de duración (10 min, 30 min, 60 min, 120 min y 240 min), en una tabla similar a la 3.8

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA 3. Ordenar en forma decreciente e independiente del tiempo, los valores de las intensidades máximas correspondientes a cada uno de los periodos de duración (tabla 3.9). Para cada valor, calcular su periodo de retorno utilizando la fórmula de weibull:

𝑇=

𝑛+1 𝑚

Dónde: T= periodo de retorno m= número de orden n= número total de observaciones, en este caso número de años

4. Construir las curvas intensidad – duración – periodo de retorno (i – d - T). Para la elaboración de estas curvas, hacer lo siguiente: 

Trazar los ejes coordenados; en el eje X, colocar las duraciones (en min), mientras que en el eje Y, colocar los valores de las intensidades (en mm/hr).



Para un periodo de retorno T (en años) ubicar los pares (duración, intensidad), para ese periodo de retorno T.



Trazar una curva que una los puntos (duración, intensidad).



Repetir los dos últimos pasos para otros valores de T.

En la figura 3.24, se muestran 3 curvas para periodos de retorno de 10, 15, y 30 años.

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA Las curvas intensidad – duración – periodo de retorno, son complicadas de obtener, por la gran cantidad de información que hay que procesar, pero son sumamente útiles para la obtención de la intensidad máxima, para una duración y un periodo de retorno dado.

Ejemplo 3.4 Utilizando la figura 3.24, hallar la intensidad máxima para una duración de 60 min y un periodo de retorno de 10 años. Solución: El proceso es como sigue: 

Ubicar en el eje X, la duración de 60 min.



Trazar una paralela al eje Y (eje de intensidades), hasta ubicar el periodo de retorno de 10 años (si esta curva no existe, hacer un trazo por interpolación).



Trazar de la intersección, una paralela al eje X, hasta interceptar al eje Y.



Leer en el eje de intensidades el valor correspondiente, el cual corresponde a la intensidad máxima en mm/hr, para una duración de 60 min y un T = 10 años, en este caso: Imax= 45 mm/hr.

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA El valor de la intensidad máxima se usa por ejemplo, en la ecuación del cálculo del caudal máximo del método racional, la cual es:

𝑄=

𝐶𝐼𝐴 360

Donde: Q= caudal máximo, m3/s C= coeficiente de escorrentía I= intensidad máxima, en mm/hr, para una duración igual al tiempo de concentración y un periodo de retorno dado. A= área de las cuencas, has

FÓRMULAS QUE EXPRESAN LA INTENSIDAD MÁXIMA, EN FUNCIÓN DE LA DURACIÓN Y DEL PERIODOD DE RETORNO Otra forma de determinar el valor de las intensidades máximas, para una duración y un periodo de retorno dado, es a través de fórmulas empíricas. Formula de Talbot La fórmula empírica propuesta por Talbot, que relaciona la intensidad máxima y la duración, para un periodo de retorno dado, se expresa por:

𝒊𝒎á𝒙 =

𝒂 𝒃+𝑫

Dónde: 𝑖𝑚á𝑥 = intensidad máxima, en mm/hora a y b = parámetros que dependen de la localidad y del periodo de retorno D = duración de la precipitación, en min Los parámetros a y b, de determinan a partir de datos calculados, como el

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA de la tabla 3.9, para esto hacer lo siguiente: 1. Hacer la trasformación de la ecuación de 𝒊𝒎á𝒙 , a una ecuación lineal: 𝟏 𝒂 = 𝒚 𝒃+𝑫 𝒃+𝑫 𝒚= 𝒂 𝒃 𝟏 𝒚= + 𝑫 𝒂 𝒂 𝒚 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏 𝑫

𝒊𝒎á𝒙 =

O 𝒚 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏 𝒙 2. Con los datos de la tabla 3.9, para un periodo de retorno dado, obtenemos los pares:

3. Aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener 𝒂𝟏 y 𝒃𝟏 , a partir de las ecuaciones:

𝑏1 =

𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖 )2

𝑎1 = 𝑦 − 𝑏1 𝑥 =

∑ 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖 − 𝑏1 𝑛 𝑛

4. Calcular 𝒂 y 𝒃 : De los cambios de variables realizados, se tiene:

𝑏1 =

𝑎1 =

1 1 →𝑎= 𝑎 𝑏1

𝑏 𝒂𝟏 → 𝑏 = 𝑎 𝑥 𝒂𝟏 → 𝑏 = 𝑎 𝑏1

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HIDROLOGIA TEMA: ESTUDIO DE UNA TORMENTA 1 𝑏1 𝒂𝟏 𝑏= 𝑏1

∴𝑎=

Con 𝒂 y 𝒃 condicionados, la ecuación de 𝒊𝒎á𝒙 se puede utilizar para el cálculo de la intensidad máxima, para el periodo de retorno de T deducido, y para una duración D, dada.

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