• Author / Uploaded
• juanofey

Citation preview

ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE 3ra Edición Huancayo - Perú Mayo - 2005

CONTENIDO.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

2

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

AGRADECIMIENTO INTRODUCCION GLOSARIO CAP.I. 1.-TEORIA DE ERRORES. - EXACTITUD - PRECISION.

2.

3.

4.

5.

1.1.

ORIGEN DE LOS ERRORES.

1.2.

CLASES DE ERRORES.

1.3.

VALOR PROBABLE SIMPLE.

1.4.

VALOR PROBABLE PONDERADO.

1.5.

MAGNITUD DE ERRORES.

1.6.

ERROR PROBABLE.

1.7.

ERROR PROBABLE PONDERADO.

ORIENTACIÓN DE PLANOS. 2.1.

RUMBOS.

2.2.

AZIMUTS.

2.3.

CONVERSIÓN DE RUMBOS-AZIMUTS Y VICEVERSA.

2.4.

NORTE MAGNETICO.

2.5.

DECLINACIÓN MAGNETICA.

ESCALAS. 3.1.

ESCALA NUMÉRICA

3.2.

ESCALA GRAFICA.

MEDICION DE DISTANCIAS. 4.1.

MEDICION DIRECTA.

4.2.

MEDICION INDIRECTA.

MEDICION DE ANGULOS. 5.1.

ANGULOS POR REPETICIÓN.

5.2.

ANGULOS POR REITERACIÓN.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

3

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

CAP.II 1. POLIGONACIÓN. 1.1. POLIGONACIÓN CERRADA. 1.1.1. MEDICION DE LADOS. 1.1.2. MEDICION DE ANGULOS. 1.2. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS. 1.2.1. POLÍGONOS POR DESVIACIÓN O DEFLEXIONES. 1.2.2. POLIGONOS POR AZIMUTES. 1.2.3. POLÍGONOS POR ANGULOS INTERNOS. 2.

ERROR DE CIERRE ANGULAR Y LINEAL. 2.1. ERROR DE CIERRE ANGULAR. 2.2. ERROR DE CIERRE LINEAL. 2.2.1. ERROR RELATIVO. 2.3. CLASIFICACION DE UNA POLIGONAL POR SU ERROR RELATIVO Y ANGULAR. 2.3.1.

3.

COMENTARIO.

COMPENSACIÓN ANGULAR Y LINEAL. 3.1. COMPENSACIÓN ANGULAR. 3.1.1. POLIGONAL CERRADA. 3.1.2. POLIGONAL ABIERTA. 3.2. COMPENSACIÓN LINEAL.

4.

CALCULO DE AZIMUTS Y COORDENADAS. 4.1. AZIMUTS. 4.2. COORDENADAS.

5.

CALCULO DE COTAS. 5.1. METODO GEOMÉTRICO. 5.2. METODO TRIGONOMETRICO. CAP III

UNCP-FACULTAD DE MINAS

4

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

1.- ALTIMETRIA. 1.1.

NIVELACION TOPOGRÁFICA.

1.2.

PRINCIPIO DE NIVELACION.

1.3.

TIPOS DE NIVELACION.

1.4.

NIVELACION GEOMÉTRICA. 1.4.1.

NIVELACION SIMPLE.

1.4.2.

NIVELACION COMPUESTA.

1.4.3.

NIVELACION RECIPROCA.

1.4.4.

COMPENSACIÓN.

1.4.5.

ERROR MÁXIMO PERMISIBLE.

1.5.

NIVELACION TRIGONOMETRICA.

1.6.

NIVELACION BAROMÉTRICA.

1.7.

LIBRETA DE CAMPO.

1.8.

CURVAS DE NIVEL.

1.9.

1.8.1.

EQUIDISTANCIAS.

1.8.2.

CARACTERISTICAS DE LAS CURVAS.

1.8.3.

METODO PARA GRAFICAR CURVAS DE NIVEL.

PERFILES LONGITUDINALES Y TRANSVESALES.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

5

AGRADECIMIENTO El avance tecnológico con el apoyo de la informática esta creciendo a pasos agigantados, y como una herramienta de apoyo estamos contribuyendo en la formación de los estudiantes de ingeniería, técnicos y profesionales, en calidad de docente de la Facultad de Ingeniería de Minas de la Universidad Nacional del Centro del Perú agradezco a todos los que aportaron en la elaboración del presente manual con el planteamiento de los problemas, ejercicios en la diagramación, edición, así mismo a los que adquirieron e hicieron las recomendaciones del caso. Con la aparición de la primera edición con un tiraje mínimo exclusivamente para los estudiantes de la Facultad de Minas que fue un aporte de gran envergadura, visto la acogida nos vimos en la necesidad de editar la segunda edición con ciertas modificaciones y con problemas tipo, desde la fecha de edición transcurrió tres años, iniciado el año académico 2005 por requerimiento de los estudiantes de la Facultades donde llevan el curso de topografía no empeñamos en elaborar la 3 ra edición, Para fundamentar mejor el curso se hizo las modificaciones en el planteamiento de los problemas de comunicaciones incidiendo en el aspecto tridimensional, los mismos que son utilizados en desarrollo de labores

horizontales, verticales e inclinadas,

también se incremento las técnicas de

peritaje de campo, los procedimientos de cálculos en comunicación de linderos en las propiedades en profundidad, como determinar o cubicar los internamientos de una propiedad a otra.

Para la edición del presente tiraje, contamos con la colaboración de los profesionales que laboran en la Universidad Nacional del Centro del Perú.

GRACIAS.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

6

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

INTRODUCCION Es indudable que actualmente estamos entrando cada vez más a la era de la informática, para el cual debemos estar preparados de acuerdo al avance de la tecnología para desarrollar nuevos modelos matemáticos, esto nos permitirá realizar algoritmos, para el caso específico del curso se desarrollará paso a paso como llegar al resultado final del problema. En el presente texto nos ocuparemos exclusivamente al desarrollo práctico del curso, iniciando por una POLIGONACIÓN y luego realizar la NIVELACION, sabiendo que para hacer un levantamiento topográfico es de vital importancia conocer las principales redes de apoyo para tener el éxito esperado, como es de esperar el estudiante debe estar en la capacidad de desarrollar algoritmos para una Nivelación y Poligonación el cual será un gran aporte dando consistencia al levantamiento topográfico. Dentro de una poligonación veremos desde el reconocimiento del terreno, monumentación de hitos en los vértices, cálculos de ángulos, distancias y llegar al objetivo final de obtener las coordenadas rectangulares y cotas para poder graficar, el mismo que será mediante un programa CAD y realizar la impresión respectiva.

El Autor

GLOSARIO.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

7

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

El curso de topografía general por su naturaleza y por ser una ciencia aplicada que se encarga de determinar las posiciones relativas ó absolutas de los puntos sobre la tierra, el mismo que estudia los métodos y procedimientos para realizar las mediciones sobre el terreno y su representación gráfica, para ello es necesario conocer algunas definiciones para entender el contenido del curso: 1.- ASTRONOMIA.- Ciencia a fin a la topografía que nos permite relacionar la posición de la tierra con otros astros y por lo tanto ubicar los puntos sobre la corteza terrestre. 2.- AZIMUT.- Es el ángulo horizontal que se mide entre dos puntos, para trabajos topográficos normalmente se mide a partir del Norte en sentido de las agujas del reloj dentro de los 360°, el azimut puede ser a partir del Norte magnético, verdadero ó U.T.M. 3.- BRUJULA.- Instrumento topográfico de gran importancia que sirve para determinar la orientación de un alineamiento, esta constituido por una caja en el cual se encuentra una aguja imantada apoyado sobre un pivote en el centro de gravedad, el mismo que gira libremente, la aguja siempre esta orientada en sentido de las líneas magnéticas por lo que uno de los extremos indica el norte y el otro al Sur. 4.- CARTOGRAFIA.- La cartografía tiene bastante relación con la Topografía y Geodesia, Por que la cartografía nos da la técnica como representar los planos sobre una carta ó mapa, en vista que la tierra es una superficie curva y rugosa, para ello utiliza métodos apropiados de proyecciones para graficar un plano. 5.- CENIT.- Esta ubicado en el plano vertical, en el cual para medir ángulos verticales el origen ó 0° esta ubicado en la parte superior del observador. 6.- CONVERGENCIA DE MERIDIANO.- Para iniciar procedimiento de cálculos, se conoce el Norte Magnético, verdadero y U.T.M. entonces, convergencia de meridianos viene a ser el ángulo formado por la línea que indica el Norte verdadero y el Norte cuadrícula ó U.T.M.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

8

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

7.- COORDENADAS.- Las coordenadas vienen a ser los ejes X e Y, que se ideo para representar ó graficar los planos en función a sus cuadrantes. 8.- CURVAS DE NIVEL.- Denominado también como curvas horizontales, son líneas que unen los puntos que se encuentran a una misma altura ó elevación, es de importancia para determinar la característica física del terreno el mismo que servirá para realizar los proyectos de ingeniería. 9.- DECLINACION MAGNETICA. Se dice que las agujas de la brújula siempre indican la dirección de las líneas magnéticas terrestre, los mismos que no coinciden con el Norte verdadero ó físico de la tierra, por lo que el polo magnético tiende a variar en el transcurso del tiempo, entonces la declinación magnética viene a ser el ángulo formado por el Norte Magnético y el Norte Verdadero. 10.- DIAMETRO ECUATORIAL.- Distancia aproximada es 12’756,776 metros. 11.- DIAMETRO POLAR.- Distancia de polo a polo, 12’714,047 m.

aproximad.

12.- DIBUJO.- Proceso que consiste en representar gráficamente en el papel los datos tomados en campo a una escala determinada. 13.- DISTANCIOMETRO.- Instrumento que sirve para medir distancia mediante rayos laser con el apoyo de primas. 14.- ECLIMETRO.- Instrumento topográfico muy sencillo que se deriva del nivel, en el que ha sido incorporado un semi círculo graduado, en el cual se puede leer los ángulos sexagesimales de acuerdo a la inclinación, la graduación se inicia en el centro del semi círculo con 0° hacia ambos lados hasta 90°. 15.- ESCALA.- Es una comparación fija que existe entre las dimensiones del terreno y el papel, es un incremento ó disminución en forma proporcional del tamaño verdadero de un terreno, las escalas pueden representarse numéricamente ó gráficamente.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

9

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

16.- ESTACION TOTAL.- Es un teodolito electrónico que viene incorporado un distanciómetro, instrumento más completo hasta el momento, que puede medir ángulos horizontales, verticales y distancias electrónicamente con el apoyo de prismas. 17.- ESTADIA.- La estádia viene a ser una regla graduada que sirve para medir la distancia taquimétricamente con el teodolito, la estádia llamada también mira, instrumento que tiene una longitud de 2 a 4 mts. Pintadas generalmente entre rojo y negro con fondo blanco. 18.- GEODESIA.- Ciencia a fin a la topografía, que tiene por objeto tomar medidas sobre la superficie de la tierra considerando la curvatura de la corteza terrestre, su aplicación es para grandes extensiones de terreno. 19.- GEOIDE.- Es una línea imaginaria de la tierra considerada al nivel medio del mar, formando una superficie imaginaria esferoidal, cuyos elementos son normales a la dirección de la gravedad. 20.- G.P.S.- (SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL) Es un instrumento de última generación, que determina las coordenadas geográficas, U.T.M. y altitud de un punto topográfico, mediante triangulaciones esféricas con el apoyo de los satélites que giran alrededor de la tierra. 21.- JALON.- Es una varilla de madera, acero, aluminio u otro material adecuado, cuya dimensión debe ser entre 2 a 3 mts, uno de los extremos termina en punta, están pintadas alternadamente entre rojo y blanco cada 50 cm. sirve para ubicar ó indicar los puntos topográficos temporales mientras dure las lecturas ó medidas. 22.- LIBRETA DE CAMPO.- Es la libreta donde se anotan los datos tomados en el levantamiento de campo, el mismo que tiene que ser de gran cuidado por que de ello depende el resultado del trabajo.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

10

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

23.- NADIR.- Es opuesto al Cenit, ó sea el origen ó 0° está ubicado en la parte inferior del operador. 24.- NIVELES.- Instrumento que sirve para mantener las líneas de proyección a una misma altura, determinar la diferencia vertical entre dos puntos con el apoyo de las miras estadimétricas, dentro de los Niveles se distingue niveles de burbuja, de cámara, de anteojo de ingeniero, entre otros. 25.- PLANIMETRO.- Instrumento topográfico que sirve para determinar el área de un terreno, que consiste en un brazo flexible en el extremo tiene una aguja con el cual se recorre el perímetro irregular del terreno a calcular y al extremo opuesto tiene un tambor graduado en el cual se observa el número de vueltas que da, y a una escala determinada se calcula el área mediante fórmulas. 26.- PLOMADA.- Es un instrumento topográfico más sencillo ó tal vez el más antiguo, su peso generalmente oscila entre 200 a 300 gr. Es utilizado para trabajos especiales (topografía Subterránea) se emplean plomadas desde 5 a 8 Kg de peso. 27.- PUNTOS TOPOGRAFICOS.- Son puntos físicos que se materializan sobre el terreno desde los cuales se inicia las mediciones de distancia, ángulos horizontales, verticales, diferencias de alturas, pueden ser temporales y permanentes. 28.- REPLANTEOS TOPOGRAFICOS.- Operación que consiste en llevar los datos obtenidos en el laboratorio a partir de los proyectos al campo para ubicar los puntos para ejecutar la obra. 29.- RUMBO.- Es el ángulo formado a partir del eje Norte-Sur los mismos que se representarán en sus respectivos cuadrantes, con la siguiente nomenclatura: En el I cuadrante Nor-Este (NE). En el II cuadrante Sur-Este (SE). En el III cuadrante Sur-Oeste (SW). En el IV cuadrante Nor-Oeste (NW).

UNCP-FACULTAD DE MINAS

11

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

30.- SEÑALES TOPOGRAFICOS.- Para trabajos de campo es necesario tener un código de señales para poder comunicarse entre los operadores, los mismos que podría ser hechas por medio de las manos, objetos de colores (banderolas), silbatos, para distancia mayores se pueden utilizar radios comunicadores portátiles. 31.- TEODOLITO.- Instrumento topográfico más completo que existe en el mercado, sirve par medir ángulos horizontales, verticales y distancia taquimétricas con el apoyo de la estádia, Estación Total tienen gran alcance y precisión para los levantamientos topográficos.

32.- TOPOGRAFIA.- Es una ciencia aplicada que nos enseña a efectuar mediciones sobre la superficie terrestre y representarlos gráficamente en el papel, La topografía considera a la superficie de la tierra como plana en una extensión aproximada de 625 Km2 ó un cuadrado de 25 Km de lado 33.- U.T.M.- Sistema de proyección cartográfica que ayuda a la topografía a representar los planos para una buena interpretación. 34.- WINCHA.- Es una cinta graduada en centímetros ó pulgadas, sirven para medir las distancias entre dos puntos, están fabricadas de lona, acero, fibra de vidrio, para trabajos topográficos están graduados por temperatura, tensión y longitud verdadera, vienen cintas de 10, 20, 30, 40, 50 mts de longitud.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

12

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

CAPITULO I

1. TEORIA DE ERRORES. Dentro de las mediciones que realiza el topógrafo, esta obligado a conocer los diferentes errores posibles que se pueda cometer en una mensura, siendo la responsabilidad del topógrafo mantener una medición dentro de los límites permisibles de precisión, para ello es necesario que conozca las causas de los errores, es importante tener presente la diferencia entre precisión y exactitud. - EXACTITUD.- Es la aproximación absoluta a la verdad (Sociedad Americana de Ingenieros civiles); También se define como el grado de conformidad con un patrón ó modelo (Servicios Geodésico y de costa de los EE.UU.). - PRECISIÓN.- Es el grado de perfección con que se realiza una operación; De ambas definiciones podemos concluir que una medición puede ser de gran precisión con toda las unidades necesarias y no ser exacta ó viceversa.

1.1. ORIGEN DE LOS ERRORES. - ERRORES HUMANOS.- Dentro de ello tenemos las limitaciones de los sentidos (vista, tacto, oído) y la operación incorrecta. - ERRORERS INSTRUMENTALES.- Causados por los ajustes defectuosos y calibraciones erróneas de los equipos topográficos. - ERRORES POR FENOMENOS NATURALES.- Son causados por acción metereológica, como la temperatura, vientos, refracción terrestre, humedad y declinación magnética.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

13

1.2. CLASES DE ERRORES. - ERROR REAL.- Es una expresión matemática ó diferencia que resulta entre la comparación de dos cantidades, el valor más probable y el patrón, dentro de ello puede ser positivo (exceso) ó negativo (defecto). - ERROR SISTEMATICO Ó CONSTANTE.- es cuando se repite en una medición la misma magnitud y el signo puede ser positivo ó negativo, detectado el error debe cambiarse el método, el equipo ó instrumento. - ERROR FORTUITO ó ACCIDENTAL.- Es producido por diferentes causas ajenas a la pericia del operador, los errores fortuitos en conjunto obedecen a las leyes de la probabilidad, puesto que un error accidental puede ser positivo ó negativo, estos errores son llamados también errores irregulares ó ambulantes. 1.3. VALOR PROBABLE SIMPLE. El valor más probable de una cantidad es una expresión matemática que es el resultado de una operación de varias mediciones. El valor más probable en la medición de una misma cantidad realizada en las mismas condiciones, es la media de todas las mediciones. Ejemplo.1Una distancia AB se mide con los siguientes resultados: 1ra lectura

123.43 mts

2da lectura

123.48 mts.

3ra lectura

123.39 mts.

4ta lectura

123.41 mts.

El valor más probable será la media de las cuatro lecturas realizadas:

V .M .P. 

 Lect.  123.43  123.48  123.39  123.41  123.4275 n

4

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

14

Ejemplo 2.- En una medición de ángulos tenemos 6 lecturas en las mismas condiciones. a)48°20’16”

b)48°20’37” c)48°20’26” d)48°20’35”

e)48°20’36”

f)48°20’30”

SOLUCION. Valor más probable es: SUMATORIA =

a)48°20’16” b)48°20’37” c)48°20’26” d)48°20’35” e)48°20’36” f)48°20’30” 290°03’00”

Entonces V.M.P = 290°03’÷ 6 = 48°20’30” Ejemplo 3 De un mismo punto se realiza 4 lecturas de los que se obtiene: a) NPA 38°40’10”

B

b) APB 39°50’50” c) BPC 76°42’40”

A N

d) NPC 155°13’00”

P

C

En esta clase de lecturas suele ocurrir que la última lectura debe ser igual a las tres anteriores por estar afectado de los mismos errores, por que las mediciones se hizo en las mismas condiciones, por lo tanto la discrepancia se dividirá por el número de lecturas. NPA 38°40’10” APB 39°50’50” BPC 76°42’40” 155°13’40”



155°13’00”

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

15

Discrepancia = 155°13’40” – 155°13’00” = 40”, comparando la suma de las tres primeras lecturas con la última existe una discrepancia de 40”. Para encontrar el valor más probable se divide entre 4 y el resultado restamos a los tres primeros ángulos (a, b y c) y sumamos al último (d), como muestra el cuadro. 40” ÷ 4 = 10”. NPA 38°40’10” – 10” = 38°40’00” APB 39°50’50” – 10” = 39°50’40”

155°13’00”

BPC 76°42’40” – 10” = 76°42’30” 155°13’40” – 30” = 155°13’10”

+ 10” =

155°13’10”

 el valor más probable de los ángulos será: NPA = 38°40’00” APB = 39°50’40” BPC = 76°42’30” NPC = 155°13’10” 1.4. VALOR PROBABLE PONDERADO. Para determinar el valor más probable ponderado de una medición se toma en consideración el número de observaciones que se realiza para cada una de ellas, el cual se le denomina peso, para llegar al valor más probable de diferentes precisiones que viene a ser la media ponderada, que resulta de dividir el producto de la medición por su peso entre la suma de pesos.

V.M.P =

Σ(Med.x P) . Σ(P)

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

16

Ejemplo 4. Se desea determinar el valor más probable de una medición, con varias observaciones para cada precisión, los datos de campo es como sigue: a) 182.459

2 veces.

b) 182.433

4 veces.

c) 182.462

5 veces.

d) 182.448

8 veces.

SOLUCION. El número de observaciones es el peso que se le asigna a cada lectura. a b c d

V.M.P =

MEDICION 182.459 182.433 182.462 182.448 SUMA

P 2 4 5 8 19

MED x P 364.918 729.732 912.310 1459.584 3466.544

Σ(Med.x P) 3466.544 = = 182.44968 mts. Σ(P) 19

Ejemplo 5. Los ángulos de una serie de mediciones son: a)82°15’18” (2) b)82°15’32” (4)

c)82°15’25” (5)

d)82°15’31” (6) e)82°15’22” (7). Encontrar la media ponderada. MEDICION P MED X P a 82°15’18” 2 36” b 82°15’32” 4 128” c 82°15’25” 5 125” d 82°15”31” 6 186” e 82°15’22” 7 154” SUMA. 24 629” NOTA. En la última columna se considera solamente los segundos.

V.M.P =

Σ(Med.x P) 629 = = 26.21" Σ(P) 24

El valor más probable es 82°15’26.21”

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

17

1.5. MAGNITUD DE ERRORES. Teoría de errores es un tema amplio, por lo que enfocaremos solamente lo necesario para aplicar en el curso de Topografía, entendiendo la magnitud de errores como el tamaño del error que se comete en una medición. 1.6. ERROR PROBABLE.- Viene a ser una cantidad positiva ó negativa, dentro de estos límites puede encontrarse el error más probable, para ello daremos directamente las fórmulas de aplicación, obviando su demostración.

1) E  0.6745 2) E 

 

 v2 n 1

0.845  v n ( n 1 )

3) E  0.845 V 4) E  V

Si: E = Error probable  = desviación Típica v2= Sumatoria del cuadrado de las desviaciones. v= Sumatoria de los valores absolutos de la

desviación

V = Media de la desviación.

v = Desviación. n = Número de observaciones. Ejemplo 6. Se hizo 10 observaciones de distancia con mira estadimétrica en las mismas condiciones ambientales y operacionales a una distancia de 150 mts. aproximadamente verificando la nivelación después de cada lectura. Calcular el error más probable de las lecturas. LECTURAS

LECTURAS

1. 150.045

6.

150.047

2. 150.048

7.

150.040

3. 150.039

8.

150.041

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

18

4. 150.038

9.

150.042

5. 150.046

10.

150.044

SOLUCION. 1) Hacemos cálculos previos para obtener la desviación, promedio de lecturas. LECTURAS

V2

V

1. 150.045

0.002

0.000004

2. 150.048

0.005

0.000025

3. 150.039

0.004

0.000016

4. 150.038

0.005

0.000025

5. 150.046

0.003

0.000009

6. 150.047

0.004

0.000016

7. 150.040

0.003

0.000009

8. 150.041

0.002

0.000004

9. 150.042

0.001

0.000001

10.150.044

0.001

0.000001

n=1500.43

v=0.03

Med = 150.043

σ 

Σ v2  n  1

.

v2=0.00011

V = 0.003

0.00011  0.003496 10  1

El error más probable de las lecturas resultara de la aplicación de las fórmulas.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

1) 2)

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

19

E  0.6745 σ  0.6745 * 0.003469  0.00236 0.845 Σ v 0.845 * 0.03 E    0.00267 n( n  1) 10 ( 10  1 )

3)

E  0.845 v



4)

E  V

0.003



0.845 * 0.003  0.00254

De la aplicación de estas fórmulas concluimos que la segunda y tercera son las más recomendables. 1.7. ERROR PROBABLE PONDERADO. El valor más probable esta afecto de un error más probable, el mismo que se calcula con la siguiente formula E.m.p  0.6745

Σ (WV 2 ) Σ W( n  1 )

Si: (WV2)= Sumatoria del producto de pesos por el cuadrado de la desviación.  w = Sumatoria de pesos. n = Número de observaciones. Ejemplo.7 En una lectura de campo se desea saber cual es el error más probable que se puede haber cometido en la medición. a) 182.459 (2), b)182.433 (4) c)182.462 (5), d)182.448 (8) SOLUCION. LECTURAS

V

V2

W

W*V2

182.459

0.0085

0.00007225

2

0.0001445

182.433

0.0175

0.00030625

4

0.001225

182.462

0.0115

0.00013225

5

0.00066125

182.448

0.0025

0.00000625

8

0.00005

19

0.00208075

Aplicando la formula tenemos que:

E.m. p  0.6745

 (WV 2 ) 0.00208075  0.6745  0.004075 W ( n 1) 19 ( 4 1 )

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

20

En las lecturas de campo el error más probable que se puede estar cometiendo es 4.075 mm. Ejemplo 8 Calcular el error más probable de las siguientes mediciones: a) 82°15’18”(2), b) 82°15’32”(4), c) 82°15’25”(5), d) 82°15’31”(6), e) 82°15’22”(7). SOLUCION. V

V2

W

W * V2.

a) 82°15’18”

7.6”

57.76

2

115.52

b) 82°15’32”

6.4”

40.96

4

163.84

c) 82°15’25”

0.6”

0.36

5

1.8

d) 82°15’31”

5.4

29.16

6

174.96

e) 82°15’22”

3.6

12.96

7

90.72

24

546.84

LECTURAS

Los cálculos se realizan con los segundos porque los grados y minutos se mantienen constante.

Σ (WV 2 ) 546.84 E.m.p  0.6745  0.6745  1.61" Σ W( n  1) 24 ( 5  1 ) El error más probable es 1.61”, que se puede estar cometiendo al calcular el valor más probable en la media ponderada.

2. ORIENTACION DE PLANOS La orientación es la dirección de un alineamiento con respecto a un meridiano dado, las orientaciones que se representa en un plano puede ser mediante Rumbos ó Azimuts.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

21

2.1. RUMBOS.- Es la orientación de un alineamiento que tiene su origen en el meridiano N-S formando un ángulo agudo, dentro del cuadrante se puede medir los ángulos hasta 90°. N.M. IV CUADRANTE

I CUADRANTE

D

A 48°

W

65°

O

III CUADRANTE

30°

E

53°

C

B II CUADRANTE

S En la siguiente figura se tiene el meridiano N-S y un paralelo E-W en el que se representa los cuadrantes, I, II, III y IV, La nomenclatura en el primer cuadrante (OA) N65°E, en el segundo cuadrante (OB) S53°E, en el tercer cuadrante (OC) S30°W y en el cuarto cuadrante (OD) N48°W. 2.2. AZIMUT.- El azimut de un alineamiento es el ángulo formado en sentido de las agujas del reloj ó hacia la derecha a partir de un meridiano de referencia, se puede medir de 0 a 360° el meridiano de referencia puede ser Magnético, verdadero ó supuesto. En el siguiente cuadro muestra los ángulos azimutales en sus respectivos cuadrantes.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

22

D A 55°

312°

146°

O

225°

C B ANGULOS AZIMUTALES.

El acimut en el 1er cuadrante es 55°, en el 2do cuadrante 146°, en el 3er cuadrante 225° y en el 4to cuadrante 312°

2.3. CONVERSION DE RUMBOS-AZIMUTES Y VICEVERSA. Para convertir Rumbos a Azimuts se aplica la siguiente relación: En el I cuadrante el Z = R En el II cuadrante: Z = 180° - R En el III cuadrante: Z= R + 180° En el IV cuadrante: Z = 360° - R. Z = Azimut. Para calcular Rumbos a partir de Azimut despejamos “R” de la relación anterior. Ejemplo 9 En un levantamiento con brújula desde un punto (O) se tienen las siguientes visuales, B) 148°38’, C) 256°35’ A) 88°46’ y D)349°20’, determinar su rumbo de cada alineamiento y ubicar su cuadrante.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

23

D RUMBO 40 N10°

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

N88° RUMBO 46'E

'W

A

349°20'

148°3 8'

O

256°35'

C S76°3 5'W

RUMBO

RUMBO ' S31°22

B E

RUMBOS Y AZIMUTS.

SOLUCION: ROP = 180°-148°38’= S 31°22’ E II Cdte. ROQ = 256°35’-180°= S 76°35’ W III Cdte. ROR = 88°46’

= N 88°46’ E I Cdte.

ROS = 360°-349°20’ = N 10°40’ W IV Cdte. 2.4.- NORTE MAGENTICO.- La aguja de la brújula indica la orientación de las líneas magnéticas de la tierra, éste punto tiende a variar en el transcurso del tiempo por lo que los levantamientos preliminares se realizan orientando al Norte Magnético. Mientras el NORTE VERDADERO se mantiene fijo, es el polo físico de la tierra. 2.5. DECLINACION MAGNETICA. La declinación magnética viene a ser el ángulo formado por el Norte Magnético y el Norte Verdadero, en los levantamientos topográficos antiguos para un replanteo actual es necesario corregirse por declinación magnética para llegar a ubicar la orientación verdadera.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

24

Ejemplo 10. En un levantamiento con brújula en 1975 se visa un eje “OP” con rumbo de S19°25’E, sabiendo que en aquel entonces su declinación magnética fue de 5°48’E, se desea saber el Azimut verdadero de dicho alineamiento. SOLUCION: Si S19°25’E = ZOP=160°35’. D.M.= 5°48’E  El ZV = ZOP + D.M.  ZV = 160°35’+ 5°48’= 166°23’

NV NM1975 5°48'

3' 166°2 160°35'

DM

AZIMUT VERDADERO

W

O 19°25' RUMBO

S

E

P

Ejemplo 11. El Rumbo de un lindero “OP” en 1970 era N 83°12’25”E, y su declinación magnética fue 6°18’E, se sabe que la variación anual es de 6’18”W; Cual es el rumbo y Declinación magnética actual.

2001 y 1970

UNCP-FACULTAD DE MINAS

25

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

SOLUCION:

NV

NM2001

DM2001

VM. NM1970

DM1970

W

E

O

Z1970

P S R70 = N 83°12’25” E (magnético) Z70 = 83°12’25” (magnético) DM1970. = 6°18’E (declinación magnética) Entonces, Acimut verdadero (ZV) será: ZV = Z70 + DM70 ZV = 83°12’25” + 6°18’= 89°30’25” Tiempo que transcurrió el levantamiento desde 1970. T = 2001 – 1970 = 31 Años. Variación Magnética en 31 años. V.M.A.= 6’18”W (Variación Magnética Anual) V.M =6’18” x 31 = 195’18” = 3°15’18”W La Declinación Magnética Actual (2001) será: DM2001.= 6°18’ – 3°15’18” = 3°02’42”E El Rumbo magnético actual (2001) será: R2001 = Zv – D.M2001 R2000 = 89°30’25” – 3°02’42” = N 86°27’43” E. Respuesta: Declinación Magnética Actual es 3°02’42”E

UNCP-FACULTAD DE MINAS

26

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Rumbo magnético Actual es N 86°27’43”E Ejemplo 12. Si el Rumbo Magnético actual “OP” Es S36°20’W, calcular el Azimut geográfico, sabiendo que la declinación magnética en 1985 fue de 3°05’E, y su variación magnética anual es 45”W. SOLUCION: NV DM2001

W

E

L

Z ACTUZA V.

O

1 200

NM M1985 N VM DM85

P

S

ZV = ? R2001 = S36°20’W. Z2001 = 180° + 36°20’ = 216°20’ DM1985 = 3°05’E VMA.= 45”W Tiempo del levantamiento. 2001 – 1985 = 16 años. VM.= 16 x 45” = 720” = 12’W DM2001 = 3°05’ – 12’ = 2°53’E. ZV = 216°20’ + 2°53’ = 219°13’ Respuesta: Azimut verdadero de “OP” es 219°13’ DM2001 = 2°53’E.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

27

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Ejemplo 13. Se desea replantear una línea “PQ” sabiendo que el Rumbo Magnético en 1955 era de S32°40’E y su declinación magnética 7°35’E, determinar cual es el Rumbo verdadero y el Rumbo magnético actual, si la Declinación actual es 2°20’W. SOLUCION: R = S 32°40’E (Rumbo magnético) DM1955. = 7°35’E

N.V.

2001

2 DM

001

0 2°2

1955

'W

P

55

7°35 'E

15' 157°54°55' 1 147°20'

W

DM 19

S

E

Azimut 2001 Azimut Verdadero Azimut 1955

Q

Z magnético para 1955 es: Z = 180 – 32°40’ = 147°20’ El ZV = ZM + DM55. ZV = 147°20’ + 7°35’ = 154°55’ Rumbo verdadero: RV = 180° - 154°55’ = S 25°05’ E. El Azimut magnético actual es, el azimut verdadero más DMACTUAL, por estar declinando hacia el W.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

28

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

DMACTUAL. = 2°20W (Declinación magnética) ZACTUAL = 154°55’ + 2°20’ = 157°15’ (Azimut actual) Por lo tanto el Rumbo Magnético actual es la diferencia de 180° por estar en el 2do cuadrante. RMAG-ACT.= 180° - 157°15’ = S 22°45’ E. Respuesta: El Rumbo verdadero es S 25°05’E. El Rumbo magnético actual es S 22°45’E Ejemplo 14 En un replanteo actual de un canal de irrigación se mide 800 mts de longitud con un Rumbo de S18°25’W y una declinación magnética de 2°40’E: Revisando los archivos se encuentra que fue levantada en 1960 y su declinación magnética era 8°35’W; Determinar el Rumbo magnético en 1960, Variación Magnética Anual.

SOLUCION. R2001 = S 18°25’ W DM2001 = 2°40’E. Calculando el Z actual. Z2001 = 180° + 18°25’ = 198°25’. Para el ZV se suma la DM2001 al ZM ZV = 198°25’ + 2°40’ = 201°05’ Para el Z60 se suma DM60 por declinar al W DM60 = 8°35’W Z60 = 201°05’ + 8°35’ = 209°40’ Para obtener el R60 restamos 180° por estar en el 3er cuadrante. R60 = 209°40’ – 180° = S 29°40’ W. La variación magnética viene a ser desde 1960 hasta 2001.  2°40’ + 8°35’ = 11°15’ y la variación magnética anual es entre 41 años transcurridos, 11°05’/41 = 16’13.17”E.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

29

PROBLEMAS PROPUESTOS. a) Deseamos replantear el eje de una carretera, si en el plano de 1980 encontramos un Rumbo de S54°39’50”E y su Declinación Magnética de 48’30”W, conociendo su variación magnética a la fecha de 2°5’10”W, determinar su Rumbo verdadero; Azimut, Rumbo magnético y Declinación magnética actual(2001) y su Variación Magnética Anual. Rspta:

RV

=

S55°28’20”E;

Z2001=127°25’20”;

R2001=S52°34’40”E;

DM2001=2°53’40”W; V.M.A.=6’35.26”W. b)La orientación actual (2001) de un cable de alta tensión tiene un Rumbo de N32°18’W, con una declinación magnética de 1°20’W, sabiendo que el trabajo fue realizado en 1976 cuando la declinación magnética era de 2°5’E, determinar: Rumbo verdadero, Rumbo magnético de 1976 y variación magnética anual. Rpsta: RV=N33°38’W; R76 = N35°43’W; VMA=8’12”W 3. ESCALA La escala es una relación de comparación entre el terreno y las dimensiones en el papel, teniendo en cuenta que una escala se elige en función al tamaño del terreno y del papel a dibujarse, las escalas más conocidas son las numéricas y gráficas. 3.1. ESCALA NUMERICA.- Las representación numéricas de las escalas más conocidas son: 1/100, 1/200, 1/500, 1/750, etc. Si 100 metros de terreno se representa en 1 metro de papel, la escala será 1/100, ó equivale a decir que en 1 cm. de papel se representa 100 cm de terreno, la escala será 1/100, ambas expresiones (numerador y denominador) deben estar en la misma unidad. Si la expresión 1/100 = 1/E, donde 1 representa el papel (P),y E representa el terreno (T). 

1 P  Con esta relación podemos calcular el tamaño del terreno, tamaño E T

de papel y la escala a dibujarse.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

30

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Ejemplo 15. Determinar el tamaño del papel para dibujar un terreno de 2 Km, a una escala de 1/2500.

SOLUCION. De la relación 1/E = P/T, Se tiene que: 1/E = 1/2500; P = ? Papel T = 2 Km.(Terreno) 1

P

 2500  2 Km ; Donde P  0.0008 Km.  80 Cm. Respuesta: Se necesita 80 centímetros de papel. Ejemplo 16. Una falla mineralizada en el papel esta representada por 12.5 cm. a una escala de 1/15000, cual será la longitud de la falla en el terreno. SOLUCION. Partiendo de la relación se tiene: 

1 1  E 15000

P = 12. Cm. T=? 

12.5 cmP 1 = , donde: 15000 T

T = 187500 cm. = 1.875 Km. Respuesta: La falla mide 1.875 Km. Ejemplo 17. En un levantamiento de una carretera en línea recta se mide 7.5 Km. se quiere dibujar en un papel A3, determinar a que escala se dibujará. SOLUCION.

UNCP-FACULTAD DE MINAS



ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

31

1 P  ; E T

1/E = ? T = 7.5 Km. P = Tamaño del papel A3 es 420 x 297 mm. El largo del papel es 42 cm. Para dibujar descontamos los márgenes 1.5 a cada lado, total 3 cm. Entonces el papel tendrá un tamaño de 42 – 3 = 39 cm. Luego,

1 39cm = , E = 19230.77; aproxim. a 2000 0 E 7.5Km

Para realizar la operación ambas cantidades deben estar en la misma unidad. Entonces la escala a dibujarse debe ser 1/20000. NOTA: Cuando “E” es una cantidad diferente a la escala conocida, se redondea a una cantidad inmediata superior, tal como 20000; 3.2. ESCALA GRAFICA Es una recta dividida en partes iguales que representa una porción de longitud de terreno en un mapa, Así por ejemplo en el gráfico, 1 cm representa a 100 m. Desde el punto 0 m. se subdivide hacia la izquierda en diez partes iguales para tomar detalles en el plano y hacia la derecha se divide cada centímetro. Las divisiones pueden tomar otras cantidades como 2, 3, 4 cm. etc. Y representar cantidades como 200, 500, 1000 m. ó 2, 3, 5 Km. etc. De acuerdo al plano que se quiera dibujar.

1 cm

100 m

0 cm

50

0

1 cm

100 m

2 cm.

200 m

4. MEDICION DE DISTANCIAS. En los levantamientos Topográficos las distancias medidas pueden ser horizontales ó inclinadas, si se miden en un mismo nivel las distancias serán horizontales, si la distancia entre dos puntos esta afecto de un ángulo vertical la distancia será inclinada, estas distancias generalmente para su representación en un plano se reduce al horizonte

UNCP-FACULTAD DE MINAS

32

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

ó su proyección en el plano horizontal,.las distancias se pueden medir directa ó indirectamente. 4.1. MEDICION DIRECTA.- Es cuando el operador actúa directamente sobre el objeto a medir, normalmente tomando una wincha sobre el terreno, para el cual debe tener en cuenta y evitar los errores que se puedan cometer al momento de medir, pueden ser errores metereológicos, humanos, instrumentales etc. Después de la medición debe realizar las correcciones respectivas como, corrección por temperatura, catenaria, horizontalidad longitud verdadera, y tensión. 4.2. MEDICION INDIRECTA.- Ocurre cuando el terreno es accidentado y no puede utilizarse con facilidad la wincha, sobre todo cuando las distancias son grandes, para la medición indirecta de distancias se utiliza instrumentos mecánicos ó electrónicos, los teodolitos son los indicados, dentro de ellos existen los teodolitos convencionales, para tomar distancias se hace uso de miras graduadas, las lecturas se realizan dentro del rango de los hilos estadimétricos, hilo superior (s) e hilo inferior (i), en la ubicación de estos se lee su respectiva altura y se resta (s-i) y multiplicado por 100 (constante estadimétrica de fabricación), será la distancia del punto visado, estas son inclinadas y es necesario reducir al horizonte para representar en el plano, por lo que se tiene que aplicar las fórmulas taquimétricas aproximadas: DH = D Cos2 y DV 

1 D Sen 2 2

Donde:DH = Distancia horizontal. D = Distancia inclinada.  = Angulo vertical. DV = Diferencia Vertical. Dentro de los instrumentos electrónicos tenemos los distanciómetros, Estación total, la distancia es medida por medio de rayos láser, para el cual cuenta con prismas de acuerdo a la distancia.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

33

Ejemplo 18. Se tiene los datos taquimétricos de un levantamiento topográfico, se desea calcular las distancias horizontales y verticales de cada punto. Ptos.

Ang. Hrzt.

Ang. Cenit.

Dist.incl.

A-B

23°40’

92°10’

123.48

A-C

39°18’

93°45’

215.10

A-D

122°22’

88°18’

281.40

A-E

132°35’

86°20’

208.30

SOLUCION. De acuerdo a la fórmula se tiene distancia inclinada, y ángulo cenital. Calculamos el ángulo vertical para cada visual a partir del ángulo cenital. Para:

A-B = 90° - 92°10’ = -2°10’ A-C = 90° - 93°45’ = -3°45’ A-D = 90° - 88°18’ = +1°42’ A-E = 90° - 86°20’ = +3°40’

Aplicando la fórmula. DH = D COS2

y

DV = ½ D Sen 2.

Tenemos: Remplazando los valores en la fórmula PTOS A-B A-C A-D A-E

D.H 123.304 214.179 281.152 207.448

D.V -4.665 -14.038 8.344 13.294

5. MEDICION DE ANGULOS. Para realizar la medición de ángulos para poligonales ó triangulaciones se puede elegir cualquiera de los dos métodos más conocidos, medición por repetición o por Reiteración.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

34

5.1. ANGULOS POR REPETICIÓN.- La precisión que se puede alcanzar con este método es proporcional al numero de veces que se multiplica o repite un ángulo, el procedimiento a seguir por este sistema depende del grado de precisión que se busca, si la medición es de poca precisión, se hará dos lecturas sin invertir el anteojo, si queremos alcanzar una precisión mayor realizar por lo menos de 5 a 6 series con el anteojo en posición normal y con el anteojo vasculado (invertido), el procedimiento es como sigue: A

O

w B

Estacionar el teodolito en el punto “0” visar al punto A con el limbo horizontal graduado en 0º0’0’’, girar al punto B, anotando el ángulo “w”, en ésta posición bloquear el limbo horizontal y trasladar hasta la posición original A, soltar en esta posición el bloqueador de ángulo y volver a visar el punto B, siendo esta la segunda lectura w’, continuar con el procedimiento las veces que sea necesario de acuerdo a la precisión deseada. El ángulo promedio se calculará con la siguiente relación. PRIMER CASO.  p

Lectura final No de lecturas

Ejemplo 19. Punto A B

p

Lect. inic. 0º 0’0” 26º 16’

Nº

Lect. final

Ang. Promed.

8

210º 09’

26º16’07.5”

21009'  2616'07.5" 8

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

35

SEGUNDO CASO Cuando la ultima lectura supera los 360º se suma 360º a la ultima lectura y se divide entre las veces repetidas. Ejemplo 20. 1ra lectura 76º30’; numero de repeticiones 5, última lectura 22º31’. SOLUCIÓN. 5 repeticiones es más de 360º. 360° < (76° 30' x 5 )

P 

2230'  360  76 30' 12" 5

El error más probable que se comete seria el resultado de la lectura final menos la lectura inicial dividido entre el número de repeticiones. En el Ejm. 1, E=(26º16’07,5’’–26º16’)/8= 0º0’0,94” En el Ejm. 2, E=(76º30’12’’-76º30’)/5= 0º0’02,4” En conclusión, a mayor lectura el error es menor. Ejemplo.21 Calcular el valor y error más probable en la lectura por repetición: R

P O

Punto

Lectura

R P

inicial 0º 0’0” 135° 18'

SOLUCIÓN:

Nº 6

Lectura final Angulo Promedio

91°49’35"

135°18'15.8"

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

36

a) No de repeticiones 6; 135°18' x 6 = 811°48'  811°48'/360 = 2.25 vueltas ó sea que al realizar 6 repeticiones el limbo girará 2 veces, más de 720°.  (91°49'35" + 720°) / 6 = 135°18'15.8" El error más probable será (135°18’15.8”-135°18’)/6=0°00’2.6” EJEMPLOS PROPUESTOS. A) Calcular El promedio de 5 lecturas por repetición si la primera es 85°20'15" y la ultima lectura es 66°41'20". R= 85°20'16". B) Determinar el error probable para una lectura por repetición de 6 series, si la lectura inicial es 38°10'10" y la lectura final es 229°01'48". R = 1.33" C) Se mide un ángulo obtuso por repetición, obteniendo la 1ra lectura de 136°20'20", realizando 7 lecturas, siendo la final 234°22'56", calcular el valor y error más probable del ángulo. R = 136°20'25.14"; 0.73". D) La primera lectura del ángulo a la derecha es 98°14'20",haciendo 3 lecturas la última es 294°42'36", determinar el valor y error probable del ángulo. R = 98°14'12"; 2.66". 5.2. ANGULO POR REITERACIÓN - El objetivo con este método es alcanzar mayor precisión, el procedimiento para operar es el siguiente: A

B α O

W C

UNCP-FACULTAD DE MINAS

37

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Estacionar el teodolito en “O”, visar al punto "A" con el limbo horizontal en 0º0’0” ó próximo a 0°,girar al punto "B" con un  α, seguir al punto C con un  w llegando a la posición original “A”, en esta posición invertir el anteojo, saliendo con 180º ó segundos de diferencia en sentido antihorario a los puntos C, B, llegando nuevamente al punto A, se cumple que una serie es con anteojo directo e invertido, la operación se puede repetir “n” veces. El número de series a tomar para medir el ángulo depende de la precisión del levantamiento. En la siguiente relación se puede observar el número se series y el ángulo a ubicar para salir en cada visual. Con una serie: lectura directa 0°0'0" invertida 180°0'0". Con dos series: 180°/2 = 90° ó sea cada 90° 1ra serie: lectura directa 0°0'0", invertida 180°0'0". 2da serie: lectura directa 90°0'0", invertida 270°0'0" Con tres series: 180°/3 = 60° ó sea cada 60°. 1ra serie: lectura directa 0°0'0", invertida 180°0'0" 2da serie: lectura directa 60°0'0", invertida 240°0'0". 3ra serie: lectura directa 120°0'0", invertida 300°0'0". Con cuatro series: 180°/4 = 45° ó sea cada 45°. 1ra serie: lectura directa 0°0'0", invertida 180°0'0" 2da serie: lectura directa 45°0'0", invertida 225°0'0". 3ra serie: lectura directa 90°0'0", invertida 270°0'0". 4ta serie: lectura directa 135°0'0", invertida 315°0'0". Con seis series: 180°/6 = 20° ó sea cada 20°. 1ra serie: lectura directa 0°0'0", invertida 180°0'0" 2da serie: lectura directa 20°0'0", invertida 200°0'0".

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

38

3ra serie: lectura directa 40°0'0", invertida 220°0'0". 4ta serie: lectura directa 60°0'0", invertida 240°0'0". 5ra serie: lectura directa 80°0'0", invertida 260°0'0". 6ta serie: lectura directa 100°0'0", invertida 280°0'0". Con el mismo procedimiento se puede encontrar para 10, 12, 16 series, Al iniciar cada lectura puede tener una diferencia de segundos tanto en la directa e invertida, el resultado final no variará Ejemplo.22.- Se realiza lecturas de tres series, como indica el cuadro, obtener el promedio de los ángulos.

Punto

Datos de campo: 3 series

A B C A

180º/3=60º.

1ra Serie D 0º0’15” 48º20' 124º16' 0º0'12”

I 180º 0'10” 228º20'05” 304º15'55” 180º 0'05”

2da Serie D 60º 0'05” 108º20'10” 184º16'02” 60º 0'04”

3ra Serie

I 240º00’08” 288º20'12” *4º 16'00” 240º 0'05”

D 120º00'08” 168º19'55” 244º16'10” 120º 0'10”

1ra Serie directa = 00º00’15”, invertida 180°00’05” 2da Serie directa = 60º00’05” invertida 240°00’05” 3ra Serie directa = 120º00’08” invertida 300°00’05” SOLUCION.1) Obtenemos el promedio general de cada lectura. VISUAL A 0°00’15” 180°00’10” 60°00’05” 240°00’08” 120°00’08” 300°00’08” 900°00’54”

VISUAL A’ 0°00’12” 180°00’05” 60°00’04” 240°00’05” 120°00’10” 300°00’05” 900°00’41”

I 300º00'08” 348º20'02” *64º16'15” 300º 0'05”

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

39

90000'54"  15000'09" 6 90000'41" A'   15000'06.83" 6 15000'09"15000'06.83" Pr omd A   15000'07.92" 2 A 

VISUAL B 48°20’00” 228°20’05” 108°20’10” 288°20’12” 168°19’55” 348°20’02” 1190º00’24”

VISUAL C 124°16’00” 304°15’55” 184°16’02” 4°16’00”+360° 244°16’10” 64°16’15”+360° 1645º36’22”

1190°00'24" = 198°20'04" 6 1645°36'22" Pr omd C = = 274°16'03.67" 6 Pr omd B =

Promedio General: A= 150º00’07.92" B= 198º20’04" C= 274º16’03.67" Calculo de Promedio Reducido A= 150º00’07.92" – 150º00’07.92" = 00º00’00" B= 198º20’04" – 150º00’07.92" = 48º19’56.1" C= 274º16’03.67"- 150º00’07.92" = 124º15’55.75" Promedio de Angulos  AOB = 48º19’56.1"  BOC = 124º15’55.75" – 48º19’56.1"= 75º55’59.65" EJEMPLO PROPUESTO.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

40

Determinar el valor más probable de los ángulos con 6 series, con los siguientes datos de campo. PTO A B C A PTO A B C A

PRIMERA SERIE D I

SEGUNDA SERIE D I

TERCERA SERIE D I

00°00'10"

180°00'05"

30°00'15"

210°00'10"

60°00'08"

240°00'15"

43°20'

223°18'

73°17'

253°21'

103°19'

283°18'

108°15'

288°16'

138°15'

318°18'

168°17'

348°16'

00°00'15"

180°00'20"

30°00'20"

210°00'12"

60°00'10"

240°00'18"

CUARTA SERIE D I

QUINTA SERIE D I

SEXTA SERIE D

I

90°00'15"

270°00'10"

120°00'10"

300°00'15"

150°00'12"

330°00'20"

133°19'

313°2'1”

143°19'

343°21'

193°14'

13°14' *

198°17'

18°18' *

228°16'

48°13' *

258°13'

78°16' *

90°00'18"

270°00'15"

120°00'15"

300°00'10"

150°00'10"

330°00'15"

(*) se suma 360° y 720 respectivamente, por que el limbo giró más de 360° en la 5ta y 720 en 6ta serie inversa. Rpta: AOB = 41°38'11.54"; BOC = 66°37'25"

CAPITULO II 1.-POLIGONACION Una poligonal es una sucesión de rectas quebradas unidas bajo un ángulo horizontal cualquiera, las uniones de las rectas son los vértices, se distinguen dos clases de polígonos, cerradas y abiertas, dentro de las poligonales abiertas debemos tener en consideración si los extremos están ligados a un punto de triangulación o están libres, en función a estos criterios podemos decir que una poligonal abierta es suelta o enlazada, si está enlazada a un punto de triangulación nos permitirá realizar los cálculos con mayor

UNCP-FACULTAD DE MINAS

41

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

facilidad, en caso de poligonales sueltos la información y los resultados serán independientes y no guardarán relación alguna con los planos oficiales de una zona. 1.1. POLIGONAL CERRADA Se dice que una poligonal es una sucesión de rectas quebradas unidas por un vértice en este caso la sucesión de rectas regresa al punto original, para iniciar una red de polígonos se procede como se indica más adelante. 1.1.1. MEDICION DE LADOS Los lados de una poligonal se puede medir de diferentes maneras, por métodos directos e indirectos, una de las formas más comunes es con wincha, medición por tramos, después de un alineamiento se

procede a medir las veces que sea necesario para alcanzar mayor

precisión y encontrar el valor mas probable, otra de las formas es medir con taquímetro mediante un teodolito y stadia, también las veces que sea necesaria para obtener el valor más probable de la distancia, con equipos electrónicos (Estación total o Distanciómetro) teniendo un resultado altamente preciso. 1.1.2. MEDICION DE ANGULOS La medición de ángulos de dos rectas con un mismo origen se puede realizar por los métodos ya conocidos por repetición ó reiteración, se detallan en el capitulo anterior. 1.2. CONSTRUCCION DE POLIGONOS Los polígonos pueden construirse de diferentes formas midiendo sus ángulos por desviación o deflexión, por azimutes, por ángulos interiores ó exteriores según sea el caso. 1.2.1. POR DESVIACIONES O DEFLEXIONES Este método se emplea generalmente en poligonales abiertas que consiste en ubicar los vértices con cierto ángulo, el procedimiento a seguir es: Ubicar el Teodolito en el punto B y orientar la vista atrás en el punto A con el anteojo invertido (180º) luego N

B’

D’

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

42

B

+26º30’

D

+14º31’

Z A C

-32º16’ C’

E

Se bascula el anteojo hasta la proyección B’ quedando en posición normal (0º 0’ 0”) girar luego hasta la vista adelante C en esta posición se hace la lectura + 26º 30’, seguidamente trasladar el equipo al punto C con el mismo procedimiento anterior se hace la lectura -32º 16’ es importante hacer notar que después de hacer bascular el anteojo los giros hacia la derecha son positivos y a la izquierda son negativos. En la construcción de polígonos cerrados por desviación se puede comprobar sumando sus ángulos algebraicamente, deben ser 360º. Ejemplo 1

Defl=360º 1+2+3+4+5=360º 92º+130º-50º+135º+53º=360º

Al realizar el trabajo de campo es muy posible que se llegue con un error de cierre por defecto ó exceso el mismo que será dividido por el número de lados y el resultado es el factor de corrección y si es por defecto se sumará y si es por exceso se restará a cada ángulo, de esta manera queda compensado el polígono para después continuar con el cálculo de azimut de sus lados. Para calcular el azimut de los lados se sale con una orientación magnética que viene a ser el azimut del primer lado, para el siguiente lado se suma algebraicamente el ángulo de deflexión consecutivamente como se ilustra en el ejemplo:

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

43

Ejemplo 2 Calcular el azimut de los lados del polígono según los ángulos de deflexión del croquis. 2’ NM 2 Z=85

1’

90°

°

113°

5’ 1 --70°

5

3 90°

4 135°

4’

3’

SOLUCION 1. La sumatoria de los ángulos debe ser 360° 2. comprobación A VERT. 1 2 3 4 5 SUMA

B ANG. 113º 90º 90º 135º -70º 358º

c Fc +24’ +24’ +24’ +24’ +24’

d ANG. COMP. 113º24’ 90º24’ 90º24’ 135º24’ -69º36’ 360º

- La columna “a” indica los vértices. - La columna “b” indica los ángulos cuya sumatoria es 358°. - Si la suma de los ángulos por deflexión de una poligonal debe ser 360°, entonces se tiene que: Ec = 358-360=-2º (defecto), compensación (+) =► Fc = 2º/5 = +24’(sumamos a cada ángulo según columna “c”. - En la columna “d” se muestra los nuevos ángulos compensados. El polígono queda compensado, luego se procede a calcular el azimut de los lados, sabiendo que el lado 1-2 tiene un azimut de partida 85º.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

44

- Acimut 1-2 85° - Acimut 2-3 85°+90°24’=175°24’ - Acimut 3-4 175°24’+90°24’=265°48’ - Acimut 4-5 265°48’+135°24’=401°12’-360°=41°12’ (se resta 360° por que la suma de los dos primeros excede a 360°). - Acimut 5-1 41°12’-69°36’=-28°24’+360°=331°36’ - Acimut 1-2 331°36’+113°24=445°-360°=85°(queda comprobado) RESUMEN. LADO

ANGULO

ACIMUT FINAL.

S 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1 1-2

DEFLEXION 113º24’ 90º24’ 90º24’ 135º24’ -69º36’ 113º24’

85º 175º24’ 265º48’ 41º12’ 331º36’ 85º

1.2.2. POLIGONOS POR AZIMUTES La construcción de Polígonos por azimut tiene cierta ventaja sobre los otros métodos por que una simple lectura desde un vértice nos da la orientación de dos lados, la secuencia es, determinado los vértices del polígono se ubica el Teodolito en el vértice original orientando al Norte Magnético con 0°0’0” luego se visa a los vértices adyacentes el cual sería los azimuts de los lados, luego se traslada al siguiente vértice, con el mismo procedimiento se hace la lectura de los lados adyacentes, al cerrar el circuito vemos que los lados tienen dos lecturas una directa y otra inversa, la orientación de esa recta será el promedio de las dos lecturas, si en la recta AB, se tiene la primera lectura de 128º30’ lectura directa y de BA 308º40’ lectura inversa, el promedio de la recta será: A Z directo 128°30’ Z invertido 308°40’

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

45

B A-B= 128º30’ A-B= 308º40’-180° = 128º40

Pr omd Acimut =

128°30' + 128° 40' = 128°35' 2

1.2.3. POLIGONOS POR ANGULOS INTERNOS Es la forma más conocida para los levantamientos topográficos. Los ángulos internos de un polígono puede medirse mediante varios métodos entre ellos los mas conocidos son lecturas por repetición y reiteración estos métodos se explican en el capitulo anterior. Teniendo como condición de que la suma de los ángulos internos debe ser 180(n-2) ó la suma de los ángulos externos 180(n+2). 2. ERROR DE CIERRE ANGULAR Y LINEAL. 2.1. ERROR DE CIERRE ANGULAR.- Se conoce por principio de geometría plana que, para todo polígono cerrado debe cumplir que la suma de sus ángulos internos es 180(n-2) y la suma de sus ángulos externos es 180(n+2) siendo “n”, número de lados. Ejemplo 3 En el polígono siguiente. 2 115°

Σi= 180(n-2) Σi= 180(6-2)=720º En el desarrollo del trabajo de campo, se encuentra que la suma de sus ángulos es 717° encontrando una diferencia de -3° que viene a ser el error de cierre angular.

1 155°

86°

215°

6

101°

4 45°

5 Ec = 717°-720°=-3°

3

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

46

Entonces se puede decir que el error de cierre angular viene a ser la diferencia que existe en el trabajo de campo y la teoría, puede ser por exceso o defecto. Para compensar el error se divide entre el número de vértices y el resultado se suma ó resta a cada ángulo y queda compensado el polígono: Fc = Ec/n,

n = número de vértices.

Para el caso de una poligonal abierta solo es posible determinar el error de cierre cuando los puntos extremos están enlazados a puntos trigonométricos o poligonales principales. 2.2. ERROR LINEAL (Er.L) En una poligonación cerrada el error lineal viene a ser la discrepancia que existe entre A-A’, dentro de un sistema de coordenadas. En el polígono ABCD. En el Δ AA’E AA’= Hipotenusa (Er.L)

Y

A

Y’

B

E

A’

AE = Y-Y’(error en Y) A’E= X’-X (error en X) C

(Er.L)²=(Y-Y’)²+(X’-X)² Er.L=[(Y-Y’)²+(X’-X)²]1/2 D X

X'

2.2.1. ERROR RELATIVO (E.r.).- Está expresado por una relación, Error Lineal entre el perímetro. E . r. 

Er. L. Perimetro

ésta expresión nos indica el error que se está cometiendo al realizar un levantamiento de una poligonal. EJEMPLO 04.- Calcular el error relativo si Er.L. es 0.15m, y el perímetro es 420m. Entonces: Er= 0,15/420 = 0,000357143 = 1/2800

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

47

2.3. CLASIFICACION DE UNA POLIGONAL POR SU ERROR RELATIVO Y ANGULAR

Ord. 1er Ord.

Er.Relat 1/10000

E. M. P. ±15"√n

Teod. 5"

2do Ord 3er Ord. 4to Ord.

1/5000 1/2500 1/1000

±30"√n ±01'"√n ±1'30"√n

20" 30" 1"

Met.Recomendado Reiteración. Reiteración. Repetición. Repetición.

2.3.1.-COMENTARIO: La primera columna nos indica el orden de una poligonal o la importancia que tiene un trabajo, La segunda columna indica el error relativo, significa el error máximo que debe cometerse en el cierre perimetral; Ejemplo: en una poligonal de primer orden el error relativo significa que, en 10000 mts debe tener un error máximo de 1 mt. Con el mismo criterio para el 2do, 3ro y 4to orden. La tercera columna nos indica el error máximo permisible angular; Ejemplo: Para un polígono de 1er orden de 5 lados el error máximo permisible será = ± 15"(5)1/2 = 33.54", significa que en un pentágono el error angular máximo debe ser 33.54” para poder compensar, caso contrario, si es mayor se vuelve a realizar el trabajo de campo, con el mismo criterio para el 2do, 3er y 4to orden. La cuarta columna nos dice la precisión del teodolito que debemos emplear para nuestros levantamientos, y la última columna recomienda qué método de medición debe usarse. PRIMER ORDEN.- Levantamiento de gran exactitud como para catastro urbano u otro de igual importancia, los ángulos deben leerse por reiteración de tres a cuatro series con teodolitos de aproximación a los 5” para medir los lados se desprecia utilizamos

otros

las pendientes < 1%, para pendientes mayores

métodos

como

por

resaltos

horizontales

ó

trigonométricamente. SEGUNDO ORDEN.- De exactitud media para levantamientos de líneas divisorias; saneamiento urbano; sus ángulos deben ser leídos por reiteración

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

48

2 a 3 series con teodolito de aproximación a los 20” para medir sus lados se desprecia las pendientes < 2%, para pendientes mayores se mide sobre la superficie del terreno para después hacer las correcciones trigonométricas. TERCER ORDEN.- Orden donde esta ubicada la mayor cantidad de planos topográficos, trazado de canales, carreteras, centrales etc. sus ángulos deben ser leídos por repetición 1 a 2 series con teodolitos de aproximación a los 30”, sus lados deben ser medidos dentro de los 2% de pendiente mayores a estos deben ir pegados a la superficie para su posterior corrección. CUARTO ORDEN.- Para trabajos preliminares estos deben ser medidos por repetición 1 serie con aproximación al 1' sus lados deben de

ser

medidos dentro del 3% de pendiente. 3. COMPENSACION ANGULAR Y LINEAL 3.1. COMPENSACION ANGULAR 3.1.1. POLIGONAL CERRADA.- La compensación

angular es como

consecuencia de los errores angulares el cual se compensa mediante las conocidas propiedades geométricas, el error angular hallado en una poligonal cerrada se distribuye entre todos los ángulos internos antes de calcular sus azimuts y coordenadas, se supone que la medición de ángulos se hizo en las mismas condiciones, pudiendo existir errores accidentales ó sistemáticos. El error de cierre es por defecto ó exceso, este resultado se divide entre el número de vértices, obteniendo un factor de corrección que se suma o resta a cada ángulo. Fac. C. 

Ejemplo 05

Er. C. n

n= Numero de vértices

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

49

En un levantamiento de campo se tiene un polígono de 6 lados con los siguientes

ángulos:1)101°, 2)118°, 3)86°, 4)145°, 5)135°, 6)132°,

compensar los ángulos internos. Ang. Original

.1 = 101° .2 = 118° .3 = 86° .4 = 145° .5 = 135° .6 = 132° 717°

Ang. compensado

+ 30' = 101° 30' + 30' = 118° 30' + 30' = 86° 30' + 30' = 145° 30' + 30' = 135° 30' + 30' = 132° 30' 720° 6 1

5

5 4

2 3 .Fc.C.= Er.C./n Si: Fc.C.= Factor de corrección. Er.C.= Error de ciere. n.= Número de vértices. ΣAng.i = 180°(6-2) = 720° ΣAng.i = 101°+118°+86°+145°+135°+132°= 717°  Er.C. = 717° - 720°= -3° Fc.C. = 3°/6 = 0.5°= 30' El error de cierre es por defecto, por lo tanto la compensación será positivo, sumando a cada ángulo 30'. como muestra en el cuadro anterior. Ejemplo 06

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

50

El resultado de los ángulos internos es el promedio después de las lecturas por repetición, se desea Compensar los mismos. F Si A= 38º25’ B= 243º30’ C= 89º10’ D= 82º35’ E= 162º40’ F= 103º37’

A E B D C

SOLUCIÓN: a) Por principio geométrico se sabe que Σi = 180(n-2) =► Σi = 180(6-2)=720º Si Σi = A + B + C + D + E + F = 719º57’ =► Er.c= 719º57’-720=-3’(Error por defecto, entonces se suma a cada ángulo ó se dice que la compensación es aditiva.) Fc.C = Er.c/n = +3’/6 = 30” b) Compensación final A= 38º25’+30”= 38º25’30” B= 243º30’+30”= 243º30’30” C= 89º10’+30”= 89º10’30” D= 82º35’+30”= 82º35’30” E= 162º40’+30”= 162º40’30” F= 103º37’+30”= 103º37’30” 719º57’+ 3’= 720º 3.1.2. POLIGONAL ABIERTA.- Dentro del grupo de poligonal abierta podemos distinguir varios casos, pero antes debemos estar seguros que la medición se realice en un solo sentido y ángulos a la derecha.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

51

POLÍGONO ABIERTO, CUANDO SUS EXTREMOS NO SON VISIBLES. En este caso se aplica el método de Polígono abierto con azimut de salida y azimut de cierre. NM

Z4B

4

ZA1

A

2 1

3 B

El error de cierre viene a ser: Er.c.= (ZA1+1+2+3+4-180n)-Z4B. donde “n” es número de vértices, (el ángulo del vértice A es el azimut), ZA1 es azimut de arranque y Z4B es azimut de cierre, para compensar se calcula el factor de corrección. Fc.C = Er.c / n; Este factor se suma o resta a cada uno de los vértices, según sea el caso, comprobando que: ZA1+1+2+3+4-180n=Z4B Ejemplo 07 Compensar el polígono abierto con cierre azimutal con la siguiente información:

N.M

N.M Z4B = 167°20’

4 2

ZA1=129º15’

A 3 1 B 1)= 122º50’; 2)= 262º40’; 3)= 106º10’; SOLUCION. 1. De acuerdo a la condición geométrica se tiene que:

4)= 265º55’

UNCP-FACULTAD DE MINAS

52

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

ZA1+1+2+3+4-180n = Z4B, ZA1= Azimut de arranque Z4B= Azimut de cierre  Er.c = (ZA1+1+2+3+4-180°n) - Z4B. donde: 180°n = 180 x 4 = 720° Er.c = 166º50’ – 167º20’ = -30’ 2) El error de cierre es por defecto, por lo tanto la compensación será aditiva, siendo el factor de corrección: Fc.C = +30’/4=7’30” éste resultado (7’30”) se suma a cada uno de los vértices a excepción del ZA1 =► ZA1= 129º15’ 1) 122º50’ +7’30” =► 122º57’30” 2) 262º40’ +7’30” =► 262º47’30” 3) 106º10’ +7’30” =► 106º17’30” 4) 265º55’ +7’30” =► 266º02’30” 886º50’

887º20’

dando como resultado la suma de los ángulos 887°20’, si de acuerdo a la fórmula, comparamos, es igual al Azimut de cierre del lado final. ZA1 +1+2+3+4-180n = Z4B 887°20’-720° = 167°20’ 167°20’ = 167°20’ CUANDO EN UNA POLIGONAL ABIERTA, SUS EXTREMOS SON VISIBLES, SE PRESENTAN TRES CASOS: A) PRIMER CASO: (RECORRIDO ANTIHORARIO) Nótese que el lado AB se comporta como un lado del polígono, analizando sus ángulos todos viene a ser internos, si el recorrido es en sentido antihorario su compensación puede proceder como un polígono cerrado inter= 180°(n-2) ó de la siguiente manera.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

53

B A 3 1

4 2

A+1+2+3+4+B+360°=180n, n es número de vértices. pEr.C = (A+1+2+3+4+B+360°)-180n, Fc.C = Er.C/n. Este resultado se suma ó resta de acuerdo al signo. Ejemplo 08 En el levantamiento de un canal se tiene los siguientes ángulos a la derecha, teniendo visibilidad los extremos del polígono. A)24°, 1)118°, 2)256°, 3)106°, B)34° 2 A B 1 3 SOLUCION: Por condición geométrica se tiene que: Derecha +360°= 180n; se adiciona 360° por que los extremos (A y B) del polígono son ángulos internos, “n” número de vértices. 24°+118°+256°+106°+34°+360° = 180 x 5 898°= 900°  Er.C.= 898°-900°= -2° El error de cierre es por defecto, por lo tanto la compensación es aditiva.  Fc.C. = 2°/5 = 24’ compensando tenemos: A)

= 24° + 24’ = 24°24’

1) = 118°+ 24’ = 118°24’

UNCP-FACULTAD DE MINAS

54

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

2) = 256°+ 24’ = 256°24’ 3) = 106°+ 24; = 106°24’ B)

= 34° + 24’ = 34°24’ 540°

Si al resultado se le suma 360°, cumple la condición Geométrica: Derecha + 360° = 180°n. 540°+ 360° = 180° x 5 900° = 900° SEGUNDO CASO. (RECORRIDO HORARIO.) Como en el primer caso el lado AB hace las veces de un lado, con un recorrido horario los ángulos serán externos, al observar los ángulos extremos (A y B) son externos. 3 4 1

B 2

A Se puede compensar como un polígono cerrado aplicando el principio geométrico ext = 180°(n+2) ó de la siguiente manera: A + 1 +2 + 3 +4 + B – 360°=180°n; siendo “n” números de vértices. Er.C. = A + 1 + 2 + 3 + 4 + B – 360° - 180°n Fc.C. = Er.C./n éste valor se suma ó resta según sea el caso. Ejemplo 09 Se desea compensar los ángulos en una poligonal abierta, sabiendo que ambos extremos son visibles, la lectura de los ángulos a la derecha se indican en la parte inferior del croquis. 1 3 B

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

55

A 2 A)341°, 1)250°, 2)85°, 3)235°, B)350° SOLUCION: Por condición geométrica se tiene que, Σext – 360º = 180n =► A = 341º 1 = 250º

si 180n= 180x5

2 = 85º

= 900

3 = 235º B = 350º

Er.C = (Σext-360º)-180n.

1261° Er.C= (1261°- 360°)-180°n = 901° - 900° Er.C = +1º Si el Er.C = +1 es por exceso, entonces la compensación será sustractíva. Fc.C = -1º/5= -12’ Los ángulos compensados serán: A= 341º-12’ = 340º48’ 1= 250º-12’ = 249º48’ 2= 85º -12’ = 84º48’ 3= 235º-12’ = 234º48’ B= 350º-12’ = 349º48’ 1260º La suma de los ángulos a la derecha es 1260º restando 360 tenemos 900 que cumple la condición de Σext– 360° =180n 1260°-360° = 180° x 5 900° = 900° TERCER CASO. En un recorrido positivo o negativo, si los ángulos a la derecha en unos de los extremos es interno y el otro es externo 3

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

56

1 B ` A 2

4

El lado AB cierra el polígono, notando que el A es externo y el B es interno, para éste caso cumple que: A + 1 + 2 + 3 + 4 + B = 180°n siendo “n” el número de vértices. Er.C. = (A + 1 + 2 + 3 + 4 + B) – 180n. Fc.C. = Er.C/n.

Ejemplo 10 En una poligonal para el trazo de carretera los extremos del polígono abierto son visibles y sus ángulos a la derecha se muestran en el cuadro siguiente. A= 11º 1= 118º 2= 256º B= 333º A

2 B 1

SOLUCION: Por condición geométrica se tiene que. Σ = 180n  A+1+2+B = 180n 718° = 180° x 4 718° = 720° ER.c = 718-720= -2º El error de cierre es por defecto, indica que la compensación será aditiva a cada ángulo.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

57

Fc.C = 2º/4= 30’ Compensando tenemos: A= 11º +30’= 11º30’ 1= 118º+30’= 118º30’ 2= 256º+30’= 256º30’ B= 333º+30’= 333º30’ 720º Los ángulos quedan compensados de acuerdo a la condición geométrica. Σ = 180n 720° = 180°*4 720° = 720° 3.2 COMPENSACION LINEAL En los casos anteriores tratamos sobre compensación angular en polígonos abiertos y cerrados, en este caso enfocaremos solamente para los polígonos cerrados, en vista que los polígonos abiertos al inicio y al final no pueden precisarse sus coordenadas de comprobación, salvo que estén enlazados a puntos de triangulación, mientras que en las poligonales cerradas las coordenadas de arranque deben ser iguales a las coordenadas de cierre, sí el error de cierre lineal es: Er. L 

X

2

 Y 2

;

El Er.L. debe ser cero, entonces para compensar la longitud ( ΔX) y latitud (ΔY) se tiene que : Fc.Cx = ΔX/p

y

Fc.Cy = ΔY/p

Donde: Fc.Cx = Factor de corrección en el eje X Fc.Cy = Factor de corrección en el eje Y ΔX = Diferencia

de distancia en el eje X (longitud)

ΔY = Diferencia

de distancia en el eje Y (latitud)

P = Perímetro

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

58

Luego la compensación sera : Cx = Fc.Cx x d

Cy = Fc.Cy x d

Donde: Cx = Valor a compensar en el eje X Cy = Valor a compensar en el eje Y d = distancia del lado. Este valor debe ser sumado algebraicamente a cada lado en su longitud y latitud, de tal manera que la suma total de las coordenadas parciales debe ser cero y por ende el error lineal será cero. 4.- CALCULO DE AZIMUT Y COORDENADAS 4.1 AZIMUT. Para calcular el azimut de los lados aplicamos la regla de la nemónica o procedimiento mecánico en sentido anti horario. Consiste en sumar el ángulo a la derecha al azimut inicial o anterior, si el resultado es < 180º se suma 180° y si el resultado es > 180º se resta 180°. Zf = Zi + D ± 180° Donde:

Zf = Azimut final Zi = Azimut inicial D = ángulo a la derecha

Ejemplo 11 Calcular el azimut de los lados del polígono de acuerdo a croquis. NM ZAB = 115° A = 54° B = 133° C = 226° D = 55° E = 72°

A

E

B

C D

SOLUCION: De acuerdo a la formula nemónica hacemos el recorrido en sentido antihorario. Zf = Zi+D ± 180,

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

59

ZAB = Zi = 115º ZBC = 115+133-180 = 68º ZCD = 68+226-180 =114º ZDE = 114+ 55+180 =349º ZEA = 349+ 72-180 =241º ZAB = 241+ 54-180 =115º Haciendo el recorrido en sentido antihorario se calculó el azimut de todos los lados del polígono a la vez queda comprobado que el azimut de arranque (Z AB) es igual al azimut final (ZAB) lo que indica que la compensación angular es correcta. 4.2.COORDENADAS Para calcular las coordenadas del punto P debemos conocer el azimut Z y la distancia Horizontal D, conociendo estos valores tenemos que: X= D senZ Y= D cosZ El signo de la coordenada parcial está en función al cuadrante donde esta ubicado. N.M. IV D

Sen + Cos -

I A

ZOD

Sen + Cos +

ZOA

W O

E

ZOC C

ZOB B

Sen Cos - III Ejemplo 12

II

Sen Cos +

Si el Azimut de una recta QA es 134º20’ y una distancia horizontal de 89.50 mts, calcular sus coordenadas parciales y totales si el punto Q tiene como coordenada: Q(5000N, 3000E) NM SOLUCION: DH = 89.50m ZQA = 134º20’

134°20’

Q

89.50 mts

A

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

60

=►EP = DH SenZ = 89.50 Sen 134º20’= 64.018m NP = DH CosZ = 89.50 Cos 134º20’=-62.545m Las coordenadas totales se obtienen sumando algebraicamente las coordenadas parciales de “A” a las coordenadas totales de “Q”

Pto

Dist

Q Q-A 89,5

ZQA 134º20’

COORD. PARCIALES. N

E

-62,545

64,018

COORD.TOTALES.. N 5000 4937,455

Pto

E 3000 3064,018

Q A

Las coordenadas totales de “A” están en la última fila del cuadro. 5. CALCULO DE COTA Para trasladar la cota de un punto a otro se puede emplear el método geométrico (Nivelación) o trigonométrico (Con ángulo vertical) 5.1. METODO GEOMETRICO.- Este método es empleado en terrenos no muy accidentados que consiste en una nivelación diferencial, restando vista atrás (VT) menos vista adelante (VD), si en el gráfico, A tiene una cota de 3250 msnm. Para calcular la cota de B primero buscamos la diferencia vertical entre AB. AB = VT – VD

VT

VD 1.45

2.85

B A =►Cot B = CotA + (VT - VD), si VTA = 2.85m , VDB = 1.45 m. =►Cot B= 3250 + (2.85-1.45)= 3251.4 msnm.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

61

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

En caso de distancias considerables se aplica el principio de nivelación trigonométrica. 5.2. METODO TRIGONOMETRICO.- Este método es empleado para terrenos muy accidentados, generalmente se utiliza el teodolito para medir el ángulo cenital y la distancia taquimetría, para trasladar cota taquimétricamente es necesario tomar los datos de campo, como (DI) distancia inclinada, (AC) ángulo Cenital, (AI) altura del instrumento y altura de señal (AS); Cota B = Cot A ± DV + AI - AS. La DV a partir de distancia taquimétrica es:

AS=1.50m DI = 102.50m.

B

Ang.Cenital N α=

Ang. Vert.

AI=1.50m

A 1 DI * Sen2α Donde : α  Vertical 2 α  90 - 83  7 102.50 DV  Sen 2(7)  12.398m. 2 DV 

Calculando cota tenemos: Cot B= Cot A + DV + AI - AS Cot B = 3250+12.398+1.50-1.50 = 3262.398 msnm. Para el cálculo de cotas en una poligonal se procede de la misma manera en cada lado del polígono. Ejemplos 13

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

62

En un levantamiento topográfico de una poligonal se mide el azimut de arranque de ZAB = 210°20’, conociendo sus coordenadas oficiales A(485N,725E) y 3200 m.s.n.m, en el cuadro siguiente se tiene los datos de campo, calcular las coordenadas y cotas de los vértices. Pto A AB BC CD DE EA

D.Inclin 43.266 92.654 50.690 61.617 78.956

 Hrzt

 Cenit

A.I

A.S

133º20’ 92º15’ 85º35’ 148º50’ 80º35’

94º30’ 87º40’ 86º30’ 92º30’ 90º34’21”

1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

SOLUCION 1.- Representamos mediante un croquis para mejor orientación. E D

NM A

C B

2.- Compensamos los ángulos internos. PTO

ANGULO

Fc

(a) (b) (c) A 133º20’ -7’ B 92º15’ -7’ C 85º35’ -7’ D 148º50’ -7’ E 80º35’ -7’ TOTAL 540º35’ Por principio geométrico tenemos que:

ANG.COMP. (d) 133º13’ 92º08’ 85º28’ 148º43’ 80º28’ 540º00’

Σinter=180(n-2)=540° =►Er.C = 540°35’-540° = 35’, el error de cierre es por exceso luego la corrección será sustractiva FC=-35’/5 =-7’ Restando 7’ en la columna “c” del cuadro anterior tenemos compensado los ángulos en la columna “d”.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

63

3.- Calculamos el azimut de cada lado. LADO AB BC CD DF EA AB

Hrzt 92º08’ 85º28’ 148º43’ 80º28’ 133º13’

Azimut 210º20’ 122º28’ 27º56’ 356º39’ 257º07’ 210º20’

Para calcular el ZBC tenemos que: ZBC= 210º20’+92º08’-180º = 122°28’ ZBC= 122º28’, En la tercera columna del cuadro anterior tenemos los azimuts de cada lado quedando comprobado que el azimut de arranque y cierre son iguales. 4.-Calculamos las distancias Horizontales y verticales a partir de los datos taquimétricos. Lados

Dist.

(a) AB BC CD DE EA

(b) 43.266 92.654 50.690 61.617 78.956

 Cenit (c)

 Vert.

Dist.Hzt (e)

Dif.Vert (f)

94º30’ 87º40’ 86º30’ 92º30’ 90º34’21”

(d) -4º30’ +2º20’ +3º30’ -2º30’ -0º34’21”

42.99966 92.50042 50.50108 61.49976 78.94812

-3.38415 +3.76910 +3.08878 -2.68514 -0.78888

En el cuadro anterior se calcula el ángulo vertical en la columna (d) restando de 90º, Vert AB.= 90-94º30’= –4º30’. Con el mismo procedimiento completamos la columna (d). En la columna (e) calculamos la Distancia Horizontal con la formula DH = DI

x

cos²Vert. DHAB. = 43.266 x cos2(-4º30’)= 42.999, igual sucede con los lados subsiguientes de la misma columna. En la última columna tenemos la diferencia vertical que se obtiene con la formula DV = (1/2) D x sen 2,

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

64

Entonces para el lado AB será: DVAB = ½ 43.266 x sen2(-4º30’)= -3.384m. Con el mismo procedimiento se completa el resto de la columna. 5.- Calculamos las coordenadas parciales, para calcular, aplicar la formula siguiente: YN= DH cosZ XE= DH senZ

A Lado A AB BC CD DE EA

b Dist H.

c Azimut

42.99966 92.50042 50.50108 61.49976 78.94812 326.44905m

210º20’ 122º28’ 27º56’ 356º35’ 257º07’

d N -37.11309 -49.65504 44.61737 61.39045 -17.60279 +1.63689

e E -21.71611 78.04296 23.65692 -3.66519 -76.96068 -0.64209

F PTO A B C D E A

Para el lado AB tenemos que: NB = 42.99966*cos210º20’=-37.113m. EB = 42.99966*sen210º20’=-21.716m. Con el mismo precedimiento completamos las columnas d y e del cuadro anterior. 6.-Calculamos el Error Lineal y Relativo. Er.L. 

X 2  Y 2

Er.L. 

1.63689 2  (0.64211) 2  1.758323

ΔX= Error de cierre en X ΔY= Error de cierre en Y El polígono tiene un error de cierre de 1.758 m. y un error relativo de: Er.R = (Er.L.)/p = 1.758323/326.449 = 0.00538621 = 1/185.66  1/200 Sabemos que el Er.R. nos indica el Orden de precisión de una poligonal, en este caso es 1/200, es un trabajo preliminar.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

65

7.- Compensación del Error Lineal.- Para compensar nos remitimos al Error de Cierre en cada eje (X,Y). Ec(N)=+1.63689

Ec(E)=-0.64209

Notamos que en el aje N el error es por exceso y en el eje E el error es por defecto por lo tanto en el primero la corrección es sustractiva y en el segundo es aditiva.

Fc( N ) 

 1.63689  0.0050142 326.44905

Fc( E ) 

0.64209  0.0019669 326.44905

Estos valores se multiplica por sus respectivas distancias y se suma algebraicamente a cada coordenada parcial, Para el lado AB será: BN = 42.99966(-0.0050142)=-0.215610 BE = 42.99966(+0.0019669)=+0.084576 CUADRO DE CORRECCIONES a

b

Lado Distancia

c

d

e

f

g

H

N

E

Correc.N

Correc.E

Coorden. NP

Coorden.EP

. AB BC CD DE EA

42.99966 92.50042 50.50108 61.49976 78.94812 326.44905

-37.11309 -49.65504 44.61737 61.39045 -17.60279 1.63700

-21.71611 78.04296 23.65692 - 3.665219 -76.96068 -0.6422

-0.21562 -0.46385 -0.25324 -0.30839 -0.39589

+0.08459 +0.18197 +0.09935 +0.12098 +0.15531

-37.328725 -50.118849 44.364159 61.082105 -17.998690 0.00000

-21.63151 78.224870 23.756247 - 3.544216 -76.805391 0.00000

En la columna e y f se asignan sus correcciones respectivas para cada lado del polígono y en las columnas (g y h) resulta de sumar g= c + e, y h= d + f, Norte y Este respectivamente, la comprobación resulta sumando las coordenadas parciales N los mismo que deben dar cero, de igual manera las coordenadas E.

8.- Coordenadas totales.- Para el cálculo de coordenadas totales se suma a la coordenada de origen del punto A en forma sucesiva N y E respectivamente.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

66

Si: NA= 485 EA=725 NB= 485 - 37.3286 = 447.671 y EB= 725 - 21.6315 = 703.3685

LA

PARCIAL

PARCIAL

DO A AB BC CD DE EA

N

E

-37.328725 -50.118849 44.364159 61.082105 -17.998690

-21.63151 78.22487 23.756247 -3.544216 -76.80539

TOTAL N 485.000 447.671 397.553 441.916 502.999 485.000

TOTAL E 725.0000 703.3685 781.5934 805.3497 801.8056 725.0000

Pto A B C D E A

9.- Cálculo de cotas.- La proyección de cotas de un punto a otro está en función a la diferencia vertical, altura del instrumento y altura de señal. Si Cot B= Cot A ± DV + AI - AS, A Lado A AB BC CD DE EA

b DV. -3.384 +3.769 +3.089 -2.685 -0.789

c A.I. 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

d A.S. 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50

E Cota 3200 3196.616 3200.385 3203.474 3200.789 3200.000

Pto A B C D E A

En el cuadro anterior la columna a indica los lados del polígono, b diferencia vertical, c altura de instrumento, d altura de señal y e cota del punto.

10.- Dibujo de plano.- Para dibujar en un sistema de coordenadas se busca el rango en el eje Norte y Este para fijar los limites. Para encontrar los rangos se resta los valores extremos, en cada eje. Seguidamente se hace el reticulado a la escala apropiada para ubicar las coordenadas de los puntos del polígono.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

67

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

E 500N A 450N B D 400N

800E

750E

C

700E

ESC: 1:1000

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

68

CAPITULO III 1. ALTIMETRIA. Es parte de la topografía que ayuda a determinar las alturas relativas y absolutas de los puntos topográficos sobre el plano vertical, mediante el procedimiento conocido como nivelación, el origen para ubicar una altura se adoptó el nivel medio del mar, llamando altitud, altura absoluta o cota, para mediciones topográficas horizontales se puede prescindir la curvatura terrestre en distancias menores de 25 km. y dentro de ellas se puede considerar paralela las direcciones de la plomada. Para marcar los puntos altimétricos en el terreno dependerá principalmente del tipo de levantamiento, se puede señalar puntos permanentes y provisionales. LOS PUNTOS FIJOS O PERMANENTES son hitos que tienen que permanecer buen tiempo como en carreteras, canales, ferrocarriles, etc. la materialización de los puntos fijos son generalmente con placas de bronce, tubos, hierros sobre hitos de concreto donde se indica su ubicación y características. LOS PUNTOS PROVISIONALES son puntos temporales que duran el tiempo de ejecución de la obra, pueden ser estacas, rocas, piedras, etc. 1.1.-NIVELACION TOPOGRAFICA. En una nivelación topográfica hay que tener en cuenta los efectos de la curvatura terrestre para distancias considerables, los efectos de la refracción atmosférica, la curvatura terrestre sobre las visuales afecta muy poco o casi nada en distancias menores de 25 Km. en caso de realizar una nivelación para distancias mayores se hace los cálculos de corrección por efectos de curvatura. Q

P E S

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

69

R

R

O En la figura, la visual PQ es una proyección horizontal perpendicular al radio en P, la proyección PS es la visual, por efectos de la curvatura terrestre, donde QS=E, error que sería a causa de la refracción, dependiendo de la distancia y el grado de precisión.  en el  rectángulo OPQ Tenemos: (OQ)2 = (PQ)2 + (PO)2 ;

Si OQ = E + R

(E+R)2 = (PQ)2 + R2

OP = R

(PQ)2 E2 E   2R 2R

El error por refracción terrestre queda reducido a: E 

(PQ)2 2R

La expresión E2/2R se desprecia por ser una cantidad infinitamente pequeña. 1.2.-PRINCIPIO DE NIVELACION.

V.T.

C.I.

V.D. h2

h1

B h

A El objetivo principal de una nivelación es determinar la diferencia de altura entre dos puntos, para ello es importante el uso del nivel de Ingeniero y la mira. Para obtener la diferencia vertical del terreno (h), se fija los puntos A y B, ha una distancia determinada. El equipo se estaciona aproximadamente al centro entre los dos puntos, (no necesariamente en el eje del alineamiento), estacionado el nivel, la

UNCP-FACULTAD DE MINAS

70

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

primera visual se realiza sobre el estadal en el punto A (VT), en ésta proyección del eje de colimación se anota la altura de la mira (h1), luego se gira el anteojo hacia B, (VD), con el mismo procedimiento se anota (h2); Para obtener h será: h = V.T. – V.D. = h1 – h2 el resultado puede ser positivo o negativo, si es (+) indica que el segundo punto (B) está más elevado, si es (-) está ubicado por debajo de (A). EJEMPLO 1. Si: VT.= 2.46 mts, y VD.= 1.32 mts, ¿cual es la diferencia de altura? SOLUCION. h = h1 – h2 = 2.46 – 1.32 = 1.14 mts. La respuesta es (+) entonces el punto B está a 1.14 mts por encima de A. EJEMPLO 2. En un alineamiento PQ, se desea determinar la diferencia de altura entre ambos puntos, para el cual la vista atrás a P es 0.963 mts, y la vista adelante a Q es 2.647 mts. SOLUCION. Si h = h1 – h2 ; h1 = VT = 0.963 mts. h2 = VD = 2.647 mts.  h = 0.963 – 2.647 = - 1.684 mts. Respuesta (-) indica que el punto Q está por debajo de P en 1.684 mts. Para determinar la cota de los puntos es importante salir de una elevación conocida, referida al nivel medio del mar, en caso de no tener información se asume cotas provisionales o arbitrarias. En el gráfico se tiene un alineamiento AB, en los cuales se quiere calcular la cota del punto B conociendo la cota de A, con el principio anterior. h = h1 – h2 calculamos:

V.T

C.I.

V.D. h2

h1

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

71

h..

B

A Conociendo cota de A. Entonces Cot B = Cot A + h. También podemos calcular de la siguiente manera: La visual hacia el punto A (VT) se suma a la cota de A llegando a obtener cota de instrumento (C.I.). C.I. = Cot A + h1, giramos el anteojo al punto B, lectura (V.D) restamos a la C.I. obteniendo cota de B. Cot B = C.I. – h2 1.3.-TIPOS DE NIVELACION. Las diferencias verticales se pueden medir de los modos siguientes: - Nivelación Geométrica. - Nivelación Trigonométrica. - Nivelación Barométrica. 1.4.-NIVELACION GEOMETRICA. Es la nivelación más usual que consiste en medir distancias verticales (alturas) mediante visuales horizontales aplicando el principio de nivelación. Dentro de la nivelación geométrica se tiene los métodos más conocidos de nivelación, simple, compuesta y recíproca. 1.4.1.-NIVELACION SIMPLE. Es un método geométrico que consiste en ubicar el instrumento entre los dos puntos aproximadamente al centro, con el procedimiento conocido VT y VD, en cada una de las estaciones calculamos las diferencias de alturas de los puntos, y luego las alturas absolutas.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

72

Si en un alineamiento tenemos 4 puntos, para conocer su diferencia de altura y cotas, llevamos el siguiente control:

V.T V.T V.T

V.D

V.D.

V.D.

h4 h3

3 h1

h2

1

a PTO

4

2

b DIST.

C V.T.

d

1.98 2.32 2.16

3201.98 3202.54 3202.68

e V.D.

f D.V.

g COTA.

1.76 2.02 1.40

+0.22 +0.30 +0.76

3200.00 3200.22 3200.52 3201.28

S 1 2 3 4

55.64 45.60 35.25

En el cuadro se explica los datos tomados de campo.  En la columna (a) se anota todo los puntos del alineamiento, 1, 2, 3 y 4.  En la columna (b) se anota las distancias de punto a punto.  La columna (c) (V.T) se anota la visual del punto 1, la altura de la mira h1= 1.98 mts. girando el anteojo hacia el punto 2 anotamos la lectura en la mira h 2= 1.76 m. en la columna (e) (V.D.). En cada estación se realiza la misma operación.  Las columnas d, f y g se obtienen en gabinete.  La columna (d), donde se anota la cota de instrumento (C.I) se suma cota del punto 1 más h1 (V.T). 3200+1.98=3201.98  En la columna (f) se anota la diferencia vertical entre los dos punto adyacentes.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

73

V.T – V.D; = (h1-h2) = 1.98-1.76 = +0.22, igual procedimiento para los demás puntos.  En la columna (g) anotamos la cota del punto 2, restando de la C.I. menos V.D.(h 2). 3201.98-1.76=3200.22 con el mismo procedimiento para los siguientes puntos.  Otra forma de obtener las cotas finales es sumando algebraicamente las diferencias verticales sucesivamente a la cota inicial 1)

3200

2)

3200.00 + 0.22 = 3200.22

3)

3200.22 + 0.30 = 3200.52

4)

3200.52 + 0.76 = 3201.28.

1.4.2.-NIVELACION COMPUESTA. Cuando un alineamiento no es posible continuar por razones de visibilidad, obstáculos o cuando los detalles de una recta son muy cortas, el método de nivelación compuesta es el ideal, y el procedimiento es el siguiente: En un alineamiento tal como AF estacado de acuerdo a la variación del terreno, el nivel se estaciona en un lugar apropiado de tal manera que sea visible los puntos a nivelar.

VD V.T

V.D

V.D

V.D

V.D

F E A

B

C

D

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

74

Para las lecturas, el nivel no necesariamente debe estar en el eje de la recta. A PTO A B C D E F

B DIST.

c V.T. 1.96

D

e V.D.

3451.96

4.00 3.80 5.60 45.00 62.00

f D.V.

g COTA 3450.00

2.08 2.03 1.93 2.10 2.42

La toma de datos de campo tiene el mismo principio, vista atrás menos vista adelante, con la diferencia que para todo el tramo se toma una sola vista atrás y los siguientes puntos son vista adelante.  En la columna a (datos de campo) se anota todos los puntos del alineamiento.  En la columna b (campo) anotamos las distancias de cada tramo, como AB=4mts, BC=3.8mts, etc.  En la columna c (campo) anotamos la vista atrás 1.96 que es el único dato en toda la operación.  En la columna d (gabinete) calculamos la cota de instrumento sumando cotA + VT = 3450+1.96 = 3451.96  En la columna e (campo) se anota todas las vistas adelante como (2.08, 2.03.....2.42)  En f (gabinete) DV datos que se obtiene después de calcular en gabinete VTVD, la vista atrás de la columna c se relaciona con cada una de las vistas adelante.  La última columna g de alturas absolutas son cálculos en gabinete restando la cota de instrumento menos vista adelante (3451.96-2.08=3449.88), en este caso existe una sola cota de instrumento para todas las vistas adelante. Dentro de una nivelación se puede presentar casos como accidentes topográficos, detalles mínimos y otros, para dar solución es posible aplicar ambos métodos en toda la red de nivelación, según el gráfico las dos primeras estaciones es por

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

75

nivelación simple y el último es compuesta (es un método mixto), para ello procedemos similar al descrito anteriormente para cada método

VD

VD.

VD VT VT

F

VD

VD

E

VT

B

D

A C a PT O A B C D E F

B DIST.

38 55 12 16 22

c V.T.

d C.I.*

1.96 0.75 2.70

3251.96 3252.09 3251.81

e V.D.

0.62 2.98 1.48 1.62 1.75

f D.V.

g COTA

1.34 -2.23 1.22 1.08 0.95

3250.00 3251.34 3249.11 3250.33 3250.19 3250.06

 Las columnas a,b,c y e. son los datos de campo  La información que se obtiene en las columnas d,f y g son cálculos de gabinete siguiendo el procedimiento que se realiza para cada método. 1.4.3.-NIVELACION RECIPROCA. Se presentan casos especiales como determinación de diferencias de nivel entre los puntos de mucha precisión que pueden servir para realizar proyectos de comunicación, canales, puentes, para este tipo de trabajo se realiza una nivelación recíproca de ambos extremos, para iniciar el trabajo mediante una nivelación precisa llevamos la cota a los puntos A y B de ambos extremos del obstáculo por los métodos conocidos, desde la estación P, visamos al punto A con vista atrás y al punto B como vista adelante, recíprocamente del punto Q visamos al punto B y A, V.T Y V.D respectivamente.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

76

En el gráfico: VT

VT VD

P

A

VD

B

Q

Si desde el punto P. V.TA = 1.82, V.DB = 2.45 h1 = 1.82 – 2.45 = -0.63 Desde Q. V.TB = 2.22, V.DA = 1.63 h2 = 2.22 – 1.63 = 0.59 La diferencia vertical entre A y B será el promedio de las dos lecturas de sus valores absolutos.

Δh =

Δh1 + Δh2 0.63 + 0.59 = = 0.61 m. 2 2

1.4.4.-COMPENSACION EN NIVELACIONES. De acuerdo a la teoría de errores una nivelación puede conllevar a muchas fallas por diferentes causas como instrumentales, humanos, ambientales etc. Los mismos que pueden ser corregidos mediante una compensación si se encuentra dentro del rango permitido. Para compensar se debe tener en cuenta que el recorrido debe iniciar en un punto conocido con la información requerida, en éste caso su altitud, el punto final también debe tener un punto conocido, caso contrario se realizará una nivelación ida y vuelta del eje o alineamiento. Si la nivelación es de un polígono, automáticamente el punto inicial al cerrar el circuito será el punto final, otro caso puede ser la nivelación entre dos puntos de cota conocida.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

77

Para compensar un circuito es importante tomar las distancias respectivas de punto a punto, sabiendo que el error de cierre es la discrepancia que existe entre las altitudes de un mismo punto

A

IDA d1

A’

d2

1

d3

B

VUELTA 2

Ec = error Ec = cota A’ – cota A D = Distancia, se considera todo el recorrido ida y vuelta, 2(d 1 + d2 + d3) fc= Ec/D factor de corrección C = corrección, (fc x d), puede ser + ó – (por exceso ó defecto) d = distancia acumulada para cada punto. La corrección se realiza en la nivelación de ida.

EJEMPLO 3. Se desea compensar las cotas de los puntos para la nivelación de una calle con los siguientes datos de campo, conociendo el punto de salida A 3225 m.s.n.m.

NIVELACION DE IDA Pto A 1

Dist. 19.50

V.T 2.42

V.D 2.20

VUELTA Pto B 10

Dst.

V.T. 1.34

V.D 1.58

UNCP-FACULTAD DE MINAS

2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

22.40 26.30 30.55 51.35 61.80 25.20 29.10 19.90 15.30 18.60

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

78

0.55 1.35 1.88

2.52 2.10 1.85 1.66 1.20 1.76 1.52 1.85 2.20 1.95

9 8 7 6 5 4 3 2 1 A

1.78 2.065

1.245 1.08 1.14 1.28 1.95 0.805 1.065 2.47 2.17 1.44

SOLUCION. Se tiene una nivelación mixta, (simple y compuesta), calculamos sus cotas en el siguiente cuadro en la nivelación de ida y vuelta.

VT VT VD VD VD

VD

VD

VD

VD

VD

VD

VD

VT

8

VT VD

9

10

7

B

4 1

2

3

5

6

A CALCULOS DE COTAS Y COMPENSACION. IDA Pto A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B

Dist.

D.Ac.

V.T 2.42

19.50 22.40 26.30 30.55 51.35 61.80 25.20 29.10 19.90 15.30 18.60

19.50 41.90 68.20 98.75 150.10 211.90 237.10 266.20 286.10 301.40 320.00

0.55 1.35 1.88

V.D

D.V

COTA

0.22 -0.10 0.32 0.57 -1.11 0.15 0.12 0.36 0.03 -0.32 -0.07

3225.00 3225.22 3224.90 3225.32 3225.57 3224.46 3224.61 3224.73 3224.97 3224.64 3224.29 3224.54

3227.42

3226.12 3225.81 3226.49

2.20 2.52 2.10 1.85 1.66 1.20 1.76 1.52 1.85 2.20 1.95

CALCULO DE COTAS VUELTA PTO B 10 9 8 7

V.T 1.34

V.D

D.V.

1.58 1.245 1.08 1.14

-0.24 0.095 0.26 0.20

3225.88

COTA. 3224.54 3224.30 3224.64 3224.80 3224.74

COTA .CORREG. 3225.000 3225.191 3224.838 3225.220 3225.425 3224.240 3224.299 3224.382 3224.579 3224.220 3223.847 3224.070

UNCP-FACULTAD DE MINAS

6 5 4 3 2 1 A

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

79

1.78

3226.38

2.065

3227.38

1.28 1.95 0.805 1.065 2.47 2.17 1.44

0.06 -0.17 0.975 0.715 -0.405 -0.105 -0.625

3224.60 3224.43 3225.575 3225.315 3224.91 3225.21 3225.94

En la nivelación de vuelta el cálculo de la cota de A es 3225.94 m.sn.m. 

Ec = A’-A = 3225.94-3225=0.94 mts (por exceso) D = ida + vuelta = 2(320) = 640 mts. fc= Ec/D = 0.94/640m. = 0.00146875

El error es por exceso, la compensación será negativa. C = -fc x d La compensación se realiza en la nivelación de ida. C1 = fc X d1 = -0.00146875 x 19.50 = -0.0286 C2 = fc X d2 = -0.00146875 x 41.90 = -0.0286 C3 = fc X d3 = -0.00146875 x 68.20 = -0.0286 C4 = . . . . . . . C10 = . . . . . . . CB = . . . . . . . Los resultados se suman algebraicamente a las cotas calculadas en la nivelación de ida, como muestra el primer cuadro, la última columna es la cota corregida. 1.4.5.-ERROR MAXIMO PERMISIBLE. Como en toda nivelación se comete errores por mínimo que sea, y en algunos casos se sobrepasan los límites, para ello se ha establecido ciertos parámetros de control para cada orden de nivelación. 1er ORDEN.- Llamada también precisa, para nivelaciones de canales, ferrocarriles, trabajos de gran precisión, las lecturas se realizan al milímetro, siendo su error máximo permisible:  0.01 K , siendo K la distancia de nivelación del circuito. 2do ORDEN.- Llamada ordinaria, nivelación para carreteras, calles, las lecturas se realizan con apreciación al medio centímetro, el error máximo permisible es  0.02 K

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

80

3er ORDEN.- o rápida con lecturas al centímetro, para trabajos preliminares, el error máximo debe ser:  0.1 K De acuerdo al orden establecido, cada caso tiene su error máximo permisible, si el resultado fuese mayor indica que se tiene que regresar al campo para tomar nuevos datos, si el error está por debajo del permisible se procede a compensar las cotas. 1.5.-NIVELACION TRIGONOMETRICA. En la nivelación geométrica los desniveles se obtienen a partir de visuales horizontales (VT y VD), En la nivelación trigonométrica la diferencia de alturas se obtiene por medio de visuales inclinadas y su respectivo ángulo vertical, de elevación o depresión. Para obtener el ángulo vertical de un punto se puede emplear teodolitos, los mismos que pueden tener el origen ó 0° en la parte superior del limbo vertical, las lecturas serán ángulos CENITALES, el ángulo vertical se obtendrá restando de 90°. Si el origen ó 0° está en la parte inferior del limbo vertical las lecturas serán ángulos NADIRALES, y para obtener el ángulo vertical restamos 90°.

AS

D.INCLINADA

DV.

 cenital

B

 vertical D.HORIZONTAL

AI

H

A Para calcular la diferencia vertical taquimétricamente de los puntos A y B, en el gráfico; se estaciona el teodolito en el punto A, visamos al punto B (mira), anotamos la siguiente información:  Cenital, distancia inclinada, altura de instrumento y altura de señal.  V = 90° -  Cenital. DV =  x D.I. x Sen2V H = AI+DV-AS

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

81

= DV +AI-AS. Si:

 V = Angulo vertical.  C = Angulo cenital

D.I.= Distancia inclinada. DV. = Diferencia vertical H = Diferencia vertical entre A y B. EJEMPLO 4. Determinar la diferencia vertical entre los puntos A y B, si las lecturas de campo es: C = 112°20’15”, Distancia inclinada 325.50 mts. AI=1.48, AS=2.22m. SOLUCION. 1) Calculamos el Ángulo vertical. V= 90°-112°20’15” = -22°20’15” (depresión)

AI

A 2) De la fórmula DV.= ½*DI*sen(2V) DV =1/2*325.50*Sen 2(-22°20’15”) DV = -114.427 m. 3) H=DV+AI-AS = -114.427 +1.48-2.22 = -115.167 m.

AS

B

OBSERVACION: Para determinar la diferencia vertical entre dos puntos, si la distancia tomada es estadimétrica se aplica la fórmula DV= ½ DI*Sen2V; Si la distancia es tomada con distanciómetro ó medición directa la fórmula es trigonométrica. DV = DI*SenV. 1.6.-NIVELACION BAROMETRICA. Método que consiste en hallar la diferencia vertical en función a la presión atmosférica, para ello se cuenta con los instrumentos llamados ALTIMETROS. El fundamento radica que la presión atmosférica varia en razón inversa a la altura, a > altura < es la presión; y a < altura > es la presión, el método no es apropiado para trabajos de precisión, puede emplearse para exploraciones, ubicación de altitudes aproximadas de bancos. 1.7.-LIBRETA DE CAMPO.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

82

Para obtener resultados de acuerdo a las exigencias es importante llevar un control estricto de la libreta de campo, actualmente existen libretas digitales que vienen incorporados a los equipos electrónicos, el mismo que garantiza un almacenamiento seguro de los datos de campo, en este punto trataremos de las libretas convencionales la forma de llevar y alimentar los datos, la libreta del topógrafo tiene que ser especial para un trato duro por la naturaleza del trabajo.

1 3

4

5

6

2 7

8

9

10

D A C B

Las libretas vienen divididas en dos partes, a la izquierda donde se anota los datos de campo de acuerdo a las normas establecidas, a la derecha se lleva el croquis según el avance, daremos un ejemplo de la forma como llevar la libreta de campo. Según el croquis: -

En 1 y 2 se anotan las características del trabajo como marca del equipo, nombre de los operadores, condiciones ambientales y otras que crea necesaria.

-

En 3 se anotan los puntos estacados.

-

En 4 anótese las distancias de cada tramo.

-

En 5 columna donde se anota la Vista Atrás.

-

En 6 Anótese los datos de la Vista Adelante.

-

En 7, 8 y 9 las observaciones que crea conveniente el operador.

-

En 10 se lleva el croquis del terreno de acuerdo a una secuencia establecida.

1.8.-CURVAS DE NIVEL.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

83

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

Son líneas imaginarias horizontales que unen los puntos que se encuentran a una misma altura o cota, ó es cuando un plano horizontal intercepta la superficie del terreno originando las curvas de nivel, el mismo que nos indica las características de la superficie del terreno en donde puede determinarse las entrantes y salientes, para graficar o interpretar un plano se debe tener una serie de curvas de nivel que tienen una separación de curva a curva a esta diferencia de altura se llama equidistancia. La separación de las curvas es importante para la construcción de maquetas a escala. Si

E = equidistancia natural. e = equidistancia gráfica, en función a una

escala.

1/E = escala dada. e = E (1/n).

EJEMPLO 5 Calcular la equidistancia gráfica para preparar una maqueta a curvas de nivel de un levantamiento topográfico cuya equidistancia natural es 20 mts a una escala 1/5000. SOLUCION. e = E(1/n).

E = 20 mts. 1/E = 1/5000

e = 20(1/5000) = 0.004 m. = 4 mm. La equidistancia de 20 mts estará representado por 4 mm. de altura de curva a curva en la maqueta. 1.8.1-EQUIDISTANCIAS.- La equidistancia de las curvas se fija de acuerdo al levantamiento, puede ser cada 5, 10, 20, 25, 50. en función a la escala, cuando los detalles no pueden diferenciarse para realizar un proyecto ó una buena

UNCP-FACULTAD DE MINAS

84

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

interpretación, podemos dibujar equidistancias menores, como: 2, 1, 0.5, 0.25 mts. En el plano la numeración se realiza en la misma proyección de la curva al extremo del plano ó en una interrupción, dentro de las curvas existen principales ó matrices y secundarias, las cotas se ubican en las curvas principales con números enteros nunca con decimales.

3200 3220 3240 3260

3260 3280 3300

1.8.2.-CARACTERISTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL Las curvas de nivel por su configuración presentan las siguientes características. 1- Si la numeración es ascendente representan elevaciones o cerros. 2- Si las separaciones son muy distantes indican pendientes suaves, si son juntas pendientes fuertes. 3- Si las separaciones son uniformes, la pendiente es constante. 4- Las curvas y separaciones irregulares representan terrenos accidentados. 5- Las curvas que se superponen representan terrenos verticales. 6- Las curvas en U representan valles abiertos, y en V con la punta hacia arriba indican quebradas o ríos, si la V es normal indican peñas pronunciadas.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

85

1.8.3.-METODO PARA GRAFICAR LAS CURVAS DE NIVEL. Para dibujar las curvas de nivel después de realizado los cálculos y ubicado las cotas se puede representar por medio de dos métodos, gráfico y analítico. C 3220 A 3225 3215

E 3212 B

3210

D

3208

METODO GRAFICO. Para trazar las curvas a la misma altura gráficamente aplicamos el principio de la división de una recta en partes iguales. En el croquis los puntos A y B unimos con una línea débil, a partir del punto A trazamos una línea auxiliar tal como AB’, en ésta trazamos las equidistancias de acuerdo al requerimiento tal como 5 mts de curva a curva, empezamos en la cota 3225m.s.n.m. en forma descendente, 3220, 3215,y 3210, del último punto graficado en la recta auxiliar unimos al punto B, y trazamos paralelas a sus respectivas altitudes y en la intersección es la altura que le corresponde. METODO ANALITICO. Los puntos CD unimos con una recta débil, y en ella realizamos lo siguiente: - Medimos la distancia horizontal entre CD(x unidades.). - La diferencia vertical entre CD (3220-3208)= 12 mts. - Entonces decimos para X unidades.(en el papel) hay una diferencia vertical de 12 m. - Luego para la cota 3215 hay una diferencia de 5 m. y estará a una distancia X’ del punto C. con la siguiente relación: -

X .......12 mts. X’ .......5 mts. X’ = X*5/12 Unidades.

- Se mide a partir del punto C una distancia de X’ unidades donde estará ubicado la cota 3215.

UNCP-FACULTAD DE MINAS

86

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

- Con el mismo procedimiento se calcula para las cotas inferiores. - Para la interpolación de los puntos CE se puede realizar con cualquiera de los dos métodos. - Calculado las respectivas ubicaciones de las cotas se une a mano alzada los puntos que se encuentran a la misma altura hasta llenar todo el plano. - Para interpolar las curvas de nivel deben hacerse con los puntos adyacentes y no deben cruzarse entre ellos. 1.9.-PERFIL LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL. Los perfiles longitudinales a partir de curvas de nivel se obtienen de la siguiente manera: -

Las curvas de nivel están ubicadas en el plano horizontal.

-

Los perfiles se dibujan en el plano vertical.

-

Primero graficamos un sistema de coordenadas X e Y donde X = distancia horizontal y el eje Y = cota o altitud.

-

En el gráfico X viene a ser la distancia horizontal del eje del perfil AB.

-

En el eje Y representamos desde la cota más baja 3850 hasta la curva 3890 a una escala determinada.

-

La sección AB en el plano horizontal corta a las curvas de nivel en diferentes puntos.

-

De las intersecciones respectivas se levantan perpendiculares hacia el plano vertical hasta cortas su respectiva altura.

-

Levantado toda las intersecciones de las curvas, a mano alzada se une los puntos, donde queda representado el perfil longitudinal del eje AB.

-

Con el mismo principio se puede obtener el perfil longitudinal de cualquier 5sección del plano horizontal.

-

Las secciones transversales se levantan perpendicular al eje a distancias uniformes o de acuerdo a la característica del levantamiento y con el mismo principio anterior se determina su sección para el cálculo de áreas. SECCION LONGITUDINAL AB

n.s.n.m. 3900 3890

UNCP-FACULTAD DE MINAS

87

ING GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

3880 3870 3860 3850 3840

A

S 46°50’40” E

3850

B

3850 3860 3870 3880

3860 3870 A 3880 3890

B 3890

S 46°50’40”E

VISTA EN PLANTA